全国初中数学优质课一等奖《用配方法推导一元二次方程的求根公式》获奖教学设计

用配方法推导一元二次方程的求根公式课堂教学设计说明一、教学内容解析2022版新课标指出：理解配方法、能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程；能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等；了解一元二次方程根与系数的关系。一元二次方程的解法具有多样性和复杂性，需要针对不同的问题，选择不同的方法，简洁有效地完成方程的求解，这对培养学生数学思维的合理性、深刻性和灵活性，都具有重要的作用。我认为引导学生自主推导一元二次方程求根公式是十分必要的，因为所有的一元二次方程都可以用配方法求解，所以这是一个通法，有规律可循．如果我们不抽象、概括出一个数学模型，那么每次都要做重复性的工作。抽象、概括正是数学学习留给学生的数学思维品质和方法．求根公式的推导运用了配方法，其基本思想是降次，通过配方法转化为可直接开平方的形式，推导过程中还涉及分类讨论、化归的数学思想。另外推导求根公式的教育价值也是突出的。在本课教学设计中我将教学内容定位为运用从一般到特殊的研究问题的方法，引导学生类比于数字系数的一元二次方程自主探索一元二次方程的求根公式。在对公式进行推导时加强推理的严谨性，发展学生的逻辑思维能力同时注重学生对基本数学思想——分类讨论、化归的思想的理解。基于教学内容特殊的地位和作用，本节课的教学重点确定为：一元二次方程求根公式的推导及其简单运用。二、教学目标设置对教学内容的重新整合和思考，我将本节课的教学目标设置为：1.利用配方法解一元二次方程为基础，推导并掌握一元二次方程的求根公式。会运用求根公式进行求解一元二次方程简单的计算。2.经历由配方法推导求根公式公式的推导、表述的过程，体验“从特殊到一般”的研究问题的方法，体会转化、分类、类比的数学思想。3.培养学生数学推理的严密性和逻辑性以及主动探究的精神与积极参与的意识。感受公式的对称美、简洁美。让学生敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功体验，有学好数学的自信心；并能培养学生良好的个性品质，包括“大胆猜想，勇于探索，合理表达”的创新精神。三、教学问题诊断分析1.对于ax2+bx+c=0（a≠0)配方法配成（x+b2a）2而则需要先将一般式两边先乘以4后，再进行配方。这里体现了配方的形式不唯一性，但是解相同。也就是说，一般式不同的方程解可以相同。此处注意引导学生思考问题的全面性和灵活性，培养学生的发散思维。2.（x+b3.（x+b2a4.在求根公式进行深入理解时，学生考虑不全面。分步骤运用公式法（1）首先确定a，b，c的值。是指要求化成一般式后再确定。但一般是不唯一，常用较为简洁的形式。它向我们展现了数学的简洁美。（2）计算，由此判断方程是否有根。（3）当有根时，运用求根公式x=综上所述，确定本节课的教学难点是公式的推导。四、教学支持条件分析1.教学方法的选择本节课我将采用“启发—探究式”及“合作交流学习”的教学方法，由初中学生的心理特点确定自主探索式的学习方式。2.教学情境的设计一元二次方程公式的推导是通过配方的方式，所以本节课的导入情景是设计了用配方法解方程。所出示的题目用配方法解起来较为复杂，进而给学生抛出问题，有没有更简单的方法解这样的方程，导入新课。3.教学中的问题设计从直接开平方解一元二次方程出发，先提问形如的方程，解是什么情况的。又提问配方法解方程的步骤，最后追问你是否能用配方法求解的根？4.教具的设计和使用：计算机、投影。五、教学过程设计（一）创设情境，引入新课问题1.你能快速说出方程的解吗？问题2.用配方法解下面的方程：（1）6x2-7x+1=0（2）2x2-4x+3=0问题3.通过解上述两方程，你觉得配方法有哪些优势和不足？你发现了哪些问题？[设计意图]1.复习用配方法解数字系数的一元二次方程的相关知识，这为后续公式的分类讨论打下基础，同时引导学生经历总结归纳的过程。2.与公式法有实质性联系的内容是前一节所学的配方法，教师以此为新知识生长点呈现练习题：用配方法解上述两方程，既激活了学生头脑中与新知识密切相关的已有知识经验，又巩固了配方法。使学生认识到每一个数字系数的一元二次方程都可用配方法来求解，并且用配方法解具体一元二次方程的思路及步骤都相同，同时体验到配方法的局限性，即形如（1）的一元二次方程，一次项系数不是2的倍数或数字较大时配方运算较繁琐、用起来不方便。方程（2）配方后完全平方式为负数，原方程无实数根却花费时间配方，由此产生疑难和困惑，感悟到具体的配方法已经不够用了。（二）交流对话，探索新知1.公式的推导与发现问题3.能否有更简便和更一般的方法求一元二次方程的根？问题4.对一般形式的一元二次方程如何配方？你打算如何思考？能否类比前面的研究方法？请用配方法自主探索一元二次方程的求根公式。师生活动：学生自主探究，尝试推导。两名学生板演，教师巡视。[设计意图]1.