第四单元多边形的面积（预习学案） 2023-2024学年数学五年级上册 北师大版（图片版无答案）

/第四单元多边形的面积（预习学案）一、学习目标1.理解多边形的定义，掌握多边形的基本性质。2.学会计算三角形的面积，并能熟练运用。3.学会计算四边形的面积，并能熟练运用。4.学会计算梯形的面积，并能熟练运用。5.学会计算其他多边形的面积，并能熟练运用。二、学习重点与难点1.学习重点：掌握多边形的基本性质，学会计算三角形、四边形、梯形等多边形的面积。2.学习难点：理解多边形面积公式的推导过程，熟练运用公式计算多边形的面积。三、学习内容1.多边形的定义及性质（1）多边形的定义：多边形是由若干条线段依次首尾相接围成的封闭平面图形。（2）多边形的基本性质：①多边形有且仅有两条平行边。②多边形的内角和公式：（n-2）×180°，其中n为多边形的边数。③多边形的外角和为360°。2.三角形的面积（1）三角形面积公式：S=1/2×底×高（2）三角形面积公式的推导过程：①等腰三角形：将等腰三角形沿底边的中线翻折，使其与原图形重合，得到一个平行四边形。②直角三角形：将直角三角形沿斜边翻折，使其与原图形重合，得到一个矩形。③一般三角形：将一般三角形分割成两个直角三角形，分别计算面积后相加。3.四边形的面积（1）矩形面积公式：S=长×宽（2）平行四边形面积公式：S=底×高（3）菱形面积公式：S=1/2×对角线1×对角线24.梯形的面积（1）梯形面积公式：S=1/2×(上底下底)×高（2）梯形面积公式的推导过程：①将梯形分割成两个三角形和一个矩形，分别计算面积后相加。②利用梯形的中位线，将梯形转化为平行四边形，计算面积。5.其他多边形的面积（1）正五边形、正六边形等正多边形的面积：通过分割成若干个三角形，计算面积后相加。（2）圆环、扇形等组合图形的面积：通过分割成若干个基本图形，计算面积后相加。四、学习方法1.预习课本内容，理解多边形的定义及性质。2.学习三角形、四边形、梯形等多边形的面积公式，并掌握推导过程。3.通过例题和练习题，熟练运用多边形面积公式计算面积。4.学会分析复杂多边形的构成，将其分割成基本图形，计算面积。五、学习评价1.能否理解多边形的定义及性质？2.能否熟练运用三角形、四边形、梯形等多边形的面积公式？3.能否分析复杂多边形的构成，计算面积？4.能否通过例题和练习题，巩固多边形面积的计算方法？六、课后作业1.计算以下多边形的面积：（1）一个三角形，底为10cm，高为6cm。（2）一个矩形，长为8cm，宽为5cm。（3）一个平行四边形，底为12cm，高为7cm。（4）一个梯形，上底为5cm，下底为10cm，高为8cm。2.画出一个正五边形和一个正六边形，计算它们的面积。3.画出一个圆环和一个扇形，计算它们的面积。4.总结多边形面积的计算方法，用自己的话描述。5.预习下一节课的内容：多边形的体积。在以上的预习学案中，需要特别关注的是多边形面积公式的推导过程，因为这是理解和运用公式计算面积的关键。以下将详细补充和说明三角形、四边形、梯形等多边形面积公式的推导过程。1.三角形面积的推导三角形面积公式的推导可以从等腰三角形、直角三角形和一般三角形三种情况进行。（1）等腰三角形：考虑一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，D是底边BC的中点。将三角形ABC沿AD翻折，使其与三角形ABD重合，形成平行四边形ABDC。由于AD是BC的中线，所以AD=BC。平行四边形ABDC的面积是底乘以高，即S平行四边形ABDC=AD×AC。而三角形ABC的面积是平行四边形ABDC面积的一半，因此S三角形ABC=1/2×AD×AC=1/2×BC×AC。（2）直角三角形：考虑一个直角三角形ABC，其中∠C是直角，BC和AC是直角边，AB是斜边。将三角形ABC沿斜边AB翻折，使其与三角形ABC重合，形成矩形ACBE。矩形的面积是长乘以宽，即S矩形ACBE=AC×BC。