从全等到相似类比探究-中考数学复习题练习（教师版）

专题33从全等到相似类比探究（解析版）

第一梆令黑例剧新

类型一从全等到相似——旋转变换

典例11.（2021秋•槐荫区期中）己知点E在AABC内，NABC=NEBD=a,NACB=NEDB=60°,Z

AEB=I50°,ZBEC=90°.

（1）当α=60°时（如图1）,

①判断AABC的形状，并说明理由；

②求证：~BD=tan∕CEE）;

ΔP

（2）当α=90°时（如图2）,②的结论还成立吗？若成立，说明理由；若不成立，求出工7的比值.

思路引领：（1）①由三角形ABC中有两个60°而求得它为等边三角形；

②由aEBO也是等边三角形，连接。C,证得AABE注ACBD,在直角三角形中很容易证得结论；

（2）连接。C,证得设Bo=x,在RtAEBO中，DE=2x,由相似比即得到比值.

解：（1）①448C是等边三角形，理由如下：

理由：∙.∙∕A8C=∕AC8=60°,

二/BAC=180°-ZABC-ZACB=60o=NABC=NACB,

...△ABC是等边三角形，

②证明：同理AEBO也是等边三角形，

如图1,连接。C,

图1

则AB=BC,BE=BD,ZABE=60o-NEBC=NCBD,

,△ABE乌XCBD(SAS),

：.AE=^CD,NAEB=NCZ)8=150°,

ΛZEDC=I50o-NBDE=90°,

rn∆p

在Rt△£»(7中，tanNCEO=炭=卷：

(2)结论不成立，理由如下：

如图2,连接CQ,

VZABC=ZEBD=90°,ZACB=ZEDB=GOQ,

：.XABCsAEBD,

ABBCABBE

—=—,即—=--,

BEBDBCBD

又,.∙ZABE=90°-ZEBC=ZCBD,

∖XABES*CBD,

4EBE

ΛZΛEB=ZCDB=150°,—=—,

DCBD

ΛZEDC=150o-NBDE=90°,/CED=/BEC-NBED=90°-(90°・NBDE)=60°,

设BD=x,

在RlZXEBO中，DE=2χiBE=√3.r,CD=2√3x,

^AEBE

・DC~BD

・A匚∕3x×2√3xN

..AE=-------------=OX,

AE

­=6.

BD

总结提升：本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三

角形的判定和性质，解直角三角形，证得AABEsACBD是解题的关键.

典例2(2022•泰山区一模)(1)如图1,菱形AEC”的顶点E、”在菱形ABC。的边上，且/540=60°,

请直接写出4D：GC：EB的结果(不必写计算过程)；

(2)将图1中的菱形AEG”绕点4旋转一定角度，如图2,求HD：GC-.EB-,

(3)把图2中的菱形都换成矩形，如图3,且A。：AB=AH:A£=1：3,此时"ZλGC：EB的结果与

(2)小题的结果相比有变化吗？如果有变化，求出变化后的结果；若无变化，请说明理由.

思路引领：(1)连接AG,证得A、G、C共线，进而得出结果；

(2)作DFHGH,DF=GH,连接CF,ZXAQH丝△ABE和AABE丝△OCR进一步得出结果;

(3)作团。HGF,连接CF,证明4AO∕∕s∕viBE和AABEgZsOCF,进一步得出结果.

解：如图1,

四边形AEGH和ABCD是菱形,

11

o

ΛZAGH=^∆EGH=30°,ZACD=^∆BCD=30,AD=ABfAH=AE1

：.ZAGH=ZDCG,DH=BE,

・・・A、G、C共线，

•：GH〃CD,

wDHAH1

ΛCG二茄=后

：.HD：GC：EB=I:√3:1；

o

由(1)可得：AE=AH,ZHAE=ZDAB=60,AB=ADf

：.ZHAE-NHAB=NDAB-NHAB,

：・NEAB=/DAB,

：.∕∖ADH^∕∖ABE(SAS),

：.DH=EB,

同理可得：ΛABE^ΛDCFf

：.CF=BE=DH=FG,

u：ADFC=AAHD,ZDFG=ZDHG,

：.ZCFG=ZAHG=MOo,

∙∙.NFCG=NFGC=30°,

/.FG：CG=1：√3,

：.HD：GC：EB=L√3:1；

图3

HD：GC：EB=L√3:1,比值由变化，理由如下:

作团O"GF,连接C凡

由（2）得，ZDAH=ZBAE,

..AHAD1

"AE~AB~3

：.XADHSXABE,

•----I

"BE~AE~3,

同理（2）可得：XABaXDCF,NCFG=∕AHG=90°,

.∙.CG=√FG2+CF2=VlOFG=同DH,

：.HD：GC：£B=1：√Tθ:3：

总结提升：本题考查了菱形和矩形性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，

解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形和全等三角形.

