卷9-2022年中考数学全真模拟卷（福建）·第三辑（试卷解析）

备战2022年中考数学【名校地市好题必刷】全真模拟卷（福建专用）

第九模拟

（本卷共25小题，满分150分，考试用时120分钟）

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求

的.

1.（2022•福建省厦门集美中学一模）有理数3,口2,0,口10中，最大的是（）

A.3B.02C.0D.D10

【答案】A

【解析】

【分析】

根据正数>0>负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此判断即可.

解：...|-a=2,|-10|=10,而2<10,

•••□10<IZI2<0<3,

・•.其中最大的是3

故选：A.

【点睛】

本题考查了有理数大小比较，熟记有理数大小比较方法是解答本题的关键.

2.（2022•福建省厦门集美中学一模）下列计算错误的是（）

A.a1-a-a5g（ah）~=a~b~C.—aD.—a+2a——2a2

【答案】D

【解析】

【分析】

根据募运算的法则、合并同类项的法则分析计算即可.

A、故正确；

B、故正确；

c、（"）故正确；

D、-a+2a=a,故错误；

故选：D.

【点睛】

本题考查事运算、合并同类项法则，熟练掌握基本的运算法则即可.

3.(2022•福建省厦门集美中学一模)如图：己知：。〃6，/1=80°,则心()

【答案】C

【解析】

【分析】

先利用平行线的性质得到42+43=180。，再利用对顶角相等得到Z1=X3=80。，然后利用互补计算出N2的度

数.

•.,川|6,

.•22+43=180。，

vzl=z3=80°,

.­.z2=180o-80°=100°.

故选C.

【点睛】

本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角

相等.

4.（2022・福建•龙岩莲东中学一模）下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.等腰三角形B.矩形C.平行四边形D.正五边形

【答案】B

【解析】

【分析】

根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180。，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形

叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对

称图形对各选项进行判断即可.

解：•••等腰三角形，正五边形均为轴对称图形，但不是中心对称图形；平行四边形是中心对称图形，但不

是轴对称图形；

故A,C,D不符合题意；

矩形既是轴对称图形又是中心对称图形

故B符合题意；

故选B.

【点睛】

本题考查了轴对称图形与中心对称图形.解题的关键在于熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的定义.

5.（2022・福建・龙岩莲东中学一模）已知一元二次方程/+叙-3=0,下列配方正确的是（）

22

A（X+2）=3B.（X-2）2=3C.（X+2）?=7D（X-2）=7

【答案】C

【解析】

【分析】

先把方程常数项移到右边，两边加上4配方得到结果，即可做出判断.

解：X2+4X-3=0,

方程移项得：x2+4x=3,

配方得：/+41+4=7,

即（x+2）2=7,

故选：C.

【点睛】

此题考查了解一元二次方程-配方法，利用此方法解方程时，首先将方程常数项移到右边，未知移到左边,

二次项系数化为1,然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个

非负常数，开方即可求出解.

6.(2022•福建・龙岩莲东中学一模)把函数y=2N的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位

长度得到新函数的图象，则新函数的表达式是()

A.尸2(x+3)2D2B.y=2(xD3)2D2

C.y=2(x+3)2+2D.y=2(xD3)2+2

【答案】A

【解析】

【分析】

根据二次函数图象平移的规律：左加右减，上加下减，进行求解即可.

解：由题意知，y=平移后的函数解析式为N=2(x+3)--2,

故选A.

【点睛】

本题考查了函数图象的平移.解题的关键在于掌握平移的规律.

7.(2022・福建・龙岩莲东中学一模)如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则sin4CAB等于

()

A.2B.5C.5D.2

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意和图形，可以得到ZC、8c和的长，然后根据等面积法可以求得CO的长，从而可以得到

sinNC/8的值.

解：CDLAB,交4B于点D,

由图可得,

22

4C=6+3?=M,BC=2,AB=V3+3=3V2(

ABCDBCx3

3五xCD2x3

-2-=r,

解得，CD=五,

CDV2_75

■,.sinZC/15=/°5,

故选：B.

