专题8.1 直线与圆综合【八大题型】（举一反三）（新高考专用）（解析版）2024年高考数学二轮复习

第第页专题8.1直线与圆综合【八大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1直线方程、倾斜角与斜率的求解】 3【题型2直线的平行与垂直问题】 5【题型3圆的方程的求解】 7【题型4圆的切线长与切线方程问题】 8【题型5圆的弦长与中点弦问题】 11【题型6直线与圆有关的最值问题】 13【题型7两圆的公共弦问题】 16【题型8两圆的公切线长、公切线方程或条数问题】 181、直线与圆综合直线与圆是高考的热点内容.从近几年的高考情况来看，直线的方程、点到直线的距离公式、圆的方程等多以选择题、填空题的形式出现，难度不大；直线与圆结合命题时，主要考察直线与圆的位置关系、圆的弦长等，多以选择题或填空题的形式考查；有时也会出现在压轴题的位置，此时多与导数、圆锥曲线相结合，难度较大，需要学会灵活求解.【知识点1平行和垂直的直线的设法】1.平行的直线的设法平行：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Ax+By+m=0.2.垂直的直线的设法垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0.【知识点2距离公式】1．两点间的距离公式平面内两点间的距离公式为.

特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=.2．点到直线的距离公式(1)定义：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.

(2)公式：已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=.3．两条平行直线间的距离公式(1)定义

两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.

(2)公式

设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=.【知识点3直线与圆相交时的弦长求法】1.圆的弦长的求法：设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种：

(1)几何法

如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：.(2)代数法

将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B.

①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.

②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式.【知识点4圆的切线及切线方程问题】1.自一点引圆的切线的条数：

(1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；

(2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；

(3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.

2.求过圆上的一点的圆的切线方程：

(1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程.(2)重要结论：①经过圆上一点P的切线方程为.

②经过圆上一点P的切线方程为.

③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为.【知识点5两圆的公切线问题】1.两圆公切线的定义

两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线.

2.两圆的公切线位置的5种情况①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线；

②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线；

③相交时，有2条公切线，都是外公切线；

④内切时，有1条公切线；

⑤内含时，无公切线.

判断两圆公切线的条数，实质就是判断两圆的位置关系.

3.求两圆公切线方程的方法

求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法，设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在.【题型1直线方程、倾斜角与斜率的求解】【例1】（2023·安徽合肥·三模）已知直线l的一个方向向量为p=sinπ3,cosπ3，则直线l的倾斜角为（

）A．π6 B．π3 C．2π【解题思路】由方向向量的坐标得出直线的斜率，再求倾斜角即可.【解答过程】由题意可得：直线l的斜率k=cosπ3sinπ故选：A.

【变式1-1】（2023·山西太原·模拟预测）已知点A(2,3)，B(−3,−2)与直线l:kx−y−k+1=0，且直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为（

）A．k≥2或k≤34 B．k≥34或k≤−14【解题思路】直线l经过定点M(1,1)，求得MA、MB的斜率，再数形结合可得直线l的斜率k的取值范围.【解答过程】解：已知点A(2,3)，B(−3,−2)与直线l:kx−y−k+1=0，且直线l与线段AB相交，直线l:kx−y−k+1=0，即直线l:k(x−1)−y+1=0，它经过定点M(1,1)，MA的斜率为3−12−1=2，MB的斜率为则直线l的斜率k的取值范围为k≥2或k≤3故选：A.【变式1-2】（2023·广东珠海·模拟预测）过点P−1,2且与直线x+2y+3=0垂直的直线方程是（