典例3（2022•湘潭县校级模拟）如图1,Z∖4BC中，ZABC=45o,AaJ_BC于点”，点。在A”上，且

DH=CH,连结BD

（1）求证：BD=AC↑

（2）将ABHD绕点H旋转,得到△£：“尸（点8,。分别与点E,尸对应），连接AE.

①如图2,当点F落在AC上时（F不与C重合），若CF=I,tanC=3,求AE的长；

②如图3,当AEHF是由aBHD绕点H逆时针旋转30°得到时，设射线CF与AE相交于点G,连接

GH,试探究线段GH与E尸之间满足的数量关系，并说明理由.

思路引领：（1）先判断出A∕∕=2H,再判断出aBHD丝Z∖AHC即可；

（2）①先根据tanC=3,求出Aa=3CH,然后根据aE∕Msι∆"∕c,得到，AE=3CF,可得结论；

②方法1、先判断出AAGQsacHQ,得到整=盥，然后判断出4AQCs∕∖GQH,用相似比即可.

GQHQ

1

方法2、取EF的中点K,连接GK,HK,先证明GK=HK=*EF,再证明AGKH是等边三角形即可.

(1)证明：在RtZ∖A"8中，ZABC=45o,

：.AH=BHf

在43∕∕O和AAHC中，

AH=BH

乙BHD=Z.AHC=90°,

DH=CH

.'.ΛBHD^∕∖AHC(SAS),

：・BD=AC,

(2)解：①如图，

在RtC中，

VtanC=3,

AH

.∙.—=3,

CH

VZAHC=ZEHF=WO,

・•・ZAHE=ZCHFf

*：HA=HEfHC=HF,

IXEHAsRFHC,

AEAH

•,•_——_JQ9

CFCH

VCF=L

：.AE=3；

②结论：EF=2HG.

方法1、如图1,

•••△七”尸是由绕点”逆时针旋转30°得到,

：.HD=HF9NAHF=30°

：.ZCHF=90o+30°=120°,

由①有，ZXAE〃和a∕τ∕c都为等腰三角形，

：.ZGAH=ZHCG=30o，

/.CG-LAE9

・・・点C,H,G,A四点共圆，

：.ACGH=ACAH,

设CG与A”交于点Q,

・・•ZAQC=ZGQH9

AAQCSXGQH,

λACAQ]_

∙∙HG_GQ_Sin30。-'

••.△EH/是由48"Q绕点”逆时针旋转30°得到,

：.EF=BDf

由（1）知，BD=AC,

：.EF=AC

9EFACAQ]_

∙∙HG-GH-GQ-sin30o-,

即：EF=2HG.

方法2、如图③，取取的中点K,连接GK,HK,

由旋转知，NEHF=90°,

1

：.EK=HK=.EF,

由旋转知，NCGE=NAGC=90°,

1

：•EK=GK=/尸,

：.HK=GK.

λ:EK=HK,

：・/FKG=2/AEF,

YEK=GK,

：./HKF=2/HEF,

由旋转知,ZAHF=30°,

ZAHE=UOo,

由（1）知，BH=AHt

•：BH=EH,

：.AH=EH,

：.ZAEH=30°,

.,.NHKG=NFKG+NHKF=2NAEF+2NHEF=2NAEH=60°,

.♦.△HKG是等边三角形，

GH=GK,

：.EF=IGK=IGH,

即：EF=2GH.

A

总结提升：此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的

性质和判定，勾股定理，锐角三角函数的意义，等腰三角形的判定和性质，解本题的关键是相似三角形

性质和判定的运用.

