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文档简介

北京市通州区市级名校2025届高一数学第一学期期末考试试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.若,则的值为()A. B.C.或 D.2.在R上定义运算⊙:A⊙B=A(1-B),若不等式(x-a)⊙(x+a)<1对任意的实数x∈R恒成立,则实数a的取值范围为()A.-1<a<1 B.0<a<2C.-<a< D.-<a<3.中国的5G技术领先世界,5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:.它表示:在受噪声干扰的信道中,最大信息传递速度C取决于信道带宽W,信道内信号的平均功率S,信道内部的高斯噪声功率N的大小,其中叫做信噪比.当信噪比较大时,公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式,若不改变带宽W,而将信噪比从1000提升至8000,则C大约增加了()()A.10% B.30%C.60% D.90%4.若“”是“”的充分不必要条件,则()A. B.C. D.5.下列各式中成立的是A. B.C. D.6.若,则是()A.第一象限或第三象限角 B.第二象限或第四象限角C.第三象限或第四象限角 D.第二象限或第三象限角7.将函数的图象向左平移个单位长度,再向下平移个单位长度,得到函数的图象,那么可以取的值为()A. B.C. D.8.已知定义在上的函数满足,则()A. B.C. D.9.将函数的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数()A.在区间上单调递减 B.在区间上单调递增C.在区间上单调递减 D.在区间上单调递增10.已知定义域为的函数满足,且,若,则()A. B.C. D.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.某学校在校学生有2000人,为了增强学生的体质,学校举行了跑步和登山比赛,每人都参加且只参加其中一项比赛,高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为a,b,c,且,全校参加登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次比赛的满意程度,按分层抽样的方法从中抽取一个容量为200的样本进行调查,则应从高三年级参加跑步的学生中抽取人数为______.12.若函数的图象过点,则函数的图象一定经过点________.13.若点在角终边上,则的值为_____14.已知函数,若,则___________.15.若方程组有解,则实数的取值范围是__________16.边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,则折叠后AC的长为________三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知函数,函数的最小正周期为,是函数的一条对称轴.(1)求函数的对称中心和单调区间;(2)若,求函数在的最大值和最小值,并写出对应的的值18.已知,函数.(1)当时,解不等式;(2)若关于的方程的解集中恰有一个元素,求的取值范围;(3)设,若对任意,函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1,求的取值范围.19.已知1与2是三次函数的两个零点.(1)求的值;(2)求不等式的解集.20.已知函数,其中.(1)当时,求的值域和单调区间;(2)若存在单调递增区间,求a的取值范围.21.已知函数(1)求函数的零点;(2)若实数满足,求的取值范围.

