数学思想方法在小学数学教材中的体现及地位

数学思想方法在小学数学教材中的表达及地位东莞市东城区第五小学于芳摘要：数学思想方法是数学教学的重要目标，是数学知识的精髓，在认识活动中被反复运用，具有普遍的指导意义。小学数学教材中的数学思想方法主要有：集合、符号化、函数、对应、数形结合、化归、几何变换、无穷与极限、统计与概率等。它们在教材中主要以隐含的方式呈现，其真正的学习要到中学才展开。关键词：数学思想方法集合符号化函数数形结合化归几何变换极限概率统计数学思想方法，是数学知识的精髓，是数学教育目标的最终实现，是一个人数学素养的重要内涵之一。重视数学思想方法的教与学是现代社会对中小学教育，对人才培养的重要要求。“数学思想方法”一词无论在数学、数学教育领域内，还是在其他科学中，已被广为使用。《数学课程标准》明确指出，“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的时机，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握根本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”但是，究竟什么是数学思想方法，目前还没有一个明确的定义。许多专家学者根据自己的理解，给出了不同的解释和界定。数学思想方法概述钱佩玲对数学思想与数学方法分别进行了界定：“所谓数学思想是对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。”“数学方法是指从数学角度提出问题、解决问题的过程中所采用的各种方式、手段、途径等，其中包括变换数学形式。”钱佩玲认为“数学思想和数学方法是紧密联系的，一般来说，强调指导思想时称数学思想，强调操作过程时称数学方法。”郑毓信指出，“数学思想方法乃是指与具体数学知识内容相别离，并具有更大的普遍意义的思维模式原那么。它与数学思想，数学方法存在着一定的联系和区别，不能简单地将数学思想方法等同于数学思想与数学方法的简单综合。”数学思想与数学方法之间既有紧密的联系，又有明显的区别。首先，它们都与数学知识有密切的联系，数学知识是数学思想的源头和表达，又是数学方法的根底和载体。其次，数学思想和数学方法之间具有不同的属性和功能。数学方法是解决数学问题的规那么和程序，是数学思想的具体化反映，数学思想那么指出数学认识活动的运行方向，规定思维的大致路径。第三，数学思想和数学方法之间具有相对性，同一项数学成果，当我们注重它的操作意义，即用于解决问题时，可能称之为数学方法；当我们注重它在数学体系中的地位、价值或它的内涵时，可能称之为数学思想。综上所述，从数学教育的角度来看，区分数学思想与方法没有太大的意义，在没有必要区分或不便区分时，就将它们统称为数学思想方法。小学数学教材中数学思想方法的种类及其表达由于义务教育阶段的数学教材将数学知识分为：数与代数、空间与图形、统计与概率等几个板块呈现，因此本文从以下三个方面阐述数学思想方法在教材中的表达。数与代数中的数学思想方法1、集合思想把一类研究对象作为一个整体进行研究的思想就是集合思想。数学中很多东西都可以看成集合或从集合角度来思考，如方程的所有解构成解集。例如人教版小学数学三年级下册第26页中的第3题，〔如右图〕表达的就是集合思想。该册教材中的《数学广角》专门介绍了集合圈的表示方法以及运用集合圈解决数学问题。但是在教材中始终没有出现“集合”一类的名词。类似的用集合圈体会集合思想的教学内容从一年级到六年级各册教材中都有所表达。2、符号化思想所谓符号化思想就是用一种符号代替原物，不用原物而用符号进行表示、交流、运算等活动的思想。数学符号化思想最初表现为用记号或字母表示数的思想，后来慢慢开展为代数思想。用字母表示公式、列方程解决问题，都是符号化思想的表达。3、函数、对应的思想方法函数就是指一个变化过程中两个变量χ，у之间的相依关系。函数思想是客观世界中事物运动变化、相互联系、相互制约的普遍规律在数学中的反映，函数思想的本质是变量之间的对应。运用函数思想能从运动变化的过程中寻找联系，把握特点与规律，从而选择恰当的方法解决问题。如人教版小学数学一年级下册第14页中的第5题〔如右图〕，让学生初步体验到：一个加数不变时，和随着另一个加数的变化而变化是线性函数у＝a＋x。同样地，一个因数不变，积随着另一个因数的变化而变化，反映的是正比例函数。此外，各种周长、面积和体积公式实质上都是用解析式表示的变量之间的函数关系式。4、数形结合的思想方法数形结合的思想方法的实质是将抽象的数学语言和直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合，通过对图形处理发挥直观对抽象的支柱作用，通过对数与式的转换，使图形的特征及几何关系刻画得更加精细和准确。如人教版六年级上册第10页的分数乘法的例题教学就采用了数形结合的方法〔如左图〕。5、化归的思想方法化归就是把未知解法的问题转化为在已有知识和方法的范围内可以解决的问题的思想方法。