典例4（2022•杭州模拟）已知，在等腰直角4A8C中，AB=AC,NBAC=90°,点。为直线BC上的一动

点（点力不与点8、C重合），连接A。，以AO为边向右作等腰直角AAOE,AD=AE,连接CE.

（1）填空：当点。在线段BC上如图（一），可通过证明①△,得到Bo=,进而

判断②CE,CD,BC三条线段的数量关系为

(2)当点。在线段BC的延长线上且其他条件不变如图(二)，(1)中CE,CD,BC三条线段的数量关

系是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你的结论，并证明.

(3)当点O在线段CB的延长线上且其他条件不变，请你构造出图形，并写出CE,CD,BC三条线段

的数量关系.

思路引领：(1)①证AABO四CE(SAS),得BD=CE;②由①可知，BD=CE,再由BC=BD+CD,

即可得出结论；

(2)证aABO丝Z^ACE(SAS),得BD=CE,再由BD=BC+CO,即可得出结论；

(3)证AABO丝ZsACE(SAS),得BD=CE,再由Cn=BC+8。，即可得出结论，

解：(I)①∙.∙∕8AC=NO4E=9(Γ,

：.ABAD=ACAE,

在AABD和aACE中，

AB=AC

匕BAD=∆CAE,

AD=AE

Λ∆ABD^∆ΛCE(SAS),

：,BD=CEt

故答案为：ABDiACEfCE；

②•：BD=CE,

：.BC=BD+CD=CE+CD,

故答案为：BC=CE+CD;

(2)不成立，存在的数量关系为CE=BC+CQ,证明如下:

ZBAC=ZDAE=90o,

.∖ZBAD=ZCAE1

在AABO和aACE中，

AB=4C

∆BAD=∆CAE»

√1D=AE

：.∕∖ABD^ΛACE(SAS),

：.BD=CE9

TBD=BC+CD,

：.CE=BC+CD；

(3)当点。在边CB的延长线上时，如图(三)所示：

CE,CD,BC三条线段的数量关系为：CD=BC+CE,理由如下:

VZBAC=ZDΛE=90o,

：.ADAE-ZBAE=ZBAC-NBAE,

即N3AD=NCAE

在AABO和4ACE中，

AB=AC

Z-BAD=Z.CAE，

AD=AE

：.∆ABZ)^∆ΛCE(SAS),

：,BD=CE,

：.CD=BC+BD=BC+CE.

总结提升：本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质等知识,

本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型.

类型二从全等到相似——变式探究

典例5(2022•坪山区一模)已知四边形ABCo中，E、F分别是48、AD边上的点，DE与CF交于点G.

问题发现：

(1)①如图1,若四边形ABCO是正方形，且QELCF于G,则丝=；

CF-----

_DE

②如图2,当四边形ABC。是矩形时，且。LCF于G,AB=mAO=〃，则一=；

fCF----

拓展研究：

DEAD

(2)如图3,若四边形ABCQ是平行四边形，且N8+NEGC=180°时，求证：一=—；

CFCD

解决问题：

DE

(3)如图4,若8A=8C=5,D4=DC=10,/540=90°,DEVCF^G,请直接写出了的值.

思路引领：(I)①由,iASA"可证4AOEgZXOCR可得。E=CG可求解:

_DEADn

②通过证明AAEQs△。尸g可得了=-=-；

DEAD

⑵通过证明AADES△/≡,可得加=而，可得结论;

1

(3)设CN=x,∆BAD^^BCD,推出NBCO=/4=90°，证48CMS∕∖OCN,求出CM=k，在Rt

]

ACMB中，由勾股定理得出BM2+CM2=BC2,代入得出方程，(x-5)2+(-χ)2=52,求出CN=8,

证出^AEf)sZ∖NPC,即可得出答案.