【点睛】

本题主要考查三角函数，构造出直角三角形是解题的关键.

6

8.（2022・福建•龙岩莲东中学一模）已知反比例函数产=*,下列结论正确的是（）

A.图象在第二、四象限

B.图象与夕轴的交点为（0,6）

C.图象经过点（3,2）

D.函数值y随x的增大而减小

【答案】C

【解析】

【分析】

6

y=-

由X可知，函数图象在第一、三象限，与坐标轴无交点，在第一或第三象限中函数值y随x的增大而

减小，可判断A、B、D的正误，将x=3代入中得'=3=2,可知反比例函数的图象经过（3,2）,进

而可判断C的正误.

6

y=~

解：由X可知，函数图象在第一、三象限，与坐标轴无交点，在第一或第三象限中函数值夕随X的增

大而减小

故A、B、D错误，不符合题意；

_66

y=—=2

将x=3代入x中得.3

・••反比例函数的图象经过

故C正确，符合题意：

故选C.

【点睛】

本题考查了反比例函数的图象与性质.解题的关键在于熟练掌握反比例函数的图象与性质.

9.（2022•福建宁德•一模）如图，是。。的弦，点C在过点8的切线上，OC1OA,OC交于点

P.若乙BPC=70。，则乙48c的度数等于（）

A.75°B.70°C.65°D.60°

【答案】B

【解析】

【分析】

先利用对顶角相等和互余得到乙4=20。，再利用等腰三角形的性质得到4084=乙1=20。，然后根据切线的

性质得到OBLBC,从而利用互余计算出乙18c的度数.

解：••,0ULO4,

■■^OC=90°,

,：UPO=LBPC=70°,

山=90°□70°=20°,

■：OA=OB,

■■■^OBA=^A=20°,

・••8C为。。的切线，

.­.OBLBC,

••zO8C=90。，

.•48C=90°20°=70°.

故选：B.

【点睛】

此题主要考查切线的综合性质应用，解题的关键是熟知切线的性质、三角形的内角和定理.

y=—x-3

10.（2022•福建省厦门集美中学一模）如图，在平面直角坐标系中，直线.4分别与x轴、y轴相交

于点/、B,/E、尸分别是正方形。/C£＞的边O。、ZC上的动点，且。E=/尸，过原点。作

垂足为4,连接“4、HB,贝面积的最大值为（）

13+5近

A.6+5&B.12C.6+3X/2D.2

【答案】D

【解析】

【分析】

先证明CW=CN,再证点，在以ON直径的圆上运动，则当点，在的延长线上时，点，到48的距离

最大，由相似三角形的性质可求MK,KQ的长，由三角形的面积公式可求解.

解：如下图，连接力。，交EF于N,连接OC,取ON的中点〃，连接过点M作MQU8于Q,交

4。于点K,作A//UO/与点尸，

3

「直线尸4苫-3分别与x轴、y轴相交于点4、B,

••点A(4,0),点8(0,-3),

.♦.08=3,04=4,

...加=履+a=力6+9=5,

•••四边形/8。是正方形，

.■■OD//AC,AO=AC=OD=4,OC=4叵,Z.COA=45°,

:/EDNsNAF,5EN=UFN,

又；DE=AF,

:.ADEN三AAFNCASA),

：.DN=AN,EN=NF,

•••点N是ND的中点，即点N是OC的中点，

：.ON=NC=2四,

■：OHLEF,

；/OHN=9Q°,

.•.点”在以ON直径的圆上运动，

二当点H在的延长线上时，点”到的距离最大,

♦.•点〃是ON的中点，

：.OM=MN=6,

,:MPLOP,"04=45°,

：.OP=MP=T,

•:乙OAB+乙OBA=90°=乙OAB+UKQ,

^Z.AKQ=Z.ABO=/-MKP,

又♦:乙4OB=^MPK=90。,

:.4MPK〜^AOB,

W_PK_依

..•石一乐一为，

【二竺二/

.-.4"T"T,

53

・・・MK=4,PK=4,

9

・・/K=4,

・&KQ=UBO,乙OAB=^KAQ,

•••△4KQ-△力80,

AK_KQ

・..而一丽，

9

A3

・・.5一3,

27

・・・K0=20,

527B

：.QM=KQ+MK=4+20=5,

13

.・.点”到AB的最大距离为5+V2,

11313+5&

面积的最大值=5x5x（5+3尸2,

故选：D.

