第05讲 空间向量及其应用 高频考点-精练（解析版）备战2024年高考数学一轮复习精讲精练（艺考生基础版）

第第页第05讲空间向量及其应用(精练）A夯实基础一、单选题1．（2022·河南省实验中学高二阶段练习）设向量不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】对于A，设，则，即，该方程组无解，故A符合题意；对于B，设，则，即，解得，故B不符合题意；对于C，设，则，即，解得，故C不符合题意；对于D，设，则，即，解得，故D不符合题意；故选：A.2．（2022·吉林·长春外国语学校高二阶段练习）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（

）A． B． C． D．与斜交【答案】A【详解】由题意得：，则，.故选：A3．（2022·浙江·杭州四中高二期末）已知向量，，且与互相平行，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，，则，解得，故选：D4．（2022·河北保定·高二阶段练习）如图，在正三棱柱中，，E是的中点，F是的中点，若点G在直线上，且平面AEF，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】如图：以C为原点，CB，所在的直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系，则．由题可设，则．设平面AEF的法向量，则，令，则，得．由，得，则，，即．故选：A5．（2022·四川·棠湖中学高二阶段练习（理））如图，是正三角形所在平面外一点，，分别是和的中点，，且，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】不妨设，如图建立空间直角坐标系，则相关各点坐标为，，，，又，分别是和的中点，则，．所以，，所以，，因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以异面直线与所成角的余弦值为，故选：B.6．（2022·河南·鄢陵一中高二期中（理））如图，在四棱锥中，平面，，，，已知是边的中点，则与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．2【答案】A【详解】以为坐标原点，以，，的方向分别为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以.取平面的一个法向量为，则，即与平面所成角的正弦值为.故选：A.7．（2022·湖北·襄阳市襄州区第一高级中学高二阶段练习）已知平面的一个法向量为，点在平面内，若点到平面的距离，则（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【详解】由题意，所以，即，解得或．故选：C8．（2022·河南·高二阶段练习）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系.因为半正多面体的棱长为，故正方体的棱长为所以，.设，则.所以.令，则，因为，所以.故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为.故选：C二、多选题9．（2022·全国·高二课时练习）已知空间向量，，则下列正确的是（

）A． B． C． D．，【答案】AB【详解】向量，，，则A正确，，则B正确，，则C错误，，则D错误.故选：AB10．（2022·辽宁营口·高二开学考试）已知向量，，，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【详解】解：因为，，所以，所以，故A错误；因为，，所以，故B正确；因为，所以，故C正确；因为，，所以，所以，故D正确.故选：BCD三、填空题11．（2022·全国·高二课时练习）若向量，，其中，则的最小值为______．【答案】2【详解】因为,故当时，模长最小为2.故答案为：212．（2022·全国·高二专题练习）已知为平面的一个法向量，为直线的方向向量.若，则__________.【答案】##【详解】由于，所以.故答案为：四、解答题13．（2022·河南省叶县高级中学高二阶段练习）已知向量，．(1)求的值；(2)求向量与夹角的余弦值．【答案】(1)；(2).（1）∵，，∴，，∴；（2）设与的夹角为，则，，，，，∴，∴向量与夹角的余弦值为．14．（2022·湖北孝感·高二阶段练习）如图，已知是边长为的正三角形，，，分别是，，边的中点，将沿折起，使点到达如图所示的点的位置，为边的中点．(1)证明：平面．(2)若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)（1）证明：连接，，设与交于点，连接．因为，，分别是，，边的中点，所以且，则四边形为平行四边形，所以为的中点，因为为的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面．（2）取的中点，连接，，则，因为平面平面，平面平面，所以平面，，，两两垂直．如图所示，以为原点，以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，设平面的法向量为，则，即令，得．易知为平面的一个法向量，由，得平面与平面夹角的余弦值为．B能力提升15．（2022·云南·昆明市官渡区艺卓中学高二阶段练习）如图，线段PC、BC、DC两两垂直，AD∥BC，CB＝CD＝CP＝3AD＝3．点F为PA的中点，点E在CD上，且CE＝1．(1)求证：BE⊥CF；(2)求平面ADP与平面BPC夹角的余弦值．【答案】(1)证明过程见解析；(2)（1）以为坐标原点，分别以为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，由题意得：，则，所以，所以BE⊥CF；（2）平面的法向量为，设平面ADP的法向量为，则，解得：，不妨令，则，所以，则，设平面ADP与平面BPC夹角为，所以16．（2022·云南大理·模拟预测）如图，在正三棱柱中，底面边长为2，，D为的中点，点E在棱上，且，点P为线段上的动点．(1)求证：；(2)若直线与所成角的余弦值为，求平面和平面的夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)．（1）在矩形中，，D为的中点，所以，所以，因为是正三角形，D为的中点，所以，又因为是正三棱柱，所以平面，而平面，所以