(1)解：①：四边形ABCD是正方形,

.∖AD=CD,ZBAD=ZADC=9Qa,

；DELCF,

/.ZDGF=90o=NAOC,

ZADE+ZEDC=90o=NEDe+NDCF,

,

..ZADE=ZDCFf

Λ∆ADE^∆DCF(ASA)9

：.DE=CF,

DE

，—=1,

CF

故答案为：1；

②解：∙.∙四边形ABC。是矩形，

o

ΛZA=ZFDC=90，AB=CD=mf

VCFlDE,

,NOG尸=90°,

.∙.NADE+NCFD=90°,ZADE+ZAED=90o,

：.NCFD=NAED,

•：NA=NCo尸，

：・XAEDSXDFC,

.DEADn

CF~CD~m

n

故答案为：一；

m

(2)证明：如图所示，NB+/EGC=I80°,ZEGC+ZEGF=180°,

.∖ZB=ZEGF9

在AO的延长线上取点M,使CM=CR则NCM产=NCFM,

图3

・：AB//CD,

：.ZA=ZCDMf

YAD//BC,

.β.ZB+ZA=180°,

•：/B=NEGF,

ΛZEGF+ZA=180°，

"

..ZAED=ZCFM=ZCMFf

.DEAD

*CM~DC

DEAD

即一=

CFDC

(3)解：过C作。V_LA。于N,CM_LA8交AA延长线于M,连接8。，'设CN=x,

o

VZZJAD=90,BPABlADf

ΛZA=ZM=ZCNA=90o,

・•・四边形AMCN是矩形，

,AM=CN,AN=CM,

在aZMO和aBCQ中，

AD=CD

AB=BC,

BD=BD

Λ∆BAD^ΔBCD(SSS),

工NBCQ=NA=90°,

ΛZΛBC+ZADC=180°,

VZΛBC+ZCβM=180o,

ZMBC=ZADC,

Y/CND=/M=90°,

:•丛BCMSxDCN,

.CMBC

••''-—-,,

CNCD

,CM5

••二,

X10

•,CA/=［工，

在RtZ∖GW8中，CM=ɪr,BM=AM-AB=X-5,由勾股定理得：BM2+CM2=BC2,

(x-5)2+(-χ)2=52,

2

解得：Xl=O(舍去)，Λ2=8,

.∙.CN=8,

VZA=ZFGD=90o,

.∙.∕4EQ+N4FG=I80°,

∙.∙∕4FG+/NFC=I80°,

NAED=NCFN,

ZA=NCNF=90°,

Λ∆AED<×>∆7√FC,

.DEAD105

``CF~CN~8-4'

总结提升：本题是相似形综合题，考查了矩形性质和判定，勾股定理，平行四边形的性质和判定，全等

三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决

问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题.

典例6(2022秋•连山区校级月考)如图，Z∖OAB和AOCO中，04=0B,OC=OO,∕AOB=NCOO=90°,

AC、BD交于点、M.

(1)如图1,求证：AC与8。的数量与位置关系并说明理由；

(2)连接M。，求证：MO平分N8MC；

(3)如图2,NAOB=NCOO=60°时，直接写出的度数.

思路引领：(1)证明AAOC四4BOQ(SAS).由全等三角形的性质可得出答案；

(2)过点。作。GL8。，0”，Ae于点G,H,⅛⅛iSΔAOC=SΛBOD,AC=BD,证明点。在/BMC的

平分线上，进而可以解决问题；

(3)结合(1)得出NoAC=NOBD由三角形外角定义可得出答案.

(I)证明：AC=BD9AC-LBDf

理由：VZAOB=ZCODf

：.ZAOB+ZAOD=ZCOD+ZAOD,

：.ZAOC=ZBOD.

在aAOC和aBOD中，

(0A=OB

∖∆A0C=乙BOD,

(OC=OD

：.ΛAOC^ΛBOD(SAS).

：.AC=BDx

Y∆AOC^ΛBOD,

：・NOAC=NOBD,

∙.∙N0AC+NAME+NAEM=180°,ZOBD+ZOEB+ZBOE=180°,

,NAME=1800-ZOAC-ZAEM,ZBOE=180o-NOBD-NOEB,

,.∙/AEM=NOEB,

：.ZAME=ZBOE=90o.

ΛAC±BD;

(2)证明：如图，过点。作OGJ_8O,OH_LAC于点G,H,

.*.S∆A0C=S∆β0D,AC=BD.

11

・•・-×AC*OG=⅜xBD∙OH,

22

：.OG=OHf

・•・点。在NBMC的平分线上,

JMO平分N5MG

(3)解：由(1)知：∕∖AOC^∆BODf

.'.NOAC=NOBD,

AOB=NCoQ=60°,

.∙.NAMO=∕A8M+NB4W=∕A8M+N840+∕0AC=NA80+/ZMo=60°+60°=120°.

