2023年中考数学练习-二次函数与相似三角形综合

2023年中考数学高频考点突破——二次函数与相似三角形综合

1.如图，已知点A(0,4)和点B(3,0)都在抛物线y=∕nr2+2"u:+〃上.

(1)求mn；

(2)向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为Q,点B的对应点为C,若四边

形ABC。为菱形，求平移后抛物线的表达式；

(3)记平移后抛物线的对称轴与直线AC的交点为点E,X轴上的点尸，使得以点C、E、

尸为顶点的三角形与AABE相似，请求出尸点坐标.

2.如图，。为坐标原点，以A为顶点的抛物线y=-/(χ-2)2+2与X的正半轴交于点E,

直线y=-2Λ+6经过点A,且交y轴于点8.

(1)直接写出A、8两点的坐标；

(2)设直线y--2x+6与抛物线y--A,χ2+2x的另一个交点为C,求tanZACO的值;

2

(3)设点。是y轴上一个动点，若以点O,C,Q为顶点的三角形与aABO相似，请

求出符合条件的所有点Q的坐标.

备用图

3.如图，二次函数y=/+云的图象经过点A(-ɪ,4)和点8(2,机).

(1)填空：b=；m=；

(2)过点A作AC〃尤轴，交抛物线于点C,点尸是线段。。上的动点(与0、。不重

合).

①若以。、B、C为顶点的三角形和以。、3、P为顶点的三角形相似，求它们的相似比;

②设点尸是BC的中点，当0尸为何值时，将48尸尸沿边P尸翻折，使ABPF与ACPF

重叠部分的面积是48CP的面积的工？

4

4.如图1,已知抛物线y=αχ2-2ax+4与X轴交于A、B两点，与y轴交于点C,且OB=

0C.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若点尸是线段AB上的一个动点(不与A、8重合)，分别以AP、BP为一边,在

直线AB的同侧作等边三角形APM和BPM求APMN的最大面积，并写出此时点P的

坐标；

(3)如图2,若抛物线的对称轴与X轴交于点。，F是抛物线上位于对称轴右侧的一个

动点，直线尸。与y轴交于点£是否存在点凡使aOOE与AAOC相似？若存在，请

求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.

图1图2

5.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-彳-3与抛物线)，=/+,如+〃相交于两个不同的

点A、B,其中点A在X轴上.

(1)则A点坐标为;

(2)若点3为该抛物线的顶点，求〃?、"的值；

(3)在(2)条件下，设该抛物线与X轴的另一个交点为C,请你探索在平面内是否存

在点使得ADAC与aOCO相似？如果存在，求出点。的坐标；如果不存在，请说

明理由.

6.如图，二次函数y=αx2+2x+c的图象与X轴交于点A(-1,0)和点B,与)，轴交于点

C(0,3).

(1)求该二次函数的表达式；

(2)过点A的直线ABC且交抛物线于另一点求直线AD的函数表达式；

(3)在(2)的条件下，请解答下列问题：

①在X轴上是否存在一点P，使得以B、C、P为顶点的三角形与AABO相似？若存在,

求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

②动点M以每秒1个单位的速度沿线段AO从点A向点。运动，同时，动点N以每秒

巡_个单位的速度沿线段。8从点。向点B运动，问：在运动过程中，当运动时间f

5

为何值时，的面积最大，并求出这个最大值.

7.如图，已知抛物线y=α?-5av+2(α≠0)与y轴交于点C,与X轴交于点A(1,0)

和点B.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求直线BC的解析式：

(3)若点N是抛物线上的动点，过点N作N”,X轴，垂足为H,以B,N,，为顶点

的三角形是否能够与AOBC相似(排除全等的情况)？若能，请求出所有符合条件的

点N的坐标；若不能，请说明理由.

8.如图，在平面直角坐标系XOy中，抛物线y=-∙l∕+⅛r+c过点A(0,4)和C(8,

6

O),P(Λ0)是X轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点尸

顺时针旋转90°得线段P8,过点B作X轴的垂线，过点4作)，轴的垂线，两直线交于

点。.

(1)求氏c的值；

(2)当f为何值时，点。落在抛物线上；

(3)是否存在/,使得以A,B,。为顶点的三角形与AAOP相似？若存在，求此时,

的值；若不存在，请说明理由.