在使学生体验到一般形式配方必要性的基础上，类比数字系数的一元二次方程的配方法，引导学生对一般形式进行配方；2.在学生未考虑判别式的符号直创设教学情境，引发数学命题学习的需求得到求根公式时，教师运用启发性提示语给予暗示，从而形成恰当程度的认知冲突，使学生产生了新的疑难和困惑，引发其深层思维和探索兴趣，并认识到对b2-4ac需要进行分类讨论。同时使求根公式由潜在发展水平转化为学生的现有发展水平，又为一元二次方程根的判别式与根的关系这一新的潜在发展水平做了铺垫，使学生进入新的最近发展区。2.公式的理解问题5.观察公式你有哪些发现，从数学的角度谈一谈？对今后解一元二次方程有什么帮助?师生活动：学生讨论交流，教师适时点拨。[设计意图]通过讨论加深对求根公式的理解，一元二次方程的根由方程的系数a，b，c确定，同时让学生进一步感受到数学公式、方法的简洁美和统一美。理解一元二次方程求根公式中各字母代表的意义及条件，把握公式的结构特征，突出数学问题的本质。（三）应用新知，体验公式1.试一试用求根公式解前面的方程：6x2-7x+1=0.[设计意图]回到情境中的练习，运用求根公式解方程6x2-7x+1=0，使学生体会到求根公式的优越性，感悟科学的研究方法是——发现问题、提出问题和解决问题。2.解一解（1）6y2+13y+6=0（2）5x+2=3x2（3）x(x-2)=5-8x思考：由以上解方程的过程，你能总结一下使用公式法解方程的步骤吗？[设计意图]1.使学生进一步体味求根公式的实质，并归纳用求根公式解一元二次方程的基本思路，即先化简为一元二次方程的标准形式再运用求根公式。2.概括出在用求根公式解一元二次方程时可先确定判别式的值再代入求根公式，从而丰富和优化学生的认知结构。.（四）梳理小结，盘点收获（1）回顾公式的探究推导过程，我们经历了怎样的思考过程？（2）公式法的优点是什么？（3）使用这个公式的步骤有哪些？建立开平方法、配方法与求根公式法的内在联系，使学生感悟化归思想和分类讨论思想。求根公式法配方法开平方法用公式时先考虑判别式的符号化归的目标为降次[设计意图]引导学生建立知识之间的内在联系，概括本节课的核心知识及运用的数学思想和研究方法，旨在使学生生成组织良好的数学认知结构网络。（五）延伸思考，提升层次编一编请每组尝试编出一两个一元二次方程，并探讨它的解法，然后大家评价一下看谁编出的题更具有数学味道，具有数学思维价值。（六）推荐作业，巩固拓展（1）基本作业：从课本习题中自选取6道题求解。（2）开放作业：选取一种方法练习推导求根公式。六、目标检测设计本节课我设计了两个层次的进行目标检测，第一层次：解方程（1）6y2+13y+6=0（2）5x+2=3x2（3）x(x-2)=5-8x[设计意图]强化学生运用公式法解一元二次方程。提示学生方程的未知数不一定都是x,这里的未知数就变成了y.同时运用公式法就要知道a,b,c的值，对于不是一般形式的一元二次方程要转化成一般形式的一元二次方程，从而确定a,b,c的值。同时强化学生运用公式进行计算的能力，并注意书写的规范性。本组三道题是通过小组竞赛的方式进行的，这样的设计既激发了学生的学习兴趣，又巩固当堂所学，课堂效果很好。第二层次：编一编请每组尝试编出一两个一元二次方程，并探讨它的解法，然后大家评价一下看谁编出的题更具有数学味道，具有数学思维价值。[设计意图]师生共同编题，使用了有效的激励手段，有的题目可以用多种方法来解，本活动具有归纳总结、承上启下的作用。《用配方法推导一元二次方程的求根公式》课例点评用配方法推导一元二次方程的求根公式是公式法解一元二次方程的必备知识，是本章基本内容之一。根据课标要求，本课例教师恰当地选择了“问题式”教学，突出体现了新课程所倡导的学习方式，在学习活动中学生不仅获得了知识技能、思想方法，还培养了学生学习的自信心。这样的设计既符合九年级学生的认知规律，又符合数学学科的特点。1.注重研究思路、研究方法的教学。学生通过类比用配方法解数字系数的一元二次方程的基本思路，知道研究配方法字母系数的一元二次方程的基本思路；通过对公式结构的探讨，既为公式的学习起到引领的作用，又为学生的学习积累了经验。在对配方法解法的复习，公式法的总结及公式的推导过程中，体会研究方程及数学通式通法的基本思路和基本方法。2.教学环节清晰，教学过程完整。整节课从思维递进的角度可分为五个环节：配方法解方程的基本步骤→推导公式的必要性→得出公式→欣赏公式→公式的应用。环节设计、层次安排，符合学生认知规律，环环相扣。教学环节清晰，层层递进其中，既有配方的技能培养，也有转化等基本数学思想的渗透，既有程序性知识的学习，也有化新问题为旧知识的策略方法的获得，使学生不但学会了用配方法推导一元二次方程求根公式，而且掌握了（感受到）一些探究新知的方法。3.关注数学思想、数学方法的教学。通过将一元二次方程一般形式配方求解，对字母部分的符号讨论，进一步提高学生的抽象概括能力和语言表达能力；通过将一元二次方程配方得到一元一次方程，进而求解，体会转化思想.4.教师认真钻研课标，研读教材内容。对教材的研究意义在于，它源于学习内容，又高于