总结提升：本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等

知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.

类型三从全等到相似一一从特殊到一般

典例7(2019春•方城县期中)问题：如图1,在平行四边形ABC。中，点E是BC边的中点，连接AE,点

F是线段AE上一点，连接B尸并延长，交射线CO于点G.若A尸：EF=4：1,求g的值.

(1)尝试探究：

如图1,过点E作EH//AB交BG于点、H,则AB和EH的数量关系是.CG和EH的数量关系是，因此

CD_

CG~------->

(2)类比延伸：

在原题的条件下，若把“AF：EF=4：1”改为“AF：EF=n-.l),(n>0),求丝的值.(用含有n的式

CG

子表示)

(3)拓展迁移：

如图2,在四边形ABC。中，C£>〃A8,点E是BC的延长线上的一点，AE与8。相交于点E若AB：

CD=at1(a>0),BC-BE=bz1(fc>0),则——=.(直接用含有a、6的式子表示，不写解答过

EF----

程)

Ap

思路引领：(1)本问体现“特殊”的情形，二=4是一个确定的数值.如答图1,过E点作平行线，构

造相似三角形，利用相似三角形和中位线的性质，分别将各相关线段均统一用EH来表示，最后求得比

值；

∆p

（2）本问体现“一般”的情形，==〃不再是一个确定的数值，但（1）问中的解题方法依然适用，如

EF

答图2所示.

⑶本问体现“类比”与“转化”的情形，将（1）⑵问中的解题方法推广转化到梯形中，如答图3

所示.

解：（1）依题意，过点E作E”〃48交BG于点”，如右图1所示.

图1

^∆ABF^∕∖EHF,

ABAF

=—=4,

EHEF

.u.AB=4EH.

VβABCD.EH//AB1

:∙EH∕∕CD,

又TE为BC中点,

JEH为ABCG的中位线,

CDABr

：.CG=IEH._________y

CG~CG~'

故答案为：2.

(2)如右图2所示，作£77〃48交BG于点“，则△£>"/S∕∖4FB.

.ABAF

—=—=n,

EFEF

.∖AB=nEH.

VAB=CD,

:∙CD=nEH.

ΛJEH//AB//CD.

：,ABEHs丛BCG.

CGBC

—=—=2,

EHBE

：.CG=IEH.

CDnEHn

CG~2EH~2

(3)如右图3所示，过点E作E//〃A3交〃。的延长线于点“，则有CO.

uJEH//CD,

：./\BCDs4BEH,

.CDBC

：・—=—=b,

EHBE

J.CD=hEH,

^AB

又二7=d'

CD

J.ΛB=aCD=cιbEH.

YEH〃AB,

Λ∆ΛBF<×>∆E∕7F,

.AFABabEH

.,.—=—=-----=ab,

EFEHEH

故答案为：

图2

总结提升：本题的设计独具匠心：由平行四边形中的一个特殊的例子出发（第1问），推广到平行四边形

中的一般情形（第2问），最后再通过类比、转化到梯形中去（第3问）.各种图形虽然形式不一，但运

用的解题思想与解题方法却是一以贯之：即通过构造相似三角形，得到线段之间的比例关系，这个比例

关系均统一用同一条线段来表达，这样就可以方便地求出线段的比值.本题体现了初中数学的类比、转

化、从特殊到一般等思想方法，有利于学生触类旁通、举一反三.

第二部分专题提优训练

1.(2022春•金牛区校级月考)在锐角AABC中，AB=4,BC=5,NACB=45°,将AABC绕点B按逆时

针方向旋转，得到AAiBCi.

(1)如图1,当点Cl在线段CA的延长线上时，求NCCMl的度数；

(2)如图2.连接Λ4ι,CCl若A4=4遮，求CCl的长：

(3)如图3,点E为线段A8中点，点尸是线段AC上的动点，在aABC绕点8按逆时针方向旋转过程

中，点P的对应点是点Pl求线段EPx长度的最大值与最小值.

图1图2图3

思路引领：(1)根据旋转的性质解答；

ABAA1

(2)通过证明4AB4sz∖c8Cι,可得——=——1,进而解决问题；

BCCC1

(3)过点B作BOLAC,。为垂足，因为aABC为锐角三角形，所以点。在线段AC上，在RtZXBCO

中，BD=专BC=零,然后进行讨论，求得线段EP长度的最大值与最小值.

