郭健从古典几何到现代几何

关于郭健从古典几何到现代几何前言几何学源远流长，文献丰富。

在长达数千年的人类历史长河中，几何史就是数学史、科学史、人类文明史的一个缩影，从中可以看到人类社会前进的足迹。第2页,共44页，2024年2月25日，星期天前言几何学特色鲜明，多彩多姿。

从古希腊时代起，就形成了一套科学的研究方法，严密的逻辑体系。两千多年来，无论是思想观念的更新，亦是科学理论的创立，几何学都扮演了开路先锋的角色。第3页,共44页，2024年2月25日，星期天前言几何学应用广泛，无处不在。

从现代文明的成果看，无论是火箭、卫星的研制发射，还是人类生存空间的保护和改善，无一不用到几何的知识；再从推动科学的进步看，几何学的空间直观引起的直觉思维，构造几何模型产生的结构观念，追求严密逻辑走出的公理化道路，无一不渗透到数学乃至科学的各个领域。第4页,共44页，2024年2月25日，星期天

古典几何泛指第一流的几何学家及其相应的几何著作，包括：欧氏几何、射影几何、解析几何、非欧几何等多个方面。现代几何主要是指微分几何，它是由高斯、黎曼等人所奠基，再由加当、陈省身等人发扬光大。前言第5页,共44页，2024年2月25日，星期天一、欧氏几何和欧氏空间

欧几里得（Euclid,公元前330—公元前275）的《几何原本》使几何学真正成为一门科学。几何，英文为“Geometry”，是由希腊文演变而来的，其原意为“土地测量”。我国明代徐光启翻译《几何原本》时，将“Geometry”一词译为“几何学”，就是从其音译而来。第6页,共44页，2024年2月25日，星期天1.《几何原本》介绍《几何原本》共分十三卷，给出了467个命题，几乎涵盖了前人所有的数学成果。全书精心编排，把命题依照彼此的逻辑关系，从简单到复杂，将内容按照顺序排列起来是欧几里得最成功的创造。第7页,共44页，2024年2月25日，星期天1.《几何原本》介绍

第一卷是全书逻辑推理的基础，给出了什么是点、线、面等23个定义，5个公理，由此讨论三角形全等、边角关系、垂线、平行线、平行四边形、多边形、勾股定理等。第8页,共44页，2024年2月25日，星期天1.《几何原本》介绍

五条公设是：（1）从每个点到每个别的点必定可引直线；（2）直线可以无限延长；（3）以任一点为中心，任意长为半径可以作圆；（4）所有直角都相等；（5）若一直线与两条直线相交，且同侧内角和小于两直角，则此两直线必在该侧相交。第9页,共44页，2024年2月25日，星期天1.《几何原本》介绍

五条公理是：（1）等于同量的量相等；（2）等量加等量，和相等；（3）等量减等量，差相等；（4）彼此重合的东西是相等的；（5）整体大于部分。第10页,共44页，2024年2月25日，星期天1.《几何原本》介绍第二、三、四卷讨论线段的计算、直线形和圆的基本性质，共67个命题；第六卷讨论相似形，共33个命题；第十一至十三卷讨论立体几何理论，共70几个命题；其它第五、七、八、九、十卷讨论比例和算术理论。第11页,共44页，2024年2月25日，星期天欧氏空间

后人把欧几里得建立的几何理论称为“欧氏几何”；成立欧氏几何的平面称为“欧氏平面”；成立欧氏几何的空间称为“欧氏空间”。第12页,共44页，2024年2月25日，星期天公理法

欧几里得在《几何原本》使用的这种建立理论体系的方法称为“公理法（原始公理法）”。第13页,共44页，2024年2月25日，星期天第Ⅴ公设

第Ⅴ公设等价于：过直线外一点只可作一直线平行于已知直线。在《几何原本》问世的两千年中，不少人试图去修正，尤其是第Ⅴ公设，被认为可由其余九条所证出，或用更简单或更直观的公理来代替。第14页,共44页，2024年2月25日，星期天罗氏几何

