第05讲 古典概型、概率的基本性质 高频考点精讲（解析版）备战2024年高考数学一轮复习精讲精练（艺考生基础版）

第第页第05讲古典概型、概率的基本性质(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：典型例题剖析题型一：古典概型题型二：概率基本性质的应用题型三：古典概型与统计的综合应用第一部分：知第一部分：知识点精准记忆知识点一：古典概型试验具有如下共同特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．知识点二：古典概型的概率公式一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率.其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数．知识点三：概率的性质1：概率的基本性质（性质1、性质2、性质5）性质1：对任意的事件，都有；性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，；性质5：如果，那么，由该性质可得，对于任意事件，因为，所以.2：互斥事件的概率加法公式（性质3）性质3：如果事件与事件互斥，那么；注意：只有事件与事件互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式.3：对立事件的概率（性质4）性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么，；4：概率的一般加法公式（性质6）性质6：设，是一个随机试验中的两个事件，有第二部分：典型例题剖析第二部分：典型例题剖析题型一：古典概型典型例题例题1．（2022·江苏省洪泽中学高一期中）为培养学生的兴趣爱好，丰富学生的课余生活，某校团委开设了70个社团供学生自由选择.现已知甲､乙两位同学均准备从“创客空间”、“春柳文学社”、“舞龙协会”这三个社团中选择一个报名，则这两位同学的不同报名方案种数为（

）A．6 B．8 C．9 D．12【答案】C【详解】不妨记“创客空间”、“春柳文学社”、“舞龙协会”分别为，则这两位同学的报名方案有，共9种.故选：C.例题2．（2022·上海杨浦·高三期中）同时掷两枚般子，向上的点数之和是6的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】列表得共有36种等可能的结果，向上的点数之和是6的情况有5种，掷两枚般子，向上的点数之和是6的概率是，故选：D例题3．（2022·广东·顺德一中高二期中）从这个数中随机取出个不同的数为，则的概率为___________.【答案】【详解】从个数中随机取出个数，则有，，，，，，共种情况；其中满足的有，，，，共种情况，的概率.故答案为：.例题4．（2022·广东顺德德胜学校高二期中）天气预报说，在今后的三天中每一天下雨的概率均为，用随机模拟的方法进行试验，由､､､表示下雨，由､､､､､表示不下雨，利用计算器中的随机函数产生之间随机整数的组如下：通过以上随机模拟的数据可知三天中恰有两天下雨的概率近似为___________.【答案】0.25##【详解】解：由数据可知，表示恰有两天下雨的数据为共5组，所以三天中恰有两天下雨的概率近似为.故答案为：.例题5．（2022·浙江·宁波市北仑中学高二期中）一个盒子里装有标号为1，2，3，4的4张标签，随机地选取两张标签，若标签的选取是无放回的，求两张标签上的数字为相邻整数的概率；若标签的选取是有放回的，求两张标签上的数字为相邻整数的概率．【答案】无放回时，概率为；有放回时，概率为【详解】（1）选取是无放回的，，共有12种方法，其中相邻的有（1，2），（2，1）（2，3），（3，2），（3，4），（4，3）共6种，所以两张标签上的数字为相邻整数的概率为.（2）选取是有放回的，，共有16种方法，其中相邻的有（1，2），（2，1）（2，3），（3，2），（3，4），（4，3）共6种，所以两张标签上的数字为相邻整数的概率为.同类题型归类练1．（2022·新疆·乌鲁木齐101中学高一期末）由于夏季某小区用电量过大，据统计一般一天停电的概率为0.2，现在用数据0，9表示停电；用1、2、3、4、5、6、7、8表示当天不停电，（那么使用随机模拟方法得到以下30个数据），38

