专题02直线的方程（解析版）

专题02直线的方程目录新知导航：熟悉课程内容、掌握知识脉络基础知识：知识点全面梳理，掌握必备学以致用：考点剖析，提升能力小试牛刀：过关检测，成果评定一．直线的点斜式方程已知直线l经过点，且斜率为k，则直线l的方程为．这个方程是由直线上一定点及其斜率确定的，因此称为直线的点斜式方程，简称点斜式．当直线l的倾斜角为0°时（如图1），，即k=0，这时直线l与x轴平行或重合，l的方程就是，或．当直线l的倾斜角为90°时（如图2），直线没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示．因为这时l上每一点的横坐标都等于，所以它的方程是，或．直线的点斜式方程的推导如图，设点是直线l上不同于点的任意一点，根据经过两点的直线的斜率公式得（1），即（2）．注意：方程（1）与方程（2）的差异：点的坐标不满足方程（1），但满足方程（2），因此，点不在方程（1）表示的图形上，而在方程（2）表示的图形上，方程（1）不能称为直线l的方程．上述过程可以证明直线上每个点的坐标都是方程（2）的解．对上面的过程逆推，可以证明以方程（2）的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点，斜率为k的直线l的方程．二．直线的斜截式方程我们把直线l与y轴交点的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距．如果直线l的斜率为k，且在y轴上的截距为b，则方程为，即叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．当b=0时，表示过原点的直线；当k=0且b≠0时，表示与x轴平行的直线；当k=0且b=0时，表示与x轴重合的直线．三．直线的两点式方程1．直线的两点式方程的定义已知直线过两点，当时，直线的方程为．这个方程是由直线上的两点确定的，因此称为直线的两点式方程，简称两点式．2．直线的两点式方程的推导已知直线过两点（其中），此时直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的．当时，所求直线的斜率．任取中的一点，例如取，由点斜式方程，得，当时，可写为．四．直线的截距式方程1．直线的截距式方程的定义已知直线过点，（），则由直线的两点式方程可以得到直线的方程为．我们把直线与轴的交点的横坐标叫做直线在轴上的截距，此时直线在轴上的截距是．这个方程由直线在两个坐标轴上的截距和确定，因此叫做直线的截距式方程，简称截距式．2．直线的截距式方程的推导已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，如图，其中．将两点，的坐标代入两点式，得，即．五．中点坐标公式若点的坐标分别为，且线段的中点的坐标为，则．此公式为线段的中点坐标公式．六．直线的一般式方程在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程（其中A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式．直线的一般式、斜截式、截距式如下表：一般式斜截式截距式不同时为0）都不为0）直线的一般式方程可以表示坐标平面内任意一条直线．因此在一定条件下，直线的一般式方程可以进行如下转化：（1）当时，可化为，它表示在y轴上的截距为，斜率为的直线．（2）当均不为零时，可化为，它表示在x轴上的截距为，在y轴上的截距为的直线．七.一般式方程中两直线平行与垂直的条件若两条直线的方程是用一般式给出的，设直线的方程分别为，，则可以在条件允许时将两方程化为斜截式方程，从而得出两直线平行与垂直的结论如下：（1）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，且．即，且或．（2）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，或．即．一．直线的点斜式方程（共2小题）【例1】（2023春上海市·虹口·期中）设点，若直线l经过点H，且与直线垂直（O为坐标原点），则直线l的方程为．【答案】【分析】由直线l与直线垂直，求出直线斜率，再根据点斜式方程即可求直线l的方程.【详解】因为，所以，又直线l与直线垂直，所以直线l斜率为，又因为直线l经过点H，所以直线l的方程为，即.故答案为：【变式】（2022•浦东新区校级开学）过点（﹣1，﹣2）斜率为3的直线的点斜式方程是．【分析】根据直线的点斜式方程，列方程即可．【解答】解：过点（﹣1，﹣2）斜率为3的直线的点斜式方程为y+2＝3（x+1）．故答案为：y+2＝3（x+1）．【点评】本题考查了直线的点斜式方程，是基础题．直线的斜截式方程（共2小题）【例2】（2023春·上海市控江中学高一下期末）直线l：绕着点逆时针旋转与直线重合，则的斜截式方程是____________.