江苏省泰州市多校2025届高三7月联合统一调研模拟考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省泰州市多校2025届高三7月联合统一调研模拟考试数学试卷一、选择题1.集合和逻辑用语描述了精彩的数学世界，下列说法正确的是（）A.随机试验的样本空间为，若与一一对应，则为随机变量B.C.函数的定义域是数集A，值域是数集D.数列的本质是定义域为，值域是数集的函数〖答案〗A〖解析〗A选项，一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数与之对应，则为随机变量．A选项正确；B选项，既是奇函数也是偶函数，故，B错误；C选项，一般地，设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么为从集合A到集合的一个函数，其中A是函数的定义域，集合是函数的值域，而不是，C选项错误；D选项，数列的本质是定义域为，值域是数集的函数，D选项错误．故选：A.2.如图所示，点在上，向量所在直线与相切于点，向量．若已知下列选项给出的量，则可以得到的选项是（）①②③半径④⑤A.①④ B.①② C.③ D.⑤〖答案〗D〖解析〗由于向量所在直线与相切于点，故，得，从而因此若已知即可得到，D选项正确．因为，由图可知为钝角，所以，故其他选项均不能得到，ABC选项均错误．故选：D.3.设满足一元线性回归模型的两个变量的对样本数据为，下列统计量中不能刻画数据与直线的“整体接近程度”的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗统计量和可以刻画数据点与直线的竖直距离，进而可以刻画数据与直线的“整体接近程度”，AC选项不符合题意．统计量可以刻画数据点与直线的距离，也可以刻画数据与直线的“整体接近程度”，B选项不符合题意．统计量的计算会出现直线两侧的数据点在代数上正负抵消的情况，因此不能刻画数据与直线的“整体接近程度”，D选项符合题意．故选：D.4.函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画．下列情景可以使用指数函数模型的是（）A.在弹性限度内，弹簧的弹力与其形变量成正比B.以每年5%增长率递增的物价翻一倍所需的时间C.动物种群个体数量的瞬时变化率与个体数量成正比D.物体温度的瞬时变化率正比于物体与环境的温度差〖答案〗C〖解析〗对于选项A：在弹性限度内，弹簧弹力与其形变量成正比，，因此该情景应使用线性增长模型，A选项错误；对于选项B：以每年的增长率递增的物价所需的时间（单位：年），因此该情景应使用对数增长模型，B选项错误；对于选项C：设动物种群个体数量为，个体数量的瞬时变化率为．个体数量的瞬时变化率与个体数量成正比，，因此的其中一种表达式为，可以使用指数函数模型，C选项正确；对于选项D：设环境温度为，物体温度为，物体温度的瞬时变化率正比于物体与环境的温度差，，因此的其中一种表达式为，不能使用指数函数模型，D选项错误．故选：C.5.圆与两个坐标轴都相切，可以得出的结论是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗分别令和，得由于圆与两个坐标轴都相切，因此两个一元二次方程均有两个相等的实根．分别令和，即可得到，A选项正确．BCD选项均错误．故选：A.6.一只蜗牛从数轴原点出发向正方向前进1个单位长度，接着后退个单位长度，然后再前进个单位长度，接着后退个单位长度，以此类推．经过足够长的时间后，蜗牛将始终会在某个位置附近前后爬行，这个位置的坐标是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗该蜗牛一次前进一次后退，称为一次行动，在第1次行动中，蜗牛前进了个单位长度；第2次行动中，蜗牛前进了个单位长度；在第3次行动中，蜗牛前进了个单位长度；因此在第次行动中，蜗牛前进了个单位长度，次行动后，蜗牛总共前进了个单位长度，数列是递增数列，且恒有，经过足够长的时间，即当无限增大时，将趋近于将趋近于，所以经过足够长的时间后，蜗牛将始终会在坐标为的位置附近前后爬行，B正确，ACD均错误.故选：B.7.下列关于随机事件的说法错误的是（）A.必然事件与任意事件独立B.不可能事件与任意事件独立C.两个概率大于0的互斥事件可以不独立D.