【点睛】

本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的

应用，圆等知识，解题的关犍是求出的长.

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.

11.（2022•福建省厦门集美中学一模）将150000用科学记数法表示为.

【答案】15x105

【解析】

【分析】

科学记数法的表示形式为“X10”的形式，其中14同“°,〃为整数.确定〃的值时，要看把原数变成。

时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于1°时，〃是正数；当

原数的绝对值小于1时，〃是负数.

解：150000=1.5x10s,

故答案为：L5xl0[

【点睛】

此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为10"的形式，其中"同<1°,〃为整数，

表示时关键要正确确定a的值以及〃的值.

12.（2022•福建・福州华伦中学一模）从长分别为1,2,3,4的四条线段中，任意选取三条线段，能组成

三角形的概率是.

【答案】4

【解析】

【分析】

共有四种情况：1,2,3；1,2,4；1,3,4；2,3,4,其中构成三角形的只有一种2,3,4,由概率公

式即可得出答案.

解：从1,2,3,4四条线段中任选三条，共有四种情况1,2,3；1,2,4;1,3,4；2,3,4,其中构

成三角形的只有一种2,3,4,

1_

•・•能组成三角形的概率是兄

故答案为：4.

【点睛】

本题考查了构成三角形的条件，列举法以及概率公式，熟练掌握构成三角形的条件是解题的关键.

13.（2022•福建省厦门集美中学一模）一次函数V=（1-2A）X+3,V随x增大而减小，则％.

1

〉一

【答案】2##>o.5

【解析】

【分析】

直接利用一次函数的增减性解答即可.

解：对于一次函数y=（J2幻X+3,

•••'随X增大而减小，

k＞-

解得2,

1

故答案是：＞2.

【点睛】

本题考查了一次函数了二丘+'（""°）的增减性：当涉°时，y随x的增大而增大；当氏＜0时，F随x的增

大而减小.

14.（2022•福建・福州华伦中学一模）如图，在aABC中，4c=90。，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平

分NBAC,若DE=1,则BC的长是.

【答案】3

【解析】

【分析】

根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD,再根据等边对等角的性质求出4DAB

=NB,然后根据角平分线的定义与直角三角形两锐角互余求出NB=30。，再根据直角三角形30。角所对的

直角边等于斜边的一半求出BD,然后求解即可.

解：「AD平分ZBAC,且DE1AB,Z.C=90°,

：.CD=DE=1,

•••DE是AB的垂直平分线，

・,.AD=BD,

.,.z.B=zDAB,

vzDAB=zCAD,

.-.ZCAD=ZDAB=ZB,

vzC=90°,

••ZCAD+NDAB+NB=90°,

.zB=30。，

..BD=2DE=2,

••・BC=BD+CD=1+2=3,

故答案为3.

【点睛】

本题考查了角平分线的定义和性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，直角三角形

30。角所对的直角边等于斜边的一半的性质，属于基础题，熟记性质是解题的关键.

k

15.(2022・福建・福州华伦中学一模)在平面直角坐标系xOy中，直线y=x与双曲线y=x(k>0,x>0)交于

点A.过点A作ACLc轴于点C,过双曲线上另一点B作BD，x轴于点D,作BE1AC于点E,连接

AB.若OD=3OC,贝UtanNABE=.

【答案】3

【解析】

【分析】

a

由直线y=x过点A,可设A(a,a),根据反比例函数图象上点的坐标特征以及已知条件得到B(3a,3

).然后解直角AABE,根据正切函数的定义即可求出tan/ABE的值.

