数学高二(上)沪教版(数学归纳法及其应用(二))教师版

年级：高二辅导科目：数学课时数：3课题数学归纳法及其应用二教学目的掌握数学归纳法的一般步骤；会用数学归纳法解决整除问题及郑明明某些与正整数有关的等式；3、领会“归纳—猜测—证明”的思想方法。教学内容【知识梳理】数学归纳法概念:对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题,我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：(1〕证明当n取第一个值(∈N*例如=1或)时,命题成立;〔2〕假设当n=k(k∈N*,k≥)时命题成立证明当n=k+1时命题也成立.在完成了这两个步骤以后,就可以断定命题对于从开始的所有正整数n都成立这种证明方法叫做数学归纳法想一想：〔1〕为什么完成了这两个步骤就证明了对所有的自然数都成立？〔2〕为什么证明时这两个步骤缺一不可？【典型例题分析】例1、对于以下数列的排列2，3，43，4，5，6，74，5，6，7，8，9，10……写出并证明第行数中所有数的和与的关系式。【答案】由可得，于是猜测。当，所以当时，命题成立设当时命题成立，即。当时，所以，当时，命题成立。所以对于任何的正整数，例2、数列的各项都是正数，且满足，对任意自然数有，求数列的通项公式。【答案】〔1〕，所以猜测当时，，所以当时命题成立。设当时命题成立，即当所以当时命题成立。所以对于任意自然数，。例3、数列对任意正整数有，且，求数列的通项公式。【答案】由可得，解得；于是猜测数列的通项公式由可得，于是，那么。当所以，当，命题成立；设当时，命题成立，那么当所以，数列的通项公式是例4、是否存在常数使得数列的首项，通项公式是，且对于任意的正整数，的前项之和，满足？【答案】设满足要求的常数存在，那么由可得解得，那么解得于是，可设数列的通项公式是由，当所以当命题成立。设当时，命题成立，即当，所以当时命题成立。 所以存在常数使得数列的通项公式是例5、求所有使得能被8整除的正整数。【答案】假设先用数学归纳法证明：对于任意正整数，能被8整除当时，命题成立；设当时，命题成立，即能被8整除，当，能被8整除，所以当时命题成立。所以，对于任意正整数，能被8整除，于是，对于正整数被8除的余数是2.在用数学归纳法证明：对于任意正整数，能被8整除。当时，能被8整除，所以当时，命题成立；设当时，命题成立，即能被8整除；当，能被8整除，所以当，命题成立。所以，当且仅当为正整数且为奇数时，能被8整除例6、对正数及任意正整数，求证： 【答案】当时，左边=，所以当时，不等式成立；设当时，不等式成立，即当由得于是，所以当，不等式成立。所以，对正数及任意正整数，【课堂小练】1、某个命题与自然数n有关，如果当时，该命题成立，那么可推得当n=k+1时命题也成立。现在n=5时命题不成立，那么可推得〔C〕A、n=6时该命题不成立B、n=6时该命题成立C、n=4时该命题不成立D、n=4时该命题成立原命题和逆否命题互为等假命题，因此通过判断逆否命题来解决。2、首项为正数的数列满足〔1〕证明：假设为奇数，那么对于一切，都是奇数〔2〕假设对一切，都有，求的取值范围。【答案】〔1〕假设是奇数假设是奇数，所以当时，命题成立；设当时，命题成立，即是奇数；当同理可证是奇数，所以当时命题成立。所以，假设为奇数，那么对于一切，都是奇数〔2〕由，即，解得假设，由函数上单调递增得，即当时命题成立。设当时，命题成立，当，同理可得，即时命题成立。假设，同理可得，即当时命题成立。设当时，命题成立，即；当，同理可得，即时命题成立。所以，对一切，都有3、设数列的前项之和，且方程有一根为〔1〕求〔2〕求的通项公式【答案】〔1〕〔2〕解得由得所以当；所以当时，命题成立；设当时，命题成立，即；当时，所以，当时命题成立，即对任意正整数n，当时，，又所以数列的通项公式是4、数列，，记求证：当时〔1〕；〔2〕；〔3〕。【答案】〔1〕由可得解得，当设，那么当所以对任意正整数n，有，于是，由，即〔2〕由得，于是，而所以〔3〕由可得，，那么那么当时，，而，由得【课堂总结】在用数学归纳法证明题目的时候需要关注的从n=k到n=k+1左边和右边都发生了什么变化，增加或减少了哪些项。在推理的过程中必须要用到前一步的假设，即n=k时的情况。【课后练习】一、根底稳固1.以下各式中可以用数学归纳法证明的是〔〕(A)(B)二次函数的图像时轴对称(C)11的奇数次方与1的和一定能被12整除〔C〕…的过程中，由增加到时，不等式左边的变形是〔〕〔A〕增加(B)增加和(C)增加和，且减少(D)以上结论都不对3.用数学归纳法证明：…，需验证时等式成立，此时左边的式子应为〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕4.用数学归纳法证明等式“……〔〕”过程中第一步，当时，左边=__________，右边=___________。5.用数学归纳法证明等式“…〔〕”时，从时，等式左边需要增加的是____________。6.用数学归纳法证明“…〔〕”时〔1〕当时，左边，右边，〔2〕假设时，等式成立，即…，当时，…，即时，等式也成立，根据〔1〕〔2〕可以断定，当年等式对于任何都成立。以上证法是_______〔填“正确”或“不正确”〕，理由是_________________________.中，，假设此数列的前n项和〔〕,那么________,________,__________,进而猜测____________。8.数列：的第四项是_________，猜测第n项的一个通项公式是______________。二、能力提升9.某个命题与自然数有关，如果当该命题成立，那么可以推得当时该命题也成立，先为了推得时该命题不成立，那么需〔〕〔A〕时命题不成立〔B〕时命题成立〔C〕时命题不成立〔D〕时命题成立10.用数学归纳法证明：〔1〕当时，能被整除；〔2〕三个连续正整数的立方和可以被整除。的首项且前和〔，〕，求的值并由此猜测的通项公式。中，。〔1〕求的值；〔2〕求；〔3〕推测的表达式，并用数学归纳法加以证明。13.自然状态下的鱼类是一种可再生的资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其繁殖能力及捕捞强度对鱼群总量的影响，用表示某鱼群在第n年年初的总量，，且，不考虑其他因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正常数。〔1〕求的关系式；〔2〕猜测：当且仅当满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？〔不要求证明〕；〔3〕设为保证对任意，都有，，那么捕捞强度的最大允许值是多少？证明你的结论。三、创新探究，对任意实数满足，求证：〔〕。四、高考体验15.〔2009山东〕等比数列的前n项和为，对任意的，点均在函数的图像上。〔1〕求的值；〔2〕当时，记〔〕证明：对于任意，不等式……成立答案2.C3.D4.;5.6.不正确；递推步骤中没有用到归纳假设7.8.11.猜测12.〔1〕〔2〕〔3〕13.〔1〕，〔2〕猜测：当且仅当时，每年年初鱼群的总量保持不变