备考2024年高考数学一轮复习-基本不等式

专题2.2基本不等式

日题型目录

题型一直接法求最值

题型二配凑法求最值

题型三"1"的代换求最值

题型四消参法求最值

题型五商式求最值

题型六对勾函数求最值

题型七利用基本不等式证明不寺式

题型八利用基本不等式解决实际问题

题型九基本不等式与其余知识的综合应用

才典例集练

题型一直接法求最值

例1.（2022秋•海南海口•高三校考阶段练习）已知实数无，y满足/+丁=2,那么孙的最大值为（）

A.-B.gC.1D.2

42

例2.（2023•全国•高三专题练习）己知3，+9y=18,当无+2y取最大值时，则孙的值为（）

A.72B.2C.3D.4

第二反三

练习1.（2023春・湖南•高三桃江县第一中学校联考期中）若正实数8满足乃=1,则当他取最大值时，。的

值是（）

练习2.（2023・全国•高三专题练习）已知正实数则“2a+A=4”是“仍“”的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2

练习3.（2021春•广西南宁•高二校考阶段练习）函数y=2无+嚏（尤>0）的最小值为（）

A.1B.2C.2&D.4

练习4.（2023•全国•高三专题练习）已知二次函数/（X）=Q2+2X+C（XeR）的值域为[。,+动，则工+9的最小值

ca

为（）

A.-4B.4C.8D.-8

8

练习5.（2022秋•高三课时练习）已知正数x,》满足3—=9,，则无+一的最小值为（）

y

A.8B.12C.2拒D.4+2夜

题型二配凑法求最值

,11

例3.（2023•上海•高三专题练习）函数y=bg2x+^~大在区间（不+到上的最小值为_____________.

log4（2x）2

例4.（2022秋•新疆克拉玛依・高三克拉玛依市高级中学校考期中）（1）已知x>2,求函数>=尤+工的最小值;

x-2

（2）已知0<x<],求函数y=x（3-2x）+l的最大值.

举一反三

4

练习6.（2021春•陕西渭南•高二校考阶段练习）设实数x满足1>0,则函数y=2+3%+—；的最小值为（）

x+1

A.4月-1B.4百+2C.473+1D.6

练习7.（2023•全国•高三专题练习）（多选）在下列函数中，最小值是2的函数有（）

A./（x）=x+-B.〃6=无（2亚-x）

C./(X)=x+14

D./(X)=XH-------(x>-2)

练习8.（2022秋•吉林・高三吉林毓文中学校考阶段练习）已知0＜尤＜：,函数y=x（l-2无）的最大值是

练习9.（2023・山东荷泽・山东省东明县第一中学校联考模拟预测）已知。e（0，兀），则-cos2^的最小值为_____.

2sin0

9

练习10.（2023•陕西榆林・统考三模）若不等式依2一6x+3＞0对xeR恒成立，则°的取值范围是,a+一-

（2-1

的最小值为.

题型三"1"的代换求最值

例5.（2023•海南海口•校联考模拟预测）若正实数x,，满足x+3y=l.则的最小值为（）

xy

A.12B.25C.27D.36

例6.（2023.安徽蚌埠.统考二模）若直线»1（。＞0力＞0）过点（2,3）,则2a+b的最小值为

举一

练习n.（2023・北京•高三专题练习）已知a＞l,b＞l,a3b=100,则log/。+3log/。的最小值为（）

A.4B.6C.8D.12

练习12.（2023・湖北荆门•荆门某中学校联考模拟预测）已知实数满足lga+lg6=lg（o+2b）,则2a+〃的最

小值是（）

A.5B.9C.13D.18

r\人

练习13.（2023・全国•高三专题练习）已知0〈光＜1,贝lj『+;—的最小值为（）

3x1—x

2032

A.20B.32C.—D.—

33

练习14.（2023•辽宁沈阳•高三校联考学业考试）已知l＜a＜4,则六+一1的最小值是______.

4—Qa—\

练习15.（2023•安徽蚌埠•统考三模）已知实数。＞0＞。，且4-6=5,则一二+」的最小值为___________.

〃+12-b

题型四消参法求最值

例7.（2023•辽宁大连•统考三模）已知孙＞0,且V+2盯=1,则#+,2的最小值为.