它是解决各类数学问题的根本思想和途径，化归的方向应当是：由未知到，由难到易，由繁到简。也有的书籍把化归方法称之为转化的方法。小学阶段数学教材中数与代数板块对化归思想的表达很多，例如将两步应用题化归为一步应用题，将小数乘除法化归为整数乘除法等等。空间与图形中的数学思想方法几何变换思想在几何的解题中，当题目给出的条件显得不够或者不明显时，我们可以将图形作一定的变换，这样将有利于发现问题的隐含条件，抓住问题的关键和实质，使问题得以突破，找到满意的解答。几何变换是一种重要的思想方法，它是一种以变化的、运动的观点来处理孤立的、离散的问题的思想。人教版小学数学教材中的对称图形、平移、旋转等都属于几何变换的范畴。2、无穷与极限思想无穷及无限，谈及无穷，应涉及两个方面的含义，一个是往大的方向考虑——无穷大，一个是往小的方面考虑——无穷小。无穷大或无穷小是一个概念，而不是一个数。极限思想是在无穷思想也就是在对无限的认识的根底上产生的。“当n无限增大时，数列无限接近于零。”这就是极限的概念。极限的思想是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。学生初步认识“直线”时，就对无限有了一定的认识。而六年级上册《圆的面积》的学习中，求单位圆的面积使用不断增加分割块数拼成长方形的方法正是在展示极限过程。在这个过程中，拼得的图形不断变化，并且越来越接近变长为2r和r的长方形。这个长方形正是这一无限的图形序列的终极状态，即这一无限序列的极限。3、数形结合思想数形结合的思想方法采用了代数方法和几何方法中最好的方面：几何方法的形象直观与代数方法的一般性、可操作性。例如人教版六年级上册第一单元《位置》的学习中，通过数对确定平面直角坐标系上的位置，平面上的点与有序实数对之间建立了一一对应关系。另外六年级下册《负数》单元的学习中，引入了数轴概念，这也是数形结合思想的表达。4、化归的思想方法小学的空间与图形从研究简单的平面图形的性质开始，复杂图形的问题都是通过化归为简单图形来解决。例如三角形的面积计算是化归为长方形面积来研究，平行四边形的面积计算以及多边形的面积计算又是化归为三角形面积来研究。统计与概率中的数学思想方法1、概率思想概率也叫几率或时机，是一个随机事件发生的可能性的度量，一个不可能事件的概率是0，而一个必然事件的概率是1，而在其他情形概率是介于0与1之间的某个数。从概率的定义可以看出，随机事件就是发生与否不可预测的事件，随机事件的发生与否是有规律可循的，但反过来，即使我们知道某事件发生的概率，但仍不能肯定该事件在下一次试验中会不会发生，即又在规律中蕴含意外。这就是概率思想。它让我们在考虑问题时从概率的角度分析、理解、断言、处理，建立“事物没有绝对”的世界观。人教版教材对概率思想的渗透最初是在二年级下册《统计》单元第110页中，在对来往车辆进行统计之后，根据统计结果，预测接下来最有可能出现的应当是什么种类的车。之后在三年级上册通过《可能性》的教学让学生学会对随机事件概率大小的判断；最后是在五年级上册《统计与可能性》单元中，学会用古典概率计算随机事件的概率。2、统计思想日常生活中的统计一词多指汇总和计数，这种统计的特征是分类汇总、整理，从中看出分散数据不容易看出的数据特征。这类统计通常称为初等统计，也就是一般统计学。数学科学研究中的统计是指数理统计，需要使用复杂的工具对数据作深刻分析。数理统计的根本特征之一是通过局部的数据来推测全体数据的性质。统计的根本思想包括：抽样、统计推断等。我们需要了解的对象往往是无穷无尽的，而我们所能观察的群体总是有限的，因此在统计中就必须运用抽样思想来选择观察群体；而选择这样的群体所总结出来的规律，对整表达象的判断就要基于推断。推断思想是一种利用现有信息进行的概率推理，抽样推断是统计推断思想的集中表达。统计思想的渗透在小学数学教学中至始至终贯穿于整个教学体系中，但其中细微之处的把握还需要教师去领会。数学思想方法在小学数学教材中的地位数学思想方法是数学理论形成和开展的根底，渗透数学思想方法的教学能促进学生思维能力的开展，改善学生的认知结构，提高学生解决问题的能力。但是在小学数学教材中，数学思想方法都是以隐含的形式呈现。例如集合思想方法的渗透，从一年级入学就已经开始，但是直到三年级下册《数学广角》中介绍利用集合圈解题都没有出现过集合的名称，教师用书中也要求教师不要向学生介绍类似的名称。同样的例子还有概率思想方法，教材中都用“可能性”一词来代替。也就是说，小学数学教材中的数学思想方法，是隐含于教材体系之中的，它不是我们教学的显性目标，而是教学的隐性目标。由于小学生的思维处于由直观形象思维向抽象思维逐步过渡的过程中，因此，数学思想方法的学习对他们而言，还言之过早，他们只需要在学习中假设有假设无的有所感受即可，真正的数学思想方法的学习，要到中学才真正展开。但是，这并不是说小学阶段的数学教学完全不必要考虑数学思想方法的渗透。相反，它对教师的教学提出了更高的要求。教师要做到对教材中表达的数学思想方法心中有数，在教学中引导学生去感悟、去体验，但是又不要把它的概