俄国数学家罗巴切夫斯基（Lobatchevsky，1793-1856）也希望能证明第Ⅴ公设，他企图通过否定第Ⅴ公设的等价命题来引出矛盾。但他推出了一个又一个新奇的结论后仍找不到逻辑上的矛盾，这些新的结论构成了一个不同的几何体系，后来被称为罗氏几何。第15页,共44页，2024年2月25日，星期天2.希尔伯特与《几何基础》1899年法国数学家希尔伯特（Hilbert,1862-1943）发表了著作《几何基础》，结束了对欧几里得给出的理论体系进行修改和完善的工作。他在这部著作中弥补了《几何原本》中公理系统的不足之处，指出了欧几里得几何的一个逻辑上完善的公理系统，由此解决了用公理法研究几何学的基础问题。第16页,共44页，2024年2月25日，星期天三个基本对象：点、直线、平面三种基本关系：“在……之上”、“在……中间”、“合同于”2.希尔伯特与《几何基础》第17页,共44页，2024年2月25日，星期天五组公理共20条：第一组关联公理，共8条；第二组顺序公理，共4条；第三组合同公理，共5条；第四组连续公理，共2条；第五组平行公理，共1条。第18页,共44页，2024年2月25日，星期天现代公理法：

以五组公理为基础，陆续定义了一些新的概念和证明一些新的结论（定理），这样建立起了一个依照逻辑关系，排列顺序井然的体系，称为现代公理法。第19页,共44页，2024年2月25日，星期天3.公理系统的三个问题构造一个公理体系并不容易，要求满足以下条件：（1）无矛盾性：即所有的公理彼此不产生矛盾，也称相容性；（2）独立性：即每一条公理都不能由其它公理推出，也就是公理组有最少个数，不能有多余的；（3）完备性：即已有的公理已足够了，不能在增加与公理组都相容的新公理。第20页,共44页，2024年2月25日，星期天

在数学及其它领域，利用公理法思想的地方很多，但一般并未形成欧氏几何公理系统这样严格的理论体系。一般地，任何一个公理系统必须是相容的，但未必是独立的，完备性更不是必需的。3.公理系统的三个问题第21页,共44页，2024年2月25日，星期天

除了欧氏几何，罗氏几何与射影几何的公理系统也具备以上三个条件。任何一个公理体系都不可能在本系统内证明它的无矛盾性，也就是说任何一个理论系统最终还是要靠实践来检验它的真伪与价值。3.公理系统的三个问题第22页,共44页，2024年2月25日，星期天二、解析几何

17世纪前半叶，科学技术对数学提出了新的要求，引起了三门全新的数学科学的发展，它们是：解析几何、微分法和积分法（包括简单的微分方程）。第23页,共44页，2024年2月25日，星期天二、解析几何

法国数学家笛卡尔（R.Descartes1596-1650）于1637年发表长篇著作《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》，该书三个附录之一《几何学》阐述了他的坐标几何的思想，标志着解析几何的诞生。第24页,共44页，2024年2月25日，星期天二、解析几何

恩格斯评价：“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了数学，微分和积分也立刻成为必要的了”（《自然辩证法》）。第25页,共44页，2024年2月25日，星期天1.笛卡尔的两个基本观念（1）坐标观念：其作用是把欧氏平面上的点与一对有序的实数对应起来。第26页,共44页，2024年2月25日，星期天1.笛卡尔的两个基本观念

（2）将带两个未知数的方程和平面上的曲线相对比的观念：例如二元方程，这种通常有无穷多组解的所谓“不定方程”对代数学家来说是索然无趣的，但笛卡尔注意到当x连续地改变时，方程相应确定的y，于是两个变量x,y可以看作是平面上运动着的点的坐标，于是这样的点组成一条平面曲线。第27页,共44页，2024年2月25日，星期天1.笛卡尔的两个基本观念

