第9章 不等式与不等式组（全章复习与巩固）（要点梳理、类型讲解）

不等式与不等式组（全章复习与巩固）（知识讲解）【学习目标】1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质；2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法；3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组；4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题；5.通过对比方程与不等式、等式性质与不等式性质等一系列教学活动，理解类比的方法是学习数学的一种重要途径.【要点梳理】要点一、不等式1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.特别说明：（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示：（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．2.不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．要点二、一元一次不等式1.定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，特别说明：：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．2.解法：解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.

特别说明：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案.特别说明：列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.要点三、一元一次不等式组

关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.

特别说明：（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.

（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.

（4）一元一次不等式组的应用：①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．【典型例题】类型一、一元一次不等式组➻➸不等式的基本性质✭✭不等式的解集 1．说明：（1）由，得，是如何变形的？依据是什么?（2）由，得的条件是什么？为什么？（3）由，得的条件是什么？为什么？【答案】（1）不等式两边同时乘以，依据是不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向；（2）条件是，理由是不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向；（3）条件是，当时，理由是当时，不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向；当时，左边右边．【分析】（1）根据不等式的性质：不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向即可得；（2）根据不等式的性质：不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向即可得；（3）根据不等式的性质：不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向、以及等式的性质即可得．解：（1）不等式两边同时乘以，依据是不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向；（2）条件是，理由是不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向；（3）条件是，理由如下：当时，不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向；当时，左边右边．【点拨】本题考查不等式的性质，熟记不等式的性质是解题关键．举一反三：【变式1】按照下列条件，根据不等式的基本性质，写出成立的不等式．，两边同加上y．，两边同乘．，两边同除以．，两边同加上，再同除以7．【答案】(1)； (2)； (3)； (4)．【分析】（1）根据不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即可得到答案；（2）根据不等式的基本性质：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即可得到答案；（3）根据不等式的基本性质：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即可得到答案；（4）根据不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即可得到答案．（1）解：根据不等式的基本性质，不等式两边同时加上，可得：；（2）解：根据不等式的基本性质，不等式两边同时乘，可得；（3）解：根据不等式的基本性质，不等式两边同时除以，可得：；（4）解：根据不等式的基本性质，不等式两边同时加上，可得，再同时除以7，可得：．