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43那连续两天中恰好有一天停电的概率为（

）A．0.260 B．0.300 C．0.320 D．0.333【答案】B【详解】连续两天中恰好有一天停电的情况有：79

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29共9种，所以连续两天中恰好有一天停电的概率为，故选：B2．（2022·安徽·太和县第八中学高二阶段练习）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】1，2，3，4，5的5张卡片中无放回随机抽取2张，由以下情况：，共10种情况，其中抽到的2张卡片的数字之和是偶数的有，共4种情况，所以概率为.故选：B3．（2022·浙江浙江·高三期中）从数字中任意取出两个数字，这两个数字不是连续的自然数的概率是__．【答案】##0.6【详解】从中任意取出2个数共有种结果，数字是不连续自然数的情况有，共6种结果.所以数字是不连续自然数的概率为.故答案为：.4．（2022·湖北·武汉市第十七中学高二期中）从至的个整数中随机取个不同的数．(1)写出所有不同的取法；(2)求取出的个数互质的概率．【答案】(1)答案见解析(2)【详解】（1）从至的个整数中随机取个不同的数，共有以下种不同的取法，,,,,.（2）两数互质的取法有：，共11种，故所求概率．5．（2022·北京丰台·高二期中）从2名男生（记为,）和2名女生（记为,）这4人中一次性选取2名学生参加象棋比赛（每人被选到的可能性相同）.(1)请写出该试验的样本空间;(2)设事件为“选到1名男生和1名女生”,求事件发生的概率;(3)若2名男生,所处年级分别为高一、高二,2名女生,所处年级分别为高一、高二,设事件为“选出的2人来自不同年级且至少有1名女生”,求事件发生的概率.【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）解:由题知,样本空间为;（2）由(1)知,所有的可能结果数为6个,其中满足事件得结果数有4个,故;（3）由(1)知,所有的可能结果数为6个,其中满足事件得结果数有3个,故.题型二：概率基本性质的应用典型例题例题1．（2022·全国·高三专题练习）若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】D【详解】随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0，且，，，即，解得，即．故选：D．例题2．（2022·浙江省杭州学军中学高二开学考试）设，是一个随机试验中的两个事件，则（

）A． B．C． D．若，则【答案】D【详解】对于A：若A，B是一个随机试验中的两个事件，则，故A错误；对于B：若，则，故B错误；对于C：当A、B独立时，，当A、B不独立时，则不成立，故C错误；对于D：若，则，故D正确.故选：D例题3．（2022·全国·高一单元测试）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表：投资股市：投资结果获利40%不赔不赚亏损20%概率购买基金：投资结果获利20%不赔不赚亏损10%概率(1)当时，求的值；(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求的取值范围．【答案】(1)(2)（1）解∵“购买基金”的投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，∴．又，∴．（2）记事件为“甲投资股市且获利”，事件为“乙购买基金且获利”，事件为“一年后甲、乙两人中至少有一人获利”，则，且，相互独立．由题意可知，．∴．∵，∴．又，，∴．∴．例题4．（2022·全国·高二单元测试）从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如下表所示：红灯个数0123456个及6个以上概率0.020.1a0.350.20.10.03(1)求表中字母的值；(2)求至多遇到5个红灯的概率．【答案】(1)(2)(1)由题意可得，解得.(2)设事件为遇到6个及6个以上红灯，则至多遇到5个红灯为事件，则.同类题型归类练1．（多选）（2022·湖北武汉·模拟预测）一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件为“第一次向下的数字为1或2”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（

）A．事件发生的概率为B．事件与事件互斥C．事件与事件相互独立D．事件发生的概率为【答案】AC【详解】由题意可得，故A正确；当两次抛掷的点数为时，事件与事件同时发生，所以事件与事件不互斥，故B错误；事件与事件同时发生的情况有共4种，所以，又，所以，故事件与事件相互独立，故C正确；，故D错误.故选：AC.2．（2021·全国·高一课时练习）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则（

