第34讲 空间直线平面的垂直（精讲）高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）原卷版

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

第34讲空间直线、平面的垂直（精讲）

题型目录一览

①垂直性质的简单判定

②线面垂直的判定

③线线垂直的判定

④面面垂直的判定

一、知识点梳理

如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直.

二、判定定理

文字语言图形语言符号语言

一条直线与一个平1

a,bua

面内的两条相交直。丄/

判断定理=/丄a

线都垂直，则该直bll

acb=P

线与此平面垂直

两个平面垂直，则

<■

a丄尸

在一个平面内垂直ac。=a

面丄面=线丄面»=b丄a

/

于交线的直线与另*buB

bA-a

一个平面垂直

一条直线与两平行a

平面中的一个平面a//J3

平行与垂直的关系丄/

垂直，则该直线与/L/aLa

另一个平面也垂直

两平行直线中有一ab

a/lb、

平行与垂直的关系条与平面垂直，则>nb丄a

aLa

另一条直线与该平

面也垂直

三、性质定理

文字语言图形语言符号语言

ab

垂直于同一平面的两alia

au[3[=>a//b

性质定理/--

条直线平行ac0=b

文字语言图形语言符号语言

a

/

垂直于同一直线aLa]

垂直与平行的关系a11/3

Aa丄外"

的两个平面平行二D7

如果一条直线垂

直于一个平面，则

线垂直于面的性质l丄a,aua=>/丄〃

该直线与平面内

所有直线都垂直二歹

四、平面与平面垂直

如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂

直.（如图所示，若ac0=CD,CD工y,且acy=AB,0cy=BE,AB丄BE,则a丄/?）

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

五、判定定理

文字语言图形语言符号语言

判定定理一个平面过另一bla]八

b

个平面的垂线，则

7

这两个平面垂直

六、性质定理

文字语言图形语言符号语言

两个平面垂直，则一aLp

/

bacB=a

个平面内垂直于交}=>b丄a

buB

性质定理线的直线与另一个7bLa

平面垂直

【常用结论】

1.证明线线垂直的方法

①等腰三角形底边上的中线是高；

②勾股定理逆定理；

③菱形对角线互相垂直；

④直径所对的圆周角是直角；

⑤向量的数量积为零；

⑥线面垂直的性质（a丄a,6ua。丄6）;

⑦平行线垂直直线的传递性（。丄c,a//bn6丄c）.

①线面垂直的定义；

②线面垂直的判定（〃丄6,4丄ua.bua,6cc=Pn〃丄a）；

③面面垂直的性质（a丄4,ac£=b,a丄6,aua=>a丄夕）；

平行线垂直平面的传递性（“丄a,8//a=厶丄a）；

⑤面面垂直的性质（a丄八。丄？,ac£=/=>/丄/）.

①面面垂直的定义；

②面面垂直的判定定理（a丄夕,aua=>a丄£）.

二、题型分类精讲

木円口丿」，厶

此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除.

【典例1］（单选题）若/为一条直线，a,为三个互不重合的平面，则下列命题正确的是（）

A.a丄八夕丄yna丄夕B.若〃/a,a丄夕=>/u6

C.a丄八夕〃yna丄尸D.若〃/a,a丄/?=/丄/

【题型训练】

一、单选题

1.若口、夕是两个不重合的平面，

①若a内的两条相交直线分别平行于厂内的两条直线，则a//尸:

②设a、尸相交于直线/,若a内有一条直线垂直于/,则a丄尸；

③若&外一条直线/与a内的一条直线平行，则〃/口；

以上说法中成立的有（）个.

A.0B.1C.2D.3

2.已知加，〃是两条不同的直线,a,用是两个不同的平面，有以下四个命题:

①若m//n,〃ua,则m//a,②若加ua,小丄，，则a丄6，

③若机丄a,则a〃4,④若a丄4，加ua,〃ua,贝ij丄〃

其中正确的命题是（)

A.②③B.②④C.①③D.①②

3.已知加，“，/是3条不同的直线,a,P,，是3个不同的平面，则下列命题中正确的是（)

A.若机丄/,〃丄/,则加〃"

B.若a丄夕，aC\j3=m,/丄则/丄a

C.若“丄a,m//p,则a丄/

D.若a丄〃丄7，则a〃月

4.设〃?，n,/是三条不同的直线，a,广，/是三个不同的平面，有下列命题中，真命题为（)