而三角形ABC的面积是矩形ACBE面积的一半，因此S三角形ABC=1/2×AC×BC。（3）一般三角形：考虑一个一般三角形ABC，通过点A作高AD垂直于BC，交BC于点D。三角形ABC可以分割成两个直角三角形ABD和ACD。根据直角三角形的面积公式，S三角形ABD=1/2×AB×AD，S三角形ACD=1/2×AC×AD。因此，S三角形ABC=S三角形ABDS三角形ACD=1/2×AB×AD1/2×AC×AD=1/2×(ABAC)×AD=1/2×BC×AD。2.四边形面积的推导四边形中，矩形、平行四边形和菱形的面积公式推导较为简单。（1）矩形：矩形的面积公式是S=长×宽。这是因为矩形的对边平行且相等，所以可以将矩形看作是一系列相等宽度的矩形条拼接而成，每个矩形条的面积就是宽×高。（2）平行四边形：平行四边形的面积公式是S=底×高。这是因为平行四边形可以看作是一个矩形沿着一条高剪开并平移得到的，所以面积不变。（3）菱形：菱形的面积公式是S=1/2×对角线1×对角线2。这是因为菱形可以看作是两个相等的三角形拼接而成，每个三角形的底是菱形的一条对角线，高是另一条对角线的一半。3.梯形面积的推导梯形面积的推导可以通过分割法和梯形的中位线两种方法进行。（1）分割法：考虑一个梯形ABCD，其中AB和CD是平行边，AD和BC是非平行边。通过点E作高，将梯形分割成两个三角形和一个矩形。三角形ABE和CDE的面积分别是S三角形ABE=1/2×AB×AE，S三角形CDE=1/2×CD×DE。矩形的面积是S矩形BCFE=BC×EF。因此，S梯形ABCD=S三角形ABES矩形BCFES三角形CDE=1/2×AB×AEBC×EF1/2×CD×DE。由于AE=DE（高），所以S梯形ABCD=1/2×(ABCD)×AE=1/2×(ABCD)×EF。（2）中位线法：考虑一个梯形ABCD，其中AB和CD是平行边，M是AB和CD的中点，MN是梯形的中位线。梯形可以看作是由两个三角形ABM和CDM拼接而成，每个三角形的底是梯形的一条平行边，高是中位线的长度。因此，S梯形ABCD=S三角形ABMS三角形CDM=1/2×AB×MN1/2×CD×MN=1/2×(ABCD)×MN。通过以上推导，我们可以看到多边形面积公式的推导过程是基于几何图形的性质和构造进行的。理解这些推导过程有助于学生更好地掌握面积公式的应用，并在解决实际问题时能够灵活运用。在理解了三角形、四边形和梯形面积公式的推导过程后，我们可以进一步探讨其他多边形面积的求解方法，以及如何将这些知识应用于解决实际问题。4.其他多边形面积的推导（1）正多边形：正多边形的面积计算通常需要将其分割成若干个三角形。例如，正五边形可以分割成五个等腰三角形，每个三角形的底是正五边形的一边，高可以通过作垂线找到。正六边形可以分割成六个等边三角形，每个三角形的面积可以通过公式S=1/2×边×高计算。对于其他正多边形，可以采用类似的方法进行分割和计算。（2）圆环和扇形：圆环可以看作是一个大圆和一个小圆组成的组合图形，其面积可以通过大圆的面积减去小圆的面积得到。扇形的面积是圆心角所对的圆弧与两条半径所围成的部分，其面积可以通过公式S=1/2×半径²×圆心角（弧度制）计算。5.应用多边形面积公式解决实际问题在实际问题中，多边形面积的计算往往需要先确定多边形的尺寸，然后选择合适的面积公式进行计算。以下是一些常见的实际问题：（1）土地测量：在农业或建筑行业中，需要计算不规则地块的面积。这通常涉及到将地块分割成多个三角形、四边形或梯形，然后分别计算每个部分的面积，最后将这些面积相加得到总面积。（2）房屋装修：在家庭装修中，计算地板或墙壁的面积是常见的需求。这些面积可以通过测量长度和宽度，然后应用矩形或平行四边形的面积公式来计算。（3）园林设计：在园林设计中，设计师可能需要计算不同形状的花坛或水塘的面积。这可以通过将不规则的多边形分割成基本形状，然后计算每个部分的面积来实现