参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】分别令和,根据集合中元素的互异性可确定结果.【详解】若,则,不符合集合元素的互异性;若,则或(舍),此时,符合题意;综上所述:.故选:A.2、C【解析】根据新定义把不等式转化为一般的一元二次不等式,然后由一元二次不等式恒成立得结论【详解】∵(x-a)⊙(x+a)=(x-a)(1-x-a),∴不等式(x-a)⊙(x+a)<1,即(x-a)(1-x-a)<1对任意实数x恒成立,即x2-x-a2+a+1>0对任意实数x恒成立,所以Δ=1-4(-a2+a+1)<0,解得,故选:C.3、B【解析】根据所给公式、及对数的运算法则代入计算可得;【详解】解:当时,,当时,,∴,∴约增加了30%.故选:B4、B【解析】转化“”是“”的充分不必要条件为,分析即得解【详解】由题意,“”是“”的充分不必要条件故故故选:B5、D【解析】根据指数运算法则分别验证各个选项即可得到结果.【详解】中,中,,中,;且等式不满足指数运算法则,错误;中,,错误;中,,则,错误;中,,正确.故选:【点睛】本题考查指数运算法则的应用,属于基础题.6、D【解析】由已知可得即可判断.【详解】,即,则且,是第二象限或第三象限角.故选:D.7、B【解析】写出平移变换后的函数解析式,将函数的解析式利用二倍角公式降幂,化为正弦型函数,进而可得出的表达式,利用赋特殊值可得出结果.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度,再向下平移个单位长度,所得图象对应的函数的解析式为,,,解得,当时,.故选:B.【点睛】本题考查利用三角函数图象变换求参数,解题的关键就是结合图象变换求出变换后所得函数的解析式,考查计算能力,属于中等题.8、B【解析】分别令,,得到两个方程,解方程组可求得结果【详解】∵,∴当时,,①,当时,,②,,得,解得故选:B9、D【解析】由条件根据函数的图象变换规律得到变换之后的函数解析式,再根据正弦函数的单调性判断即可【详解】解:将函数的图象向右平移个单位长度,得到,若,则,因为在上不单调,故在上不单调,故A、B错误;若,则,因为在上单调递增,故在上单调递增,故C错误,D正确;故选:D10、A【解析】根据,,得到求解.【详解】因为,,所以,所以,所以,所以,,故选:A二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、【解析】由题意求得样本中抽取的高三的人数为人进而求得样本中高三年级参加登山的人,即可求解.【详解】由题意,高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为a,b,c,且,所以样本中抽取的高三的人数为人,又因为全校参加登山的人数占总人数的,所以样本中高三年级参加登山的人数为,所以样本中高三年级参加跑步的人数为人.故答案为:.12、【解析】函数的图象可以看作的图象先关于轴对称,再向右平移4个单位得到,先求出关于轴的对称点,再向右平移4个单位即得.【详解】由题得,函数的图象先关于轴对称,再向右平移个单位得函数,点关于轴的对称点为,向右平移4个单位是,所以函数图象一定经过点.故答案为:.【点睛】本题主要考查函数的平移变换和对称变换,考查了分析能力,属于基础题.13、5【解析】由三角函数定义得14、0【解析】由,即可求出结果.【详解】由知,则,又因为,所以.故答案:0.15、【解析】,化为,要使方程组有解,则两圆相交或相切,,即或,,故答案为.16、2【解析】取的中点,连接,,则,则为二面角的平面角点睛:取的中点,连接,,根据正方形可知,,则为二面角的平面角,在三角形中求出的长.本题主要是在折叠问题中考查了两点间的距离.折叠问题要注意分清在折叠前后哪些量发生了变化,哪里量没变三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)对称中心是,单调递增区间是,单调递减区间是(2)当时,,当时,【解析】(1)由函数的最小正周期,求得,再根据当时,函数取到最值求得,根据函数的性质求对称中心和单调区间;(2)写出的解析式,根据定义域,求最值【详解】(1),,,所以,,对称中心是,单调递增区间是,单调递减区间是(2),,当时,,当时,【点睛】三角函数最值问题要注意整体代换思想的体现,由的取值范围推断的取值范围18、(1).(2).(3)【解析】(1)当时,解对数不等式即可;(2)根据对数的运算法则进行化简,转化为一元二次方程,讨论的取值范围进行求解即可;(3)根据条件得到,恒成立,利用换元法进行转化,结合对勾函数的单调性进行求解即可.试题解析:(1)由,得,解得(2)由f(x)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5]=0得log2(a)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5]=0即log2(a)=log2[(a﹣4)x+2a﹣5],即a=(a﹣4)x+2a﹣5>0,①则(a﹣4)x2+(a﹣5)x﹣1=0,即(x+1)[(a﹣4)x﹣1]=0,②,当a=4时,方程②的解为x=﹣1,代入①,成立当a=3时,方程②的解为x=﹣1,代入①,成立当a≠4且a≠3时,方程②的解为x=﹣1或x,若x=﹣1是方程①的解,则a=a﹣1>0,即a>1,若x是方程①的解,则a=2a﹣4>0,即a>2,则要使方程①有且仅有一个解,则1<a≤2综上,若方程f(x)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素,则a的取值范围是1<a≤2,或a=3或a=4(3)函数f(x)在区间[t,t+1]上单调递减,由题意得f(t)﹣f(t+1)≤1,即log2(a)﹣log2(a)≤1,即a≤2(a),即a设1﹣t=r,则0≤r,,当r=0时,0,当0<r时,,∵y=r在(0,)上递减,∴r,∴,∴实数a的取值范围是a【一题多解】(3)还可采用:当时,,,所以在上单调递减则函数在区间上的最大值与最小值分别为,即,对任意成立因为,所以函数在区间上单调递增,时,有最小值,由,得故的取值范围为19、(1);(2)【解析】(1)根据函数零点的定义得,解方程即可得答案;(2)由(1)得,进而根据二次函数性质解不等式即可.【详解】解:(1)因为1与2是三次函数的两个零点所以根据函数的零点的定义得:,解得:.(2)由(1)得,根据二次函数的性质得不等式的解集为:所以不等式的解集为20、(1)见解析(2)【解析】(1)利用换元法设,求出的范围,再由对数函数的性质得出值域,再结合复合函数的单调性得出的单调区间;(2)分别讨论,两种情况,结合复合函数的单调性以及二次函数的性质得出a的取值范围.【详解】(1)当时,设,由,解得即函数的定义域为,此时则,即的值域为要求单调增(减)区间,等价于求的增(减)区间在区间上单调递增,在区间上单调递减在区间上单调递增,在区间上单调递减(2)当时,存在单调递增区间,则函数存在单调递增区间则判别式,解得或(舍)当时,存在单调递增区间,则函数存在单调递减区间则判别式,解得或,此时不成立综上,a的取值范围为【点睛】关键点睛:本题主要考查了对数型复合函数的单调性问题,解题的关键在于利用复合函数单调性的性质进

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