例8.（2022秋•天津静海•高三静海一中校考阶段练习）若〃,6eR,且〃-/=1,则同+“一」的最大值为

b

举一m

练习16.（2023•全国•高三专题练习）设a＞0力＞0,且2。+6=1,则,+必丁（）

aa+3b

A.有最小值为红城B.有最小值为土城

33

C.有最大值为上2员D.有最大值为"马区

33

练习17.（2022秋・江苏常州•高三江苏省奔牛高级中学校考阶段练习）实数〃，b,。满足。+人＞0,b＞0,

片—ab+2Z?2—c7=0,则丁一的最小值为（）

ab+b

33

A.-2B.1C.-D.-

48

练习瓜⑵22秋・陕西西安・高三西安市第三中学校考阶段练习）已知正数仍满足片-2"+4=°,则的最小

值为（）

A.1B.72C.2D.2夜

练习19.（2022秋•重庆沙坪坝•高三重庆南开中学校考期中）正数满足2〃+匕=1,贝ij4a,+匕2的最小值为

练习20.（2023•浙江・二模）若4+62=a+6,则的取值范围是.

a2+b2

题型五商式求最值

例9.（2023•全国•高三专题练习）设匕>0,成+6=1,则〃/，的最小值为（）

例10.（2022•江苏•高一专题练习）求下列函数的最小值

(2)y=/(xG7?)；

々+4

举一反三

练习21.（2022•全国•高三专题练习）已知且必=8,贝1」心生一2的最小值是（）

C.14D.16

练习22.（2021秋•辽宁沈阳•高三沈阳市第五中学校考阶段练习）已知正实数X,则丫:一一的最大值是（

B.472C.-472D.1-4A/2

练习23.（2023•全国•高三专题练习）已知%>-1,则函数y=:+戈+4的最小值是

1%—4y

练习24.（2023・全国二专题练习）已知冲=1,且0<y<2，则冗2+16y2最大值为.

练习25.（2021秋.江苏徐州.高三校考阶段练习）若存在xe（O,心），使〒^~72a成立，贝匹的取值范围是

\/JI々“I1

题型六对勾函数求最值

例11.（2023・高三课时练习）设xe[-2,0）,则无+工的取值范围是

X

例12.（2023・全国•高三专题练习）（多选）已知关于x的加+6尤+c>。的解集是（-2,3）,则（）

A.a<Q

B.9a+6Z?+4c>0

C.关于X的不等式次2+法+“<0的解集是14

2

D.——-+c的最小值是-4

3/7+4

举一反三

练习26.（2022秋•高三课时练习）若函数y=/Q）的值域是,则函数/（%）=+1的值域是（

)

L3」fW

A.[；,4]

B.吟

X

练习27.（2022秋・吉林长春.高三东北师大附中校考期中）已知函数〃幻=十^的定义域为。”），则函数Ax）的

厂+1

值域为（）

A.[0,+oo）B.[2,+oo）C.0,1D.g,+s]

练习28.（2023秋・江苏苏州•高三统考期末）已知关于无的不等式以2+法+4>0的解集为（--加）噌,+8],其中

m<0,则）+£的最小值为（）

A.-4B.4C.5D.8

练习29.（2023秋•江苏常州•高三统考期末）（多选）下列函数中，以3为最小值的函数有（）.

A.y=6—3cosxB.y=4%-2x+2+7

9ex9

C.y-smxzD.y-1

4sit?尤"4e'

4

练习30.（2022秋.高三校考期中）（多选）己知函数〃x）=x+—则下列结论正确的是（）

x-l

A.若x>l,则/（x）有最小值5B.若x>l,则f（无）有最小值3

C.若x<l,则有最大值-3D.若x<l,则有最大值-5

题型七利用基本不等式证明不等式

例13.（2023•贵州黔西・校考一模）设b,c均为正数，S.a+b+c=l,证明:

（1）12+/+。2>1.

（2）a'c+b3a+c'b>abc.

例14.（2021秋・广西钦州•高二校考期中）证明:

（1）］+/^■24（I>2）；

（2）2az+2b之>（a+bf.

举一K㈢

33

练习31.已知〃>0,b>Of”中年=2,证明:

(1)a1+启J/+bj24；

(2)/+房<2-

练习32.已知〃>0,Z?>0,且a+b=2.

⑴求〃2+从的最小值；

(2)证明：7^+1+7^+T<2A/2.

