2021新高考数学二轮总复习学案第1讲选择题填空题的解法

第1讲选择题、填空题的解法方法思路概述高考选择题、填空题注重多个知识点的小型综合,渗透各种数学思想和方法,体现利用基础知识深度考基础、考能力的导向;使作为中低档题的选择题、填空题成为具备较佳区分度的基本题型.因此能否在选择题、填空题上获取高分,对高考数学成绩影响重大.解答选择题、填空题的基本策略是准确、迅速.(1)解题策略:小题巧解,不需“小题大做”,在准确、迅速、合理、简洁的原则下,充分利用题设和选择支这两方面提供的信息作出判断.先定性后定量,先特殊后一般,先间接后直接,多种思路选最简.对于选择题可先排除后求解,既熟悉通法又结合选项支中的暗示及知识能力,运用特例法、筛选法、图解法等技巧求解.(2)解决方法:主要分直接法和间接法两大类,具体方法为直接法,特值、特例法,筛选法,数形结合法,等价转化法,构造法,代入法等.解法分类指导方法一直接法

直接法,就是直接从题设的条件出发,运用有关的概念、性质、公理、定理、法则和公式等,通过严密的推理和准确的计算,然后对照题目所给出的选择支“对号入座”作出相应的选择.多用于涉及概念、性质的辨析或运算较简单的定性题目.【例1】(1)(2020山东泰安一模,2)已知复数2-aii=1bi,其中a,b∈R,i是虚数单位,则|a+biA.1+2i B.1 C.5 D.5(2)(多选)(2020山东济宁模拟,11)已知函数f(x)=cos2x-π32sinx+π4cosx+π4(A.函数f(x)的最小正周期为2πB.函数f(x)的最大值为1C.函数f(x)在-πD.将函数f(x)的图象向左平移π12个单位长度,得到的函数解析式为g(x)=sin2【对点训练1】(1)(2020福建福州模拟,理6)已知数列{an}为等差数列,若a1,a6为函数f(x)=x29x+14的两个零点,则a3a4=()A.14 B.9 C.14 D.20(2)(2020浙江,17)已知平面单位向量e1,e2满足|2e1e2|≤2,设a=e1+e2,b=3e1+e2,向量a,b的夹角为θ,则cos2θ的最小值是.

方法二特值、特例法

特值、特例法是在题设普遍条件都成立的情况下,用特殊值(取得越简单越好)进行探求,从而清晰、快捷地得到正确的答案,即通过对特殊情况的研究来判断一般规律,从而“小题小做”或“小题巧做”.当题目已知条件中含有某些不确定的量时,可将题目中变化的不定量选取一些符合条件的特殊值(或特殊函数,特殊角,特殊数列,特殊图形,图形特殊位置,特殊点,特殊方程,特殊模型等)进行处理,从而得出探求的结论.这样可大大地简化推理、论证的过程.【例2】(1)(2020山东模考卷,8)若a>b>c>1,且ac<b2,则()A.logab>logbc>logca B.logcb>logba>logacC.logcb>logab>logca D.logba>logcb>logac(2)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,BA·CA=4,BF·CF=1,则BE【对点训练2】(1)(2020浙江高考压轴卷,8)已知a,b∈R,且a>b,则()A.1a<1b B.C.13a<13b(2)在平面直角坐标系中,设A,B,C是曲线y=1x-1上三个不同的点,且D,E,F分别为BC,CA,AB的中点,则过D,E,F三点的圆一定经过定点方法三等价转化法

在应用等价转化法解决问题时,没有一个统一的模式去进行.可以在数与数、形与形之间进行转换;可以在宏观上进行等价转换;也可以在函数、方程、不等式之间进行等价转化.但都需要保持命题的真假不变.等价转化法的转化原则是将陌生的问题转化为熟悉的问题,将复杂的问题转化为简单的问题,将抽象的问题转化为直观的问题,比如从超越式到代数式、从无理式到有理式,从分式到整式.【例3】(1)函数f(x)=log2x,A.a<0 B.0<a<1C.12<a<1 D.a≤0或a>(2)已知f(x)与函数y=asinx关于点12,0对称,g(x)与函数y=ex关于直线y=x对称,若对任意x1∈(0,1],存在x2∈π2,2,使g(x1)x1≤f(x2)成立,则实数a的取值范围是()A.∞,1sin1 B.1sin1,+∞C.∞,1cos1 D.1cos1,+∞【对点训练3】(1)在四面体PABC中,△ABC为等边三角形,边长为3,PA=3,PB=4,PC=5,则四面体PABC的体积为()A.3 B.23 C.11 D.10(2)(2020福建福州模拟,16)已知函数f(x)=axlnx1,g(x)=x327,用max{m,n}表示m,n中的最大值,设φ(x)=max{f(x),g(x)}.若φ(x)≥x3在(0,+∞)上恒成立,则实数a的取值范围为方法四数形结合法

