人教版八年级数学下册尖子生培优必刷题专题三角形中位线定理的运用(原卷版+解析)

八年级下册数学《第十八章平行四边形》专题三角形中位线定理的运用题型一利用三角形中位线定理求线段长题型一利用三角形中位线定理求线段长【例题1】(2023秋•长沙期中）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F，G分别是AD，AE的中点，且FG＝2cm，则BC的长度是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【变式1-1】(2023秋•海淀区期中）如图，BD是△ABC的中线，E，F分别是BD，BC的中点，连接EF．若AD＝4，则EF的长为（）A．32 B．2 C．52【变式1-2】(2023秋•莲池区校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC于点D，BD=6，若E，F分别为AB，BC的中点，则EFA．2 B．62 C．63 【变式1-3】(2023春•巨野县校级月考）如图，在△ABC中，D是AB上一点，AE平分∠CAD，AE⊥CD于点E，点F是BC的中点，若AB＝10，AC＝6，则EF的长为（）A．4 B．3 C．2 D．1【变式1-4】(2023秋•南关区校级期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点，点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（）A．2 B．2.3 C．4 D．7【变式1-5】如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．若AB＝8，AD＝12，则四边形ENFM的周长为．【变式1-6】(2023春•海淀区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D和点E分别是AB，AC的中点，点F和点G分别在BA和CA的延长线上，若BC＝10，GF＝6，EF＝4，则GD的长为．【变式1-7】(2023春•本溪期末）如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，顺次连接EM，MF，FN，NE，若AB＝CD＝2，则四边形ENFM的周长是．【变式1-8】(2023春•雁塔区校级期末）如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若EF＝3，求DE的长．【变式1-9】如图，在△ABC中，AB＝12cm，AC＝8cm，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，求线段EF的长．题型二利用三角形中位线定理求角度题型二利用三角形中位线定理求角度【例题2】(2023秋•安岳县期末）如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，若∠CFE＝55°，则∠ADE的度数为（）A．65° B．60° C．55° D．50°【变式2-1】(2023秋•鼓楼区校级期末）如图，点M，N分别是△ABC的边AB，AC的中点，若∠A＝60°，∠B＝75°，则∠ANM＝．【变式2-2】(2023•永安市模拟）如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的平分线交DE于点F，若∠DFB＝32°，∠A＝75°，则∠AED＝．【变式2-3】(2023春•顺德区校级期中）如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC＝15，CD＝9，EF＝6，∠AFE＝50°，求∠ADC的度数．【变式2-4】(2023•九江二模）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，AC的中点，AB＝CD，∠EGF＝144°，则∠GEF的度数为．【变式2-5】(2023秋•新泰市期末）如图，四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，DC，AC的中点．若∠ACB＝64°，∠DAC＝22°，则∠EFG的度数为．【变式2-6】(2023春•鼓楼区期中）如图所示，在△ABC中，∠A＝40°，D，E分别在AB，AC上，BD＝CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q．求∠APQ的度数．题型三利用三角形中位线定理证明线段关系题型三利用三角形中位线定理证明线段关系【例题3】(2023秋•杜尔伯特县期末）如图，已知△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足是E，F是BC的中点．求证：BD＝2EF．【变式3-1】(2023春•秦都区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是边AB、AC上的点，连接BE、DE，∠ADE＝∠AED，点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点．求证：FG＝FH．【变式3-2】(2023秋•互助县期中）如图，已知AB＝AC，BD＝CD，DB⊥AB，DC⊥AC，且E、F、G、H分别为AB、AC、CD、BD的中点，求证：EH＝FG．【变式3-3】已知：如图，E为▱ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连接AE分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF．求证：AB＝2OF．【变式3-4】(2023春•崇川区校级月考）已知：如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点．求证：（1）DE∥FG；（2）DG和EF互相平分．