两个概率大于0的独立事件可以互斥〖答案〗D〖解析〗因为，而，因此，故A正确，，而，因此，故B正确，设，若与互斥，则，但，因此，故C正确，若与独立，则，因此与一定不互斥，故D错误．故选：D.8.已知，函数的值等于除以6得到的余数，．设，若存在，使得对于任意的，都不满足，则函数的个数是（）A.729 B.189 C.378 D.540〖答案〗B〖解析〗，函数与的关系如下图所示：可以看出，由于函数的对应关系固定，函数的个数只取决于的到的对应关系．因为存在，使得对于任意的，都不满足，所以的没有对应满中的所有元素．考虑其反面，即对于任意的，总存在，使得，即的对应满了中的所有元素．求满足反面的的个数的问题等价于“6名工人到3间工厂应聘，每名工人只去一间工厂，每间工厂至少有一名工人前来应聘，求应聘情况的总数”，一共有种情况，即满足反面的有540个，没有限制条件的有个，因此满足题目条件的有个，故B正确．故选：B．二、选择题9.下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.随机变量的方差是其取值与其均值的偏差平方的期望D.若服从两点分布，且，则〖答案〗BCD〖解析〗因为，所以是连续型随机变量，因此的其中一个取值的概率为0，故A错误，由于，故，故B正确，由于也是随机变量，其期望，故C正确．而服从两点分布，不妨设，，解得，因此，故D正确．故选：BCD.10.平面内有一点，小明从点出发，依次到达点等于逆时针旋转后得到的向量，．下列说法正确的是（）A. B.C. D.与共线，〖答案〗ACD〖解析〗对于A，如图所示，，且，因此，A选项正确；对于B，，又，因此是首项为1，公比为的等比数列，所以，B选项错误；对于C，，因此，C选项正确；对于D，由图可知，始终与同向或反向，因此与共线，D选项正确．11.函数的〖解析〗式分别为将所有的极大值点从大到小依次排列，形成数列，下列说法正确的是（）A. B.C.数列是以为首项等比数列 D.的图象在函数图象下方〖答案〗BD〖解析〗对于A：因为，当时，，此时的取值在内不停振荡，并不趋近于任何值，因此不存在，故A错误．对于B：，故B正确．对于C：因为，所以，由于，在的极大值点处的符号变化是由正变负，又因为在上单调递减，因此的极大值点满足，即．显然随着的增大而减小，符合从大到小排列，因此，则，所以，，因此是以为首项，为公差的等差数列，故C错误．因为，则，又，所以为奇函数，当时，令，则，所以在上单调递增，所以，即恒成立，所以，即当时，则当时，所以，又与（）关于轴对称，与也关于轴对称，所以当时，综上可得的图象在函数图象下方，故D正确．故选：BD.三、填空题12.的三边分别为，边上的中线长为__________．〖答案〗〖解析〗设边上的中线为，由余弦定理知，则，所以中线长为．13.与家庭电路不同，从发电厂到用户端的高压电路只有三根火线而没有零线．实际上，发电厂通常采用三相正弦交流进行发电，三根火线的瞬时电流表达式分别为，．假设三根火线的电流分别进入用户端并通过一根零线流出，则零线瞬时电流__________．〖答案〗0〖解析〗由题意得，原式，，，.14.已知在行列的数阵中，第1行第1列的数为，数阵的每一列从上往下组成公差为的等差数列，每一行从左往右组成公差为的等差数列．从第行第1列的数开始，沿数阵的对角线斜向上组成新的数列，该数列所有项之和为__________．整个数阵的所有数的总和为__________．〖答案〗〖解析〗由题意,列出行列的数阵,，，，，，，可以看出，从左下方沿数阵的对角线斜向上组成的数列均为公差为的等差数列，因此，从第行第1列的数开始，沿数阵的对角线斜向上组成的数列的所有项（项）之和为．由题意，第1行的和为：，第2行的和为：，第3行的和为：，第n行的和为：，上述n个式子相加得，所以整个数阵所有数的总和为．四、解答题：15.已知．（1）计算并画出在上的大致图象．（2）将在上所有的极大值点以及极大值从小到大依次排列，分别组成数列和，证明：是等差数列，是等比数列．（1）解：，因为，由得到，由，得到或，所以的单调性如下表所示：0+0-00的图象如下图所示：（2）证明：由于当时，；当时，；当时，，因此是极大值点．将极大值点从小到大依次排列，形成数列，得，，因此是以为首项，为公差的等差数列．极大值为．将极大值从小到大依次排列，形成数列，得，．因此是以为首项，为公比的等比数列．16.已知常数，设关于的方程．（1）在复数范围内求解该方程．（2）当时，设该方程的复根分别为，证明：（3）如果多项式的系数是复数，那么称该多项式为复系数多项式．已知任何一元次）复系数多项式方程至少有一个复根．