【点拨】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．【变式2】请先阅读下列材料，再解决问题．例题:已知，求证:证明:因为，又因为，根据不等式基本性质2，得，再根据不等式基本性质1，在不等式的两边同时加上m，得仿照上例，证明下题：已知，求证．【分析】根据材料的证明方法，结合不等式性质，即可得到结论成立.解：∵，且，∴，不等式两边同时减去5y，则∴.【点拨】本题考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质进行解题.类型二、一元一次不等式（组）➻➸解一元一次不等式（组） 2．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来： (2)【答案】(1)，见分析 (2)，见分析【分析】（1）移项，合并同类项，系数化为1，即可求解；（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解；（1）解：，5x-2x<-3+9，3x<6，x<2；解集在数轴上表示为：（2）解：，4x-(6x-1)≤6，4x-6x+1≤6，4x-6x≤6-1，-2x≤5，．解集在数轴上表示为：【点拨】本题考查解不等式，用数轴表示不等式解集，熟练掌握解不等式的一般步骤是解题的关键．举一反三：【变式1】解下列不等式：； (2)．【答案】(1) (2)【分析】（1）首先去分母、去括号、移项、合并同类项，再解不等式即可求解；（2）首先去分母、去括号、移项、合并同类项，再解不等式即可求解（1）解：不等式两边同时乘以，得：，去括号得：，移项得：，合并同类项得：，把未知数系数化为，解得：，所以，原不等式的解集为；（2）解：不等式两边同时乘以，得：，去括号得：，移项得：，合并同类项得：，把未知数系数化为，解得：．所以，原不等式的解集为．【点拨】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的一般步骤．【变式2】解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来． (2) (3)【答案】(1)，数轴见详解；(2)，数轴见详解；(3)，数轴见详解【分析】（1）先移项再合并同类项，再把系数化为1，解得不等式的解集，再将解集在数轴上表示出来；（2）先去括号再移项，再合并同类项，再把系数化为1，解得不等式的解集，再将解集在数轴上表示出来；（3）先去分母，然后去括号，然后合并同类项，然后把系数化为1，就可得到不等式的解集，再将解集在数轴上表示出来．（1）解：移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得．此不等式的解集在数轴上表示如下：（2）解：去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得．此不等式的解集在数轴上表示如下：（3）解：去分母，得，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得．此不等式的解集在数轴上表示如下：【点拨】此题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是注意不等式两边除以同一个负数时，不等号的方向要改变；注意去分母时，要将不等式两边每一项都乘以分母不要漏乘；在数轴上表示解集时“<或≤”向左打折线，“>或≥”向右打折线，注意实点和虚点．3．解不等式组，将解集用数轴表示出来，并写出它的所有整数解．【答案】不等式组的解集为﹣3＜x≤1，将不等式组的解集表示在数轴上见分析，整数解为﹣2、﹣1、0、1．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而可得其整数解．解：解不等式2（x+8）≤10﹣4（x﹣3），得：x≤1，解不等式，得：x＞﹣3，则不等式组的解集为﹣3＜x≤1，将不等式组的解集表示在数轴上如下：所以不等式组的整数解为﹣2、﹣1、0、1．【点拨】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．举一反三：【变式1】解不等式组 (2)【答案】(1) (2)无解【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”确定不等式组的解集即可．（1）解：，解不等式①，得，解不等式②，得，所以，该不等式组的解集是；（2）解：，解不等式①，得，解不等式②，得，所以，该不等式组无解．【点拨】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【变式2】解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．【答案】不等式组的解集是，在数轴上表示见分析【分析】先求出每个不等式的解集，再找出不等式解集的公共部分，即可得到不等式组的解集，再把解集表示在数轴上即可．解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集是，在数轴上表示如下【点拨】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法和在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．