【答案】【分析】先找到直线的斜率，再由直线过点求出直线方程.【详解】设直线l的倾斜角为，则，则，所以直线，故答案为：.【变式】（2023春·上海市青浦区·二模）过点与直线垂直的直线方程为.【答案】【分析】设所求直线方程为，将点的坐标代入所求直线方程，求出的值，即可得出所求直线的方程.【详解】设所求直线方程为，将点的坐标代入所求直线方程可得，解得，故所求直线方程为.故答案为：.三．直线的两点式方程（共2小题）【例3】（2022秋·上海浦东新·高二上海市川沙中学校考阶段练习）已知中，求边所在直线的方程【答案】【分析】可以通过两点式求直线方程，也可以通过点斜式求方程【详解】的斜率为,直线方程为,即；四．直线的截距式方程（共2小题）【例4】（2022春•浦东新区校级期中）已知点A（1，0），B（0，1），则线段AB的方程是．【分析】由题意，利用截距式求直线的方程．【解答】解：∵点A（1，0），B（0，1），则线段AB的方程是+＝1，即x+y﹣1＝0，故答案为：x+y﹣1＝0（0≤x≤1）．【点评】本题主要考查用截距式求直线的方程，属于基础题．【变式1】（2022秋•浦东新区校级月考）过点M（3，﹣4），且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程为．【分析】设出直线在x、y轴上的截距分别为a和﹣a（a≠0），推出直线方程，利用直线过A，求出a，求得直线方程；当a＝0时，再求另一条直线方程，即可．【解答】解：设直线在x、y轴上的截距分别为a和﹣a（a≠0），则直线l的方程为﹣＝1∵直线过点A（3，﹣4），∴＝1解得：a＝7此时直线l的方程为x﹣y﹣7＝0当a＝0时，直线过原点，设直线方程为y＝kx，过点A（3，﹣4）此时直线l的方程为y＝﹣x，此时直线l的方程为4x+3y＝0∴直线l的方程为：x﹣y+7＝0或4x+3y＝0，故答案为：x﹣y﹣7＝0或4x+3y＝0；【点评】本题考查直线的一般式方程，直线的截距式方程，学生容易疏忽过原点的情况，是基础题．【变式2】．（2022秋•闵行区校级月考）求过点p（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程．【分析】当直线经过原点时，直线的方程直接求出；当直线不经过原点时，设直线的截距式为x+y＝a，把点P的坐标代入即可得出．【解答】解：当直线经过原点时，直线的方程为，化为3x﹣2y＝0．当直线不经过原点时，设直线的截距式为x+y＝a，把点p（2，3）代入可得：2+3＝a，∴a＝5．∴直线的方程为：x+y＝5．故答案为：3x﹣2y＝0或x+y﹣5＝0．【点评】本题考查了直线的截距式方程、分类讨论的思想方法，属于基础题．五．一般式方程中两直线平行与垂直的条件（共2小题）【例5】.（2023春·上海市控江中学高一下期末）已知常数，直线：，：，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先利用两直线平行的公式求出，再确定充分性和必要性即可.【详解】因为直线：，：，当时，解得，所以是的充分不必要条件.故选：A【变式1】．（2022秋•浦东新区校级月考）若直线l1：ax+y+2a＝0与直线l2：4x+ay+3a+2＝0互相平行，则实数a＝．【分析】根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解．【解答】解：当a＝0时，直线l1：y＝0，直线l2：4x+2＝0，两直线不平行，当a≠0时，∵l1∥l2，∴，解得a＝﹣2，故实数a为﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．【变式2】（2023春·上海市复旦附中高二第二学期期中）直线过点且与直线平行，则直线的方程是__________.【答案】【分析】设与直线平行的直线方程为，代入已知点计算即可.【详解】设与直线平行的直线方程为，带入点得，得，所以直线的方程是.故答案为：.【例6】（2022秋•浦东新区校级月考）直线l1：px+3y+1＝0与直线l2：6x﹣2y﹣5＝0垂直，则p的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣9 D．9【分析】由题意，利用两直线垂直的性质，两直线垂直时，一次项对应系数之积的和等于0，计算求得p的值．【解答】解：∵直线l1：px+3y+1＝0与直线l2：6x﹣2y﹣5＝0垂直，∴6p﹣6＝0，求得p＝1，故选：B．【点评】本题主要考查两直线垂直的性质，两直线垂直时，一次项对应系数之积的和等于0，属于基础题．【变式】（2022秋•静安区校级期中）过点（2，0）且与直线2x﹣4y﹣1＝0垂直的直线的方程是．