整式的因式分解讲义(沈上楠)

泽仕学堂学科教师辅导讲义学员姓名:沈上楠辅导科目：数学年级：初一学科教师：张先安授课日期及时段10月11日课题整式的因式分解知识点总结重点、难点、考点熟练整式的乘除知识点熟练掌握整式因式分解的四种方法学习目标教学内容整式乘除与因式分解讲义一、知识要点：1.乘方公式：①②③④⑤()2.单项式与单项式相乘的法那么：。3.乘法公式：①单多：反过来提公因式因式分解②多多：=反过来十字相乘因式分解③平方差：反过来：④完全平方：=反过来：==反过来：=4.把一个多项式化为的形式，这样的变形叫因式分解〔或分解因式〕。所以；因为所以；6.单项式单项式的法那么：。7.多项式单项式公式：。二、重点题型稳固练习：1．幂的运算〔1〕同底数幂相乘，底数不变，指数相加。〔m、n为正整数〕例题：〔1〕计算①=④⑤〔2〕假设求=.。假设，那么n=.〔3〕用简便方法计算①②〔4〕，那么。〔5〕(2)幂的乘方:幂的乘方，底数不变，指数相乘。〔m、n为正整数〕例题：〔1〕计算①②③④〔2〕假设求的值。〔3〕n为正整数，且求9的值。〔4〕计算①②=〔5〕如果，求n的值。〔6〕，，求的值。(3)积的乘方:积的乘方，等于把积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。〔n为正整数〕例题：〔1〕计算①②③④⑤=⑥假设求的值。比拟与的大小〔4〕P=,那么=〔5〕(4)同底数幂的除法:同底数幂相除，底数不变，指数相减。〔m、n为正整数，m>n，a〕例题：〔1〕计算①=②③=④〔2〕那么求。〔3〕计算〔1〕〔4〕2a-3b-4c=4,求的值。2.整式的乘法〔1〕单项式与单项式相乘将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，那么连同它的指数一起作为积的一个因式。例题：〔1〕计算①②③练习：〔1〕〔2〕先化简，在求值，其中a=-1,b=1,c=-1如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的积为。〔2〕单项式与多项式相乘将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。例题：〔1〕计算①②〔2〕，那么a=。〔4〕中不含有x的三次项，试确定a的值。当，求代数式的值。解方程：解不等式：〔3〕多项式与多项式相乘先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。〔a+b〕(m+n)=am+bm+an+bn例题：〔1〕计算①〔2x-3y〕(4x+5y)=②2(2a-5)()=〔2〕化简，并计算当时的值。〔3〕如果，那么〔a-5〕(a-6)=。〔4〕如果x+q与x+0.2的积中不含有x项，那么q的值为。〔5〕假设使恒成立，那么a=,b=。〔6〕x=(a+3)(a-4)，y=(2a-5)(a+2)，比拟x,y的大小。3.乘法公式(1)平方差公式：两数和乘以这两数的差，等于这两个数的平方差。例题：〔1〕计算①(4x+5y)(4x-5y)②(-4x-5y)(-4x+5y)③(m+n+p)(m+n-p)④m+n-p)(m-n+p)⑤⑥用简便方法计算①103×97②③④112×108计算①，x+y=6,求的值。(2)完全平方公式：两数和〔或差〕的平方，等于它们的平方和加上〔或减去〕这两数积的2倍。例题1：〔1〕计算①②③④用简便方法计算①②〔3〕填空①②③例题2：〔1〕〔2〕如果是一个完全平方式，那么k=。〔3〕，那么。〔4〕，那么〔5〕那么〔6〕a,b,c为△ABC的三边，试确定的符号。4．整式的除法〔1〕单项式除以单项式把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，那么连同它的指数一起作为商的一个因式。例题：〔1〕计算①②③④化简有四个单项式：，请你用加减乘除四种运算中的一种或几种，使它们的结果为，请你写出算式。〔2〕多项式除以单项式先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。例题：〔1〕计算①②③化简求值，其中x=3,y=1.5。