【变式3-5】(2023春•富平县期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC＝BD，E、F分别是AB、CD的中点，E、F分别交BD、AC于点G、H，取BC边的中点M，连接EM、FM．求证：（1）△MEF是等腰三角形；（2）OG＝OH．【变式3-6】(2023春•瑶海区期末）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点（1）若DE＝2，则BC＝；若∠ACB＝70°，则∠AED＝°；（2）连接CD和BE交于点O，求证：CO＝2DO．【变式3-7】(2023春•虎丘区校级期中）如图，线段AM是∠CAB的角平分线，取BC中点N，连接AN，过点C作AM的垂线段CE垂足为E．（1）求证：EN∥AB．（2）若AC＝13，AB＝37，求EN的长度．题型四利用三角形中位线定理证明角关系题型四利用三角形中位线定理证明角关系【例题4】(2023春•莆田期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是边DC、AB的中点，FE的延长线分别AD、BC的延长线交于点H、G，求证：∠AHF＝∠BGF．【变式4-1】(2023春•西峰区校级月考）如图，四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，N、M分别是AB、CD的中点，求证：∠PMN＝∠PNM．【变式4-2】(2023春•歙县期中）如图，CD是△ABC的角平分线，AE⊥CD于E，F是AC的中点，（1）求证：EF∥BC；（2）猜想：∠B、∠DAE、∠EAC三个角之间的关系，并加以证明．【变式4-3】如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且BD＝CE，M、N分别是BE、CD的中点．过MN的直线交AB于P，交AC于Q，求证：∠QPA＝∠PQA．【变式4-4】一个对角线相等的四边形ABCD，E、F分别为AB，CD的中点，EF分别交对角线BD，AC于M，N，求证：∠OMN＝∠ONM．【变式4-5】(2023春•船营区校级月考）如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题．如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．求证：∠PMN＝∠PNM（1）在上边题目的条件下，延长图①中的线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F，如图②，请先完成图①的证明，再继续证明∠AEN＝∠F．（2）若（1）中的∠A+∠ABC＝122°，则∠F的大小为．题型五三角形中位线定理的综合应用题型五三角形中位线定理的综合应用【例题5】(2023秋•任城区期末）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点，若AB＝10，AC＝6，则EF的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【变式5-1】(2023春•綦江区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD＝16，AC＝30，E，F分别为AB，CD的中点，则EF＝（）A．15 B．.16 C．17 D．8【变式5-2】(2023春•沈北新区期末）如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，求证：AF=12【变式5-3】如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为．【变式5-4】(2023•罗湖区校级模拟）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC延长线上的一点，AD＝24，点E是BC上一点，BE＝10，连接DE，M、N分别是AB、DE的中点，则MN＝．【变式5-5】(2023春•香坊区校级期中）如图所示，在四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，AB＝20，CD＝12，∠B+∠C＝120°，则EF的长为．【变式5-6】(2023秋•张店区校级期末）已知：如图，在△ABC中，点D在AB上，BD＝AC，E、F、G分别是BC、AD、CD的中点，EF、CA的延长线相交于点H．求证：（1）∠CGE＝∠ACD+∠CAD；（2）AH＝AF．【变式5-7】如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF=12（AC﹣（2）如图2，请直接写出线段AB、AC、EF的数量关系．【变式5-8】（1）如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，连接FG．求证：FG=12（AB+BC+AC）．[提示：分别延长AF、AG与直线（2）如图2，若BD、CE分别是△ABC的内角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，连接FG．线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．【变式5-9】如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，则∠BME＝∠CNE（不必证明）（温馨提示：在图（1）中，连接BD，取BD的中点H，连接HE．HF，根据三角形中位线定理，证明HE＝HF，从而∠1＝∠2，再利用平行线的性质，可证明∠BME＝∠CNE）（1）如图（2），在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF，分别交CD．BA于点M．N，判断△OMN的形状，请直接写出结论．（2）如图（3）中，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB＝CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC＝60°，连接GD，判断△AGD形状并证明．