初中数学《函数》实用北师大版2

4.5.1函数的零点与方程的解4.5.1函数的零点与1

判别式=b2-4ac

>00

<0

二次函数y=ax2+bx+c

的图象一元二次方程ax2+bx+c=0

的根二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有两个不等的实数根x1,x2

有两个相等实数根x1=x2没有实数根xyx1x2xyx1=x2xy(x1,0)，

(x2,0)(x1,0)没有交点

我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点.

判别式>00<02结论：一元二次方程的根与相应的二次函数图象的关系是推广到一般情形:函数y=f(x)的图象与x轴有交点方程f(x)=0有实根若一元二次方程有实数根,它的根就是相应二次函数的图象与x轴交点的横坐标;若一元二次方程没有实数根,则相应二次函数的图象与x轴没有交点.x0(x0,0)结论：一元二次方程的根与相应的二次函数图象的关系是推广到一般3像lnx+2x-6=0这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？像lnx+2x-6=0这样不能用公式求解的方程，是否也能采用42024/4/2函数的零点定义：函数y=f(x)的图象与x轴有交点方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)有零点等价关系

对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。函数的零点是点吗？

答：不是。函数y=f(x)的零点是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标。零点的求法代数法图象法2024/4/1函数的零点定义：函数y=f(x)的图象与x轴5由刚才的等价关系我们知道，求方程f(x)=0的实数解，就是确定函数y=f(x)的零点，一般地，对于不能用公式求解的方程f(x)=0，我们可以把它与相应的函数y=f(x)联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的解。下面从考察二次函数存在零点时函数图象的特征，以及零点附近函数值的变化规律入手。由刚才的等价关系我们知道，求方程f(x)=0的实数解，就是6012345-1-212345-1-2-3-4xy2.用数形结合法探究①在区间[-2,1]上有零点;f(-2)=;f(1)=;f(-2)·f(1)0。-15-4<②在区间[2,4]上有零点;f(2)·f(4)0。3<对于二次函数，若在区间[a,b]上有f(a)

f(b)<0，则在区间(a,b)上有零点。012345-1-212345-1-2-3-4xy2.用数7问题2：函数f(x)在区间[a,b]上f(a)f(b)<0，那么函数f(x)在区间(a,b)上是否一定有零点？0yxxy0

函数f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)<0此时，函数有几个零点？0yx问题2：函数f(x)在区间[a,b]上f(a)f(b)<0，8函数零点存在定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在

c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解。函数零点存在定理如果函数y=f(x)在区9思考：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上是一条连续不断的曲线，且在区间

(a,b)内有零点，是否一定有f(a)f(b)<0？xy0这说明什么？“在给定区间[a,b]上连续”和“f(a)f(b)<0”这两个条件是函数

y=f(x)在区间

(a,b)内有零点的充分不必要条件。思考：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上是一条连续不断10思考：

如果函数

y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有

f(a)f(b)<0，那么函数

y=f(x)在区间(a,b)内有零点，但是否只有一个零点呢？0yx这又说明什么？函数零点存在定理可以证明函数有零点，但不能判定零点的个数。思考：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连11例1求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数.解：当x趋于0时，f(x)趋于-∞，当x趋于+∞时，f(x)趋于+∞。由此可以判断f(x)必存在零点。由于y=lnx与y=2x都是(0,+∞)上的单调函数，因此只有一个零点。分析：先说明它存在零点，再求零点的个数。巩固深化例1求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数.解：当x12思路2：数形结合，利用图象直观发现结论O1236思路2：数形结合，利用图象直观发现结论O123613应用探究例

证明函数f(x)=lnx+2x-6在(2,3)存在零点.解：∵函数的定义域为(0,+∞)，∴函数的图象在(2,3)内是连续不断的.∵f(2)=ln2+2×2-6=ln2-2=ln2-lne²<0∵f(3)=ln3+2×3-6=ln3>ln1=0∴f(2)·f(3)<0∴函数f(x)=lnx+2x-6在(2,3)存在零点.应用探究例证明函数f(x)=lnx+2x-6在(2,314请同学们练习课本P1441题思考：如何判断函数在某一特定区间内只有一个零点？

如果函数

y=f(x)

在[a,b]上,图象是连续的,并且在闭区间的两个端点上的函数值互异，即f(a)f(b)<0,且是单调函数,那么，这个函数在(a,b)内必有惟一的一个零点。函数零点存在定理的推论：巩固练习请同学们练习课本P1441题思考：如何判断函数在某一特定区15应用探究例

已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x123456f(x)136.13615.552-3.9210.88-52.488-232.064则函数f(x)有零点的区间个数至少是()A.1个

B.2个

C.3个

D.4个解：∵函数f(x)有零的图象是连续不断的，且f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，∴函数f(x)在(2,3)、(3,4)、(4,5)存在零点.C学科网原创应用探究例已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下16应用探究例

若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且有f(a)·f(b)>0，则函数在(a,b)上()A.一定没有零点

B.至少有一个零点

C.只有一个零点

D.零点情况不确定D总结：函数零点存在定理中的条件缺一不可.应用探究例若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且17应用探究例

函数f(x)

=ex-1+4x-4的零点所在区间为()A.(-1,0)

B.(0,1)

C.(1,2)

D.(2,3)B分析一：同一系作y=ex-1，y=-4x+4图象：分析二：定义域R，图象连续不断，计算f(-1)

=e-2-4-4<0f(1)

=e0+4-4>0f(2)

=e1+8-4>0f(3)

=e2+12-4>0f(0)

=e-1-4<0∴f(0)·f(1)<0应用探究例函数f(x)=ex-1+4x-4的零点所18函数y=f(x)有零点函数y=f(x)的图象与x轴有公共点1、函数的零点与方程的解的关系：方程f(x)=0有实数解2、判断在某个区间是否存在零点的方法如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在

c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解。函数零点存在定理本节课同学们有什么收获和体会？课堂小结函数y=f(x)有零点函数y=f(x)191.情节是叙事性文学作品内容构成的要素之一,是叙事作品中表现人物之间相互关系的一系列生活事件的发展过程。2.它由一系列展示人物性格,反映人物与人物、人物与环境之间相互关系的具体事件构成。3.把握好故事情节,是欣赏小说的基础,也是整体感知小说的起点。命题者在为小说命题时,也必定以情节为出发点,从整体上设置理解小说内容的试题。通常从情节梳理、情节作用两方面设题考查。4.根据结构来梳理。按照情节的开端、发展、高潮和结局来划分文章层次,进而梳理情节。5.根据场景来梳理。一般一个场景可以梳理为一个情节。小说中的场景就是不同时间人物活动的场所。6.根据线索来梳理。抓住线索是把握小说故事发展的关键。线索有单线和双线两种。双线一般分明线和暗线。高考考查的小说往往较简单,线索也一般是单线式。7.阅历之所以会对读书所得产生深浅有别的影响，原因在