A．x−2y+5=0 B．x+2y−3=0C．2x−y+4=0 D．2x+y=0【解题思路】求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.【解答过程】直线x+2y+3=0的斜率为−12，故所求直线的斜率为所以，过点P−1,2且与直线x+2y+3=0垂直的直线方程是y−2=2即2x−y+4=0.故选：C.【变式1-3】（2023·吉林·模拟预测）△ABC中，A3,2，B1,1，C2,3，则ABA．2x+y−7=0 B．2x−y−1=0C．x+2y−8=0 D．x−2y+4=0【解题思路】设AB边上的高所在的直线为l，求出直线l的斜率，代入点斜式方程，整理即可得出答案.【解答过程】设AB边上的高所在的直线为l，由已知可得，kAB=1−21−3=又l过C2,3，所以l的方程为y−3=−2整理可得，2x+y−7=0.故选：A.【题型2直线的平行与垂直问题】【例2】（2023·安徽蚌埠·三模）已知直线l 1：ax+2y+1=0，l 2：3−ax−y+a=0，则条件“a=1A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不必要也不充分条件【解题思路】根据两直线垂直的性质，可得3−a×−a【解答过程】若l1⊥l解得a=1或a=2.故a=1是l1故选：B.【变式2-1】（2023·上海松江·二模）已知直线l1:ax+y+1=0与直线l2:x+ay−2=0，则“l1A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【解题思路】由l1//l【解答过程】由题意，直线l1:ax+y+1=0，直线因为l1//l2，可得a×a=1×1,a≠−2，即所以“l1//l故选：B.【变式2-2】（2023·贵州毕节·模拟预测）直线l1:x+1+ay=1−aa∈RA．∃a∈R，使得l1∥l2C．∀a∈R，l1与l2都相交 D．∃a∈【解题思路】对A，要使l1∥l2，则对B，要使l1⊥l2，对C，当a=1时，l1与l对D，根据点到直线距离列方程即可判断.【解答过程】对A，要使l1∥l2，则k1∥k2，所以对B，要使l1⊥l2，k1对C，l1:x+1+ay=1−a过定点2,−1，该定点在l2上，但是当a=1对D，d=Ax0+By0+C故选：B.【变式2-3】（2023·贵州毕节·模拟预测）直线l1:x+1+a①∃a∈R，使得l1//l2；

③∀a∈R，l1与l2都相交；

④∃a∈R，使得原点到其中正确的是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．①④【解题思路】利用两直线平行可得出关于a的等式与不等式，解之可判断①；利用两直线垂直可求得实数a的值，可判断②；取a=1可判断③；利用点到直线的距离公式可判断④.【解答过程】对于①，若l1//l对于②，若l1⊥l2，则对于③，当a=1时，直线l1的方程为x+2y=0，即y=−12x，此时，对于④，直线l1的方程为x+若∃a∈R，使得原点到l1的距离为2，则a−11+a+1Δ=100−4×3×7>0，方程3故选：C.【题型3圆的方程的求解】【例3】（2023·全国·模拟预测）函数f(x)=x2−5x+4的图像与坐标轴交于点A，B，C，则过A，B，C三点的圆的方程为【解题思路】用圆的标准方程即可求解.【解答过程】函数f(x)=x2−5x+4的图像与坐标轴的交点分别为A(1,0)，B(4,0)则线段AC的垂直平分线为y−2=14x−12所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为52,5所以所求圆的方程为x−5故答案为：x−5【变式3-1】（2023·云南昆明·模拟预测）已知圆C上的点A2,0关于直线x+3y−6=0的对称点仍然在这个圆上，且圆C的圆心在x轴上，则圆C的标准方程是(x−6)2【解题思路】由题意可知直线x+3y−6=0过圆心，进而求圆心和半径，即可得圆的方程.【解答过程】由题意可知直线x+3y−6=0过圆心，且直线x+3y−6=0与x轴的交点为(6,0)，则C(6,0)，可得r=CA=4，所以圆C的标准方程是故答案为：(x−6)2【变式3-2】（2023·广东揭阳·模拟预测）写出一个经过原点，截y轴所得弦长是截x轴所得弦长2倍的圆的标准方程为(x−1)2+(y−2)【解题思路】设出圆截x轴所得弦的端点坐标，求出圆心坐标，再求出圆的标准方程作答.【解答过程】显然圆截x轴、y轴所得弦的一个端点为O(0,0)，设圆截x轴所得弦的另一端点为A(a,0),a≠0，则该圆截y轴所得弦的另一端点为B(0,2a)或B(0,−2a)，因此该圆的圆心C(a2,a)或C(所以该圆的标准方程为(x−a2)取a=2，得圆的一个标准方程为(x−1)2故答案为：(x−1)2【变式3-3】（2023·陕西安康·模拟预测）已知抛物线y=x2+2x−3的顶点为P，与坐标轴交于A,B,C三点，则过四点A,B,C,P中的三点的一个圆的标准方程为【解题思路】由抛物下方程求得P、A、B、C四点坐标，任取三点代入圆的一般方程计算并化简为标准方程即可.【解答过程】令y=0，则x2解得x1=1,x令x=0，得y=−3，则C0,−3；抛物线的顶点设所求圆的方程为x2当圆过A,B,C三点时，1+D+F=09−3D+F=0所以圆的方程为x2当圆过B,C,P三点时，17−D−4E+F=09−3D+F=0所以圆的方程为x2当圆过A,B,P三点时，1+D+F=09−3D+F=0所以圆的程为x2当圆过A,C,P三点时，1+D+F=017−D−4E+F=0当圆过A,C,P三点方程为x2故答案为：(x+1)2+【题型4圆的切线长与切线方程问题】【例4】（2023·浙江·模拟预测）已知圆O:x2+y2=4和点A4,4，由圆外一点P向圆O引切线，切点分别为MA．724 B．722 C．【解题思路】设Px,y，利用OP2=OM2【解答过程】设Px,y，连接OM，则OM⊥PM，可得OM所以OP2即4+x−42+所以OP=当x=94时，故选：C.【变式4-1】（2023·北京通州·三模）过直线y=x上的一点P作圆x−52+y−12=2的两条切线l1，l2，切点分别为A,B，当直线l1，A．4 B．22 C．6 【解题思路】根据题意画出图形，观察图形可知圆心与点P的连线垂直于直线y=x，利用这一关系即可得到切线的长.【解答过程】如图所示，圆心为C(5,1)，连接CP，