解：如图.：直线y=x过点A,

二可设A(a.a),

•••AClx轴于点C,BDlx轴于点D,OD=3OC,

••.B点横坐标为3a.

・••双曲线y=x(k>0,x>0)过点A、点B,

_a

.,.B点纵坐标为3a3,

a

•••B(3a,3).

a_2a

在直角4ABE中，■.•ZAEB=9O°,BE=3a-a=2a,AE=a-§3,

2a

-A-E=—y=一1

•••tanZ.ABE=BE2a3,

1

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解直角三角形，锐角三角函数的定义，难度适中.设A

(a,a),用含a的代数式表示出B点坐标是解题的关键.

16.(2022・福建・莆田擢英中学一模)二次函数+反+c(a,h,。是常数，存0)的图象如图所示，对

称轴为直线x=Dl.有以下结论：①a6c>0；②a(N+2)2+b(F+2)<a(F+l)2+b(N+l)(左为实

数)；③加(am+b)<a(机为实数)；④c<「3a；⑤aN+bx+c+l=0有两个不相等的实数根.其中正确的

【答案】①②③④⑤

【解析】

【分析】

根据抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断①；根据函数的增减性可判断②；由抛物

线开口方向及对称轴可得x=Ul时y最大，从而判断③；由对称轴可得b=2a,由x=Ll时y〈0可判断

④；根据函数尸加+bx+c与尸।1的图象有两个交点可判断⑤.

解：•••抛物线开口向下，与夕轴交点在v轴正半轴，

c>0,

又•・•对称轴是直线%=n1,

:.b=2a<Q

''-abc>0,故①正确；

・•对称轴是直线》=口1,抛物线开口向下，

.•.当x>CH时.7随x的增大而减小，

・"是实数，

：.k2+2>k2+\>^\,

：.a(1+2)2+b(F+2)+c<aCk2+\)2+h(*2+l)+c,

即a(N+2)2+b(R+2)<a(AH)2+b(^+1))故②正确；

••・抛物线开口向下，顶点坐标为(口1,aJb+c)

­•y展大=aLJZ>+c=Lla+c,

■'-am2+bm+c<[Ja+c,

即m(.a+b)<1a,

故③正确；

由图象知，x=l时，y<0,

■■a+b+c<0,

•■•b=2a,

■'-3a+c<0,

■-c<3a,故④正确；

根据图象可知，函数^="2+笈+。与、=口1的图象有两个交点，

：.ax2+bx+c+\—0有两个不相等的实数根，

故⑤正确，

故答案为：①②③④⑤.

【点睛】

本题主要考查了二次函数图像的性质，解题的关健在于能够熟练掌握二次函数图像的性质.

三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(a+2a-\].a-4

17.(2022•福建南平•二模)先化简，再求值：〔/-2aa2-4a+4)'a,其中a=^+2.

1

【答案】("-2)一，5

【解析】

【分析】

先算括号内的减法，把除法变成乘法，化简后代入。的值，即可求出答案.

a+2

I---------a-\I----a-

解：原式=。("2)("2)2a-4

[(4+2)m-2)_a(a-l)a

L22

=a(a-2)--a(a-2)a^4

a2-4a2-aa

=a(a-2)2-a(a-2)2~a^4

2A•)

a-4-a~+tza

2

=a(a-2)a-4

a-4a

2

=a(a-2)a-4

当"石+2时，原式=(逐+2-2『5

【点睛】

本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键.

18.(2022•福建•莆田擢英中学一模)求证：全等三角形对应边上的中线相等.

己知：如图，△N8C0△H8'C',和47y分别是“8C和VHBC的中线.

求证：AD=AD.

【答案】见解析.