八年级下册数学《第十八章平行四边形》专题三角形中位线定理的运用题型一利用三角形中位线定理求线段长题型一利用三角形中位线定理求线段长【例题1】(2023秋•长沙期中）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F，G分别是AD，AE的中点，且FG＝2cm，则BC的长度是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【分析】利用三角形中位线定理求得FG=12DE，DE=【解答】解：如图，∵△ADE中，F、G分别是AD、AE的中点，∴DE＝2FG＝4cm，∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝2DE＝8cm，故选：C．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．【变式1-1】(2023秋•海淀区期中）如图，BD是△ABC的中线，E，F分别是BD，BC的中点，连接EF．若AD＝4，则EF的长为（）A．32 B．2 C．52【分析】根据三角形的中线的概念求出DC，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵BD是△ABC的中线，AD＝4，∴DC＝AD＝4，∵E，F分别是BD，BC的中点，∴EF是△BCD的中位线，∴EF=12故选：B．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．【变式1-2】(2023秋•莲池区校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC于点D，BD=6，若E，F分别为AB，BC的中点，则EFA．2 B．62 C．63 【分析】先证明△ABD是等腰直角三角形，得到AD=BD=6，再由勾股定理解得AC=2【解答】解：∵∠B＝45°，AD⊥BC，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD=6∵∠C＝60°，∴∠DAC＝30°，∴DC=1∴AD=A即6=∴AC=22∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF=1故选：A．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，等腰直角三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，掌握相关知识是解题关键．【变式1-3】(2023春•巨野县校级月考）如图，在△ABC中，D是AB上一点，AE平分∠CAD，AE⊥CD于点E，点F是BC的中点，若AB＝10，AC＝6，则EF的长为（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据等腰三角形的判定得到AC＝AD，根据等腰三角形的性质得到CE＝DE，再根据三角形中位线定理解答即可．【解答】解：∵AE平分∠CAD，AE⊥CD，∴∠AEC＝∠AED＝90°，∠CAE＝∠DAE，∴∠ACE＝∠ADE，∴AC＝AD＝6，∵∠CAE＝∠DAE，∴CE＝DE，∵点F是BC的中点，∴CF＝BF，∴EF=1故选：C．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质与判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．【变式1-4】(2023秋•南关区校级期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点，点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（）A．2 B．2.3 C．4 D．7【分析】根据三角形的中位线定理得出EF=12DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，N与A重合时，DN最小，从而求得【解答】解：连接DN，∵ED＝EM，MF＝FN，∴EF=12∴DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小，∵N与B重合时DN最大，此时DN＝DB=A∴EF的最大值为6.5．∵∠A＝90°，AD＝5，∴DN≥5，∴EF≥2.5，∴EF长度的可能为4；故选：C．【点评】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．【变式1-5】如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．若AB＝8，AD＝12，则四边形ENFM的周长为．【分析】根据M是边AD的中点，得AM＝DM＝6，根据勾股定理得出BM＝CM＝10，再根据E、F分别是线段BM、CM的中点，即可得出EM＝FM＝5，再根据N是边BC的中点，得出EM＝FN，EN＝FM，从而得出四边形EN，FM的周长．【解答】解：∵M、N分别是边AD、BC的中点，AB＝8，AD＝12，∴AM＝DM＝6，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴BM＝CM＝10，∵E、F分别是线段BM、CM的中点，∴EM＝FM＝5，∴EN，FN都是△BCM的中位线，∴EN＝FN＝5，∴四边形ENFM的周长为5+5+5+5＝20，故答案为20．【点评】本题考查了三角形的中位线，勾股定理以及矩形的性质，是中考常见的题型，难度不大，比较容易理解．【变式1-6】(2023春•海淀区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D和点E分别是AB，AC的中点，点F和点G分别在BA和CA的延长线上，若BC＝10，GF＝6，EF＝4，则GD的长为．【分析】根据三角形中位线定理求出DE，再根据勾股定理计算即可．