9.边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点。是边。4的中点,

连接CZX点E在第一象限，且DEJ_OC,DE=DC.以直线AB为对称轴的抛物线过C,

E两点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P从点C出发，沿射线CB每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为f秒.过

点P作PELC。于点F,当f为何值时，以点P,F,。为顶点的三角形与ACOO相似?

(3)点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M,N,使得以

点M,N,D,E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的

坐标；若不存在，请说明理由.

10.如图，抛物线y=-L2+fev+c交X轴于点A,B,交y轴于点C,点A的坐标是(-1,

2

0),点C的坐标是(0,2).

(1)求该抛物线的解析式；

(2)已知点尸是抛物线的上的一个动点，点N在X轴上.

①若点P在X轴上方，且AAPN是等腰直角三角形，求点N的坐标；

②若点P在X轴下方，且aANP与aBOC相似，请直接写出点N的坐标.

1ɪ.如图，已知抛物线y=Sχ2+fer+C经过直线y=-工x+1与坐标轴的两个交点A、B,点、

82

C为抛物线上的一点，且乙48C=90°.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求点C坐标；

(3)直线y=-工+1上是否存在点P,使得ABC尸与AOAB相似？若存在，请直接写

2

出尸点的坐标；若不存在，请说明理由.

12.已知：如图，抛物线Ci：y=α√+40x+c的图象开口向上，与X轴交于点A、B(A在B

的左边)，与y轴交于点C,顶点为P,AB=I,且。A=OC.

(1)求抛物线Ci的对称轴和函数解析式；

(2)把抛物线Ci的图象先向右平移3个单位，再向下平移m个单位得到抛物线C2,

记顶点为M,并与y轴交于点尸(0,-1),求抛物线C2的函数解析式；

(3)在(2)的基础上，点G是y轴上一点，当AAPE与aFMG相似时，求点G的坐

标.

13.如图1,已知二次函数y=χ2+bχ+∙∣∙b的图象与X轴交于A、B两点(B在A的左侧)，

顶点为C,点。(1,加)在此二次函数图象的对称轴上，过点。作y轴的垂线，交对称

轴右侧的抛物线于E点.

(1)求此二次函数的解析式和点C的坐标；

(2)当点Z)的坐标为(1,1)时，连接80、BE.求证：BE平分NAB。；

(3)点G在抛物线的对称轴上且位于第一象限，若以A、C、G为顶点的三角形与以G、

D、E为顶点的三角形相似，求点E的横坐标.

14.已知抛物线y=αr2+fex+c经过A(3,0)、8(0,3)、C(1,0)三点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点。的坐标为(-1,0),在直线AB上有一点P,使AABO与AAOP相似，

求出点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，在X轴下方的抛物线上，是否存在点E,使△?!£>£的面积等于

四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标：如果不存在，请说明理由.

15.如图①.直线y=χ-3与X轴、y轴分别交于B、C两点，点A在X轴负半轴上，且

ɔʌ=1.抛物线经过A、B、C三点，点P(a，〃)是该抛物线上的一个动点(其中

OC3

m>097?<0).

(1)求抛物线的解析式;

(2)连接PC、PB(如图①)，APBC是否有最大面积？若有，求出APBC的最大面

积和此时P点的坐标；若没有，请说明理由：

(3)。为线段AB中点，连接OP交Be于点瓦连接AC(如图②)，若以B,D,E

为顶点的三角形与AABC相似.直接写出此时点P的坐标.

16.如图，抛物线y=Zχ2/χ-8与X轴交于A、C两点，与y轴交于B点.

ɔ3

(1)求AAOB的外接圆的面积;

(2)若动点P从点4出发，以每秒1个单位沿射线AC方向运动；同时，点。从点B

出发，以每秒0.5个单位沿射线54方向运动，当点尸到点C处时，两点同时停止运

动.问当，为何值时，以A、P、。为顶点的三角形与AOAB相似？

(3)若M为线段AB上一个动点，过点M作MN平行于y轴交抛物线于点M问：是

否存在这样的点仞，使得四边形OMNB恰为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；

若不存在，请说明理由.