【分析】根据题意，设要求直线的方程为2x+y+m＝0，将点（2，0）代入直线的方程，计算可得m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，要求直线与直线2x﹣4y﹣1＝0垂直，设要求直线的方程为2x+y+m＝0，又由要求的直线过点（2，0），则有4+m＝0，解可得m＝﹣4，即要求直线的方程为2x+y﹣4＝0；故答案为：2x+y﹣4＝0．【点评】本题考查直线的一般式方程与直线垂直的关系，属于基础题．六．直线方程的综合应用（共3小题）【例7】（2023春·浦东新区·模拟预测）过点且在轴，轴上截距相等的直线方程为【答案】和【分析】根据斜率是否为0，分两种情况，结合直线的截距式方程即可求解.【详解】当直线经过原点时，此时直线方程为，且在轴，轴的距离均为0，符合题意，当直线在轴，轴均不为0时，设直线方程为，将代入得，解得，故直线方程为，故答案为：和【变式1】（2023春上海市·浦东新区·阶段练习）方程所表示的图形围成的区域的面积是.【答案】2【分析】由曲线的方程可得，曲线关于两个坐标轴及原点都是对称的，画出曲线的图象，知曲线围成的区域是边长为的正方形，进而求解【详解】方程，即，故方程表示的曲线围成的图形是正方形，其边长为，如图所示：

所以方程所表示的图形围成的区域的面积为，故答案为：2【变式2】（2022春·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考阶段练习）已知直线经过点，且与轴、轴的正半轴分别交于点A、点，是坐标原点.(1)当的面积最小时，求直线的一般式方程；(2)当取最小值时，求直线的一般式方程，并求此最小值．【答案】(1)(2)，的最小值为4【分析】（1）设出直线的截距式方程，代入点的坐标，得到，结合基本不等式求出面积最值，得到的方程；（2）表达出，得到，，由基本不等式得到的最小值，得到，得到直线方程，【详解】（1）设的方程为，由直线过得，由基本不等式得：，即，解得：，当且仅当，时取等号，此时的方程为，即；（2）因为直线与轴、轴的正半轴分别交于点A、点，所以直线的斜率存在，可设直线的方程为，所以，，所以，，所以，当且仅当时取等号，此时，此时直线的方程为，的最小值为4.一、填空题1．（2022·上海松江·高二期末）已知直线方程为，则该直线的倾斜角为_________.【答案】【分析】求出直线的斜率，进而得到直线的倾斜角.【详解】直线的斜率为1，设直线的倾斜角为，则，因为，所以.故答案为：.2.（2022秋·上海普陀·高二曹杨二中校考期末）若直线的一个法向量为，则过原点的直线的方程为______.【答案】【分析】由法向量设直线方程，后依题意求解【详解】若直线的一个法向量为，可设直线方程为，由直线过原点，∴，故所求直线方程为，即.故答案为：3.（2020秋·上海徐汇·高二位育中学校考期中）过点且与直线夹角为的直线一般式方程是________.【答案】或【分析】由夹角算出倾斜角，后求出直线方程【详解】直线的倾斜角为且，则，所以与直线的夹角为，则所求直线的倾斜角为或，当所求直线倾斜角为时，直线为；当所求直线倾斜角为时，直线为，故直线为.综上，所求直线为或.故答案为：或4．（2022·上海市青浦高级中学高二阶段练习）已知直线，直线过点，若，则直线的方程是_________．【答案】.【分析】根据条件可推得，直线的斜率，代入点斜式方程，整理即可得到.【详解】设的斜率分别为，则.又，则.所以，直线的点斜式方程为，整理可得，.故答案为：.5．（2020·上海市南洋模范中学高二阶段练习）已知直线过点，在轴和轴上的截距互为相反数，则直线的方程为______【答案】或【分析】考虑直线是否经过原点，若不经过原点，利用直线的截距式方程求解；若经过原点，利用直线的点斜式方程写出即可.【详解】若直线经过原点，则其斜率为，故其方程为：，即；若直线不经过原点，设其方程为，又其过点，则，解得，故直线方程为：，整理可得：；综上所述，满足题意的直线方程为：或.故答案为：或.6．（2022·上海市行知中学高二期末）已知直线过直线和的交点，且与直线垂直，则直线在轴上的截距为________.【答案】【分析】先求出直线和的交点，再根据直线与垂直，设出所求直线方程，将交点坐标代入可求出直线方程，从而可求出直线在轴上的截距.【详解】由，得，所以直线过点，因为直线与直线垂直，所以设直线为，则，解得，所以直线的方程为，当时，，所以直线在轴上的截距为，故答案为：.7．（2022·上海市建平中学高三阶段练习）若非零实数，满足，且直线，恒过一定点，则定点坐标为______．【答案】【分析】根据已知等式，结合直线方程的性质进行求解即可.【详解】∵非零数a，b满足，∴，∵，∴，∴，∴．所以且，解得，，定点坐标为标为．故答案为：8．（2022·上海·闵行中学高二期中）已知直线，则直线恒过定点___________.【答案】【分析】本题主要考查直线过定点问题，将直线方程进行整理变形即可求解.【详解】因为直线可化为，令，解得：，所以直线过定点，故答案为：.9．（2022·上海市崇明区横沙中学高一期末）过点且垂直于直线的直线方程为___．【答案】【分析】由垂直设出直线方程，代入已知点坐标后得参数值，从而得直线方程．