【解答】解：∵点D和点E分别是AB，AC的中点，BC＝10，∴DE=12在Rt△ADE中，AD2+AE2＝DE2＝25，同理可得，AF2+AE2＝EF2＝16，AG2+AF2＝GF2＝36，∴AD2+AG2＝25+36﹣16＝45，∴GD=AG2故答案为：35．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键．【变式1-7】(2023春•本溪期末）如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，顺次连接EM，MF，FN，NE，若AB＝CD＝2，则四边形ENFM的周长是．【分析】利用三角形中位线定理推知EN＝MF=12AB，EM＝NF=【解答】解：∵点E是AD的中点，点N是BD的中点，∴EN是△ABD的中位线，∴EN=12同理，MF、EM、NF分别是△ABC、△ADC、△BCD的中位线，∴EN＝MF=12AB＝1，EM＝NF=∴四边形ENFM的周长是：EN+MF+EM+NF＝4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．【变式1-8】(2023春•雁塔区校级期末）如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若EF＝3，求DE的长．【分析】先证明DE为△ABC的中位线，得到四边形BCFE为平行四边形，求出BC＝EF＝3，根据中位线定理即可求解．【解答】解：∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=12∴EF∥BC，∵CF∥BE，∴四边形BCFE为平行四边形，∴BC＝EF＝3，∴DE=12BC【点评】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形判定与性质，熟知三角形中位线定理是解题关键．【变式1-9】如图，在△ABC中，AB＝12cm，AC＝8cm，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，求线段EF的长．【分析】首先证明△AGF≌△ACF，则AG＝AC＝4，GF＝CF，证明EF是△BCG的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解．【解答】解：在△AGF和△ACF中，∠GAF=∠CAFAF=AF∴△AGF≌△ACF（ASA）．∴AG＝AC＝8，∴GF＝CF，则BG＝AB﹣AG＝12﹣8＝4（cm）．又∵BE＝CE，∴EF是△BCG的中位线．∴EF=12BG＝2答：EF的长为2cm，【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，正确证明GF＝CF是关键．题型二利用三角形中位线定理求角度题型二利用三角形中位线定理求角度【例题2】(2023秋•安岳县期末）如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，若∠CFE＝55°，则∠ADE的度数为（）A．65° B．60° C．55° D．50°【分析】根据三角形中位线定理得到EF∥AB，DF∥AC，再根据平行线的性质求出∠ADE．【解答】解：∵D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，∴EF∥AB，DF∥AC，∴∠B＝∠CFE＝55°，∵DF∥AC，∴∠ADE＝∠B＝55°，故选：C．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线平行于第三边是解题的关键．【变式2-1】(2023秋•鼓楼区校级期末）如图，点M，N分别是△ABC的边AB，AC的中点，若∠A＝60°，∠B＝75°，则∠ANM＝．【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，再根据三角形内角和定理得到MN∥BC，根据平行线的性质解答即可．【解答】解：在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝75°，则∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∵点M，N分别是△ABC的边AB，AC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴MN∥BC，∴∠ANM＝∠C＝45°，故答案为：45°．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、三角形内角和定理，掌握三角形的中位线平行于第三边是解题的关键．【变式2-2】(2023•永安市模拟）如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的平分线交DE于点F，若∠DFB＝32°，∠A＝75°，则∠AED＝．【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，根据平行线的性质得到∠FBC＝∠DFB＝32°，根据三角形的外角性质、三角形内角和定理计算，得到答案．【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴∠FBC＝∠DFB＝32°，∵BF是∠ABC的平分线，∴∠DBF＝∠FBC＝32°，∴∠ADE＝∠DBF+∠DFB＝64°，∴∠AED＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝180°﹣75°﹣64°＝41°，故答案为：41°．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、三角形的外角性质、角平分线的定义、平行线的性质，掌握三角形中位线平行于第三边是解题的关键．【变式2-3】(2023春•顺德区校级期中）如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC＝15，CD＝9，EF＝6，∠AFE＝50°，求∠ADC的度数．