〔3〕假设多项式M与的乘积为，那么M为。〔4〕长方形的面积为，假设它的一条边为2x，那么它的周长是。〔5〕多项式能被整除，且商式为3x+1，求的值。5．因式分解例题：以下各式从左到右属于因式分解的是()①am+bm-1=m(a+b)-1②③④⑤〔2〕公因式：多项式ma+mb+mc中的每一项都含有一个相同的因式m，我们称之为公因式。例题：找出的公因式。〔3〕提取公因式法：把公因式提出来，多项式ma+mb+mc就可以分解成两个因式m和〔a+b+c〕的乘积，这种因式分解的方法，叫做提取公因式法。例题：〔1〕用提取公因式法分解因式①②③用简便方法计算①②×××20③〔3〕如果，那么m的值为。分解因式：=〔4〕当，求的值。〔4〕公式法：将乘法公式反过来用，对多项式进行因式分解的，这种因式分解的方法成为公式法。例题1：〔1〕用平方差公式分解因式①②用简便方法计算①②×10.1③分解因式①②例题2：〔1〕用完全平方公式分解因式①②用简便方法计算：①②例题3：〔1〕分解因式①②a,b,c是△ABC的三条边，①判断的值的正负。②假设a,b,c满足，判断△ABC的形状。〔5〕十字相乘法：=〔a、b是常数〕例题：因式分解①②③整式乘除复习题练习一：同底数幂的乘法1、=___；2、=___；3、=___；4、=_；5、=___；6、=____练习二：幂的乘方1、=__；2、=__；3、=___；4、,那么____；练习三：积的乘方1、=___；2、=___；3、=___；4、=___；5、以下计算结果正确的选项是〔〕A.B.C.D.6、计算：〔-8〕3·〔0.125〕4=___；7、：，求的值。假设2m=a,2n=b，求23m+10n的值。练习四：单项式乘单项式计算：1、；2、；3、；;5、；8、练习五：单项式乘多项式；2、2a2(3a2-5b)；3、；5、；6、练习六：多项式乘多项式1．以下各式中，计算结果是的是〔〕ABCD计算：1、；2、3、；4、；练习七：平方差公式平方差公式为：2、______3、以下运算结果错误的选项是〔〕ABCD4、以下各式计算中，结果正确的选项是〔〕ABCD运用平方差公式计算：〔1〕；〔2〕；〔3〕；；〔5〕；〔6〕；〔8〕；〔9〕；〔11〕；〔13〕练习八：完全平方公式1、完全平方公式为：2、以下等式，不成立的是〔〕A.(3a-b)B.(a+b－c)C.(x+D.(x+y)(x－y)(x3、以下式子中是完全平方式的是()A． B．C． D．4、用完全平方公式计算：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；；〔6〕；〔7〕；〔8〕〔10〕〔10〕用简便方法运算：〔1〕〔2〕6._________．7.,．那么____________8.设是一个完全平方式，那么=____________9．如果是一个完全平方式,那么的值为______,那么m2=________________11．|x+2|+y2-2y+1=0,那么x+2y=_______________12.一个多项式的平方是,那么=()A、B、C、D、13、(x＋y)2＝1，(x－y)2＝49，求x2＋y2与xy的值，求与的值。练习九：同底数幂的除法1.；；__；；2.以下计算中，正确的选项是〔〕A、B、C、D、3．假设，那么有〔〕A、B、C、D、计算1、；2、；3、；练习十：单项式除以单项式1.2.以下计算错误的选项是〔〕A、B、C、D、计算：1、；2、；3、；；5、；6、练习十一：多项式除以单项式计算：1、；2、；3、；；7、练习十二：整式的混合运算1、以下计算正确的选项是〔〕．A、B、C、D、2、以下运算正确的选项是〔〕．A．B．C．·=D．3、计算：〔1〕2xy·x2y-〔x3y2-y2)〔2〕〔3〕〔4〕〔(2x+y)2–(x+y)(y-x)-8x〕÷2x〔5〕2〔6〕练习十三：1.化简，求值：，其中x=­4化简求值：，其中x=.3.先化简，再求值：，其中．4.先化简，再求值：其中a=-3,b=10.先化简，再求值：的值，其中先化简，再求值：其中x=-1,y=.练习十四：整体代入1.，那么代数式的值为2.，求代数式的值.3.，求代数式的值4.，求的值.5.，求的值6.：．