A.若"7丄N,〃丄/,则zn丄/

B.若a丄6，丄y,则a丄？

C.若加丄a,m//n,n///3,则a丄£

D.若m〃/?,m//a,贝U〃〃a

5.设〃?，〃，/是三条不同的直线,a,尸，/是三个不同的平面，有下列命题中，真命题为（)

A.若〃？丄〃，〃丄/,贝！］加丄/B.若a丄夕，/丄则a丄y

C.若山丄a,mlln,则"丄aD.若〃?//〃，mlla,则〃〃a

6.设机，〃是两条不同的直线，a,〃是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A.若加丄〃，”〃a,则相丄a

B.若〃?〃夕，尸丄a,则加丄a

C.若加丄〃，〃丄△夕丄a,则加丄a

D.若加丄夕,〃丄/?,〃丄a,则加丄a

7.下列命题中，不正确的是（）

A.夹在两个平行平面间的平行线段相等

B.三个两两垂直的平面的交线也两两垂直

C.若直线“//平面a,pea,则过点P且平行于直线。的直线有无数条，且一定在a内

D.已知机，"为异面直线，机丄平面a,”丄平面万，若直线/满足/丄〃?，/丄〃，la。,则a

与尸相交，且交线平行于/

8.已知加，〃，/是三条不同的直线，a,夕是两个不同的平面，且"?丄/，加丄e,"丄/,〃丄/，则下

列命题错误的是（）

A.若m丄",则a丄/B.若《1〃”，则a//4

C.若加〃夕，则夕〃夕D.若，”丄则〃丄a

二、多选题

9.已知加，〃为不同的直线，a,尸为不同的平面，则下列说法错误的是（）

A.若机〃a,n//p,a丄力，则”?丄〃B.若机丄a,"丄/?,a丄夕，则

C.若加〃”，〃丄夕，加丄〃，则a〃尸D.若机〃a,〃丄/，m//n,则a丄/

10.设加，〃是两条不同的直线，a,尸是两个不同的平面，下列说法正确的是（）

A.若mu0,a丄/，则切丄aB.若a〃£,mu°，则机//a

C.若“丄a,"丄夕，则a〃/?D.若〃z//a,mlIp,则a//£

11.设”?，〃是两条不同的直线，a尸是两个不同的平面，给出下列命题，其中正确的命题为（）

A.若机丄a,n!la,贝！J加丄〃B.若mH〃,ma,〃ua,则,〃//a

C.若a丄/y,m/la,则”?丄£D.若〃?丄a,则a丄4

12.已知加，〃是两条不重合的直线，a,力是两个不重合的平面，下列命题不正确的是（）

A.若加//«,mlIj3,nlla,“〃夕，则a〃夕

B.若丄〃，m//a,〃丄夕，则a丄夕

C.若加丄〃，加ua,〃u£,则a丄£

D.若初/〃，mA.a,"丄/，则a〃夕

三、填空题

13.给出下列四个命题：

①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；

②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；

③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线;

④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线.

其中正确的命题共有个.

14.已知a,£是两个不同的平面，〃?，〃是平面a及万之外的两条不同的直线，给出下列四个论断：

①”?丄〃；②a丄/；③〃丄〃；④相丄a.

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：.(用序号表示)

题型二线面垂直的判定

畲策略方法判定线面垂直的四种方法

【典例1】如图，在正方体/8CO-44G2中，E,尸分别是棱8£,8产的中点，求证：CF丄平面£42.

【题型训练】

一、解答题

1.如图所示，在四棱锥中，底面/8CD为矩形，以丄平面/8C。，点E在线段PC上，PC丄平

面BDE.证明：8。丄平面R1C

2.如图，在四棱锥尸一/8C。中，底面/8CD是梯形，AD//BC,且/D=28C,PA1PD,AB=PB.

(1)若尸为以的中点，求证3尸〃平面尸C。

(2)求证PZ丄平面PCD

3.如图，在四棱锥中，P/丄平面/8C£),底面N8C。为菱形，E为C。的中点.

⑴求证：平面R4C；

(2)若点F是棱的中点，求证：C戶〃平面

4.如图，在四棱锥尸-Z8C。中，底面ABCD为正方形,PA丄底面ABCD,PA=AB=2,E为线段PB的中点,F为

线段8C的中点.