【分析】连接BD，根据三角形中位线定理得到EF∥BD，BD＝2EF＝12，根据平行线的性质求出∠ADB，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，计算即可．【解答】解：连接BD，∵点E、F分别是边AB、AD的中点，EF＝6，∴EF∥BD，BD＝2EF＝12，∴∠ADB＝∠AFE＝50°，在△BDC中，BD2+CD2＝122+92＝225，BC2＝225，则BD2+CD2＝BC2，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°+50°＝140°．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，熟记三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．【变式2-4】(2023•九江二模）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，AC的中点，AB＝CD，∠EGF＝144°，则∠GEF的度数为．【分析】根据三角形中位线定理得到EG=12CD，FG=12AB，进而证明EG＝FG，根据等腰三角形的性质得到∠【解答】解：∵点E，F，G分别是AD，BC，AC的中点，∴EG是△ACD的中位线，FG是△ACB的中位线，∴EG=12CD，FG=∵AB＝CD，∴EG＝FG，∴∠GEF＝∠GFE，∵∠EGF＝144°，∴∠GEF=1故答案为：18°．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．【变式2-5】(2023秋•新泰市期末）如图，四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，DC，AC的中点．若∠ACB＝64°，∠DAC＝22°，则∠EFG的度数为．【分析】根据三角形中位线定理和等腰三角形等边对等角的性质求解即可．【解答】解：∵AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，∴GF是△ACD的中位线，GE是△ACB的中位线．∴GF∥AD且GF=12AD，GE∥BC且GE=又∵AD＝BC，∴GF＝GE，∠FGC＝∠DAC＝22°，∠AGE＝∠ACB＝64°．∴∠EFG＝∠FEG．∵∠FGE＝∠FGC+∠EGC＝22°+（180°﹣64°）＝138°，∴∠EFG=12（180°﹣∠故答案是：21°．【点评】主要考查了中位线定理和等腰三角形两底角相等的性质，题目的难度不大．【变式2-6】(2023春•鼓楼区期中）如图所示，在△ABC中，∠A＝40°，D，E分别在AB，AC上，BD＝CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q．求∠APQ的度数．【分析】取BC的中点H，连接MH，NH，根据三角形中位线定理得到MH∥EC，MH=12EC．NH∥BD，NH=【解答】解：取BC的中点H，连接MH，NH，∵M，H为BE，BC的中点，∴MH∥EC，MH=12∵N，H为CD，BC的中点，∴NH∥BD，NH=12∵BD＝CE，∴MH＝NH．∴∠HMN＝∠HNM，∵MH∥EC，∴∠HMN＝∠PQA，同理，∠HNM＝∠QPA，∴∠APQ＝∠AQP=12×【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．题型三利用三角形中位线定理证明线段关系题型三利用三角形中位线定理证明线段关系【例题3】(2023秋•杜尔伯特县期末）如图，已知△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足是E，F是BC的中点．求证：BD＝2EF．【分析】根据等腰三角形的性质得到CE＝ED，根据三角形中位线定理证明结论．【解答】证明：∵AD＝AC，AE⊥CD，∴CE＝ED，∵F是BC的中点，∴EF是△CDB的中位线，∴BD＝2EF．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．【变式3-1】(2023春•秦都区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是边AB、AC上的点，连接BE、DE，∠ADE＝∠AED，点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点．求证：FG＝FH．【分析】根据等腰三角形的判定定理得到AD＝AE，根据线段的和差得到BD＝CE，根据三角形的中位线定理即可得到结论．【解答】证明：∵∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∵AB＝AC，∴AB﹣AD＝AC﹣AE，即BD＝CE，∵点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点，∴FG是△EDB的中位线，FH是△BCE的中位线，∴FG=12BD，FH=∴FG＝FH．【点评】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．【变式3-2】(2023秋•互助县期中）如图，已知AB＝AC，BD＝CD，DB⊥AB，DC⊥AC，且E、F、G、H分别为AB、AC、CD、BD的中点，求证：EH＝FG．【分析】连接AD，根据三角形中位线定理证明即可．【解答】证明：连接AD，∵E、H分别为AB、BD的中点，∴EH是△ABD的中位线，∴EH=12同理可得：FG=12∴EH＝FG．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．【变式3-3】已知：如图，E为▱ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连接AE分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF．求证：AB＝2OF．【分析】先证明△ABF≌△ECF得BF＝FC，再利用三角形中位线定理即可解决问题．