【解析】

【分析】

根据△48C丝△H8'C'得到Z8=N8'，AB=AB,8c=8'C',再根据中线性质证明8£)=8Z>',进一步可

证明四A'B'D\SAS]

证明：,:八ABCm公A'B'C',

...Z5=Z5',AB=AB,BC=B'C,

"AD和A'D'分别是M8C和V48&的中线，

2,2,

BD=B'D',

在A4BD和AAB'D'中，

AB=A'B'

<NB=ZB'

BD=B'D'

f

.△ABDgAB'D\SAS)

・・.AD=AD.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定及性质，中线的性质.解题的关键是熟练掌握三角形的判定定理和性质.

x-l>0

<11

-----]t<一

19.(2022•福建•莆田哲理中学一模)解不等式组：22,并写出它的所有整数解.

【答案】1女<4,整数解为1,2,3.

【解析】

【分析】

分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可求出整数解.

'x-l>0©

X-111

-----[<—②

解：[22

由①得：x>\,

由②得：x<4,

•••不等式组的解集为1。<4,

则不等式组的整数解为1，2,3.

【点睛】

本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键.

20.（2022•福建•将乐县水南中学一模）如图，一船以20nmile/h的速度向东航行，在4处测得灯塔C在北

偏东53。方向上，继续航行lh到达B处，再测得灯塔C在北偏东27。方向上.已知灯塔C四周10nmile内

有暗礁，问这船继续向东航行，是否安全？

4991

sin53°«0.8,cos53°竽0.6tan530®—sin27°«—cos27°®—tan27°«—

（参考数据：320102）

c

【答案】安全

【解析】

【分析】

过。作CDU8于点。，设CZKmmile,在Rt&4CD中表示出工。的长，在RtASCZ）中表示出8。的长,

根据AD-BAAB列方程求解即可.

解：过点C作CD1/8,垂足为。.如图所示，

由题意得，448=53°,48cz)=27°,^B=20xl=20nmile,

在RtzMCZ)中，

4

-x

^Z）=tanZ^CZ）xCD-3.

在RtZiBC。中，

1

-x

BD=tan乙BCDxCg2.

,：AD・BD=AB,

41

一X-A

...3.2=20,

解得x=24,

v24>10,

这艘船继续向东航行安全.

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键.

21.（2022・福建・测试学校五一模）如图，在矩形488中，点E、尸分别是450CD的中点，连接EF.

A,-------------------------------------------,D

E--------------------------------------------F

B'-------------------------------------------'C

（1）尺规作图：在工。上求作点使得点力关于BM的对称点G恰好落在线段叱上（不写作法，保留作

图痕迹）：

⑵在（1）的条件下，求sinZ/IBM的值.

【答案】（1）见解析

\_

⑵万

【解析】

【分析】

（1）以点B为圆心，加长为半径画弧交E尸于点G,连接/G,作/G的垂直平分线交/。于点〃即可;

（2）在（1）的条件下，求的值.

⑴

解：如图，点M即为所求;

⑵

由（1）知：B历是/G的垂直平分线，

AB=GB,

EF垂直平分AB,

GA=GB,

GA—GB-AB,

.•.A/1BG是等边三角形，

NABG=60°,

:.ZABM=-ZABG=30°

2,

sinZ.ABM=sin300=—

2.

【点睛】

本题考查了作图-轴对称变换，矩形的性质，解直角三角形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质.

22.（2022・福建・测试学校五一模）2022年翻开序章，冬奥集结号已吹响，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥

会吉祥物“雪容融”深受人民喜爱.2021年十一月初，奥林匹克官方旗舰店上架了“冰墩墩”和“雪容融”两款

毛绒玩具，当月售出了“冰墩墩”200个和“雪容融”100个，销售总额为32000元.十二月售出了“冰墩

墩”300个和“雪容融”200个，销售总额为52000元.

⑴求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价；

（2）已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分别为90元/个和60元/个.进入2022年一月后，这两款毛绒玩具持续

热销，于是旗舰店再购进了这两款毛绒玩具共600个，其中“雪容融”的数量不超过“冰墩墩”数量的2倍，

且购进总价不超过43200元.为回馈新老客户，旗舰店决定对“冰墩墩”降价10%后再销售，若一月份购进

的这两款毛绒玩具全部售出，贝『冰墩墩''购进多少个时该旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润.