17.如图，在平面直角坐标系XOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、

B两点的抛物线为y=-/+云+c.点。为线段AB上一动点，过点。作轴子点C,

交抛物线于点E.

(I)ZBAO=o,b=；

(2)当。E=3时，求点C坐标；

(3)连接8E,是否存在点£>,使得ADBE和aZMC相似？若存在，求此点。坐标；

若不存在，说明理由.

18.在平面直角坐标系Xoy中，抛物线y=∕+⅛r+c与X轴交于A、B两点(点A在点3的

左侧)，点B的坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,3),顶点为D

(1)求抛物线的解析式及顶点。的坐标；

(2)联结AC,BC,求/ACB的正切值；

(3)点P抛物线的对称轴上一点，当APBD与aC48相似时，求点P的坐标.

19.如图，已知直线y=x与二次函数.y=∕+6x+c的图象交于点4、0,(。是坐标原点)，

点尸为二次函数图象的顶点，OA=3AP的中点为股

(1)求二次函数的解析式；

(2)求线段OB的长；

(3)若射线OB上存在点Q,使得AAOQ与AAOP相似，求点。的坐标.

20.如图，抛物线与X轴交于A(1,0)、8(-3,0)两点，与y轴交于点C(0,3),

设抛物线的顶点为D.

(1)求该抛物线的解析式与顶点。的坐标.

(2)试判断aBCO的形状，并说明理由.

(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与aBCO相似？若

存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案：

1.【解答】解：(1)由于抛物线经过A(0,4)和点B(3,0),则有(n=4

I9m+6m÷n=0

_4

解得j=

n=4

故m—--⅛-,n—4.

15

(2)由(1)得：y---⅛-x2--L>χ+4=--A.(x+l)2+.iΞ⅛;

15151515

由A(0,4)、B(3,0),可得AB=√32+42=5≡

若四边形A8C。为菱形，则AB=BC=5,即C(8,0)；

故抛物线需向右平移5个单位，即：

y—--ɪ(x+l-5)2+^.---ɪ(X-4)2+-^⅛..

15151515

(3)如图，由(2)得：平移后抛物线的对称轴为：x=4；

VA(0,4),C(8,0),

，直线AC：y=--kx+4；

2

当x=4时，y=2,故E(4,2)；

所以：Af=2√5,CE=2√5,BE=√5;

由(2)知：AB=BC=5,即NBAC=/BCA；

若以点C、E、尸为顶点的三角形与aABE相似，则：

ΦZCEF=ZABE,贝IJZ∖CEFsAABE,可得:

,即a/ɪ=CF,CF=4,

ABAE52√5

止匕时F(4,0)；

②NCFE=ZABE,则ACFES∕∖ABE,可得：

空=生，即空=,CF=5,

ABAE52√5

此时F(3,0)(不合题意舍去).

综上所述，存在符合条件的尸点，坐标为：F(4,0).

2.【解答】解：(1)A(2,2)；B(0,6)；

'y=-2x+6(X=2(X2=6

(2)解方程组，I9,得I,

y=-yχ+2X[y1=2y2=^6

：.C(6,-6),

o22

ΛZCOfi=45；OC=√6+6=6√2∙

TA为(2,2)；

ΛZAOE=45°；

OA=A/=2+(2=2衣;

ΛZAOC=450+45°=90°,

.♦.在RtZ∖AOC中，tan∕ACO=」；

tan乙A3°oAc3

(3)设M为y轴负半轴上任一点，由(2)得，ZBOA=ZEOA=ZEOC=ZMOC=

45°

当NQoC=NBOA=45°时，因为C在第四象限，所以Q只能在y轴负半轴，当两个

三角形有两边对应成比例且夹角相等时，这两个三角形相似，有以下两种情况：

①当毁=型时，XQoCSXA0B,此时，-QQJlχ2.,

OAOB2√26

解得。。=4,

Λ<2∣(0,-4)；

②当毁=匹时，XQOCsMBOk此时，毁=殳②,

OBOA62√2

解得。Q=18,

：.Q1(0,-18)；

综上所述，当。为(0,-4)或(0,-18)时，ZXOCQ与AABO相似.