【解答】证明：∵CE∥AB，∴∠E＝∠BAF，∠FCE＝∠FBA，又∵CE＝CD＝AB，∴△FCE≌△FBA（ASA），∴BF＝FC，∴F是BC的中点，∵O是AC的中点，∴OF是△CAB的中位线，∴AB＝2OF．【点评】本题考查三角形中位线定理、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，出现中点条件想到三角形中位线定理．【变式3-4】(2023春•崇川区校级月考）已知：如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点．求证：（1）DE∥FG；（2）DG和EF互相平分．【分析】（1）利用三角形中位线定理即可得出FG＝DE且FG∥DE；（2）由（1）中结论可推出四边形DFGE为平行四边形，即可根据平行四边形性质得DG和EF互相平分．【解答】证明：（1）由题意可知，在△ABC中，BE、CD为中线，∴AD＝BD，AE＝CE，∴DE=12BC且DE在△OBC中，F，G分别是OB，OC的中点，∴FG=12BC且FG∴DE∥FG；（2）由（1）得DE∥FG且DE＝FG=1∴四边形DFGE为平行四边形，∴DG和EF互相平分．【点评】本题考查三角形中位线定理以及平行四边形的判定与性质，正确利用三角形中位线定理是解题的关键．【变式3-5】(2023春•富平县期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC＝BD，E、F分别是AB、CD的中点，E、F分别交BD、AC于点G、H，取BC边的中点M，连接EM、FM．求证：（1）△MEF是等腰三角形；（2）OG＝OH．【分析】（1）根据三角形的中位线定理，即可证得△EMF是等腰三角形；（2）根据等边对等角，即可证得∠MEF＝∠MFE，然后根据平行线的性质证得∠OGH＝∠OHG，根据等角对等边即可证得．【解答】证明：（1）∵M、F分别是BC、CD的中点，∴MF∥BD，MF=12同理：ME∥AC，ME=12∵AC＝BD，∴ME＝MF，即△MEF是等腰三角形；（2）∵ME＝MF∴∠MEF＝∠MFE，∵MF∥BD，∴∠MFE＝∠OGH，同理，∠MEF＝∠OHG，∴∠OGH＝∠OHG∴OG＝OH．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的判定，证明△MEF为等腰三角形是解题关键．【变式3-6】(2023春•瑶海区期末）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点（1）若DE＝2，则BC＝；若∠ACB＝70°，则∠AED＝°；（2）连接CD和BE交于点O，求证：CO＝2DO．【分析】（1根据三角形中位线定理即可得到结论；（2）根据三角形中位线定理和平行四边形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】（1）解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是三角形的中位线，∴BC＝2DE＝4，DE∥BC，∴∠AED＝∠ACB＝70°，故答案为：4，70；（2）取BO、CO中点G、H；则GH∥BC，GH=12∵DE∥BC，DE=12∴DE∥GH，DE＝GH，∴四边形DGHE为平行四边形，∴DO＝OH＝HC，即CO＝2DO．【点评】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．【变式3-7】(2023春•虎丘区校级期中）如图，线段AM是∠CAB的角平分线，取BC中点N，连接AN，过点C作AM的垂线段CE垂足为E．（1）求证：EN∥AB．（2）若AC＝13，AB＝37，求EN的长度．【分析】（1）延长CE交AB于F，证明△CAE≌△FAE，根据全等三角形的性质得到CE＝EF，根据三角形中位线定理证明结论；（2）根据三角形中位线定理计算即可．【解答】（1）证明：延长CE交AB于F，∵AM是∠CAB的角平分线，∴∠CAM＝∠BAM，在△CAE和△FAE中，∠CAE=∠FAEAE=AE∴△CAE≌△FAE（ASA），∴CE＝EF，∵CN＝NB，∴EN是△CFB的中位线，∴EN∥AB；（2）解：由（1）可知，△CAE≌△FAE，∴AF＝AC＝13，∴BF＝AB﹣AF＝24，∵EN是△CFB的中位线，∴EN=12【点评】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．题型四利用三角形中位线定理证明角关系题型四利用三角形中位线定理证明角关系【例题4】(2023春•莆田期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是边DC、AB的中点，FE的延长线分别AD、BC的延长线交于点H、G，求证：∠AHF＝∠BGF．【分析】连接BD，取BD的中点P，连接EP，FP，根据三角形中位线定理得到PF=12AD，PF∥AD，EP=12BC，【解答】证明：连接BD，取BD的中点P，连接EP，FP，∵E、F、P分别是DC、AB、BD边的中点，∴EP是△BCD的中位线，PF是△ABD的中位线，∴PF=12AD，PF∥AD，EP=12BC，∴∠H＝∠PFE，∠BGF＝∠FEP，∵AD＝BC，∴PE＝PF，∴∠PEF＝∠PFE，∴∠AHF＝∠BGF．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．【变式4-1】(2023春•西峰区校级月考）如图，四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，N、M分别是AB、CD的中点，求证：∠PMN＝∠PNM．【分析】先说明PN是△DBC的中位线得到PN=12BC，同理可得PM=12AD，进而得到【解答】解：∵P是对角线BD的中点，N分别是AB的中点，∴PN是△DBC的中位线，∴PN=12同理：PM=12∵AD＝BC，∴PN＝PM，∴∠PMN＝∠PNM．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定、性质定理成为解答本题的关键．