2024年高考数学一轮复习第10章：概率与统计（附答案解析）

2024年高考数学一轮复习第10章：概率与统计学生版

1.已知条件①采用无放回抽取；②采用有放回抽取，请在上述两个条件中任选一个，补充在

下面问题中横线上并作答，选两个条件作答的以条件①评分.

问题：在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，若,从

这7个球中随机抽取3个球，记取出的3个球中红球的个数为X,求随机变量X的分布列和

均值.

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2.(2023•毕节模拟)某市全体高中学生参加某项测试，从中抽取部分学生的测试分数绘制成茎

叶图和频率分布直方图如图所示，后来茎叶图受到了污损，可见部分信息如图所示.

53489

63446777889

3344466678889

8

9

(1)求频率分布直方图中。的值，并根据频率分布直方图估计该市全体高中学生的测试分数的

中位数和平均数(同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表，结果保留一位小数);

(2)用频率代替概率，若从该市全体高中学生中抽取4人，记这4人中测试分数不低于90分

的人数为X,求X的分布列及均值.

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3.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为现有4例疑似病例，分别

对其取样、检测，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要

有病毒，则化验结果呈阳性.若混合样本呈阳性，则需将该组中备用的样本再逐个化验；若

混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再化验.现有以下三种方案：

方案一：4个样本逐个化验；

方案二：4个样本混合在一起化验；

方案三：4个样本均分为两组，分别混合在一起化验.

由于检测能力不足，化验次数的均值越小，则方案越“优”.

(1)若p=；,按方案一，求4例疑似病例中恰有2例呈阳性的概率；

(2)若「=上，现将该4例疑似病例样本进行化验，试比较以上三个方案中哪个最“优”，并

说明理由.

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4.为评估设备“生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100个零件

作为样本，测量其直径(单位：mm)后，整理得到下表：

直径/mm5859616263646566676869707173合计

个数11356193318442121100

经计算，样本直径的平均值幺=65,标准差(7=2.2,以频率值作为概率的估计值.

(1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一个，记其直径为X,并根据以

下不等式进行评判仍表示相应事件的概率):①CWXWM+O)N0.6827；②

+2o)20.9545；③尸〃/一3(^右〃+3(7)20.9973.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，

则设备等级为甲；若仅满足其中两个不等式，则设备等级为乙：若仅满足其中一个不等式，

则设备等级为丙；若全部都不满足，则设备等级为丁，试判断设备M的性能等级；

(2)将直径小于〃一2。或直径大于〃+2<7的零件认为是次品.

①从设备M的生产流水线上随机抽取2个零件，计算其中次品个数Y的均值E(Y)；

②从样本中随机抽取2个零件，计算其中次品个数Z的分布列和均值E(Z).

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5.(2022・唐山模拟)两会期间，国家对学生学业与未来发展以及身体素质重要性的阐述引起了

全社会的共鸣.某中学体育组对高三的800名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所

示的频率分布直方图(引体向上个数只记整数).体育组为进一步了解情况，组织了两个研究

小组.

(1)第一小组决定从单次完成1〜15个引体向上的男生中，采用比例分配的分层随机抽样的方

法抽取22人进行全面的体能测试.

①在单次完成6〜10个引体向上的所有男生中，男生甲被抽到的概率是多少？

②该小组又从这22人中抽取3人进行个别访谈，记抽到“单次完成引体向上1~5个”的人

数为随机变量X,求X的分布列和均值；

(2)第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这800人的学业成绩

与体育成绩之间的2X2列联表.

学业成绩

体育成绩合计

优秀不优秀

不优秀200400600

优秀100100200

合计300500800

根据小概率值a=0.005的独立性检验，分析体育锻炼是否与学业成绩有关？

n(ad—bcY

参考公式：独立性检验统计量好=,其中n=a+b+c+d.