练习33.（2022秋.云南昆明.高一云南民族大学附属中学校考阶段练习）⑴求函数”、）=。记（、>7）的最

大值;

(2)已知。>0,6>0,。+6=1,求证:

练习34.已知居yeR+,且X+y=l,求证:

⑴孙

⑵ITIT"

练习35.（2021・全国•高一专题练习）证明：+

题型八利用基本不等式解决实际问题

例15.目前，我国汽车工业迎来了巨大的革命时代，确保汽车产业可持续发展，国内汽车市场正由传统燃油车向新

能源、智能网联汽车升级转型.某汽车企业决定生产一种智能网联新型汽车，生产这种新型汽车的月成本为400（万

元），每生产尤台这种汽车，另需投入成本p（x）（万元），当月产量不足40台时，p（x）=4x（万元）；当月产量不

小于40台时，p（x）=21尤+幽2一900（万元）.若每台汽车售价为20（万元），且该车型供不应求.

X

（1）求月利润y（万元）关于月产量无（台）的函数关系式；

（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润?并求出最大月利润.

例16.（2022秋•浙江衢州•高一校考期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由

两个相同的矩形A8CD和E/汨构成的面积为200m2的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为

4200元/n?；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/n?；再在四个空角（图中四个

三角形）上铺草坪，造价为80元/mL受地域影响，的长度最多能达到4m,其余边长没有限制.

EF

（1）设总价为S（单位：元），长为x（单位：m）,试建立S关于x的函数关系式;

⑵当x为何值时，S最小？并求出这个最小值.

举一反三

练习36.（2023・全国•高一专题练习）如图所示，有一批材料长为24m,如果用材料在一边靠墙（墙足够长）的地

方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成两个面积相等的矩形，那么围成的矩形场地的最大面积是多少？

//////////////

练习37.（2023春•内蒙古呼和浩特•高二统考阶段练习）已知某公司计划生产一批产品总共f万件其

成本为+（万元/万件），其广告宣传总费用为由万元，若将其销售价格定为（4+手J万元/万件.

⑴将该批产品的利润，（万元）表示为f的函数；

（2）当广告宣传总费用为多少万元时，该公司的利润最大?最大利润为多少万元?

练习38.为响应国家“降碳减排”号召，新能源汽车得到蓬勃发展，而电池是新能源汽车最核心的部件之一.湖南某企

业为抓住新能源汽车发展带来的历史性机遇，决定开发生产一款新能源电池设备.生产这款设备的年固定成本为200

万元，每生产了台需要另投入成本。（x）（万元），当年产量x不足45台时，a（x）=gd+30无一300万元，

当年产量x不少于45台时，"x）=61x+笔-900万元.若每台设备的售价与销售量的关系式为（60+y］万元，

经过市场分析，该企业生产新能源电池设备能全部售完.

（1）求年利润（万元）关于年产量x（台）的函数关系式；

（2）年产量x为多少台时，该企业在这一款新能源电池设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？

练习39.（2022・高三课时练习）用32m2的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m,

则车厢的最大容积是.

练习40.（2022秋•安徽马鞍山•高三安徽工业大学附属中学校考期中）如图，安工大附中欲利用原有的墙（墙足够

长）为背面，建造一间长方体形状的房屋作为体育器材室.房屋地面面积为18m2,高度为3m.若房屋侧面和正面每

平方米的造价均为1000元，屋顶的造价为6000元，且不计房屋背面和地面的费用，则该房屋的最低总造价为

元.

题型九基本不等式与其余知识的综合应用

例17.（2023•浙江・二模）记S”为正数列｛%｝的前〃项和，已知应-4｝是等差数列.

⑴求六

400

⑵求最小的正整数加，使得存在数列也,｝,黑-个＞2.

18.（河北省名校2023届高三5月模拟数学试卷）已知平面向量满足卜-可=1且°j,当向量心6与向量3a

的夹角最大时，向量b的模为.

举一反三

练习41.（2022秋•黑龙江牡丹江•高三校考期末）某港口的水深y（米）随着时间f（时）呈现周期性变化，经研究

可用y=asin，+6cos，+c来描述，若潮差（最高水位与最低水位的差）为3米，求〃+/?的取值范围.