证明：有个复数根（重根按重数计）．（4）将题设的常数“”改为“”，并证明：（2）仍然成立．（1）解：当时，方程有无数个根，所有根组成的集合是；当时，方程无根；当时，方程的根为；时，配方得．①当时，方程有两个实根．②当时，方程化为，由于，因此．由于，因此，故方程有两个复根．（如果认为，然后把两种情况合并成一种情况，则只能得1分．因为我们只曾定义过，但从来没有规定过，而也不能推出．这是因为开方这种运算本身仅对非负实数而言，对负数是没有意义的．就算，那为什么不是？我们从来没定义过对负数开根是什么概念，更没有规定过根号下有负数时的运算规则．）再次强调：不是，“”不能写成“”，i仅仅只是人为规定的一个抽象的数，它满足．（2）证明：①当时，②当时，根据复数的运算法则，得（如果和（1）一样认为合并情况的话，只能得1分）（3）证明：一元次复系数多项式方程至少有一个复根，不妨设该方程的一个复根为，则必然能够分解出一个因式，即．由复数的运算法则可知，方程是一元次复系数多项式方程．不妨设该方程的一个复根为，则必然能够分解出一个因式，即．重复该过程，最终，其中为常数，．显然有个复数根（重根按重数计）．（4）证明：由（3）得复系数二次方程有两个复数根，分别设为，则原方程可化为，即，和原方程比较系数，得即．17.以A地生产的所有番茄为总体，总体中每个番茄的重量为随机变量，其中均为正数．随机从总体中抽取个番茄作为一个样本，番茄的重量分别为，，其取值相互独立．样本均值为．（1）已知对于任意的随机变量，有；如果，的取值相互独立，则又有．求及．（2）若，证明：是的充要条件．（1）解：由题意得．取值相互独立，故．（2）证明：下面的不等式变换完全等价：即，，，，故是的充要条件．18.在多项式的运算中，二项式定理有着非常重要的作用．当帕斯卡（BlaisePascal，16231662）建立了正整数次幕的二项式定理之后，这个定理又被其他数学家们作了进一步的推广，其中莱布尼茨（G．W．Leibniz，1646-1716）和约翰・伯努利（JohannBernoulli，1667-1748）则将二项式定理推广成多项式定理．（1）现有7个不同编号的白球，将其中2个球染成红色，3个球染成蓝色，2个球染成黄色，求染色方案的种数．（2）现有个不同编号的白球，将其中个球染成红色，个球染成蓝色，个球染成黄色，且，求染色方案的种数．（用阶乘符号表示）（3）“”求和符号可用于求所有满足约束条件的式子的和，例如其中．求的展开式及展开式系数和．（4）求展开式的项数．解：（1）染色方案总数为．（2）染色方案总数为．（3）由于的次数是，因此的每一项都是次项，即每一项中的指数和为．不妨设展开式通项为，其中．而就当于“现有个不同编号的白球，将其中个球染成颜色个球染成颜色个球染成颜色”的染色方案的种数，即．因此的展开式为令，得展开式系数和（4）展开式的项数相当于方程的非负整数解的个数，也相当于“将个相同的球放进个不同的盒子（盒子可空）”的方案数．用两条竖线“||”表示一个盒子，用一个圆圈“O”表示一个球．例如“|OO|O|”表示有两个盒子，其中一个盒子有2个球，另一个盒子有1个球．则情景等价于：将竖线和圆圈排成一列，两端各一条竖线，中间条竖线和个圆圈自由排列，求排列情况种数．设两端竖线之间共有个位置，选个位置用来放圆圈，剩余位置放竖线，情况数为，即展开式项数为．19.一条直线与另外两条异面直线同时垂直且相交，则称该直线是两条异面直线的公垂线，并把以两垂足为端点的线段称为两异面直线的公垂线段，公垂线段的长度则被称为两异面直线之间的距离．（1）用符号语言表述公垂线、公垂线段及两异面直线之间的距离的定义．（2）证明：两条异面直线的公垂线有且仅有一条．（3）在空间直角坐标系中，直线过点，方向向量；直线过点，方向向量，试问：与是否共面？Ⅰ．若共面，（ⅰ）求与交点的坐标．（ⅱ）已知，记与所确定的平面为，记与所确定的平面为，若，试问：是否确定？若确定，求出的单位方向向量；若不确定，请说明理由．Ⅱ．若异面，（ⅰ）请给出证明．（ⅱ）为与的公垂线，，求与之间的距离．（ⅲ）求．（1）解：设两条直线分别为和，且对于任意平面或．若，则称为与的公垂线．线段为与的公垂线段，线段的长度为与之间的距离．（2）证明：（反证法）假设的另外一条直线也是两条异面直线与的公垂线，不妨设．平移得到，使得，则且．记与所决定的平面为．由于，故，又因为，且，故．由于，故，又因为，且，故．又因为，所以，故与共面，与题设矛盾．所以两条异面直线与的公垂线是唯一的，有且仅有一条．（3）解：异面，（ⅰ）证明