3.【解答】解：(1)Y二次函数y=∕+fov的图象经过点A(-1,4)和点B(2,M,

Λ4=(-1)2-⅛,

解得：b=-3,

则6=22-3X2=-2,

故答案为：-3,-2；

(2)过点A作AC〃入轴，交抛物线于点C,

即4=X2-3x,

解得：xι=-l,X2=4,

可得C(4,4),又TB(2,-2),

...NCOB=90°，

①若以。、B、C为顶点的三角形和以。、B、P为顶点的三角形相似,

只能是408CS

，AOBC与AOPB的相似比为：OC：QB=2：1；

②由①知C0=4&,BO=2√2,BF=FC=410-

1）若翻折后，点8'落在BC的右侧，BC与PB，的交点为M,如图1.

SAMFP=-SΔBCP—-S^CPF-—S^B∙PF，

422

：.M为FC、PB'的中点

.∙.四边形夕FPC为平行四边形，

ΛPC=√10.PO=4√2-√Tθ.

2）若翻折后，点8'落在BC上，则点8,。重合，

S/^MFP-—S^BCP＜不合题意，舍去.

2

3）若翻折后，点B落在OC的左侧，

OC与尸夕的交点为M如图2,

SdNPF=-SΛHCP=LS∕∖BPF=-ISZiCPF=-S^B∙PF,

4222

：.N为PC、FB'的中点，

...四边形B'PFC为平行四边形，

B'P=FC=Λ∕10,：.BP=B'P=√7U,

在直角三角形OPB中，

OP1+OBλ=BP1,

解得：PO=42,

综上所述，PO=A近-瓜或PO=近.

4.【解答】解：(1)令X=O得，y=4,：.C(0,4)

'.OB=OC=4,：.B(4,0)

代入抛物线表达式得：

16(z-8α+4=0,解得“=，

2

.∙.抛物线的函数表达式为y=Aχ2+χ+4

(2)如图2,过点M作MG，尤轴于G,过点N作NHLX轴于，,

图2

由抛物线y=^χ2+χ+4得：A(-2,0),

设尸(x,0),Z∖PMN的面积为S,

贝IJPG=^!ɪ,MG=^-(DQ,PH=^L,NH="β-(Λ-V}

22、'22'

β

..S=S梆形MGHN-SAPMG-SAPNH

=ɪ(MG+NH)×GH-yPGXMG-yPH×NH

v4<θ∙

.∙.当x=l时，S有最大值是生旦•

2

.♦.△PMN的最大面积是生巨，此时点P的坐标是（1,0）

2

（3）存在点凡使得ADOE与AAOC相似.有两种可能情况：

Φ∆DOE^∆AOC:②XDOEsXCOA

由抛物线y=fχ2+χ+4得：A（-2,0）,对称轴为直线X=1,

.∙.OA=2,OC=4,OD=\

①若4QOEsA40C,贝IJ毁乂1

OAOC

•.∙∙^1-二OE,

24

解得OE=2

点E的坐标是（0,2）或（0,-2）

若点E的坐标是(0,2),

则直线OE为：y=-2x+2

y=-2x+2

解方程组［12

y=-yx+x+4

,

χ1=3+√13X9=3-√13

得:L(不合题意，舍去)

Yl=-4-2√13

y2=-4+2vl3

此时满足条件的点Fl的坐标为(3-√13--4-2√13)

若点E的坐标是(0,-2),

同理可求得满足条件的点F2的坐标为(-l+√iξ,-3+2√13)

②若AOOESacQ4,

同理也可求得满足条件的点用的坐标为(W+3,-西+1)

24

满足条件的点尸4的坐标为(应±1,叵二1)

24

综上所述，存在满足条件的点尸，点尸的坐标为：

F∖(3√13--4-2√13)›尸2(-1√13--3+2√13)>b(ɔʃɜliɜ,

2

_«7+1)或F4(FV+1,√37-l).