数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系,既分析其数量关系,又揭示其几何意义,使数量关系和几何图形巧妙地结合起来,并充分地利用这种结合,探求解决问题的思路,使问题得以解决的思考方法.每个几何图形中蕴含着一定的数量关系,而数量关系常常又通过图形的直观性作出反映和描述,数与形之间可以相互转化,将问题化难为易,化抽象为具体.数形结合的思想方法通过借数解形、以形助数,能使某些较复杂的数学问题迎刃而解.【例4】(1)(2020山东模考卷,6)已知点A为曲线y=x+4x(x>0)上的动点,B为圆(x2)2+y2=1上的动点,则|AB|的最小值是(A.3 B.4 C.32 D.42(2)(2020山东,5)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.62% B.56% C.46% D.42%(2)(2020山东,5)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.62% B.56% C.46% D.42%【对点训练4】(1)已知函数f(x)=-x2+6x,x<4,2x-1,x≥4,若存在实数a,b,c,满足f(a)=f(b)=f(A.(24,36) B.(48,54)C.(24,27) D.(48,+∞)(2)(多选)(2020山东济南一模,12)已知函数f(x)=(sinx+cosx)|sinxcosx|,下列说法正确的是()A.f(x)是周期函数B.f(x)在区间-πC.若|f(x1)|+|f(x2)|=2,则x1+x2=kπ2(k∈D.函数g(x)=f(x)+1在区间[0,2π]上有且仅有1个零点方法五构造法

利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型,从而简化推理与计算过程,使较复杂的数学问题得到简捷的解决.构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的,从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感,构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型,使问题得到快速解决.【例5】(1)(2020全国Ⅱ,理11)若2x2y<3x3y,则()A.ln(yx+1)>0 B.ln(yx+1)<0C.ln|xy|>0 D.ln|xy|<0(2)(2020山东烟台模拟,16)设定义域为R的函数f(x)满足f'(x)>f(x),则不等式ex1f(x)<f(2x1)的解集为.

【对点训练5】(1)(2020天津和平区一模,7)函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意两个正数x1,x2(x1<x2),都有f(x1)x1>f(x2)x2,记a=25f(0.22),b=f(1),c=logA.c>b>a B.b>c>aC.a>b>c D.a>c>b(2)(2020浙江,9)已知a,b∈R且ab≠0,对于任意x≥0均有(xa)(xb)(x2ab)≥0,则()A.a<0 B.a>0 C.b<0 D.b>0方法六排除法(针对选择题)

数学选择题的解题本质就是去伪存真,舍弃不符合题目要求的选项,找到符合题意的正确结论.排除法(又叫筛选法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例,对于错误的选项逐一剔除,从而获得正确的结论.【例6】(1)(2020全国Ⅱ,文5)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是()A.a+2b B.2a+bC.a2b D.2ab(2)(2020浙江高考压轴卷,7)函数f(x)=ex+1x(1-ex)【对点训练6】(1)(多选)(2020山东联考,9)在下列函数中,最小值是2的是()A.y=x+1B.y=2x+2xC.y=sinx+1sinx,xD.y=x22x+3(2)(2020浙江,4)函数y=xcosx+sinx在区间[π,π]上的图象可能是()方法七估算法