【详解】由题意，设所求直线方程为，又直线过，所以，，所以直线方程为．故答案为：．10．（2022·上海·华师大二附中高二阶段练习）过点且与坐标轴围成的三角形面积为1的直线l的斜截式方程是______．【答案】或【分析】由题意设直线l为，从而求得在坐标轴上的截距，再利用三角形面积公式得到关于的二次方程，解之即可.【详解】由题意所求直线l的斜率必存在，且不为，设其斜率为，则直线l方程为，令，得，令，得，故所围三角形面积为，即，当时，上式可化为，解得或；当时，上式可化为，方程无解；综上：直线的斜截式方程是或.故答案为：或.11．（2022·上海市行知中学高二阶段练习）已知直线与直线互相垂直，则实数的值为__________.【答案】或【分析】讨论，两种情况，由直线垂直的性质得出实数的值.【详解】当时，直线与直线互相平行；当时，，因为，所以，解得或故答案为：或12.（2023秋上海市·浦东新区·开学考试）已知定点与定直线：，过点的直线与交于第一象限点，与轴正半轴交于点，求使面积最小的直线方程为.【答案】【分析】分斜率存在与不存在两种情况，分别求出坐标，从而表示出的面积，进而可求出的面积的最小值，得出结果.【详解】当直线斜率不存在时，直线的方程为，由，得到，即，又易知，所以的面积为，（2）当直线斜率存在时，不妨设直线为，令，得到，又由，消得到，由题知，得到，此时，的面积为，令，得到，则，又因为，又由，得到，故，所以，故，此时，因为，所以使面积最小的直线方程为，即,故答案为：.

二、单选题13.（2023·上海市静安·二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据三条直线交于一点，再利用点关于直线的对称点公式，求直线上一点，即可求解.【详解】联立，得，取直线上一点，设点关于直线的对称点为，则，解得：，直线的斜率，所以直线的方程为，整理为：.故选：A14．（2022·上海市行知中学高一期末）如果且，那么直线不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】通过直线经过的点来判断象限.【详解】由且，可得同号，异号，所以也是异号；令，得；令，得；所以直线不经过第三象限.故选：C.15．（2022·上海·高三专题练习）若直线不通过第二象限，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由直线不过第二象限，讨论、、求的取值范围即可.【详解】由直线不通过第二象限，知：当，时，符合题意；当，时，直线上的点一定不在轴上半部分，所以，即；当时，直线定过第二象限，不合题意；∴综上有：故选：A【点睛】本题考查了由直线方程求参数范围，理解辨析直线不过某个象限时需要满足的条件，应用了分类讨论，属于简单题.16．（2022·上海市青浦高级中学高二阶段练习）直线绕原点逆时针旋转，再向右平移１个单位，所得到的直线为(A． B．C． D．【答案】A【详解】∵直线绕原点逆时针旋转的直线为，从而淘汰（Ｃ），（D）又∵将向右平移１个单位得，即故选A；【点评】此题重点考察互相垂直的直线关系，以及直线平移问题；【突破】熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数，过原点的直线无常数项；重视平移方法：“左加右减”；三．解答题17．（2022·上海市青浦高级中学高二阶段练习）已知直线过点，若直线在两坐标轴上截距相等，求直线的方程．【答案】或.【分析】根据已知，分为截距为0与截距不为0讨论即可得到.【详解】当截距都为0时，直线过点，，可设直线方程为，代入，解得，所以，直线的方程为，即；当截距都不为0时，可设直线方程为，即，代入，解得，所以直线的方程为.综上所述，直线的方程为或.18．（2022秋·上海普陀·高二曹杨二中校考期末）如图，、是海岸线、上的两个码头，海中小岛有码头到海岸线、的距离分别为2km、.测得，.以点为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系.码头在第一象限，且三个码头、、均在一条航线上.(1)求码头点的坐标；(2)海中有一处景点（设点在平面内，，且），游轮无法靠近.求游轮在水上沿旅游线航行时离景点最近的点的坐标.【答案】(1)；(2)【分析】本题是一道解析几何实际应用题，参考解析过程【详解】（1）由已知得，，直线ON方程：设，由及图，得，.（2）直线AQ的方程为即由，解得，即则直线AB方程，点P到直线AB的垂直距离最近，则垂足为C，因为，且，，，则直线PC方程为联立，解得游轮在水上沿旅游线航行时离景点最近的点的坐标为.19．（2022秋·上海闵行·高二闵行中学校考期中）已知直线.(1)若直线与直线垂直，且过点，求直线的方程；(2)若直线与直线平行，且过点，求直线的方程.【答案】(1)；(2)不存在.【分析】通过直线的位置关系，求解斜率，进而求解直线方程【详解