解：(I)由旋转的性质可得：ZAιCιB=ZACB=45o,BC=BCi,

ΛZCCiB=ZCιCB=45o,

ΛZCCιΛι=ZCCιθ+ZΛιCιB=45o+45°=90°.

(2)V∆ABC^∆AιBCι,

：.BA=BA\,BC=BCi,ZABC=ZAIBCI,

.AB__I

∙∙BC一CCJ

・・・ZABC+ZABC∖=ZΛιBCι+ZΛBCι,

.∖NABAl=NCBCI,

∆ABAι^∆CBCι,

βABAA1

,

∙∙BC一CC1

.5x4。＜rx

..CCi=­4—=5√3;

(3)如图，过点8作8£>_L4C,。为垂足,

图1

：AABC为锐角三角形,

点Z)在线段AC上，

在RtZXBCQ中，BD=导BC=呼,

①当P在AC上运动至BP_LAC时，Z∖A8C绕点8旋转，使点P的对应点Pi在线段A8上时∖EP\最小，

C/ɔ

最小值为：EPi=BPLBE=BD-BE=ɪ-2：

②当。在AC上运动至点C,Z∖A8C绕点8旋转，使点P的对应点Pl在线段AB的延长线上时，EPl最

大，最大值为：EPI=BC+BE=2+5=7.

综上所述：线段EPI长度的最大值为7,线段Ep长度的最小值为停-2.

总结提升：本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的性质，直角三角形的性质，相似

三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键.

2.(2022秋•清镇市月考)如图1,矩形ABCQ与矩形CEFG全等，点B,C,E和点C,D,G分别在同一

直线上，且AB=CE=2,BC=EF=4,连接AC,CF.

(2)如图2,将图1中的矩形CEFG绕点C逆时针旋转，当CG平分NACF时，求点G到AC的距离;

(3)如图3,将图1中的矩形CEPG绕点C顺时针方向旋转，连接ARDE,两线相交于点求证:

点例是AF的中点.

思路引领：(1)根据矩形ABCD与矩形CEFG全等，可得矩形CEFG是由矩形ABCD绕点C逆时针旋转

得到的，所以NACF=90°.然后根据勾股定理即可解决问题；

⑵过点G作GHVCF,GQLAC于点H,Q,根据CG平分/ACF,可得GH=GQ,然后由SACGF=效矩

彩CEFG=4,进而可以解决问题；

(3)延长CM交AO延长线于点H,设DE与CF交于点。，根据矩形的性质证明AD^FQ,然后证明

△4。△尸OM(AAS),可得AM=FM.进而可以解决问题.

解：(1):矩形ABCQ与矩形CEFG全等，

二矩形CEFG是由矩形ABCD绕点C逆时针旋转得到的，

NAC尸=90°.

"：AB=CE=2,BC=EF=4,

.,.AC=CF=>JAB2+BC2=2√5,

：.AF=√2AC=2√Tθ;

故答案为：2√IU;

(2)解：如图2,过点G作GH_LCF,GQ_LAC于点H,Q,

YCG平分/ACR

JGH=GQ,

图2

■：S&CGF=∣S⅛)fjCEIG=∙∣x2X4=4,

1

xCF∙GH=4,

2

1L

Λ-×2√5xGH=4,

2

•CH-4底

••0/7—-,

.”4√5

∙∙CQ=-ʒ-,

・・・点G到4C的距离为《一；

(3)证明：如图，延长CM交4。延长线于点H,设。E与。尸交于点Q,

图3

由旋转可知：CD=CE1

：.ACDE=ΛCED,

TNCDH=NCEF=90°,

.'.ZQDH=90o-ZCDE,NFEQ=90°-ZCED,

：.AQDH=ΛFEQ.

•：AD〃BC,

：.ZQDH=ZDQC,

•：ZDQC=NFQE,

：.ZFEQ=ZFQE9

：.FE=FQ,

•；AD=FE,

：.AD=FQ,

*：AD//BCf

：.ADAM=ΛQFM,

在AAOM和△尸QM中，

∆DAM=LQFM

乙AMD=∆FMQf

AD=FQ

：.∕∖ADM^∕∖FQM(AAS),

,AM=FM.