OO

练习42.（2021•北京・高三强基计划）在ABC中，角A,3,C的对边长分别为a",c,且6+c=12,be=a2-14a+85,

则ABC的周长为（）

A.17B.18C.19D.前三个选项都不对

,、cos2a+—

练习43.（2023・全国•高三专题练习）若ae10,】2j且c一os\宗一「\=sin〉~/则「5-叫cos%的最小值为（）

_V272D.好

A.D.---------r

10101010

若向量衣在上的投影向量为:A-贝3一3的

练习44.（2023春•江苏宿迁•高三校考阶段练习）在ABC中,

最大值为（）

71717171

A.B.C.D.

~34612

练习45.（2022秋・四川攀枝花•高三统考阶段练习）已知正项等比数列｛4｝的前n项和为S”，若&=8,则q+2%+a3

（）

A.有最小值4（应+1）B.有最大值4（0+1）

C.小于4（&+1）D.大于4（虎+1）

专题2.2基本不等式

日题型目录

题型一直接法求最值

题型二配凑法求最值

题型三"1"的代换求最值

题型四消参法求最值

题型五商式求最值

题型六对勾函数求最值

题型七利用基本不等式证明不寺式

题型八利用基本不等式解决实际问题

题型九基本不等式与其余知识的综合应用

集练—

题型一直接法求最值

例1.（2022秋•海南海口•高三校考阶段练习）已知实数无，y满足/+丁=2,那么孙的最大值为（）

A.-B.gC.1D.2

42

【答案】C

【分析】根据重要不等式Y+y222个即可求最值，注意等号成立条件.

【详解】由V+y2=2N2孙，可得肛VI,当且仅当无=>=1或x=y=-l时等号成立.

故选：C.

例2.（2023•全国•高三专题练习）已知3，+9>=18,当无+2y取最大值时，则孙的值为（）

A.72B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】先根据己知3，+9y=18使用基本不等式，整理求出x+2y取最大值时的x和y值，再得出结果.

【详解】由已知3*+9〉=18可得3"+3?〉=18,

则18=3工+32y>2^3xx32y=2y，即3x+2y<81,

所以x+2yV4,当且仅当产2y=2时取等号，即犬=2,尸1,

此时秒=2.

故选：B.

举一m

练习1.（2023春・湖南•高三桃江县第一中学校联考期中）若正实数“、b满足。+26=1,则当而取最大值时，。的

值是（）

A.■-B.—C.—D.—

2468

【答案】A

【分析】利用基本不等式等号成立的条件可求得必取最大值时。的值.

【详解】因为正实数。、b满足a+2b=1,则。+2622j^K,可得abv）,

O

[a=2b1

当且仅当，1时，即当a=2b=:时，等号成立.

[a+2b-l2

故选：A.

练习2.（2023・全国•高三专题练习）已知正实数。力,则“2a+6=4”是“而22”的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】利用基本不等式由2a+6=4可得用42,可得充分性不成立；当。=2,6=2时可得必要性不成立，即可得

出结果.

【详解】根据基本不等式可得2a+b=4N即22J2am,可得必W2,

所以充分性不成立；

若abN2,可令。=22=2满足4b22,止匕时2a+6=6w4；

即必要性不成立；

所以“2a+6=4”是“用之2”的既不充分也不必要条件.

故选：D

2

练习3.（2021春・广西南宁•高二校考阶段练习）函数y=2尤+—（x>0）的最小值为（）

X

A.3B.2C.272D.4

【答案】D

【分析】利用基本不等式运算求解.

2

【详解】,**x>0,贝lj2%>0,—>0,

x

：.y=2x+->2.2x--=4,当且仅当2关=工，即x=l时，等号成立，

X\XX

2

故函数y=2x+—（尤>0）的最小值为4.

X

故选：D.

练习4.（2023•全国•高三专题练习）已知二次函数"同=加+2彳+。（XGR）的值域为[0,+动，则工+&的最小值

ca

为（）

A.-4B.4C.8D.-8

【答案】B

【分析】根据/（元）的值域求得ac=l,结合基本不等式求得的最小值.

【详解】由于二次函数〃劝=加+2]+。（xeR）的值域为[0,+e）,

\a>0

所以L.△，所以ac=l,c>0,

[△=4一4ac=0

14「

所以_+_N2j------=44,

ca\ca

141

当且仅当乙二2即。=2,c=：时等号成立.

ca2

故选：B

8

练习5.（2022秋•高三课时练习）已知正数x,》满足3—=9，，则无+一的最小值为（）

y

A.8B.12C.2拒D.4+2夜

【答案】B

【分析】可通过已知条件，先找到*与y的等量关系，然后把等量关系带入要求的式子，消掉x,从而得到关于y的

两项乘积为定值的和的关系，然后再使用基本不等式完成求解.