424

5.【解答】解：(1)令y=-X-3=0,解得：X=-3,

故A点的坐标为(-3,0)；

(2)Y抛物线y=x2+WX+〃经过点A(-3,0),

.∖n=3m-9①，

4nm2

又抛物线y=/+松+〃的顶点坐标为B(-a,-l)在直线y=-X-3上,

24

2皿-②，

...4n-m=3

42

由①、②可得：（m=4或Jm=6

In=3In=9

B是两个不同的点，

，［m=6不合题意，舍去，

ln=9

（3）在（2）的条件下，该抛物线与X轴的另一个交点为C（-1,0）,

假设存在这样的点。，使得aD4C与aOCO相似，

,.∙NACD=ZD0C+ZCDO,

：.ZACD>ZCDO,

要使得ADAC和aOCO相似，只能/48=NOCo=90°,即CZ）J_x轴,

VAC=2,CO=I,

.*.ZDOOZDAC,

：.ZDAC^ZCDO,此时/A00=90°,

由CZ）2=ACXC0得，CD=5

点D的坐标为（-1,√2）或（-1，-√2）.

6.【解答】解：（1）由题意知：IO=a-2+c,

∖3=c

解得卜=T,

1c=3

.∙.二次函数的表达式为y=-7+2x+3;

(2)在y=-X2+2x+3中，令y=0,则-JV2+2X+3=O,

解得：Xi=-LX2=3,

：.B(3,0),

由已知条件得直线BC的解析式为y=-1+3,

tJAD//BC,

・・・设直线AD的解析式为y=-x+⅛,

Λ0=l+⅛,

:・b=-1,

：,直线AD的解析式为y=-χ-l;

(3)®9：BC//AD,

：.ADAB=ACBA9

・・・只要当：理_/?_或里里L时，APBCs∕∖ABD,

ADABABAD

f2

解(y=-χ+2x+3得。(4,-5),

y=-χ-1

.∙.AO=5近,AB=4,BC=3√2.

设户的坐标为(X,0),

叩3加3-x或3&=3-x,

5√2445√2

解得X=ɪ或X=-4.5,

5

.∙.P(3,O)或p(-4.5,0),

5

②过点B作BFYAD于F,过点N作NELAD于E,

在RtZ∖AFB中，ZBAF=45°,

・/BF

SinNBAFR,

.∙.BF=4X券=2√^,BD-√26.

•./Ar._BF2√22√13

••sinZADB-=^=13

∖"DM=5√2-t-r>∕v=2∕H-+,

51

又YsinNADB喘'^ɪf-ɪɔlv

,=yDM∙NE~ɪ(5√2-t),τ^t--^t2+V2tɪ-ɪ(t2-δV2t)-

'∙SΔMDN//ɔDD

...当区时，SAMDN的最大值为”.

22

7.【解答】解：(1)；点A(1,0)在抛物线y=αx2-50r+2(αWO)上,

:・a-5Q+2=0,

.∙.α=―,

2

.∙.抛物线的解析式为y=Ix2--∣x+2;

(2)抛物线的对称轴为直线X=S,

2

；.点B(4,O),C(0,2),

设直线BC的解析式为y=kx+b,

二把B、C两点坐标代入线BC的解析式为y=fce⅛,得

∫4k+b=0

lb=2

解得k=--,b=2,

2

.∙.直线BC的解析式y=-lx+2；

2

(3)

方法一：

设N(χ,ɪr2-SX+2),分三种情况讨论:

22

①当AOBCSZSHNB时，如图ι,

OB=OCj

W丽’

解得Xi=5,X2=4（不合题意，舍去），

.∙.点N坐标（5,2）；

②当408CSz∖"BN时，如图2,

0B=0C；

BHW'

即上=_-——4——,

4—Y125

万X-JX÷n2

解得Xl=2,X2=4（不合题意舍去），

.∙.点N坐标(2,-1)；

③当N(x,-X2--∑x+2)在第二象限时,

22

H(x,0)在X轴的负半轴上，

.".BH=4-χ,

'：∕∖OBC^ΛHNB,

•••O-B-二OC,

HNHB

得到X1-X-12=0

解得Xl=4(舍去)；X2=-3,

,N点的坐标为(-3,14)

综上所述，N点的坐标为(5,2)、(2,-1)或(-3,14).