(a+Z>)(c+d)(a+c)(b+d)

临界值表:

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

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6.随着人们生活水平的不断提高，肥胖人数不断增多.世界卫生组织(WHO)常用身体质量

指数(BMI)来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是BMI=阴空鲁之.成人的

身高2(单位：m?)

BMI数值标准为：BMIW18.4为偏瘦；18.5WBMIW23.9为正常;24WBMIW27.9为偏胖;

BMI228为肥胖.

某研究机构为了解某快递公司员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取

了8名员工(编号1〜8)的身高x(单位：cm)和体重M单位：kg)的数据，并计算得到他们的

BMI(精确到0.1)如表所示.

编号12345678

身高(cm)163164165168170172176182

体重(kg)5460777268•7255

BMI(近似值)20.322.328.325.523.523.723.216.6

(1)现从这8名员工中选取3人进行复检，记抽取到BMI值为“正常”员工的人数为X,求X

的分布列及均值；

(2)研究机构分析发现公司员工的身高x(cm)和体重y(kg)之间的线性相关程度较高，在编号为

6的体检数据丢失之前，调查员甲已进行相关的数据分析，并计算得出该组数据的经验回归

方程为;=0.5x+a,且根据经验回归方程预估一名身高为180cm的员工体重为71kg,计算

得到的其它数据如下：x=170,错误!x,y,=89920.

①求。的值及表格中8名员工体重的平均值y：

②在数据处理时，调查员乙发现编号为8的员工体重数据有误，应为63kg,身高数据无误，

请你根据调查员乙更正的数据重新计算经验回归方程，并据此预估一名身高为180cm的员工

的体重.

AAA

附：对于一组数据(xi,y\),(X2,yi),(x„,yn),其经验回归直线y=6x+a的斜率和截距的

最小二乘估计分别为,=错误!，a=丫-bx.

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2024年高考数学一轮复习第10章：概率与统计教师版

1.已知条件①采用无放回抽取；②采用有放回抽取，请在上述两个条件中任选一个，补充在

下面问题中横线上并作答，选两个条件作答的以条件①评分.

问题：在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，若,从

这7个球中随机抽取3个球，记取出的3个球中红球的个数为X,求随机变量X的分布列和

均值.

解若选①，由题意得，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,

P(X=1)=C1G=18

-G-35'

ggi2

P(X=2)==

-C)-35’

色=丄

P(X=3)=

C扌35

所以X的分布列为

X0123

418121

P

35353535

41SI?I0

E(A)=0X—+1X—+2X—+3X—

353535357

若选②，由题意得，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,且X

所以P(X=0)=C?x［l-3=第，

P(x=1)=C!X,X［一］)2=祟，

7343

尸(X=2)=CgX队©=108

343

尸(x=3)=cx83=ll,

所以X的分布列为

X0123

6414410827

P

343343343343

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E(A)=3X；3=；9.

2.(2023•毕节模拟)某市全体高中学生参加某项测试，从中抽取部分学生的测试分数绘制成茎

叶图和频率分布直方图如图所示，后来茎叶图受到了污损，可见部分信息如图所示.

53489

63446777889

13344466678889

8

9

(1)求频率分布直方图中。的值，并根据频率分布直方图估计该市全体高中学生的测试分数的

中位数和平均数(同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表，结果保留一位小数);

(2)用频率代替概率，若从该市全体高中学生中抽取4人，记这4人中测试分数不低于90分

的人数为X,求X的分布列及均值.

解(1)；测试分数位于［50,60)的频数为4,频率为0.01X10=0.1,

・・・抽取学生数为3=40,

0.1

二测试分数位于［80,90)的人数为40-(4+10+14+4)=8,

O

・・・a==10=0.02.

40

由题意知，测试分数位于［6。,7。)的频率为祟。.25,位于［7。,8。)的频率为$0.35,

设由频率分布直方图估计分数的中位数为t,

则有。一70)X0.035=0.5—0.1-0.25,解得宀74.3,

估计平均数为55X0.1+65X0.25+75X0.35+85X0.2+95X0.1=74.5.