）A．A与B互斥 B．A与B相互独立C． D．【答案】BCD【详解】根据题意事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，可知两事件互不影响，即A与B相互独立，故B正确，A不正确；由，，所以，且，故D正确，C正确.故选：BCD3．（2022·全国·高一课时练习）设与相互独立，且，，求．【答案】【详解】因为与相互独立，所以．又，，．设，则，即，解得，即．题型三：古典概型与统计的综合应用典型例题例题1．（2022·江苏·南京二十七中高二开学考试）某中学作为蓝色海洋教育特色学校，随机抽取100名学生，进行一次海洋知识测试，按测试成绩(假设考试成绩均在[65，90)内)分组如下：第一组[65，70)，第二组[70，75)，第三组[75，80)，第四组[80，85)，第五组[85，90)．得到频率分布直方图如图.(1)求测试成绩在[80，85)内的频率；(2)从第三、四、五组学生中用分层抽样的方法抽取6名学生组成海洋知识宣讲小组，定期在校内进行义务宣讲，并在这6名学生中随机选取2名参加市组织的蓝色海洋教育义务宣讲队，求第四组至少有1名学生被抽中的概率．【答案】（1）；（2）【详解】（1）测试成绩在[80，85）内的频率为：（2）第三组的人数等于,第四组的人数等于，第五组的人数等于，分组抽样各组的人数为第三组3人，第四组2人，第五组1人.设第三组抽到的３人为，第四组抽到的２人为,第五组抽到的１人为.这6名同学中随机选取2名的可能情况有15种，如下：.设“第四组2名同学至少有一名同学被抽中”为事件,事件包含的事件个数有9种，即：,,,,.所以,事件的概率即第四组至少有一名同学被抽中的概率为．例题2．（2022·贵州·六盘水市第一中学模拟预测）对某电子元件进行寿命追踪调查，所得情况如下频率分布直方图.（1）图中纵坐标处刻度不清，根据图表所提供的数据还原；（2）根据图表的数据按分层抽样，抽取个元件，寿命为之间的应抽取几个；（3）从（2）中抽出的寿命落在之间的元件中任取个元件，求事件“恰好有一个寿命为，一个寿命为”的概率.【答案】（1）；（2）应抽取个；（3）.【详解】试题分析：（1）根据题意：，即可求得的值；（2）设在寿命为之间的应抽取个，根据分层抽样有：，即可求解寿命为之间的应抽取几个；（3）记“恰好有一个寿命为，一个寿命为”为事件，由（2）知寿命落在之间的元件有个分别记，落在之间的元件有个分别记为：，从中任取个球，即可利用古典概型求解概率.试题解析：（1）根据题意：解得（2）设在寿命为之间的应抽取个，根据分层抽样有：解得：所以应在寿命为之间的应抽取个（3）记“恰好有一个寿命为，一个寿命为”为事件，由（2）知寿命落在之间的元件有个分别记，落在之间的元件有个分别记为：，从中任取个球，有如下基本事件：，，，共有个基本事件事件“恰好有一个寿命为，一个寿命为”有：，共有个基本事件答：事件“恰好有一个寿命为，另一个寿命为”的概率为.例题3．（2022·河南·高三阶段练习（文））为了调查某地区程序员的工资情况，研究人员随机抽取了该地区20名程序员作调查，所得数据的茎叶图如下所示（单位：元），其中，经计算得，．(1)求被调查的这20名程序员的平均工资；(2)在（1）的条件下，可以算得，求“，，，”的方差；(3)若从被调查的这20名程序员中随机抽取工资不足6501元的2名程序员，求至少有1名程序员的工资在6000元以下的概率．【答案】(1)被调查的这20名程序员的平均工资(2)(3)至少有1名程序员的工资在6000元以下的概率为【详解】（1）解：由茎叶图可得，由于故被调查的这20名程序员的平均工资；（2）解：由方差的计算公式可知，数据的方差则所求方差；（3）解：由题意可知，这20名程序员中随机抽取工资不足6501元的有6名，其中有3名工资在6000元以下记作，记工资在元之间的3名程序员为则6名程序员任取2人的所有抽取情况如下：，共15种情况；设至少有1名程序员的工资在6000元以下为事件，则的所有抽取情况如下：，共12种情况；则所以至少有1名程序员的工资在6000元以下的概率为.例题4．（2022·甘肃·兰化一中高三期中（文））2022年国际篮联女篮世界杯在澳大利亚悉尼落下帷幕，中国女篮团结一心､顽强拼搏获得亚军.这届世界杯，中国女篮为国人留下了许多精彩瞬间和美好回忆，尤其是半决赛绝杀东道主澳大利亚堪称经典一幕.为了了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某体育台随机抽取100名观众进行统计，得到如下列联表.男女合计喜爱3040不喜爱40合计100(1)将列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为喜爱篮球运动与性别有关？(2)在不喜爱篮球运动的观众中，按性别分别用分层抽样的方式抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加一台访谈节目，求这2人至少有一位男性的概率.附：，其中.【答案】(1)答案见解析；(2).【详解】（1）由题意进行数据分析，得到列联表如下：男女合计喜爱301040不喜爱204060合计5050100计算所以在犯错误的概率不超过的前提下认为喜爱篮球运动与性别有关.（2）不喜爱篮球运动的观众中，有男观众20人，女观众40人，按照分层抽样的方式抽取6人，有男观众2人，记为a、b，女观众4人，记为1、2、3、4.从6人中抽取2人，有：，共15个.记“所抽2人至少有一位男性”为事件A,包含：，共9个.所以.例题5．