【答案】(1)“冰墩墩”销售单价为120元，“雪容融”的销售单价为80元；

(2)“冰墩墩”购进200个时该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为11600元.

【解析】

【分析】

(1)设“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别为x,y元，根据题意列二元一次方程组求解即可；

(2)设购进“冰墩墩7个，则购进“雪容融”(600-〃)个，列出不等式组，求出。的取值范围，根据一次函数

的性质求解即可.

(1)

设“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别为x,y元，

根据题意得，

(200x4-100^=32000k=120

[300x4-200^=52000解得]y=80

答：“冰墩墩”销售单价为120元，“雪容融”的销售单价为80元

⑵

设购进“冰墩墩Z个，则购进“雪容融”(600-“)个，

J600-a<2a

则(90a+60(600-a)<43200,解得200<a<240

设一月份利润为w,则卬=(120-120x10%-90)。+(80-60)(600-a)=-2a+12000

v-2<0,

二当a取最小值时，w取最大值.

200<a<240,

...a=200时，卬的最大值为12000-400=11600(元).

冰墩墩”购进200个时该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为11600元.

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题

意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答.

23.(2022•福建三明•一模)为监控某条生产线上产品的质量，检测员每个相同时间抽取一件产品，并测量

其尺寸，在一天的抽检结束后，检测员将测得的个数据按从小到大的顺序整理成如下表格：

编号①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭⑮

尺寸

8.728.888.928.938.948.968.978.98a9.039.049.069.079.08b

(cm)

按照生产标准，产品等次规定如下:

尺寸(单位：cm)产品等次

8.97<x<9,03特等品

8.95<x<9.05优等品

8.90<x<9,10合格品

x<8.90或x>9.10非合格品

注：在统计优等品个数时，将特等品计算在内；在统计合格品个数时，将优等品(含特等品)仅算在内.

(1)已知此次抽检的合格率为80%,请判断编号为⑮的产品是否为合格品，并说明理由

(2)已知此次抽检出的优等品尺寸的中位数为9cm.

(i)求a的值，

(ii)将这些优等品分成两组，一组尺寸大于9cm,另一组尺寸不大于9cm,从这两组中各随机抽取1件

进行复检，求抽到的2件产品都是特等品的概率.

4

【答案】(1)不合格，见解析；(2)(i)a=9.02,(ii)9.

【解析】

【分析】

(1)判断出非合格品有3个，其中①②是非合格品，即可确定⑮是非合格品；

(2)(i)判断出符合优等品尺寸的编号是⑥〜⑪，根据中位数是9可得正中间两个数据的平均数是9,可

求出a的值；

(ii)优等品尺寸大于9cm的有⑨⑩⑪，小于9cm的有⑥⑦⑧，其中特等品为⑦⑧⑨⑩，画树状图即

可.

解：(1)不合格.因为15'80%=12,不合格的有15-12=3个，给出的数据只有①②两个不合格：

8.98+a八

------=9

(2)(i)优等品有⑥~⑪，中位数在⑧8.98,⑨a之间，2，解得a=9.02

(ii)大于9cm的有⑨⑩⑪，小于9cm的有⑥⑦®,其中特等品为⑦⑧⑨⑩

画树状图为：

⑧

—

⑨⑩。⑨⑩⑪⑨⑩⑪

VVVV

共有九种等可能的情况，其中抽到两种产品都是特等品的情况有4种，

4

抽到两种产品都是特等品的概率P=9

【点睛】

本题主要考查了中位数、树状图或列表法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

24.(2022•福建宁德•一模)如图所示，将矩形纸片/8CD折叠，使得顶点4与边上的动点尸重合(点

P不与C、。重合)，MV为折痕，点A/、N分别在边BC、AD1..连接NA/、MP.AP,其中，AP与MN

相交于点G。。过点M、C、P.