・・・点例是4尸的中点.

总结提升：本题是四边形综合题，综合性强，属于运动开放性题目，考查了矩形性质、直角三角形的性

质及勾股定理、旋转等多个知识点，关键是根据题目的结论去分析所需要的条件，从而根据图形特点及

题目条件进行求解.

3.（锦江区模拟）已知：在aABC中，NDBC=NACB,BC=2AC,BD=BC,Cz）交线段AB于点E.

（1）如图1,当∕ACB=90°时，求证：DE=ICEi

(2)当NACB=I20°时,

①如图2,猜想线段OE、CE之间的数量关系并证明你的猜想;

②如图3,点F是BC边的中点，连接DF,DF与AB交于G,求二7的

思路引领：（1）如图1,易证△。砂SaCEA,然后只需运用相似三角形的性质就可解决问题;

（2）①过点B作BHjLOC于”，如图2.根据等腰三角形的性质可得Nr>=∕88=30°,DH=CH,

从而可得BH=AC,NBHE=NACE,进而可得aB"EgZ∖ACE,则有HE=CE,即可证到OE=3EC；

②延长QF到点N,使得FN=QF,连接NB、NC,如图3,易证四边形QCNB是平行四边形，从而可得

DE3EC3DGDE3

DC〃BN,DC=BN,即可得到^QGES^NG3,—=——=从而可得——=—=设DG=3k,

BN4EC4NGNB4

17%kDG

则有NG=4LDN=□k,DF="N=g,GF=。就可得到一的值.

222GF

解：(1)如图1,

VZACB=90Q,ZDBC=ZACB,

.∖ZDBC=90o,

：.ZDBC+ZACB=ISOo,

.∖DB∕∕AC,

：∙∕∖DEBsXCEA,

.DEDB

•'EC-CA

YBD=BC=2AC,

：•DE=2EC↑

(2)猜想：DE=3CE.

证明：过点8作于H,如图2.

又TBD=BC,ZDBC=ZACB=120°,

：.ZD=ZBCD=30Q,DH=CH,

LDB=2BH,NACE=90°,

：.BH=AC,/BHE=NACE.

在aBHE和aACE中，

ZBHE=4ACE

Z.BEH=LAEC,

BH=AC

:ABHEq∕∖ACE,

：.HE=CE9

：.DH=HC=2EC,

：.DE=DH+HE=2EC+EC=3EC；

(3)延长。"到点M使得尸N=DF,连接N8、NC,如图3,

:BF=CF,FN=DF,

••四边形DCNB是平行四边形,

∖DC/∕BNfDC=BN9

DE3EC3

••△DGES/XNGB,

BN-4EC-4’

.DGDE3

,NG~NB~4

设OG=3A,则有NG=4A,DN=Ik,

17”

MDF=*N=片,

7"k

•・GF=DF-DG=ɪTk=全

DG3k

—GF=~i£7~=6∙

2

D、

G

总结提升：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与

性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、30。角所对的直角边等于斜边的一半等知识，倍长中

线构造平行四边形是解决（2）②小题的关键.

4.（岳阳中考）已知在RtZ∖ABC中，ZBAC=90o,CO为NACB的平分线，将NACB沿CZ）所在的直线

对折，使点8落在点8'处，连接Ab,BB',延长CD交跖，于点E,设NA8C=2α（0°<a<45o）.

（1）如图1,若AB=AC,求证：CD=2BE;

（2）如图2,若ABWAC,试求CO与BE的数量关系（用含a的式子表示）；

（3）如图3,将（2）中的线段BC绕点C逆时针旋转角（α+45°）,得到线段尸C,连接E尸交BC于点

0,设aCOE的面积为Si,ZXCO尸的面积为52,求；•（用含α的式子表示）.

思路引领：（1）由翻折可知：BE=EB',再利用全等三角形的性质证明CQ=B8'即可;

BBfAB1

⑵如图2中'结论：CD=2∙BE^a.只要证明△始B'SACQ可得下=就=W推出

2BE1

可得CD=2∙8E∙tan2a;

CDtan2a

EOBEBE

(3)首先证明NEb=90°,由∕BEC+NECF=180°,推出83'〃CF,推出——=——=Sin(45°