方法二：

以8,N,H为顶点的三角形与AOBC相似，

.NH=OBNH=pc

,,0C^,I®0B^,

设N(2n,2/2-5"+2),H(2n,0),

9

①2n-5n+2∣=区,

2n-42

.∙.∣aIzLl=2,

2

.∙.2m=5,2∏2=-3,

O

②2n-5n+2∣=1,

2n-42

.∙.∣2∏zl,∣=A,

22

Λ2nι=2,2/12=0(舍)

综上所述：存在M(5,2),M(2,-1),M(-3,14),

使得以点8、N、H为顶点的三角形与AOBC相似.

8.【解答】解：(1)；抛物线y=-1/+H+,过点A(0,4)和C(8,0),

6

'c=4

••‹1，

=^X64+8b÷c=0

6

解得.b节.

c=4

故所求6的值为互，C的值为4；

6

（2）:NAoP=NPEB=9。°,NOAP=NEPB=90°-ZAPO,

XAOPsXPEB且相似比为殁="_=2,

PEPB

"：AO=4,

.∙.PE=2,OE=OP+PE=t+2,

又∙.∙f>E=OA=4,

点。的坐标为（什2,4）,

二点。落在抛物线上时，有--1C+2）2+且（f+2）+4=4,

66

解得r=3或，=-2,

Vr>O,

.∙.r=3∙

故当，为3时，点。落在抛物线上；

（3）存在r,能够使得以A、B、。为顶点的三角形与AAO尸相似，理由如下:

①当0V/V8时，如图1.

若APOASAAOB,则P。：AD=AO∙.BD,

即f：（/+2）=4：（4-L）,

2

整理，得r2+16=0,

.1无解；

若l∖pgsXBDk,同理，解得―-2±2遥（负值舍去）；

②当r>8时，如图2.

若贝IJPO：AD=AO:BD,

^POAS2∖AOB,

即f：（Z+2）=4：（L-4）,

2

解得尸8±4遥（负值舍去）；

若l∖P0ksXBDN,同理，解得f无解.

综上可知，当/=-2+2√m或8+4√m时，以A、B、。为顶点的三角形与aAOP相似.

9.【解答】解：（1）方法一:

过点E作EG，X轴于G点.

；四边形OABC是边长为2的正方形，。是04的中点,

.∙.0A=0C=2,OD=I,/AOC=NOGE=90°.

YNCDE=90°,

：.ZODC+ZGDE=Wo.

,：AODC+AOCD=W,

：./0CD=NGDE.

fZCOD=ZDGE

在AOCQ和aGED中，ZOCD=ZGDE-

DC=DE

.∙.ΔΔGED(AA5),

；.EG=OD=I,DG=OC=2.

点E的坐标为(3,I).

：抛物线的对称轴为直线AB即直线x=2,

可设抛物线的解析式为y=α（X-2）2+k,

将C、E点的坐标代入解析式，得

4a+k=2

a+k=l

1

a=7

解得《

k上

3

抛物线的解析式为），=［（X-2）2+2；

33

方法二:

过点E作EG,X轴于G点.

DELDCnNCDO+NEDH=90°,

EGLX轴nNDEH+NEDH=90°,

"CDO=NDEH,DC=DE,

：.∕∖ODC学AGEDnDG=OC=2,EG=OD=I,

：.E(3,1),

Λ9a+3⅛+2=l,

：--L=2,

2a

2

抛物线的解析式为y=工(χ-2)+.2i

33

(2)方法一:

①若△。/PSacθf),则NPDF=∕OCO,

J.PD//OC,

：.ZPDO=ZOCP=ZAOC=90o,

.∙.四边形PDoC是矩形，

：.PC=OD=

∙*∙t—1；

②若APFDsACOD,则/。尸F=NOC。，型=更

CDOD

NPCF=90°-NDCo=90-4DPF=ZPDF.

.'.PC=PD,

DF=LCD.

2

,.∙CD2=OD2+OC2=22+12=5,

ΛCD=√5.

.♦.£>F=遮.