求代数式的值分解因式复习题一、填空：1、假设是完全平方式，那么的值等于_____。2、那么=____=____3、与的公因式是____________4、假设=，那么m=_______，n=_________。5、在多项式中，可以用平方差公式分解因式的有__________，其结果是________。6、假设是完全平方式，那么m=_______。7、8、那么9、假设是完全平方式M=_____。10、，11、假设是完全平方式，那么k=_______。12、假设的值为0，那么的值是________。13、假设那么=_____。14、假设那么___。15、方程，的解是________。二、选择题：1、多项式的公因式是〔〕A、－a、B、C、D、2、假设，那么m，k的值分别是〔〕A、m=—2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=—4，k=—12、Dm=4，k=12、3、以下名式：中能用平方差公式分解因式的有〔〕A、1个，B、2个，C、3个，D、4个计算的值是〔〕A、B、三、分解因式：1、2、3、5、6.8、9、a2(b－c)＋b2(c－a)＋c2(a－b)(x＋1)2－9(x－1)2；11、4a2b2－(a2＋b2－c2)2；12、ab2－ac2＋4ac－4a；x2＋4xy＋3y214、－m4＋18m2－17；15、(x2＋x)(x2＋x－1)－2。四、证明(求值)：1．a＋b=0，求a3－2b3＋a2b－2ab2的值．2.求证：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数．3.证明：(ac－bd)2＋(bc＋ad)2=(a2＋b2)(c2＋d2)．4.a=k＋3，b=2k＋2，c=3k－1，求a2＋b2＋c2＋2ab－2bc－2ac的值．5．假设x2＋mx＋n=(x－3)(x＋4)，求(m＋n)2的值．6．当a为何值时，多项式x2＋7xy＋ay2－5x＋43y－24可以分解为两个一次因式的乘积．7．假设x，y为任意有理数，比拟6xy与x2＋9y2的大小．8．两个连续偶数的平方差是4的倍数．五、代数式求值，，求的值。，求的值假设x、y互为相反数，且，求x、y的值计算：〔1〕〔2〕〔3〕六、利用分解因式计算1、一种光盘的外D=11.9厘米，内径的d=3.7厘米，求光盘的面积。〔结果保存两位有效数字〕2、正方形1的周长比正方形2的周长长96厘米，其面积相差960平方厘米求这两个正方形的边长。七、分解因式在证明题中的应用1.求证：1111－1110－119=119×1092．求证：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数．3．证明：(ac－bd)2＋(bc＋ad)2=(a2＋b2)(c2＋d2)．4．假设x，y为任意有理数，比拟6xy与x2＋9y2的大小．5．两个连续偶数的平方差是4的倍数．6、对于任意自然数n，都能被动24整除。7.：a、b、c为三角形的三边，比拟的大小。中，三边a,b,c满足求证：9.：a、b、c是非零实数，且，求a+b+c的值。10.将11.求证：是6的倍数。〔其中n为整数〕12.假设x为任意整数，求证：的值不大于100。13.求证：多项式的值一定是非负数因式分解经典习题一、填空：1、假设是完全平方式，那么的值等于_____。2、那么=____=____3、与的公因式是＿4、假设=，那么m=_______，n=_________。6、假设是完全平方式，那么m=_______。7、8、那么9、假设是完全平方式M=________。10、，11、假设是完全平方式，那么k=_______。12、假设的值为0，那么的值是________。13、假设那么=_____。14、假设那么___。15、方程，的解是________。二、选择题：1、多项式的公因式是〔〕A、－a、B、C、D、2、假设，那么m，k的值分别是〔〕A、m=—2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=—4，k=—12、Dm=4，k=12、3、以下名式：中能用平方差公式分解因式的有〔〕A、1个，B、2个，C、3个，D、4个计算的值是〔〕A、