类型三、一元一次不等式➻➸参数问题➻➸有（无）解 4．（1）已知关于x的不等式①x+a＞7的解都能使不等式②＞1﹣a成立，求a的取值范围．（2）若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＞﹣，求出满足条件的m的所有正整数值．【答案】（1）a≥﹣1；（2）1，2，3【分析】（1）分别取出求出不等式①②的解集，再根据题意得到7﹣a≥5﹣3a，最后解不等式即可求出a的取值范围．（2）两个方程相加，即可得出关于m的不等式，求出m的范围，即可得出答案．解：（1）解不等式①x+a＞7得：x＞7﹣a解不等式②＞1﹣a得：x＞5﹣3a根据题意得，7﹣a≥5﹣3a解得：a≥﹣1．（2）①+②得：3x+3y＝﹣3m+6∴x+y＝﹣m+2∵关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＞﹣∴﹣m+2＞﹣∴m＜∴满足条件的m的所有正整数值是1，2，3．【点拨】本题考查的是解一元一次不等式与一元一次不等式组，正确理解不等式组的解集是解此题的关键．举一反三：【变式1】已知关于的不等式的解是，求m的值.【答案】m无值．【分析】把原不等式化简整理可得：（12m﹣2）x≥4m+3，结合题中所给原不等式的解集为：，可得①及②，由①可得，由②可得，综合即可得到满足题中条件的m的值不存在.解：原不等式可化为：4m+2x≤12mx﹣3，即（12m﹣2）x≥4m+3，又∵原不等式的解为，∴有①、②，∵由①解得，由②解得，∴满足条件的m的取值不存在，即本题无解.【点拨】本题解题的关键是由“原不等式化简所得式子（12m﹣2）x≥4m+3结合原不等式的解集为”得到m需同时满足两个条件：①可得；②可得，特别要注意不要将第1个条件忽略了.【变式2】已知关于x的不等式x-2a<3的最大整数解为-5,求a的取值范围.【答案】-4<a≤-.【分析】先解不等式求得不等式的解集，然后根据不等式的最大整数解是-5可得-5<2a+3≤-4，解不等式组即可求解．解：不等式化简为x<2a+3,由题意,得-5<2a+3≤-4,即-4<a≤-.【点拨】本题考查了一元一次不等式的整数解，根据x的取值范围正确确定2a+3的范围是解题的关键．类型三、一元一次不等式组➻➸参数问题➻➸有（无）解✭✭整数解个数 5．（1）已知不等式组的解集为1≤x＜2，求a、b的值．（2）已知关于x的不等式组无解，试化简|a+1|－|3－a|．【答案】（1）a＝－1，b＝2；（2）4．【分析】（1）先解出含参数的不等式的解集，再根据已知的解集求出a、b的值；（2）根据不等式无解得a－3＞15－5a，即可求出a的取值范围，再根据绝对值的运算法则进行化简．解：（1）由①，得x≥－2，由②，得x＜3+a，所以不等式组的解集为－2≤x＜3+a，因为已知不等式组的解集委1≤x＜2，所以－2＝1，3+a＝2，所以a＝－1，b＝2．（2）∵关于x的不等式组无解，∴a－3＞15－5a∴a＞3，原式＝a+1－（a－3）＝4．【点拨】此题主要考查了根据不等式的解集情况求番薯，化简绝对值，解题的关键是熟知不等式的解法．举一反三：【变式1】若关于x的不等式组恰有三个整数解，求实数a的取值范围．【答案】【分析】根据不等式组恰有三个整数解，即可确定不等式组的解集，从而即可得到一个关于a不等式组，解之即可．解：解得：；解得：．∴不等式组的解为．∵关于x的不等式组恰有三个整数解，∴，解得．∴实数a的取值范围为．【变式2】已知不等式>1的每一个解都是的解,求a的取值范围.【答案】a≤4.【分析】先求出不等式的解集，再表示出不等式>1的解集，由不等式>1的每一个解都是的解可得a-3≤1，由此求出a的范围即可．解：由>1,得x<a-3;由,得x<1.由题意得a-3≤1,解得a≤4.【点拨】本题考查了不等式的解集，根据题意不等式解集的确定方法得到a-3≤1是解决问题的关键．6．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＜2，求整数a的最大值．【答案】3【分析】先把两个方程相加可得再整体代入不等式可得再解不等式即可．解：由①+②得：∴∵∴∴解得：所以整数a的最大值为：3．【点拨】本题考查的是二元一次方程组的解法，一元一次不等式的应用，掌握“把看整体解方程组”是解本题的关键．举一反三：【变式1】已知关于x、y的方程组的解满足，化简．【答案】当时，原式=，当时，原式【分析】先解方程组，根据建立不等式组求解集，然后分情况讨论，去掉绝对值化简即可．解：解方程组得，由题意得，解得．．令，则．①当时，原式，②当时，原式．综上，当时，原式=，当时，原式．【点拨】本题考查方程组与不等式组，以及绝对值化简，分类讨论是解题的关键．【变式2】若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＞﹣，求出满足条件的m的所有正整数值．【答案】1、2、3．【分析】方程组两方程相加表示出x+y，代入已知不等式求出m的范围，确定出正整数值即可．解：，①+②得：3（x+y）=﹣3m+6，即x+y=﹣m+2，∵x+y，∴﹣m+2＞﹣，解得：m＜，则满足条件m的正整数值为1，2，3．类型四、一元一次不等式（组）应用➻➸方案问题7．学校购进一批节能灯，已知2只A型节能灯和1只B型节能灯共需17元；3只A型节能灯和4只B型节能灯共需43元．求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元；学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，不少于B型节能灯数量的2倍，有几种购买方案，哪种方案最省钱？