因为直线l1，l2关于y=x对称，所以CP垂直于直线故CP=5−12所以PA=故选：C.【变式4-2】（22-23高三上·河北沧州·阶段练习）已知圆O:x2+y2=4,Mx0,y0为圆O上位于第一象限的一点，过点MA．x+y−22=0 C．x+y−42=0 【解题思路】利用过圆上点的切线的性质可得OM⊥l，利用点Mx0,【解答过程】由题意，点M在第一象限，故过点M的的切线l斜率存在；点Mx0,y∵故直线l的方程为：y−令x=0,y=4x当l的横纵截距相等时，4又x解得：x即2x+2故选：A.【变式4-3】（2023·全国·模拟预测）已知点P在圆C:x−a2+y2=a2a>0．上，点A0,2，若PAA．x=0或7x+24y−48=0 B．x=0或7x−24y−48=0C．x=1或24x−7y−48=0 D．x=1或24x+7y−48=0【解题思路】首先得到圆心坐标与半径，根据PA的最小值为1，得到方程求出a的值，即可求出圆的方程，再分斜率存在与不存在两种情况，分别求出切线方程，即可得解.【解答过程】由圆C方程可得圆心为Ca,0，半径r=a，因为PA的最小值为1，所以a解得a=32，故圆若过点A0,2设切线方程为y=kx+2，则32k−0+21+所以切线方程为y=−724x+2若过点A0,2的切线斜率不存在，由圆C方程可得，圆C过坐标原点0,0，所以切线方程为x=0综上，过点A且与圆C相切的直线方程为x=0或7x+24y−48=0．故选：A.【题型5圆的弦长与中点弦问题】【例5】（2023·广东广州·模拟预测）直线l:y=kx−2与圆C:x2+y2−6x−7=0交于A，A．7,4 B．27,8 C．3【解题思路】求得直线恒过的定点，找出弦长取得最值的状态，即可求出AB的取值范围.【解答过程】由题易知直线l:y=kx−2恒过M0,−2圆C:x2+即圆心为C3,0，半径r=4圆心到M0,−2距离CM所以M0,−2在圆C则直线l与圆C交点弦AB最大值为直径即8，AB最小时即为圆心到直线距离最大，即CM⊥l时，此时AB=2所以AB的取值范围为23故选：D.【变式5-1】（2023·河北衡水·模拟预测）已知直线l:y=3x与圆C:x2+y2−4y=0相交于A．105 B．65 C．2【解题思路】求出圆心和半径，由垂径定理得到|AB|，从而求出△ABC的面积.【解答过程】圆C的方程为x2+(y−2)2=4点C到线段AB的距离为d=|3×0−2|故|AB|=2r∴△ABC的面积S=1故选：B.【变式5-2】（2023·陕西·一模）已知圆C：x2+y2−4x+8y=0关于直线3x−2ay−22=0对称，则圆CA．25 B．5 C．10 D．【解题思路】圆C：x2+y2−4x+8y=0关于直线3x−2ay−22=0【解答过程】圆方程配方得x−22+y+42=20∵圆C：x2+y∴可知直线过圆心C2,−4，即3×2+8a−22=0，解得a=2故a2则圆心与点1,−1的距离的平方为10，则圆C中以1,−1为中点的弦长为22故选：D.【变式5-3】（2023·全国·模拟预测）如图，已知过点P1,2的两条直线分别与圆E：x2+y2−4x−6y+12=0交于点A，B和点C，D，且A，C在B，D的右侧，A．835 B．435 C．【解题思路】解法一：作辅助线，求出圆心到弦的距离及PC，PD，根据三角形相似得到FC及GD，即可得结果；解法二：根据等腰梯形中位线定理得到AC+BD=2MN，求【解答过程】解法一：由题意可知：圆E：x−22+y−3连接PE，则PE=2，取CD的中点设直线PE分别与AC，BD交于点F，G，连接EN，因为AB=CD，可知直线PA,PC关于直线结合圆的对称性可得：EN⊥PC，PF⊥AC，GP⊥BD，可得EN=1−5所以PC=30+又因为△PCF∽△PDG，则PCPE=FC可得FC=23所以AC+解法二：由题意可得：圆E：x−22+y−3连接PE，则PE=设AB，CD的中点分别为M，N，连接MN，因为AB=CD，可知直线PA,PC关于直线结合圆的对称性可得：AC∥BD，则AC+连接EN，则EN⊥PC，所以EN=1−5则sin∠PEN=PNPE所以AC+故选：A.