【详解】由已知，X,y均为正数，3—=9"=3",故x-4=2y,即x-2y=4,所以

OOIo-8

x+—=4+2y+-上4+2,2y.—=4+8=12,当且仅当2y=—,y=2时等号成立.

yy\'y>

故选：B.

题型二配凑法求最值

例3.（2023•上海•高三专题练习）函数>=log2尤+"j不7在区间（不+8）上的最小值为______________

log4（2x）2

【答案】20-1.

【分析】对函数变形后，利用基本不等式求出最小值.

,1,2

【详解[y=iog2x+-——=iog2x+--------,

log4(2x)l+log2x

因为xe(；,+oo],所以log2xe(-l,y),故l+log2xe(0,—),

故y=(l+log2x)+—-------1>2(l+log2x)--^-------1=2a-1,

1+log2XN1+log2X

2

当且仅当l+log/=「——，即x=2邑时，等号成立.

故答案为：20-1

例4.(2022秋.新疆克拉玛依・高三克拉玛依市高级中学校考期中)(1)已知x>2,求函数y=x+—1的最小值;

x-2

(2)已知。〈尤<：,求函数y=x(3—2x)+1的最大值.

17

【答案】⑴4；(2)—.

O

【分析】(1)先构造出乘积的定值，再用基本不等式求和的最小值；

(2)先构造出和的定值，再用基本不等式求积的最大值.

【详解】(1)x>2时，x-2>0,根据基本不等式，

可得：y=x+^—=x-2+^—+2>2.(x-2)•——+2=4

x—2x—2\x—2

当％-2=」=，即x=3时取得等号，

x-2

故％=3时，y取得最小值是4；

3

(2)0<x<-,故3—2x>0,

2

根据基本不等式可得：y=--2x(3-2x)<l-f2%+3~2%?=

22I2J8

33

当2x=3-2尤，即x时取得等号，故x时，

44

Q17

『(3-2"+1的最大值是：+1=?.

OO

举一反三

4

练习6.(2021春.陕西渭南•高二校考阶段练习)设实数x满足1>0,则函数y=2+3尤+—；的最小值为()

x+1

A.4.s/3-lB.4石+2C.4百+1D.6

【答案】A

4

【分析】将函数变形为y=3(%+l)+--1,再根据基本不等式求解即可得答案.

【详解】由题意%>0,所以x+l>0,

44

所以y=2+3x+——=2+3(x+l)—3+——

x+1x+1

=3(X+1)+-^--1>2^3(X+1)-^--1=4A/3-1,

当且仅当3(元+1)=£,即工=竿-1>0时等号成立，

所以函数y=2+3尤的最小值为4S'-：!.

故选：A

练习7.(2023・全国•高三专题练习)(多选)在下列函数中，最小值是2的函数有()

A.f[x)=x+—B./(x)=%(2夜-%)

C.f(^)=x+—D./(x)=x+(x>-2)

【答案】CD

【分析】结合基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，f(x)=x+^,=—2<2,所以A选项不符合.

B选项，/(X)=X(2A/2-X)<X+2=7=2,

当且仅当x=2近-=a时等号成立，所以B选项不符合.

C选项，对于函数〃制=了+m，

当尤>0时，/(%)=%+—>2^x--=2,当且仅当x=',x=l时等号成立.

当x<0时，/(尤)=(-x)+」-22j(-x)-」-=2,当且仅当一x==-,尤=一1时等号成立,

综上所述，/(x)=x+：的最小值是2,符合题意.

D选项，x>—2,x+2>0,

44I4―

〃x)=x+——=x+2+--------2>2J(x+2)-----------2=2,

v7x+2x+2V)x+2

4

当且仅当1+2=―^,%=0时等号成立，所以D选项符合.

x+2

故选：CD

练习8.(2022秋・吉林・高三吉林毓文中学校考阶段练习)已知0<尤<；,函数丫=尤(1-2尤)的最大值是

【答案】1/0.125

O

【分析】由基本不等式漏41审]，得2x(1_2x)/巴产立=；,由此即可求出函数y=x(l-2x)的最大值.