2

・•・—PD—-D—F,

CDOD

J.PC=PD=^-×√5=.∑

22

r=5,

2

综上所述：r=l或f=互时，以点P,F,。为顶点的三角形与aCOC相似;

2

方法二:

过点尸作X轴的垂线，分别交BC,OA于G,H,

PFl.CD^ZPFG+ZDFH=90",

GHl.OAnNFDH+NDFH=90°,

二NPFG=NFDHnAPFGsAFDHn型=

DFFH

∙/PFLCDnKPFXKCD=-1,

ΛICDZy=-2x+2,

：.F(机，-2m+2),P(t,2),

-2×-^=-ι

t-m

'.m=-,

5

-春+2),

0

t

.PFPG_一万二2t

'

'DF=PH2_2t5-t

*5

.∙.以P,F,。为顶点的三角形与ACOO相似,

嚼带卷勿∙T,

②里=P5,.∙.^L」，.∙.z=ι,

DFOC5-t2

综上所述：f=l或f=5时，以点P,F,。为顶点的三角形与ACOC相似;

2

方法三：

若以P,F,。为顶点的三角形与aCOO相似，

则ZOCD=NPDF或NODC=NPDF,

①)∕0CD=4PDF0PD〃0C,ICP=OD=T,.∖t=∖,

②NODC=NPDF,作。0，工CD交CD于H,

'.KooXKCD=-1,

Λ/CD：y=-2x+2,

:∙H(m,-2m+2)，

..._2×-2m+2__1

m

5

：.H(生2),

55

,：H为00'中点，：.0'（旦，A）,

55

令y=2,.∙.χ=5,

2

即P(5,2),

2

(3)存在，

四边形MnEN是平行四边形时，Mi(2,1),Nl(4,2)；

四边形MNDE是平行四边形时，Mz(2,3),Ni(0,2)；

四边形NDWE是平行四边形时，M3(2,A),M(2,2).

IffD

10.【解答】解：(1)；抛物线y=-L2+6x+C过点A(-1,0),C(0,2),

2

1

~b+C=0,解得

.∙•该抛物线的解析式是：y=-lχ2+lχ+2;

22

(2)①Y点P、4、8都在抛物线上，且A、8在X轴上,

，点A不可能是直角顶点，则∕PAN=45°.

如图，作N8AP=45°,AP交抛物线于点P.设点P坐标是C,-Ju2+3/+2）.

22

I）当点N是直角顶点时，过点尸作PM轴于点M,则PM=AM,

即-J√+3f+2=f+l,

22

解得八=2,及=-1（不合题意舍去）,

所以M的坐标是（2,0）；

II）当点P是直角顶点时，过点P作PMJ_AP,PM交X轴于点N2,则AP=PM,

即MN2=ANI=2-（-1）=3,

则OM=2+3=5,

所以Λ⅛的坐标是（5,0）；

综上所述，点N的坐标是（2,0）或（5,0）；

②；y=-Jι∕+3χ+2,

22

.∙.当y=0时，-"kx2+3χ+2=0,解得X=-I或4,

22

VA（-1,0）,

：.B（4,0）,

...△BOC中，OB=4,OC=2,ZBOC=90°.

•••△8。C是直角三角形，

.∙.当AANP与ABOC相似时，NP也是直角三角形，

VA点不可能是直角顶点，

二直角顶点可能是P点或N点.

设点P坐标是Ct,-Lp+3r+2),则-A∕2+.2f+2<0.

2222

I)过A作BC的平行线，交抛物线于点P,则NPAB=/OBC.

过P作PMJ_x轴于点Ni,则MPSz∖BOC,Nl(t,0).

,.∙ZUMPs△BOC,

.AN1_NIP

"~BO~~~OC~)

.AN1_BO_4_O

N1POC2

.∙.ANι=2NιP,即f+l=2(Λr2-ɪr-2),

22

解得n=5,/2=-1(不合题意舍去)，

所以点P的坐标是(5,-3),点M的坐标是(5,0)；

过点尸作PMJ_AP,PM交X轴于点M,则4APN2SZ∖B0C.

,.∙LANIPS∕∖PNιN2,

.AN1_PN1

-

PN7NJN2'

R2

,MM=工=1.5,

6

.∙.CW2=OM+NIN2=5+L5=6.5,

.∙.点N2的坐标是(6.5,0)；

∏)在X轴下方作NBAP=NOC8,交抛物线于点P,过户作PMLx轴于点M,则4

ANiP^ACOB,MQt,0).