【题型6直线与圆有关的最值问题】【例6】（23-24高三上·河北沧州·阶段练习）已知点P是直线l:3x+4y−2=0上的一个动点，过点P作圆C:(x+2)2+(y+3)2=12的两条切线PM,PN，其中A．120° B．90° C．60° D．150°【解题思路】根据直角三角形边与角的关系分析得到，当PC最小时，∠MPN最大，再根据当PC⊥l时，PC最小即可求解.【解答过程】要使得∠MPN最大，则PC最小，PC的最小值即为圆心C到直线的距离．由题意知，PM=PN，sin∠CPM=CMPC所以∠MPN最大时，PC最小．由题意知，|PC|所以sin∠CPM=23即∠MPN的最大值为2×60故选：A．【变式6-1】（2023·全国·模拟预测）已知点A是直线l:2x+y+4=0上任意一点，过点A作圆C:(x−2)2+(y−1)2=1的两条切线，切点坐标分别为M，A．2199 B．4199 C．【解题思路】由S四边形AMCN=2S△AMC，S四边形AMCN=S△AMN+【解答过程】易知当|MN|最小时，MN不经过点C，此时S四边形S四边形由①②可得|AM|=12×|AC|×|MN|所以当|AC|最小时，MN最小，又因为点A是直线l:2x+y+4=0上任意一点，所以当AC⊥l时，|AC|取得最小值，且|AC|所以|MN|故选：B．【变式6-2】（2023·湖北武汉·模拟预测）已知直线l:x+y−3=0上的两点A,B，且AB=1，点P为圆D:x2+yA．2+1 B．22+2 C．2【解题思路】找到圆上的点到直线距离的最大值作为△PAB的高，再由面积公式求解即可.【解答过程】把圆D:x2+则圆心D−1,0，半径r=2圆心D到直线l:x+y−3=0的距离d=1+3则圆D上的点到直线AB的距离的最大值为d+r=22+2，又∴△PAB的面积的最大值为12故选：A．【变式6-3】（2023·四川绵阳·模拟预测）已知EF是圆C:x2+y2−2x−4y+3=0的一条弦，且CE⊥CF，P是EF的中点，当弦EF在圆C上运动时，直线l:x−y−3=0上存在两点A，B，使得A．42−2 C．22−1 【解题思路】根据已知条件先确定出点P的轨迹方程，然后将问题转化为“以AB为直径的圆要包括圆(x−1)2+(y−2)2=1”，由此利用圆心C1,2到直线【解答过程】由题可知：⊙C:(x−1)2+(y−2)2又CE⊥CF，P是EF的中点，所以CP=1所以点P的轨迹方程(x−1)2+(y−2)2=1若直线l:x−y−3=0上存在两点A,B，使得∠APB≥π则以AB为直径的圆要包括圆(x−1)2点C1,2到直线l的距离为d=所以AB长度的最小值为2d+1故选：B．【题型7两圆的公共弦问题】【例7】（2023·河南·二模）若圆C1:x2+y2=1与圆A．2ax+by−1=0 B．2ax+by−3=0C．2ax+2by−1=0 D．2ax+2by−3=0【解题思路】将两圆方程相减得到直线AB的方程为a2+b2−2ax−2by=0【解答过程】将两圆方程相减可得直线AB的方程为a2即2ax+2by−a因为圆C1的圆心为(0,0)，半径为1，且公共弦AB的长为1则C1(0,0)到直线2ax+2by−a所以a2+b所以直线AB的方程为2ax+2by−3=0，故选：D.【变式7-1】（2023·山西·模拟预测）已知圆C1:x2+(y−2)2=5和C2A．3 B．23 C．23 D．【解题思路】先求得相交弦所在直线方程，然后根据圆的弦长的求法求得AB.【解答过程】将x2+(y−2)2=5点(0,2)到直线x+y=0的距离d=2所以|AB|=25−2故选：B.【变式7-2】（2023·安徽滁州·模拟预测）已知圆O1:x2+y2=1与圆O2A．1 B．3 C．5或1 D．5【解题思路】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，后由垂径定理结合圆O2【解答过程】x2+y2=1圆O2方程可化为O2:x−12+y+12=2−F，可得圆心O21,−1，半弦长为22，则有3−F222+222故选：D.