【变式4-2】(2023春•歙县期中）如图，CD是△ABC的角平分线，AE⊥CD于E，F是AC的中点，（1）求证：EF∥BC；（2）猜想：∠B、∠DAE、∠EAC三个角之间的关系，并加以证明．【分析】（1）延长AE交BC于H，证明△CAE≌△CHE，得到E是AH的中点，根据三角形中位线定理证明；（2）利用（1）中全等三角形的对应角相等和三角形外角定理推知：∠EAC＝∠B+∠DAE．【解答】证明：（1）延长AE交BC于H，在△CAE和△CHE中，∠ACE=∠HCECE=CE∴△CAE≌△CHE（ASA），∴E是AH的中点，又F是AC的中点，∴EF是△AHC的中位线，∴EF∥BC；（2）解：∠EAC＝∠B+∠DAE．理由如下：由（1）知△CAE≌△CHE，∴∠EAC＝∠EHC．又∠AEH＝∠B+∠BAH，∴∠EAC＝∠B+∠DAE．【点评】本题考查的是三角形的中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．【变式4-3】如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且BD＝CE，M、N分别是BE、CD的中点．过MN的直线交AB于P，交AC于Q，求证：∠QPA＝∠PQA．【分析】根据中位线定理证明MH＝NH，进而证明∠HMN＝∠HNM，∠HMN＝∠PQA，所以得到∠QPA＝∠PQA．【解答】证明：如图，取BC的中点H，连接MH，NH，∵M，N为BE，CD的中点，H为BC的中点，∴MH、NH分别是△BCE、△BCD的中位线，∴MH∥EC，MH=12EC，NH∥BD，NH=又∵BD＝CE，∴MH＝NH，∴∠HMN＝∠HNM．∵MH∥EC，∴∠HMN＝∠PQA．同理可得：∠HNM＝∠QPA．∴∠QPA＝∠PQA．【点评】本题考查中位线定理在三角形中的应用，关键是作出辅助线构造三角形的中位线．【变式4-4】一个对角线相等的四边形ABCD，E、F分别为AB，CD的中点，EF分别交对角线BD，AC于M，N，求证：∠OMN＝∠ONM．【分析】取AD的中点Q，连接EQ、FQ，根据三角形中位线定理得到EQ∥AC，EQ=12BD，FQ=12AC，【解答】证明：取AD的中点Q，连接EQ、FQ，∵E，F、Q分别为AB，CD、AD的中点，∴EQ∥BD，EQ=12BD，FQ=12AC，∴∠QEF＝∠OMN，∠QFE＝∠ONM，∵AC＝BD，∴QE＝QF，∴∠QEF＝∠QFE，∴∠OMN＝∠ONM．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．【变式4-5】(2023春•船营区校级月考）如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题．如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．求证：∠PMN＝∠PNM（1）在上边题目的条件下，延长图①中的线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F，如图②，请先完成图①的证明，再继续证明∠AEN＝∠F．（2）若（1）中的∠A+∠ABC＝122°，则∠F的大小为．【分析】（1）根据三角形中位线定理得到PM∥BC，PM=12BC，PN∥AD，PN=12AD，得到（2）根据平行线的性质求出∠MPN，根据等腰三角形的性质计算，得到答案．【解答】（1）证明：∵P是BD的中点，M是DC的中点，∴PM是△DBC的中位线，∴PM∥BC，PM=12∴∠PMN＝∠F，同理可得：PN∥AD，PN=12∴∠AEN＝∠PNM，∵AD＝BC，∴PM＝PN，∴∠PMN＝∠PNM，∴∠AEN＝∠F；（2）解：∵PM∥BC，∴∠MPD＝∠FBD，∵PN∥AD，∴∠PNB＝∠A，∴∠MPN＝∠MPD+∠NPD＝∠FBD+∠A+∠DBA＝122°，∴∠PMN=1∴∠F＝∠PMN＝29°，故答案为：29°．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．题型五三角形中位线定理的综合应用题型五三角形中位线定理的综合应用【例题5】(2023秋•任城区期末）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点，若AB＝10，AC＝6，则EF的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据角平分线的性质构造辅助线，再根据三角形中位线定理解答即可．【解答】解：延长AC，BE交于点M，∵AE平分∠CAB，AE⊥BE，∴∠AEB＝∠AEM＝90°，∠CAE＝∠BAE，∴AB＝AM＝10，BE＝EM，∵AC＝6，∴CM＝AM﹣AC＝10﹣6＝4，∵点F是BC的中点，BE＝EM，∴EF为△BCM中位线，∴EF=12故选：A．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质与判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．【变式5-1】(2023春•綦江区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD＝16，AC＝30，E，F分别为AB，CD的中点，则EF＝（）A．15 B．.16 C．17 D．8【分析】取BC的中点P，连接PE、PF，根据三角形中位线定理得到EP=12AC＝15，EP∥AC，FP=12BD＝8，FP∥【解答】解：取BC的中点P，连接PE、PF，∵E，P分别为AB，BC的中点，∴EP是△ABC的中位线，∴EP=12AC＝15，EP∥∴∠BPE＝∠BCA，同理可得，FP=12BD＝8，FP∥∴∠CPF＝∠CBD，∵AC⊥BD，∴∠BCA+∠CBD＝90°，∴∠BPE+∠CPF＝90°，∴∠EPF＝90°，∴EF=1故选：C．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．