(2)由题意知，测试分数不低于90分的频率为0.1,人数为4,

.♦.X的所有可能取值为0,1,2,3,4,X〜8(4,0.1),

即P(X=k)=Ci(0.1)*(0.9)4-*(jt=0,1,2,3,4),

的分布列为

X01234

P0.65610.29160.04860.00360.0001

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E(X)=4X0[=0.4.

3.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为p(O〈p<l).现有4例疑似病例，分别

对其取样、检测，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要

有病毒，则化验结果呈阳性.若混合样本呈阳性，则需将该组中备用的样本再逐个化验；若

混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再化验.现有以下三种方案：

方案一：4个样本逐个化验；

方案二：4个样本混合在一起化验；

方案三：4个样本均分为两组，分别混合在一起化验.

由于检测能力不足，化验次数的均值越小，则方案越“优”.

(1)若p=g,按方案一，求4例疑似病例中恰有2例呈阳性的概率；

(2)若「=白，现将该4例疑似病例样本进行化验，试比较以上三个方案中哪个最“优”，并

说明理由.

解(1)P=1.按方案一，4例疑似病例中恰有2例呈阳性的概率尸=C*X队。得

(2)方案一：逐个检测，检验次数为4X1=4；

方案二：设检测次数为X,X的所有可能取值为1,5,

6561

P〈X=

10000)

6561.3439

P(X=5)=1

ioooo-ioooo'

则X的分布列为

X15

65613439

P

1000010000

方案二的均值E(X)=1X互"+5X丄幽=2.3756；

1000010000

方案三：每组2个样本检测时,

概率囁

若呈阴性，则检测次数为1,

概率为一誌瑞，

若呈阳性，则检测次数为3,

设方案三的检测次数记为Y,y的所有可能取值为2,4,6,

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Q119=3078

P（r=4）=2X—X

100ioo-ioooo,

尸(y=6)=瓜讣=與-,

10000

则y的分布列为

Y246

65613078361

P

100001000010000

方案三的均值E(K)=2X6561+4x3078+6义361=”6,

100001000010000

•••E(X)<E(r)<4,.♦.方案一、二、三中，方案二最“优”.

4.为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100个零件

作为样本，测量其直径(单位：mm)后，整理得到下表：

直径/mm5859616263646566676869707173合计

个数11356193318442121100

经计算，样本直径的平均值〃=65,标准差(7=2.2,以频率值作为概率的估计值.

(1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一个，记其直径为X,并根据以

下不等式进行评判(P表示相应事件的概率):①〃+(7)20.6827；②P也一20WX01

+2。)》0.9545；③「(〃-3<7・收"+3<7)》0.9973.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，

则设备等级为甲；若仅满足其中两个不等式，则设备等级为乙；若仅满足其中一个不等式，

则设备等级为丙；若全部都不满足，则设备等级为丁，试判断设备M的性能等级；

(2)将直径小于〃-2c或直径大于〃+2。的零件认为是次品.

①从设备/的生产流水线上随机抽取2个零件，计算其中次品个数丫的均值£(7)；

②从样本中随机抽取2个零件，计算其中次品个数Z的分布列和均值£(Z).

解⑴由题意可得，尸仍一(rWXW〃+o)=P(62.8WXW67.2)=0.8>0.6827,

P(/I-2crWXW"+2c)=P(60.6WXW69.4)=0.94<0.9545,

尸(//一〃+3。)=P(58.4WXW71.6)=0.98〈0.9973,

因为设备M的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙.

(2)样本中次品共有6个，可估计设备以生产零件的次品率约为0.06.

①由题意可得，y〜/'Too),所以E(Y)=2X就=看.

②由题意可知，z的分布列为

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Z012

C84c©4a

P

GooCTOOCTOO

所以E(Z)=OX毕+1X岑厶+2X半=&

CTOOCTOOCTOO25

5.(2022・唐山模拟)两会期间，国家对学生学业与未来发展以及身体素质重要性的阐述引起了

全社会的共鸣.某中学体育组对高三的800名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所

示的频率分布直方图(引体向上个数只记整数).体育组为进一步了解情况，组织了两个研究

小组.