【变式7-3】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）圆O1:x2+y2−2x=0和圆A．公共弦AB所在直线的方程为x−y=0B．公共弦AB所在直线的方程为x+y−1=0C．公共弦AB的长为2D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值不是【解题思路】AB选项，两圆方程相减得到公共弦AB所在直线的方程；C选项，求出圆心O11,0到x−y=0的距离，进而由垂径定理求出公共弦AB的长；D选项，P到直线AB距离的最大值为圆心O1到AB【解答过程】AB选项，两圆方程相减得到4x−4y=0，即x−y=0，故公共弦AB所在直线的方程为x−y=0，A正确，B错误；C选项，O1:x则圆心O11,0到x−y=0的距离为故有垂径定理得公共弦AB的长为21D选项，P为圆O1则P到直线AB距离的最大值为圆心O1到AB距离加上圆O即22故选：A.【题型8两圆的公切线长、公切线方程或条数问题】【例8】（2023·河南·模拟预测）已知直线l:xcosα+ysinα=10≤α≤2π与圆A．2 B．3 C．4 D．5【解题思路】根据点到直线的距离公式和两圆位置关系即可求解.【解答过程】由已知直线l:xcos则原点到直线l的距离为1sin由直线l与圆C:x−2则满足条件的直线l即为圆x2+y因为圆x2+y所以这两个圆有两条外公切线和一条内公切线，所以满足条件的直线l有3条．故选:B．【变式8-1】（2023·内蒙古赤峰·模拟预测）下列直线中，不是圆x2+y2=1A．y=−34x+C．y=512x−【解题思路】根据斜率存在与不存在两种情况讨论，斜率存在时设y=kx+m，根据圆心到直线的距离等于半径列方程求解.【解答过程】当直线的斜率不存在时，设为x=m，若直线是圆x2+y则满足m−0=1m−3所以直线x=−1是圆x当直线的斜率存在时，设直线方程为y=kx+m若直线是圆x2+y则满足mk2+1=1即3k−42−2m所以k=724m=−2524或综上：切线方程有y=724x−25故选：C.【变式8-2】（2023·山西·模拟预测）已知圆C1：x2+y−a2=a2a>0的圆心到直线x−y−2=0的距离为2A．0条 B．1条 C．2条 D．3条【解题思路】先根据题意求得a=2，从而得到两圆的圆心和半径，进而求得圆心距等于两半径的差，得知两圆内切，即可知道公切线只有1条.【解答过程】圆C1：x2+y−a2所以圆心到直线x−y−2=0的距离为d=0−a−212+1因为a>0，所以a=2.所以圆C1：x2+y−22圆C2：x2+圆心坐标为C21,2，半径圆心距d=0−1所以两圆的公切线只有1条.故选：B．【变式8-3】（2023·广西北海·一模）已知圆C1：x−32+y+42=1与C2A．−∞,0∪C．0,4 D．−【解题思路】根据两圆有4条公切线，得到两圆外离，然后根据外离列不等式，解不等式即可得a的取值范围.【解答过程】因为圆C1：x−32+y+42=1与C2：x−a2+y−a+32=9恰好有4条公切线，所以圆C1故选：D.1．（2023·全国·高考真题）已知实数x,y满足x2+y2−4x−2y−4=0A．1+322 B．4 C．【解题思路】法一：令x−y=k，利用判别式法即可；法二：通过整理得x−22+y−1【解答过程】法一：令x−y=k，则x=k+y，代入原式化简得2y因为存在实数y，则Δ≥0，即2k−6化简得k2−2k−17≤0，解得故x−y的最大值是32法二：x2+y令x=3cosθ+2，y=3sin则x−y=3cos∵θ∈0,2π，所以θ+π4∈π4,9π法三：由x2+y设x−y=k，则圆心到直线x−y=k的距离d=|2−1−k|解得1−3故选：C.2．（2023·全国·高考真题）过点0,−2与圆x2+y2−4x−1=0相切的两条直线的夹角为αA．1 B．154 C．104 【解题思路】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得k2【解答过程】方法一：因为x2+y2−4x−1=0，即x−2过点P0,−2作圆C的切线，切点为A,B因为PC=22可得sin∠APC=则sin∠APB=cos∠APB=即∠APB为钝角，所以sinα=法二：圆x2+y2−4x−1=0过点P0,−2作圆C的切线，切点为A,B，连接AB可得PC=22因为PA且∠ACB=π−∠APB，则即3−cos∠APB=5+5cos即∠APB为钝角，则cosα=且α为锐角，所以sinα=方法三：圆x2+y2−4x−1=0若切线斜率不存在，则切线方程为x=0，则圆心到切点的距离d=2>r，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为y=kx−2，即kx−y−2=0，则2k−2k2+1=设两切线斜率分别为k1,k可得k1所以tanα=k1−k则sin2且α∈0,π，则sinα>0故选：B.