【详解】0<x<1,

i——）2

.­.x（l-2x）=l-2x（l-2x）<l-2x+0-2同=1

2228

当且仅当2x=l-2x时，即x=工时等号成立，

4

因此，函数y=x（l-2x）的最大值为]

O

故答案为:，.

O

练习9.（2023•山东荷泽・山东省东明县第一中学校联考模拟预测）已知。e（0,兀），则-cos?6的最小值为_____.

2sinS

【答案】V2-1

【分析】根据给定条件，利用同角公式，结合均值不等式求解作答.

【详解】6©洋㈤,0<sin^<L

——-----cos20=————Fsin26>-1>2J———xsin20-1=y/2-1，

2sin-612sin20V2sin261

当且仅当z'=sin2e,即,泊o一2T时取等号，

2sin6^smc/一乙

所以c」2八-COS?。的最小值为行—1.

2sin0

故答案为：V2-1

Q

练习10.（2023・陕西榆林・统考三模）若不等式办2_6x+3>0对恒成立，则〃的取值范围是,。+--

a-1

的最小值为.

【答案】（3,”）7

【分析】根据题意，结合二次函数的性质，求得。>3,再利用基本不等式，即可求解.

【详解】当。=0时，不等式-6x+3>0对尤eR不恒成立，不符合题意（舍去）；

当。片0时，要使得加-6x+3>0对xeR恒成立，

[A>0

则满足A*S八，解得。>3,所以实数。的取值范围为（3,+8）.

[△=36-12。<0

因为。>3,可得。-3>0,所以。+2=。一1+2+122囱+1=7,

a-1a-1

Q

当且仅当。=4时，等号成立，所以3的最小值为7.

a-1

故答案为：（3,+8）；7.

题型三"1"的代换求最值

例5.（2023海南海口•校联考模拟预测）若正实数x,y满足x+3y=l.则二+工的最小值为（）

xy

A.12B.25C.27D.36

【答案】C

【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可;

【详解】解：因为x+3y=l,所以乜+,=乜+工（x+3y）=15+迎+2.

%yI%"Xy

因为羽y>0,所以迎+营22、户三=12,当且仅当也=土，即x=3，y时，等号成立，

xy\XyXy39

所以，’的最小值为27.

xy

故选：C

例6.（2023•安徽蚌埠・统考二模）若直线5+/1（。>0,6>0）过点（2,3）,则2a+人的最小值为.

【答案】7+4有/46+7

【分析】由直线三+；=1（。>0,6>0）过点（2,3）,可得工+：=1,利用基本不等式“1”的代换，求出最小值.

abab

l详解】,・•直线；+1=1（〃>00）过点（2,3）,

231

..—I—=1.

ab

:.2a+b=（2a+=7+—+—>7+4.1—--=7+4A/3,当且仅当Z?=G〃，即〃=2+6，b=26+3时取

\ab）ab\ab

等号.

.•.2a+b的最小值为7+46.

故答案为：7+4指.

举一反三

练习11.（2023・北京•高三专题练习）已知。>1,b>l,a3b=100,则bg010+31og〃10的最小值为（）

A.4B.6C.8D.12

【答案】B

【分析】条件等式两边取对数后，得31ga+lg6=2,再结合换底公式，以及基本不等式“1”的妙用，即可求解.

【详解】因为质=100,所以坨否=2,即31ga+lgb=2,

.(31ga+lg6)=,6+IgZ?।91ga

所以log"10+31og〃10=X+A=l5+2僵裂=6,

IgaIgb2(lgaIgZ?IgaIgb

当且仅当lg6=31g。，即。=]0与，匕=10时等号成立，

所以log.10+310gz,1。的最小值为6.

故选：B.

练习12.（2023・湖北荆门•荆门某中学校联考模拟预测）已知实数。涉满足lga+lgb=lg（a+2b）,则2a+6的最

小值是（）

A.5B.9C.13D.18

【答案】B

2121

【分析】根据对数的运算法则，求得4+；=1,且。>0,6>0,利用24+6=（2。+»（4+；）,结合基本不等式，即

abab

可求解.

【详解】由lga+lgb=lg(a+2Z?),可得lgab=lg(a+2b),所以々6=4+2/?,

21

即一+一=1,且〃>0,人>0,