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文档简介
年级:高二辅导科目:数学课时数:3课题数学归纳法及其应用二教学目的掌握数学归纳法的一般步骤;会用数学归纳法解决整除问题及郑明明某些与正整数有关的等式;3、领会“归纳—猜测—证明”的思想方法。教学内容【知识梳理】数学归纳法概念:对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题,我们常采用下面的方法来证明它们的正确性:(1〕证明当n取第一个值(∈N*例如=1或)时,命题成立;〔2〕假设当n=k(k∈N*,k≥)时命题成立证明当n=k+1时命题也成立.在完成了这两个步骤以后,就可以断定命题对于从开始的所有正整数n都成立这种证明方法叫做数学归纳法想一想:〔1〕为什么完成了这两个步骤就证明了对所有的自然数都成立?〔2〕为什么证明时这两个步骤缺一不可?【典型例题分析】例1、对于以下数列的排列2,3,43,4,5,6,74,5,6,7,8,9,10……写出并证明第行数中所有数的和与的关系式。【答案】由可得,于是猜测。当,所以当时,命题成立设当时命题成立,即。当时,所以,当时,命题成立。所以对于任何的正整数,例2、数列的各项都是正数,且满足,对任意自然数有,求数列的通项公式。【答案】〔1〕,所以猜测当时,,所以当时命题成立。设当时命题成立,即当所以当时命题成立。所以对于任意自然数,。例3、数列对任意正整数有,且,求数列的通项公式。【答案】由可得,解得;于是猜测数列的通项公式由可得,于是,那么。当所以,当,命题成立;设当时,命题成立,那么当所以,数列的通项公式是例4、是否存在常数使得数列的首项,通项公式是,且对于任意的正整数,的前项之和,满足?【答案】设满足要求的常数存在,那么由可得解得,那么解得于是,可设数列的通项公式是由,当所以当命题成立。设当时,命题成立,即当,所以当时命题成立。 所以存在常数使得数列的通项公式是例5、求所有使得能被8整除的正整数。【答案】假设先用数学归纳法证明:对于任意正整数,能被8整除当时,命题成立;设当时,命题成立,即能被8整除,当,能被8整除,所以当时命题成立。所以,对于任意正整数,能被8整除,于是,对于正整数被8除的余数是2.在用数学归纳法证明:对于任意正整数,能被8整除。当时,能被8整除,所以当时,命题成立;设当时,命题成立,即能被8整除;当,能被8整除,所以当,命题成立。所以,当且仅当为正整数且为奇数时,能被8整除例6、对正数及任意正整数,求证: 【答案】当时,左边=,所以当时,不等式成立;设当时,不等式成立,即当由得于是,所以当,不等式成立。所以,对正数及任意正整数,【课堂小练】1、某个命题与自然数n有关,如果当时,该命题成立,那么可推得当n=k+1时命题也成立。现在n=5时命题不成立,那么可推得〔C〕A、n=6时该命题不成立B、n=6时该命题成立C、n=4时该命题不成立D、n=4时该命题成立原命题和逆否命题互为等假命题,因此通过判断逆否命题来解决。2、首项为正数的数列满足〔1〕证明:假设为奇数,那么对于一切,都是奇数〔2〕假设对一切,都有,求的取值范围。【答案】〔1〕假设是奇数假设是奇数,所以当时,命题成立;设当时,命题成立,即是奇数;当同理可证是奇数,所以当时命题成立。所以,假设为奇数,那么对于一切,都是奇数〔2〕由,即,解得假设,由函数上单调递增得,即当时命题成立。设当时,命题成立,当,同理可得,即时命题成立。假设,同理可得,即当时命题成立。设当时,命题成立,即;当,同理可得,即时命题成立。所以,对一切,都有3、设数列的前项之和,且方程有一根为〔1〕求〔2〕求的通项公式【答案】〔1〕〔2〕解得由得所以当;所以当时,命题成立;设当时,命题成立,即;当时,所以,当时命题成立,即对任意正整数n,当时,,又所以数列的通项公式是4、数列,,记求证:当时〔1〕;〔2〕;〔3〕。【答案】〔1〕由可得解得,当设,那么当所以对任意正整数n,有,于是,由,即〔2〕由得,于是,而所以〔3〕由可得,,那么那么当时,,而,由得【课堂总结】在用数学归纳法证明题目的时候需要关注的从n=k到n=k+1左边和右边都发生了什么变化,增加或减少了哪些项。在推理的过程中必须要用到前一步的假设,即n=k时的情况。【课后练习】一、根底稳固1.以下各式中可以用数学归纳法证明的是〔〕(A)(B)二次函数的图像时轴对称(C)11的奇数次方与1的和一定能被12整除〔C〕…的过程中,由增加到时,不等式左边的变形是〔〕〔A〕增加(B)增加和(C)增加和,且减少(D)以上结论都不对3.用数学归纳法证明:…,需验证时等式成立,此时左边的式子应为〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕4.用数学归纳法证明等式“……〔〕”过程中第一步,当时,左边=__________,右边=___________。5.用数学归纳法证明等式“…〔〕”时,从时,等式左边需要增加的是____________。6.用数学归纳法证明“…〔〕”时〔1〕当时,左边,右边,〔2〕假设时,等式成立,即…,当时,…,即时,等式也成立,根据〔1〕〔2〕可以断定,当年等式对于任何都成立。以上证法是_______〔填“正确”或“不正确”〕,理由是_________________________.中,,假设此数列的前n项和〔〕,那么________,________,__________,进而猜测____________。8.数列:的第四项是_________,猜测第n项的一个通项公式是______________。二、能力提升9.某个命题与自然数有关,如果当该命题成立,那么可以推得当时该命题也成立,先为了推得时该命题不成立,那么需〔〕〔A〕时命题不成立〔B〕时命题成立〔C〕时命题不成立〔D〕时命题成立10.用数学归纳法证明:〔1〕当时,能被整除;〔2〕三个连续正整数的立方和可以被整除。的首项且前和〔,〕,求的值并由此猜测的通项公式。中,。〔1〕求的值;〔2〕求;〔3〕推测的表达式,并用数学归纳法加以证明。13.自然状态下的鱼类是一种可再生的资源,为持续利用这一资源,需从宏观上考察其繁殖能力及捕捞强度对鱼群总量的影响,用表示某鱼群在第n年年初的总量,,且,不考虑其他因素,设在第n年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与成正比,死亡量与成正比,这些比例系数依次为正常数。〔1〕求的关系式;〔2〕猜测:当且仅当满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变?〔不要求证明〕;〔3〕设为保证对任意,都有,,那么捕捞强度的最大允许值是多少?证明你的结论。三、创新探究,对任意实数满足,求证:〔〕。四、高考体验15.〔2009山东〕等比数列的前n项和为,对任意的,点均在函数的图像上。〔1〕求的值;〔2〕当时,记〔〕证明:对于任意,不等式……成立答案2.C3.D4.;5.6.不正确;递推步骤中没有用到归纳假设7.8.11.猜测12.〔1〕〔2〕〔3〕13.〔1〕,〔2〕猜测:当且仅当时,每年年初鱼群的总量保持不变
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