以上两个观念概括来讲，就是用代数方法去解决几何问题，这就是解析几何的基本思想。

第28页,共44页，2024年2月25日，星期天2.空间解析几何1731年，法国人克雷洛（Clairant1713-1765）出版了《关于双重曲率的曲线的研究》一书。这是一个最早的空间解析几何著作，同时也研究了微分几何学。第29页,共44页，2024年2月25日，星期天

在空间建立坐标系，可以把点与有序三实数组建立对应。从而，可用方程

F（x,y,z）=0表示曲面，用方程组表示空间的曲线。

主要研究二次曲面，如：椭球面、双曲面、抛物面及二次柱面等2.空间解析几何第30页,共44页，2024年2月25日，星期天三、微分几何

在解析几何的基础上，如果要研究更复杂的图形，这些图形可能对应比较复杂的代数方程，甚至不能用代数方程来表示，这时需要借助微积分作为工具，由此产生了微分几何。第31页,共44页，2024年2月25日，星期天1.微分几何的起源

微分几何产生于18世纪，它着眼于研究欧氏空间中曲线和曲面弯曲的情况，如：子弹的运行轨迹，建筑物的造型，汽车、飞机的外形等。

第32页,共44页，2024年2月25日，星期天

微分几何的起源可见于克雷洛的《关于双重曲率曲线的研究》（1731年）一书。蒙日（G.Monge1746-1818）的《分析在几何学上的应用》（1809年）已包含了这一学科的雏形。欧拉（Euler1707-1783）的《关于曲面上曲线的研究》是微分几何的第一部重要著作。第33页,共44页，2024年2月25日，星期天

高斯（C.F.Gauss1777-1855）的《关于曲面的研究》（1827年）一书，奠定了曲面微分几何的基础，并把欧氏几何推广到曲面上“弯曲”的几何。他认为，曲面不只是三维欧氏空间中的图形，曲面本身就是一个空间，它有内蕴几何。第34页,共44页，2024年2月25日，星期天

黎曼（B.Riemann

1826-1866)将“弯曲”的几何理论推广到n维空间，建立了流形的概念。1868年，由其学生以《论作为几何学基础的假设》为题出版。爱因斯坦将广义相对论中引力现象释为黎曼空间的曲率性质。达布（G.Darboux1842-1916）的《曲面一般理论的讲义》集曲线和曲面微分几何之大成。第35页,共44页，2024年2月25日，星期天2.经典微分几何

研究的内容大体上分为曲线论与曲面论两部分。采用无穷小的方法来研究曲线与曲面的“局部”性质（一点附近的情况）。第36页,共44页，2024年2月25日，星期天2.经典微分几何

曲率：曲率描述了曲线弯曲的程度。曲率值越大，曲率在这一点附近越弯曲，反之曲率值越小，曲线在这一点附近越平直。挠率：挠率刻划了曲线在一点处扭曲的程度。第37页,共44页，2024年2月25日，星期天

有了曲率、挠率，曲线的形状就完全确定了。例如：在微观世界脱氧核糖酸（DNA）是一种复杂的有机化合物，它由一对相互盘绕的双螺旋形状的多核苷酸链组成，而螺旋线可以表为：

螺旋线在每一点外的曲率相等，挠率也相等。第38页,共44页，2024年2月25日，星期天

高斯曲率：通过对曲面上一点的两条曲线（法截线）的曲率（分别为极大和极小值），取其乘积可描述出曲面在其上一点附近的弯曲程度。测地线：曲面上连接A，B两点的最短的曲线称为短程线，由短程线构成的光滑曲线叫测地线。在一般教科书中，还包括渐伸线、渐缩线、可展曲面等内容。第39页,共44页，2024年2月25日，星期天20世纪初，微分几何有了飞跃的发展。研究的对象和方法都发生了极大变化，更注意一