【变式5-2】(2023春•沈北新区期末）如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，求证：AF=12【分析】过D作DG∥AC，可证明△AEF≌△DEG，可得AF＝DG，由三角形中位线定理可得DG=12【解答】证明：如图，过D作DG∥AC，则∠EAF＝∠EDG，∵AD是△ABC的中线，∴D为BC中点，∴G为BF中点，∴DG=12∵E为AD中点，∴AE＝DE，在△AEF和△DEG中，∠EAF=∠EDGAE=DE∴△AEF≌△DEG（ASA），∴DG＝AF，∴AF=12【点评】本题主要考查三角形中位线定理，作辅助线构造三角形中位线找到GD和AF、CF的关系是解题的关键．【变式5-3】如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为．【分析】方法1、延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H，则PH是△OAE的中位线，求得PH的长和HG的长，在Rt△PGH中利用勾股定理求解．方法2、先造成△AHP≌△EGP，进而求出DH，DG，最后用勾股定理即可得出结论．【解答】解：方法1、延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H．则PH∥AB．∵P是AE的中点，∴PH是△AOE的中位线，∴PH=12OA∵直角△AOE中，∠OAE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，即OA＝OE＝2，同理△PHE中，HE＝PH＝1．∴HG＝HE+EG＝1+1＝2．∴在Rt△PHG中，PG=P故答案是：5．方法2、如图1，延长DA，GP相交于H，∵四边形ABCD和四边形EFCG是正方形，∴EG∥BC∥AD，∴∠H＝∠PGE，∠HAP＝∠GEP，∵点P是AE的中点，∴AP＝EP，∴△AHP≌△EGP，∴AH＝EG＝1，PG＝PH=12∴DH＝AD+AH＝4，DG＝CD﹣CG＝2，根据勾股定理得，HG=DH2∴PG=5故答案为5．【点评】本题考查了勾股定理和三角形的中位线定理，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．【变式5-4】(2023•罗湖区校级模拟）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC延长线上的一点，AD＝24，点E是BC上一点，BE＝10，连接DE，M、N分别是AB、DE的中点，则MN＝．【分析】连接BD，取BD的中点F，连接MF、NF，证明NF、MF分别是△BDE、△ABD的中位线，由三角形中位线定理得出NF∥BE，MF∥AD，NF=12BE＝5，MF=12AD＝12，证出NF⊥【解答】解：连接BD，取BD的中点F，连接MF、NF，如图所示：∵M、N、F分别是AB、DE、BD的中点，∴NF、MF分别是△BDE、△ABD的中位线，∴NF∥BE，MF∥AD，NF=12BE＝5，MF=∵∠ACB＝90°，∴AD⊥BC，∵MF∥AD，∴MF⊥BC，∵NF∥BE，∴NF⊥MF，在Rt△MNF中，由勾股定理得：MN=N故答案为：13．【点评】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质等知识；熟练掌握三角形中位线定理和勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．【变式5-5】(2023春•香坊区校级期中）如图所示，在四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，AB＝20，CD＝12，∠B+∠C＝120°，则EF的长为．【分析】连接BD，取BD中点G，连接EG、FG，过点F作FH⊥EG交其延长线于H，证明EG是△ABD的中位线，GF为△BDC的中位线，进而求得∠HGF＝60°，在直角△FGH和直角△EFH中进行求解即可得解．【解答】解：如图：连接BD，取BD中点G，连接EG、FG，过点F作FH⊥EG交其延长线于H，又∵点E为AD的中点，F为BC的中点，∴EG是△ABD的中位线，GF为△BDC的中位线，∴EG//AB，EG=12AB＝10，GF//CD，GF=∴∠GFB＝∠C，∵∠DGF＝∠DBC十∠GFB，∴∠DGF＝∠DBC+∠C．∵EG//AB，∴∠EGD＝∠ABD，∴∠EGD+∠DGF＝∠ABD+∠DBC+∠C＝∠ABC+∠C．∵∠ABC+∠C＝120°，∴∠EGD+∠DGF＝120°＝∠EGF，∴∠HGF＝60°，∵FH⊥EG，∴在直角△FGH中，∠HFG＝30°，∴GH=12FG=3∴在直角△EFH中，EF=E故答案为：14．【点评】本题主要考查了三角形中位线的判定及性质，勾股定理，利用中位线作出辅助线是解题的关键．【变式5-6】(2023秋•张店区校级期末）已知：如图，在△ABC中，点D在AB上，BD＝AC，E、F、G分别是BC、AD、CD的中点，EF、CA的延长线相交于点H．求证：（1）∠CGE＝∠ACD+∠CAD；（2）AH＝AF．【分析】（1）由题目的已知条件可得EG是△BDC的中位线，所以EG∥BD，由此可得∠CGE＝∠BDC，再根据三角形外角和定理即可证明∠CGE＝∠ACD+∠CAD；（2）连接FG，易证△FGE是等腰三角形，所以∠GFE＝∠GEF，再根据平行线的性质以及对顶角相等可证明∠H＝∠AFE，进而可得：AH＝AF，【解答】证明（1）∵E，G分别是BC，CD的中点，∴EG是△BDC的中位线，∴EG∥BD，∴∠CGE＝∠BDC，∵∠BDC＝∠ACD+∠CAD，∴∠CGE＝∠ACD+∠CAD；（2）连接FG，∵E，F，G分别是BC，AD，CD的中点，∴EG=12BD，FG=∵BD＝AC，∴GE＝GF，∴∠GFE＝∠GEF，∵FG∥HC，∴∠GFE＝∠H，∵∠GEF＝∠BFE＝∠AFH，∴∠H＝∠AFE，∴AH＝AF．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．【变式5-7】如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF=12（AC﹣（2）如图2，