选择题提供了正确的选择支,解答又无需过程.因此,有些题目,不必进行准确的计算,只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计,便能作出正确的判断,这就是估算法.估算法往往可以减少运算量,但是加强了思维的层次.【例7】(2019全国Ⅰ,文4,理4)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5-125-12≈0.618,称为黄金分割比例,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5-12.若某人满足上述两个黄金分割比例A.165cm B.175cmC.185cm D.190cm【对点训练7】已知正数x,y满足2x+y<4,则y+1x+1的取值范围是A.1B.1C.-∞,13∪D.-∞,13∪专题方法归纳1.解选择题、填空题的基本方法比较多,但大部分选择题、填空题的解法是直接法,在解题时要根据题意灵活运用上述一种或几种方法“巧解”,在“小题小做”“小题巧做”上做文章,切忌盲目地采用直接法.2.由于选择题供选选项多、信息量大、正误混杂、迷惑性强,稍不留心就会误入“陷阱”,应该从正反两个方向肯定、否定、筛选、验证,既谨慎选择,又大胆跳跃.3.解填空题不要求求解过程,从而结论是判断正确的唯一标准,因此解填空题时要注意以下几个方面:(1)要认真审题,明确要求,思维严谨、周密,计算要准确;(2)要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论;(3)要重视对所求结果的检验.4.作为平时训练,解完一道题后,还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”,并注意及时总结,这样才能有效地提高解题能力.第1讲选择题、填空题的解法解法分类指导【例1】(1)D(2)BD解析(1)由2-aii=1bi,得2ai=i(1bi)=b+i,∴a=1,b=2,则a+bi=1+2i,∴|a+bi|=|1+2i|=(-(2)由题得,f(x)=cos2x-π3sin2x+π2=32sin2x12cos2x=sin2x-π6,∴当x∈-π4,π4时,2xπ6∈-2π3,π将函数f(x)的图象向左平移π12个单位长度,得到的函数解析式为g(x)=fx+π12=sin2x,对点训练1(1)D(2)2829解析(1)令f(x)=0,则方程x29x+14=0,解得方程的两个根为2,7∵等差数列{an}中,a1,a6为函数f(x)=x29x+14的两个零点,∴a1=2,a6=7,或a1=7,a6=2,当a1=2,a6=7时,d=a6-a16-1=1,则a3=4,a4=5,当a1=7,a6=2时,d=a6-a16-1=1,则a3=5,a4=4,所以a3a(2)|2e1e2|≤2⇔(2e1-e2)2≤2,解得e1所以34≤e1·e2≤1.cosθ=4+4e设e1·e2=x,则34≤x≤cos2θ=16(x+1)2(2+2x)(10+6x)【例2】(1)B(2)78解析(1)因为a>b>c>1,且ac<b2,令a=16,b=8,c=2,则logca=4>1>logab,故A,C错logcb=3>logba=43,故D错,B正确(2)所求的问题是个定值问题,“在△ABC中”和在特殊△ABC中所求的值相等,所以将所给条件“在△ABC中”特殊化为“在等边△ABC中”.如下图,BA·CA=(x,3y)·(x,3y)=x2+9y2=4;BF·CF=(x,y)·(x,y)=x2+y2=1;解得x2=138,y2=58.则BE·CE=(x,2y)(x,2y)对点训练2(1)C(2)(1,0)解析(1)对于A,取a=1,b=1,则a>b成立,但1a>1b,对于B,取a=π,b=0,则a>b成立,但sinπ=sin0,故B错误;对于C,因y=13x在R上单调递减,若a>b,则13a<对于D,取a=1,b=2,则a>b成立,但a2<b2,故D错误.(2)曲线y=1x-1的对称中心为(1,0),设过对称中心的直线与曲线交于A,B两点,则A,B的中点为对称中心(1,0),所以过D,E,F【例3】(1)A(2)C解析(1)当x>0时,函数f(x)过点(1,0),又函数f(x)有且只有一个零点,可推出,当x≤0时,函数y=2x+a没有零点,即在(∞,0]内,函数y=2x与直线y=a无公共点.