(1)第一小组决定从单次完成1〜15个引体向上的男生中，采用比例分配的分层随机抽样的方

法抽取22人进行全面的体能测试.

①在单次完成6〜10个引体向上的所有男生中，男生甲被抽到的概率是多少？

②该小组又从这22人中抽取3人进行个别访谈，记抽到“单次完成引体向上1〜5个”的人

数为随机变量X，求X的分布列和均值；

(2)第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这800人的学业成绩

与体育成绩之间的2X2列联表.

学业成绩

体育成绩合计

优秀不优秀

不优秀200400600

优秀100100200

合计300500800

根据小概率值a=0.005的独立性检验，分析体育锻炼是否与学业成绩有关?

______n(ad-6c产______

参考公式:独立性检险统计量必其中〃=a+b+c+4.

(a+6)(c+4)(〃+c)(6+(/)'

临界值表:

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

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解⑴①单次完成1〜5个引体向上的有0.020)<5X800=80(人),

单次完成6〜10个引体向上的有0.030X5X800=120(人)，

单次完成11-15个引体向上的有0.060X5X800=240(A),

则单次完成1〜15个引体向上的男生共440人，

采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取22人，则有0=2=上=卫,

80120240440

所以a=4,6=6,c—12,

即从单次完成1〜5个的人中选4人，6〜10个的人中选6人，11〜15个的人中选12人,

又因为单次完成6〜10个引体向上的共有120人,

记“单次完成6〜10个引体向上的学生中，男生甲被抽中”为事件4

则//)=供=丄.

C%o20

②X的所有可能取值为0,1,2,3,

C?8204

P(X=0)

協385,

z__ClCh_153

尸P(XY—nD—@2-385'

尸"=2)=豊=急

尸(X=3)=早=丄

Ch385

所以X的分布列为

X0123

204153271

P

385385385385

所以E(A^=0X—4IX黄+2乂然+3X羡=瑞吟

385

(2)零假设为Ho：体育锻炼与学业成绩无关,

=800X(200X100—400X100)?

由列联表中数据得，Z2=17.778>7.879=XO.(M)5,

300X500X600X200

所以根据小概率值a=0.005的独立性检验，我们推断不成立，即认为体育锻炼与学业成绩

有关.

6.随着人们生活水平的不断提高，肥胖人数不断增多.世界卫生组织(WHO)常用身体质量

指数(BMI)来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是BMI=聲!吃：吗成人的

身高2(单位：m2)

BMI数值标准为:BMIW18.4为偏瘦；18.5WBMIW23.9为正常;24WBMIW27.9为偏胖；

BMI》28为肥胖.

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某研究机构为了解某快递公司员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取

了8名员工(编号1〜8)的身高x(单位：cm)和体重双单位：kg)的数据，并计算得到他们的

BMI(精确到0.1)如表所示.

编号12345678

身高(cm)163164165168170172176182

体重(kg)5460777268•7255

BMI(近似值)20.322.328.325.523.523.723.216.6

(1)现从这8名员工中选取3人进行复检，记抽取到BMI值为“正常”员工的人数为X,求X

的分布列及均值；

(2)研究机构分析发现公司员工的身高x(cm)和体重Mkg)之间的线性相关程度较高，在编号为

6的体检数据丢失之前，调查员甲己进行相关的数据分析，并计算得出该组数据的经验回归

方程为y=0.5x+a,且根据经验回归方程预估一名身高为180cm的员工体重为71kg,计算

得到的其它数据如下：x=170,错误!x/=89920.

①求。的值及表格中8名员工体重的平均值y；

②在数据处理时，调查员乙发现编号为8的员工体重数据有误，应为63kg,身高数据无误,

请你根据调查员乙更正的数据重新计算经验回归方程，并据此