【答案】(1)一只A型节能灯的售价是5元，一只B型节能灯的售价是7元 (2)共计有4种方案：方案一：A型34只，B型16只；方案二：A型35只，B型15只；方案三：A型36只，B型14只；方案四：A型37只，B型13只．方案四最省钱【分析】（1）设一只A型节能灯的售价是x元，一只B型节能灯的售价是y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程即可；（2）设购买A型m只，购买B型为只，根据题中A型节能灯与B型节能灯的数量不等关系列不等式组，解不等式组即可解题．解：（1）设一只A型节能灯的售价是x元，一只B型节能灯的售价是y元，根据题意，得：，解得：，答：一只A型节能灯的售价是5元，一只B型节能灯的售价是7元；（2）设购买A型m只，购买B型为只，由题意得：，解得：，∵m为整数，∴m可以为34、35、36、37，即方案共计有4种：方案一：A型34只，B型16只；方案二：A型35只，B型15只；方案三：A型36只，B型14只；方案四：A型37只，B型13只．∵B型单价贵，∴为省钱应少买B型，故方案四最省钱，即应买A型37只，B型13只．【点拨】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，其中涉及二元一次方程组的解法、分类讨论法的数学思想，是常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．举一反三：【变式】某文具店准备购进甲，乙两种铅笔，若购进甲种钢笔100支，乙种铅笔50支，需要1000元，若购进甲种钢笔50支，乙种钢笔30支，需要550元．求购进甲，乙两种钢笔每支各需多少元？若该文具店准备拿出1000元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求购进甲种钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍，且不超过乙种钢笔数量的8倍，那么该文具店共有几种进货方案？【答案】(1)购进甲种钢笔每支需5元，乙种钢笔每支需10元； (2)共有6种进货方案．【分析】（1）设购进甲种钢笔每支需x元，乙种钢笔每支需y元，根据题意列方程组求解即可；（2）根据题意列不等式组进行求解即可．（1）解：设购进甲种钢笔每支需x元，乙种钢笔每支需y元，由题意得：，解得：，∴购进甲种钢笔每支需5元，乙种钢笔每支需10元．（2）解：设购进乙钢笔a支，甲钢笔支，根据题意可得：解得：，∵为整数，∴共六种方案，∴该文具店共有6种进货方案．【点拨】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，根据题意准确的列出方程组和不等式组是解题的关键．类型四、一元一次不等式（组）应用➻➸方案问题✭✭最值问题 8．已知某服装厂现从纺织厂购进A种、B种两种布料共122米，用去4180元．已知A种布料每米30元，B种布料每米40元．求A、B两种布料各购进多少米？现计划用这两种布料生产甲、乙两种型号的时装共80套．已知做一套甲种型号的时装或一套乙种型号的时装所需A、B两种布料如下表：甲乙A种（米0.61.1B种（米）0.90.4①设生产甲种型号的时装为x套，求x的取值范围；②若一套甲种型号的时装的销售价为100元，一套乙种型号的时装的销售价为90元．该服装厂在生产和销售这批时装中，当生产两种型号的时装各多少套时，获得的总利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)A、B两种布料各购进70米，52米 (2)①（且x为整数）；②当生产两种型号的时装各40套，40套是，获得的利润最大，最大为3480元【分析】（1）设A、B两种布料各购进x米，y米，然后根据题意列出方程组求解即可；（2）①设生产甲种型号的时装为x套，则生产乙种型号的时装套，再根据生产两种时装所用的布料不能超过（1）中所求列出不等式组求解即可；②分别求出生产一套甲时装和一套乙时装的利润，从而确定生产甲时装越多，获利越大，据此求解即可．（1）解：设A、B两种布料各购进x米，y米，由题意得：，解得，答：A、B两种布料各购进70米，52米；（2）解：①设生产甲种型号的时装为x套，则生产乙种型号的时装套，由题意得：，解得（且x为整数）；②∵生产一套甲种时装需要元，生产一套乙种时装需要元，∴生产一套甲时装获利元，生产一套乙种时装获利元，∴生产甲种时装越多，获利越大，∴当生产甲种时装40套，乙种时装80-40=40套时获利最大，最大为元，答：当生产两种型号的时装各40套，40套时，获得的利润最大，最大为3480元；【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，有理数四则运算的应用，正确理解题意列出对应的式子求解是解题的关键．举一反三：【变式】小李计划从网上批发一些饰品摆摊售卖．经过多方调查，仔细甄别，他选定了A、B两款网红饰品，其进价分别为每个x元、y元．已知购进A款饰品8个和B款饰品6个所需花费相同；购进A款饰品10个和B款饰品4个共需230元．请求出A，B两款饰品的进价分别是多少?(2)小李计划购进两款饰品共计100个（其中A款饰品最多62个），要使所需费用不多于1700元，则他有哪几种购进方案?(3)小李最后准备将A、B两款饰品单价分别定为21元、28元．他计划按照（2）中能够获得最大利润的方