•：4AN3PsdCOB,

.AN3=PN3

,'"cδ-^B0^,

.AN3-CO=2=1

,,PN7BO7^2,

.∙.PN3=2AN3,即J√-3L2=2（/+I）,

22

解得n=8,/2=-1（不合题意舍去），

所以点尸的坐标是（8,-18）,点M的坐标是（8,0）；

过点P作PM_LAP,PM交X轴于点N4,则AAPMSACOB.

•；∕∖AN3Ps∕∖PN3N4,

.AN3,PN3

.西西，

,Λ⅛V4=A⅛i=36,

9

.∙.ON4=ON3+N3N4≈8+36=44,

；・点M的坐标是（44,0）；

综上所述，所求点N的坐标为M（5,0）,Nz（6.5,0），M（8,0）,M（44,0）.

11.【解答】解：(1)把X=O代入y=-工x+1得，y=l,

2

ΛA(0,1),

把y=0代入y=-Lv+1得，x—2,

2

：.B(2,0),

(l=cf7.

b-

把A(0,1),B(2,0)代入y=∙∑∕+fcv+c.得，J5,解得，^4,

80=>r+2b+c

I2c=l1

.∙.抛物线的解析式y=反/-工,

84

(2)如图，作CC_LX轴于。，

VZABC=90°,

ΛZABO+ZCBD=90°,

,/OAB=NCBD,

：NAOB=NBDC,

：.∕∖AOBsABDC,

・CD=OB=2：

**BDOA,

：.CD=IBD1

设BD=tnf

/.C(2+"i，2m),

代入y=&1χ+ι得，2m="(∕π+2)2-—(∕τt+2)+1,解得，机=2或m=0(舍

8484

去)，

：.C(4,4)；

(3)VOA=I,05=2,

ΛAβ=√5,

VB(2,0),C(4,4),

ΛBC=2√5,

①当aAOBsaPBC时，则思=些

OAOB

二更=2:叵，解得，PB=√5,

12

作PEJ_x轴于E,则4408S∕∖PEB,

•PE-PBβ∏PE_√5

OAAB1√5

.'.PE=l,

，尸的纵坐标为±1,代入y=-』x+l得，X=O或x=4,

2

：.P(0,1)或(4,-1)；

②当4408sA1C8P时，则里=毁，

OBOA

即思=的,解得，PB=4娓,

21

作PEYx轴于E,则∕∖AOBS∕∖PEB,

.PE-PBB0PE-4√δ'

OAAB1√5

.'.PE=4,

.∙.P的纵坐标为±4,代入y=-JLX+1得，X=-6或X=I0,

2

：.P（-6,4）或（10,-4）；

综上，P的坐标为（0,1）或（4,-1）或（-6,4）或（10,-4）.

12.【解答】解：(1)将抛物线Ci：y=0r2+4or+c配方，得y=a(x+2)2-4a+c,

抛物线的对称轴是直线X=-2,

又48=2,点A、点B关于X=-2对称，得

XB-X后2fx=-3

«XA+XB.解得.

―2—=-2xB^^1

点A(-3,0),点B(-1,0).

由OA=OC,得点C(0,3),

将A、C点的坐标代入。得，［-3a+c=0.

1c=3

解得八口

1c=3

抛物线函数解析式y=f+4x+3；

(2)又(1)抛物线Ci：y=f+4x+3配方，得y=(x+2)2-1,

抛物线。的图象先向右平移3个单位，再向下平移机个单位得到抛物线C2,得

y=(Λ+2-3)2-1-m.C2与y轴交于点F(0,-1),得

1-1-ιn=-1.即m=l∙

C2与的解析式为y=(X-I)2-2,

(3)如图

由勾股定理，得AP=M,MF=心由两点间的距离，得PF=2.

①当PFS2∖Λ∕FG时，AR=里，即丝=2.

MFFG√2FG

解得尸G=2,点GI的坐标为(0,1)；

②当Z∖APFSAGFM,胆=更，g∣jχl,=2ι

FGMFFG√2

FG=I,点G2的坐标（0,0）.

13.【解答】（1）解：：点。（1,M在y=χ2+bχ+∣∙b图象的对称轴上，

：.b=-2.

二二次函数的解析式为y=7-2χ-3=(X-I)2-4,

.,.C(1,-4)；

(2)证明：∙.∙Q(1,1),且QE垂直于y轴，

点E的纵坐标为1,DE平