图1图3

(1)求证：^AFN三想DP；

(2)若求证：为等腰直角三角形；

(3)随着点P的运动，若。。与相切于点又与/。相切于点儿且/8=4,求。。的直径.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)00的直径为5.

【解析】

【分析】

(1)根据折叠的性质及相似三角形的判定可得结论；

(2)由矩形的性质得出Z_5=NC=90。，由折叠的性质得出由HL证明出再由

全等三角形的性质可得结论；

(3)连接〃。并延长交于J,根据折叠的性质知：垂直平分ZP,可得：AM=PM,为的切

线，可得：Z.AMP=Z.CMP+Z^4MB=90°,又可得：4CMP=4BAM,Zfi=zC=90°,可证：

△ABMmAMCP,MC=AB,BM=CP,由/。为。。的切线，可得：OJLAD,故：JHWCP,

△MOJMMPC,设的长为x,RiJPC=AB-x,0J=2PC,可求出。。的半径，在小△MCP

中，运用勾股定理可将的长求出，即可得出。的长，然后根据勾股定理可得答案.

(1)

证明：由折叠的性质可得：4AFN=LPFN=9Q°,

•••四边形/8CQ是矩形，

.■■AD=90°=^AFN,

•:乙DAP=cDAP,

：・AAFN〜AADP；

(2)

证明：・・•四边形48CO是矩形，

•,・43=4。=90。，

由折叠的性质可得：AM=MP,

,:AB=CM,

:.RtAABM空RtAMCP(HL),

：.£MAB=(PMC,

Z.BAM+^.BMA=90°,

・•・乙0A/C+46M4=90。，

・4/必户=90。，

・•.A4M尸是等腰直角三角形；

(3)

解：・・・z〃是。。的切线，

山M7^90。，

.zCMP+N4M8=90。，

-^BAM+Z^MB=90°,

:•乙CMP=(BAM,

由折叠的性质得：MN垂直平分4P,

'-MA=MP,

vz^=zC=90°,

:.△ABMEAMCP(AAS),

・・・MC=4B=4,

设尸O=x,则C尸=4・x,

：,BM=PC=4-x,

连接“。并延长交8C于J,如图2所示:

图2

・・・/。是。。的切线，

山HD=90。,

；.HDCJ为矩形,

••OJWCP,

:.XMQJFMPC,

：・OhCP=MO：MP=l：2,

j_

AOJ=2(4-X),

,J_

OH=^MP=4-OJ=^(4+x),

-MC2=MP2-CP2,

:.(4+x)2-(4-x)2=16,

解得：x=l,即尸。=1,

・・・PC=3,

2222

:・MP=>JCP+CM=V3+4=5,即oo的直径为5.

【点睛】

此题考查的是折叠的性质，相似三角形的判定与性质、圆的有关性质、勾股定理、矩形的性质、全等三角

形的判定与性质，正确作出辅助线是解决此题的关键.

25.（2022•福建宁德•一模）己知抛物线丫="2+瓜+0交x轴于48两点（点A在点B的左边），交y轴于

点C.顶点为。（-1,4）,且OC=3,尸为第一象限抛物线上的一点.

y——x+Z

⑵如图1,抛物线的对称轴交x轴于点N,过点尸的直线4交对称轴于点0,若PQ=QN,求，的

值；

（3）如图2,连接/C,点E在第二象限的抛物线上，且㈤C=NP/C,设点P、E的横坐标分别为“，”，

求证：（"7-1）0-1）为定值.

【答案】⑴N=f2-2x+3；

5751

⑵42.

（3）见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据顶点坐标，设抛物线解析式为'="（"+1）-+4,根据℃=3,可得°（°，3）,待定系数求解析式

即可；

（2）设直线）一不+,交x轴于点S,分别过点P，°作'J轴的平行线交于点"，设「（〃5"-2"+3）,

+t|cosZ.PSB==cosPQM=—y=—x+t

则I4A根据TS5,可得方程①，根据点p在直线,4