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学高二期中）某商店为了更好地规划某种产品的进货量，该商店从某一年的销售数据中，随机抽取了组数据作为研究对象，如表（吨）为该商品的进货量，（天）为销售天数：/吨/天(1)根据上述提供的数据，求出关于的回归方程，并预测进货量为时的销售天数；（结果四舍五入）；(2)在该商品进货量不超过吨的前提下任取个值，求该商品进货量恰好有个值不超过吨的概率.参考数据和公式：，，，.【答案】(1)回归直线方程为，预测进货量为时的销售天数约为天(2)【详解】（1）解：，，所以，，所以，，所以回归直线方程为，当时，，预测进货量为时的销售天数为天.（2）解：进货量不超过吨有、、、、，共个，任取个的基本事件有：、、、、、、、、、，共种结果，恰好有次不超过吨的基本事件有：、、、、、，共种结果，所以所求的概率为.同类题型归类练1．（2022·福建·福州黎明中学高一期末）甲乙两人玩卡片游戏：他们手里都拿着分别标有数字1,2,3,4,5,6的6张卡片，各自从自己的卡片中随机抽出1张，规定两人谁抽出的卡片上的数字大，谁就获胜，数字相同则为平局.(1)求甲获胜的概率.(2)现已知他们都抽出了标有数字6的卡片，为了分出胜负，他们决定从手里剩下的卡片中再各自随机抽出1张，若他们这次抽出的卡片上数字之和为偶数，则甲获胜，否则乙获胜.请问：这个规则公平吗，为什么？【答案】（1）；（2）见解析详解：(1)两人各自从自己的卡片中随机抽出一张，所有可能的结果为：，，，共36种，其中事件“甲获胜”包含的结果为：，有15种.所以甲获胜的概率为.(2)两人各自从于里剩下的卡片中随机抽出一张，所有可能的结果为：，共25种.其中卡片上的数字之和为偶数的结果为：，共13种.根据规则，甲获胜的概率为，则乙获胜的概率为，所以这个规则不公平.2．（2022·湖南·衡阳市田家炳实验中学高二阶段练习）为了解某校今年高一年级女生的身体素质状况，从该校高一年级女生中抽取了一部分学生进行“掷铅球”的项目测试，成绩低于5米为不合格，成绩在5至7米（含5米不含7米）的为及格，成绩在7米至11米（含7米和11米，假定该校高一女生掷铅球均不超过11米）为优秀．把获得的所有数据，分成五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在9米到11米之间．(1)求实数的值及参加“掷铅球”项目测试的人数；(2)若从此次测试成绩最好和最差的两组中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生自不同组的概率．【答案】（1）0.05，40；（2）试题解析：（Ⅰ）由题意可知解得所以此次测试总人数为．答：此次参加“掷铅球”的项目测试的人数为40人．(Ⅱ)设从此次测试成绩最好和最差的两组中随机抽取2名学生自不同组的事件为A：由已知，测试成绩在有2人，记为；在有4人，记为．从这6人中随机抽取2人有，共15种情况．事件A包括共8种情况．所以．答：随机抽取的2名学生自不同组的概率为．3．（2022·广西贵港·高三阶段练习（文））2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，航天员翟志刚､王亚平､叶光富完成在轨驻留半年的太空飞行任务，标志着中国空间站关键技术验证阶段圆满完成.并将进入建造阶段.某中学为了激发学生对天文学的兴趣.开展了天文知识比赛.高一和高二年级各有10名参赛选手，得分不低于90分的选手可获奖.各参赛选手比赛得分的茎叶图如图所示.(1)从平均分来看，高一和高二哪个年级的得分更高？并说明理由.(2)从获奖的参赛选手中任选2名参加市区举行的天文知识比赛，求选出的2名参赛选手来自同一个年级的概率.【答案】(1)高一年级的得分更高,理由见解析.(2).【详解】（1）设高一高二年级参赛选手得分的平均分分别为，则，，因为，所以从平均分来看，高一年级的得分更高．（2）因为得分不低于90分的选手可获奖，所以由茎叶图可知，高一年级有4名选手获奖，高二年级有2名选手获奖，记高一年级的4名选手为，高二年级的2名选手为，从这6名选手中选取2名的所有情况为，，共15种情况，选出的2名选手来自同一个年级的有共7种情况，设事件A表示”选出的2名参赛选手来自同一个年级”,所以.4．（2022·上海·高二专题练习）某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如下：组号第一组第二组第三组第四组第五组分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100](1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分；(3)现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率？【答案】(1)(2)74.5(3)【详解】（1）由题意得，所以．（2）由直方图分数在[50，60]的频率为0.05，的频率为0.35，的频率为0.30，的频率为0.20，的频率为0.10，所以这100名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为：（3）由直方图，得：第3组人数为人，第4组人数为人，第5组人数为人．所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：人，第4组：人，第5组：人．所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人设第3组的3位同学为