(1)证明:/E丄平面PBC;

(2)求点尸到平面ZEF的距离.

5.如图，在四棱锥P—/BCD中，AB=BC=\,DC=2,PD=PC,NDPC=90°,NDCB=NCBA=90°,

平面PDC丄平面/BCD.证明：PD丄平面尸8C

6.如图，在底面是矩形的四棱锥P-NBC。中，P/丄底面NBC。，E,产分别是PC,尸。的中点.

(1)若4=48=1,80=2,求四棱锥尸-A8C。的体积；

(2)求证：EF丄平面P4D.

7.如图，处是圆柱的母线，是底面圆的直径，。是底面圆周上异于48的一点，且卩4=ZC=8C=2.

(1)求证：8c工平面以C

(2)若用是PC的中点，求三棱锥的体积.

8.已知RtZ\N8C的斜边为过点/作以丄平面/8C,丄尸8于M,4N丄PC于N.求证：

(1)8C丄平面PAC-,

(2)尸8丄平面AMN.

9.如图，在三棱柱/8C-44G中，AAt丄平面”C,O,E分别为ZC,4G的中点，AB=BCf，AC=AA、=2.

(1)求证：NC丄平面80E；

(2)求点D到平面ABE的距离.

10.如图四棱锥尸—48CD中，四边形［8CZ)为等腰梯形，AB//CD,平面/BCD丄平面PC。，

ZADC=ZCDP^45°,CD=2AB=4,PD=3五,BEVCD.

(1)证明：CO丄平面尸E8；

(2)若。在线段PC上，且PQ=2C。，求三棱锥。-PE8的体积.

11.如图所示，在长方体力88-4AG。中,/B=2,8C=2,CG=4,M为棱Ca上一点.

⑴若C附=1，求异面直线AtM和GA所成角的正切值；

(2)若C.M=2,求证丄平面44M.

12.如图，在三棱锥P-Z8C中，D,E分别为4B,P8的中点，EB=EA,且P/丄ZC,PC1BC.求证：

8c丄平面P/C.

13.如图，在四棱柱中，底面48CO为平行四边形，AAt=2AB=2,NB4D=6。。,平面

88QQ丄平面"BCDBC1BD,,00,180,E为CD,上的一点.

⑴求证：AD丄平面BBQD；

(2)若4。〃平面8OE,求三棱锥E-NBR的体积.

14.如图，在直三棱柱NBC-44G中，4£=B©,4G丄BQ,M为棱44的中点.

(1)求证：4W丄平面8。附；

(2)若4G=2,求三棱锥Z-8G”的体积.

15.如图，在三棱锥P-N8C中，侧面尸48丄底面/8C,且PN丄=8c的面积为6.

(1)求三棱锥P-ABC的体积；

(2)若45=5,ZC=4,且N8/C为锐角，求证：8C，平面刃C.

16.如图1,在五边形相ODE中，四边形N8CE为正方形，CD丄DE,CD=DE,如图2,将沿BE折

起，使得A至4处，且48丄4。.

(1)证明：CE丄平面48E；

(2)若四棱锥4-8C0E的体积为4,求CD的长.

17.如图，在四棱锥底面/BCD为梯形，且=BC//AD,等边三角形PCD所在的平

面垂直于底面8C丄PD.求证：8CJ,平面PCZ)；

18.如图，四棱锥8-/EOC中，平面力EDC丄平面/8C,/为8c的中点，P为3。的中点，S.AE//DC,

ZACD=90°,DC=AC=AB=2AE.证明：EP1平面BCD

19.如图所示的长方体/BCD-44GA中，底面488是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点,

BB]=近,M是线段的中点.

⑴求证：8M〃平面。/C；

(2)求证：丄平面

20.在图1中，“8C为等腰直角三角形，DS=90°,AB=2五,“C。为等边三角形，。为/C边的中

点，E在8c边上，且EC=2BE,沿ZC将A/C。进行折叠，使点。运动到点尸的位置，如图2,连接尸O,

FB,FE,OE,使得必=4.

⑴证明：尸。丄平面Z8C：

(2)求点A到平面OEF的距离.

题型三线线垂直的判定

畲"策略方法

【典例1】如图，四棱锥P-/8C。的底面是矩形，尸/丄平面分别/民电>的中点，且4=4).