由数形结合,可得a≤0或a>1.又因{a|a<0}⫋{a|a≤0或a>1},故选A.(2)依题意得f(x)=asin(1x),g(x)=lnx,设h(x)=g(x)x=lnxx,x∈(0,1],∵h'(x)=1x1≥∴h(x)在(0,1]上单调递增,∴h(x)max=h(1)=ln11=1.故原题等价于存在x∈π2,2,使得asin(1x)≥1,∵sin(1x)≤0,∴a≤1sin(x-1).故只需a≤1sin(x-1)max.而y=1sin对点训练3(1)C(2)43,+∞解析(1)如图,延长CA至D,使得AD=3,连接因为AD=AB=3,故△ADB为等腰三角形.又∠DAB=180°∠CAB=120°,故∠ADB=12(180°120°)=30°,所以∠ADB+∠DCB=90°,即∠DBC=90°,故CB⊥DB.因为PB=4,PC=5,BC=3,所以PC2=PB2+BC2,所以CB⊥PB因为DB∩PB=B,DB⊂平面PBD,PB⊂平面PBD,所以CB⊥平面PBD.所以V三棱锥PCBD=V三棱锥CPBD=13×CB×S△PBD.因为A为DC的中点,所以V三棱锥PABC=12V三棱锥PCBD=16×3×S△PBD=12S△PBD.因为DA=AC=AP=3,故△PDC为直角三角形,所以PD=CD2-PC2=36-25=11.又DB=3AD=33,而PB=4,故DB2=PD2+PB2,即△PBD为直角三角形,所以S△(2)当x∈(0,3)时,g(x)=x327<x3,当x∈[3,+∞)时,g(所以φ(x)≥x3在[3,+∞)问题转化为φ(x)≥x3在(0,3)恒成立,由axlnx1≥x3恒成立,可得a≥lnx设h(x)=lnx+1x+则h'(x)=1x当0<x<1时,h'(x)>0,当1<x<3时,h'(x)<0,所以h(x)在(0,1)内单调递增,在(1,3)内单调递减,所以h(x)max=h(1)=43,所以a≥43,故实数【例4】(1)A(2)C解析(1)作出对勾函数y=x+4x(x>0)的图象如图,由图象知函数的最低点坐标为A(2,4),圆心坐标为C(2,0),半径R=1,则由图象知当A,B,C三点共线时,|AB|最小,此时最小值为41=3,故选A(2)设既喜欢足球又喜欢游泳的学生比例数为x.由维恩图可知,82%x+60%=96%,解得x=46%,故选C.对点训练4(1)B(2)AC解析(1)画出f(x)=-x2+6x∵a<b<c,∴由二次函数的性质可得a+b=6.由图可知,4<c<log29+1,∴f(4)<f(c)<f(log29+1),f(4)=8,f(log29+1)=2(log∴8<f(c)<9,48<6f(c)<54,即(a+b)f(c)的取值范围是(48,54),故选B.(2)由题得,f(x)=(sinx+cosx)|sinxcosx|=co=cos2图象如图所示,由图可知,f(x)是周期为2π的周期函数,故A正确;f(x)在区间-π2,π2上不是单调函数若|f(x1)|+|f(x2)|=2,则x1+x2=kπ2(k∈Z),故C函数g(x)=f(x)+1在区间[0,2π]上有且仅有2个零点,故D错误.故选AC.【例5】(1)A(2)(1,+∞)解析(1)∵2x2y<3x3y,∴2x3x<2y3y.∵f(t)=2t3t在R上为增函数,且f(x)<f(y),∴x<y,∴yx>0,∴yx+1>1,∴ln(yx+1)>ln1=0.故选A.(2)设F(x)=f(x)ex,则F'(x)=f'(x)-f(x)ex.∵f'(x)>f(x∵ex1f(x)<f(2x1),∴f(x)ex<f(2∴x<2x1,即x>1,∴不等式ex1f(x)<f(2x1)的解集为(1,+∞).对点训练5(1)C(2)C解析(1)构造函数g(x)=f(x)x,则函数在(0,+∞)内单调递减,∵0.22<1<log35,则f(0.22)>f(1)>f(log35)=f(log135),∵a=25f(0.22),b=f(1),c=log5∴25f(0.22)>f(1)>log53×f(log135),∴(2)当a<0时,在x≥0上,xa≥0恒成立,所以只需满足(xb)(x2ab)≥0恒成立,此时2a+b<b,由二次函数的图象可知,只有b<0时,满足(xb)(x2ab)≥0,b>0不满足条件;当b<0时,在[0,+∞)上,xb≥0恒成立,所以只需满足(xa)(x2ab)≥0恒成立,此时两根分别为x=a和x=2a+b,①当a+b>0时,此时0<a<2a+b,当x≥0时,