3．（2022·北京·高考真题）若直线2x+y−1=0是圆(x−a)2+y2=1A．12 B．−12 C．1【解题思路】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．【解答过程】由题可知圆心为a,0，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2a+0−1=0，解得a=1故选：A．4．（2021·全国·高考真题）已知点P在圆x−52+y−52=16上，点AA．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2C．当∠PBA最小时，PBD．当∠PBA最大时，PB【解题思路】计算出圆心到直线AB的距离，可得出点P到直线AB的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.【解答过程】圆x−52+y−52=16直线AB的方程为x4+y圆心M到直线AB的距离为5+2×5−41所以，点P到直线AB的距离的最小值为1155−4<2如下图所示：当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP、BM，可知PM⊥PB，BM=0−52+2−5故选：ACD.5．（2023·全国·高考真题）已知直线l:x−my+1=0与⊙C:x−12+y2=4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为85”的m的一个值【解题思路】根据直线与圆的位置关系，求出弦长AB，以及点C到直线AB的距离，结合面积公式即可解出．【解答过程】设点C到直线AB的距离为d，由弦长公式得AB=2所以S△ABC=12×d×2由d=1+11+m2=21+m2故答案为：2（2,−2,16．（2022·天津·高考真题）若直线x−y+m=0m>0与圆x−12+y−12=3相交所得的弦长为m【解题思路】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于m的等式，即可解得m的值.【解答过程】圆x−12+y−12=3圆心到直线x−y+m=0m>0的距离为1−1+m由勾股定理可得m22+m2故答案为：2.7．（2022·全国·高考真题）设点A(−2,3),B(0,a)，若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点，则a【解题思路】首先求出点A关于y=a对称点A′的坐标，即可得到直线l【解答过程】解：A−2,3关于y=a对称的点的坐标为A′−2,2a−3，B所以A′B所在直线即为直线l，所以直线l为y=a−3圆C:x+32+y+22依题意圆心到直线l的距离d=−3即5−5a2≤a−32+故答案为：138．（2022·全国·高考真题）设点M在直线2x+y−1=0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为(x−1)2+【解题思路】设出点M的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在⊙M上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【解答过程】[方法一]：三点共圆∵点M在直线2x+y−1=0上，∴设点M为(a,1−2a)，又因为点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴(a−3)2a2−6a+9+4a∴M(1,−1)，R=5⊙M的方程为(x−1)2故答案为：(x−1)[方法二]：圆的几何性质由题可知，M是以（3，0）