⑴求证：/尸〃平面PEC；

(2)求证：AFLPC.

【题型训练】

一、解答题

1.如图，在四棱锥P-/8C。中，厶尸“。是边长为4的等边三角形，平面尸/。丄平面458,AD//BC,

ZACB=60°,CD=4,AB=2>/3.

(1)证明；PCLAD；

(2)求三棱锥B-PCD的体积.

2.如图，四棱锥P-/8C。中，四边形为梯形，ABHCD,AD1AB,4B=P4=2DC=4,

PB=2AD=4g，PD=2屈,M,N分别是P£),P8的中点.

(1)求证：直线MN〃平面Z8CZ)；

(2)求证：PA1MN.

3.如图，矩形/8CD所在的平面与平面/8E垂直，且4E丄8E.已知/5=2/Z)=28E=2.

(1)求证：BE1DE-,

(2)求四棱锥E-ABCD的表面积.

4.如图，已知三棱柱Z8C-4AG中，AB=AC=2,44=4、B=&C=2五,/A4c=90。，E是8c的中

点，尸是线段4G上一点.

(1)求证：ABLEF；

(2)设P是棱为4上的动点(不包括边界)，当APBC的面积最小时，求棱锥P-48C的体积.

5.如图，在三棱柱X8C-48'C'中，中，AB丄BC,AB=BC=BB，=2,*在平面Z8C上的射影为的中

点.

(1)证明：BCYCC.

(2)求多面体N/'B'CC'的体积.

6.如图所示，在直四棱柱力8C0-44CQ中，AB//CD,ABLAD,且N5=/。=1,8=2,"是。0的中

点.

(1)证明：BC工B、M；

(2)若B、M丄CM,求四棱柱ABCDfm的体积.

7.在三棱台。中，A/,N分别是/C,C尸的中点，AB1BC,CF丄平面/8C,且45=8C=CF=2,

EF=\.

(1)求证：CD1BN；

(2)求三棱锥。的体积.

8.如图，在梯形N8CD中，ADHBC,ZO=4BC=4,CD=4s,E为边ZD上的点，CE1AD,C£=l,

将AOEC沿直线CE翻折到APEC的位置，S.ZPEA=^,连接尸4Pb.

(1)证明：BE丄PC；

(2)求点C到平面P/8的距离.

9.如图，在多面体尸0/38中，四边形W)是边长为。的菱形，乙48c=120。，PD丄平面/BCD,QB1

ABCD,PD=2QB=y/2a.

(1)证明：PALQC.

(2)若三棱锥。-PZC的体积为太，求实数。的值.

10.在直三棱柱中，侧面44AB为正方形，AB=BC=4,E,F分别为/C和cq的中点，

BF丄3.

(1)证明：BF1A.E.

(2)求4到平面BEF的距离.

题型四.面面垂直的制定

畲策略方法证明面面垂直的两种方法

【典例1】如图，已知尸4丄平面力8cD,/BCD为矩形，〃,N分别为48,PC的中点.

(1)证明：MN1AB-,

⑵若NPD4=45。，求证：平面丄平面尸。C.

【题型训练】

一、解答题

1.如图，四棱锥S-4BC。的底面是矩形，见丄底面/8C。，SZ=VL/。=1，SC1BD.

(1)证明：平面S3。丄平面S4C；

(2)求CO及三棱锥C-SBD的体积.

2.如图，在底面为矩形的四棱锥P-488中，PZ丄底面/8CD.

(1)证明：平面丄平面PCD

(2)若P/=4O=3,AB=\,E在棱/。上，且/。=3/E,求四棱锥P-Z8CE的体积.

3.如图，在四棱锥P-48CO中,四边形X8CD是菱形，以=PC,E为尸8的中点.求证：

(1)P。〃平面"EC;

⑵平面/EC丄平面P8D

4.如图，在四棱锥尸-488中，四边形/8CZ)为正方形，P点在平面43CD内的射影为力，且P4=4B=2,

E为尸。中点.

⑴证明：尸3//平面NEC

(2)证明：平面PCD丄平面P/。.

5.如图，已知四棱锥P-/8C。中，丄平面/BCD,底面N8C。为直角梯形，ZD丄C£),ABIICD,CD=2AB.

⑴求证：平面总8丄平面以。；

(2)在侧棱尸C上是否存在