第五章 三角函数 单元综合测试卷（解析版）

第五章三角函数单元综合测试卷第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若，则的值为（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以.故选：D2．当时，函数（）A．在区间上单调递增，在区间上单调递减B．在区间上单调递增，在区间，上分别单调递减C．在区间上单调递减，在区间上单调递增D．在区间，上分别单调递增，在区间上单调递减【答案】B【解析】函数，，，为减函数，，为增函数，，为减函数，故选：B3．（）A． B． C． D．【答案】A【解析】.故选：A4．已知相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，当大轮转动一周时小轮转动角度是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，所以当大轮转动一周时时，大轮转动了50个齿，所以小轮此时转动周，即小轮转动的角度为.故选：D5．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可得：.故选：D.6．已知角，满足，，则（

）A． B．1 C．－3 D．3【答案】C【解析】.故选：C7．已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图象的两条对称轴，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知，最小正周期为，，，，，，，故选：B．8．已知函数，其中，，且恒成立，若在区间上恰有个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为恒成立，则，所以，，则，当时，，因为，则，因为在区间上恰有个零点，则，即，，解得，，假设不存在，则或，解得或，因为存在，则，因为，则.所以，，可得，故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．下列选项正确的是（

）A．B．C．若一扇形弧长为2，圆心角为60°，则该扇形的面积为D．若终边上有一点，则【答案】BC【解析】对于A，由诱导公式可知，即A错误；对于B，由弧度值与角度制互化可得，即B正确；对于C，易知扇形半径为，所以扇形面积为，即C正确；对于D，若终边上有一点，利用三角函数定义可知，所以D错误.故选：BC10．已知函数为偶函数，则的取值可以为（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】为偶函数，因此或．所以，故正确，故选：.11．已知函数图象的一条对称轴方程为，与其相邻的一个对称中心为，则（）A．的最小正周期为 B．的最小正周期为C． D．【答案】AC【解析】由题意知，函数图象的一条对称轴方程为，与其相邻的一个对称中心为，可得，所以，所以A正确、B错误；又由，可得，因为，即，解得，所以，又因为，可得，所以，所以C正确，D错误.故选：AC.12．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（

）

A．函数最小正周期为 B．C．在区间上单调递减 D．方程在区间内有个根【答案】ACD【解析】对于A，由图象知：的最小正周期，A正确；对于B，由A知：，，，解得：，又，，B错误；对于C，由AB可知：，当时，，在上单调递减，C正确；对于D，当时，，则当或或或，即或或或时，，在区间内有个根，D正确.故选：ACD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。13．已知的终边上有一点，则的值为.【答案】/【解析】因为的终边上有一点，可得则.故答案为：.14．设为实数，满足，则．【答案】/【解析】依题意，，所以.故答案为：15．海安市实验中学校训镶嵌在墙壁上，上端距离地面15米，下端距离地面11米，现小明同学要拍摄校训照片，相机镜头离地面1米，要使得校训的上下端与镜头构成的视角最大，问相机镜头距离墙面应米.

【答案】【解析】设镜头距墙面的距离为，则由题意可得，易知，由正切函数的单调性可知当，即时，取得最大值，此时.故答案为：16．函数满足，且恒成立，若在区间上有最小值而无最大值，则.【答案】/【解析】因为，所以为函数的对称中心，因为恒成立，所以，所以为函数的对称轴，又因为在区间上有最小值而无最大值，所以，解得，所以.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题.已知_______．(1)求的值；(2)当为第三象限角时，求的值．【答案】(1)(2)【解析】（1）若选①，则；若选②，则，即，则；若选③，则，即；因为，将代入，原式．（2）由（1）得，即，由，则，解得，因为为第三象限角，所以，则，．18．（12分）已知函数.(1)请用五点作图法画出函数在上的图象；（先列表，后画图）(2)设，当时，试讨论函数零点情况.【解析】（1）列表如下：00020-2（2）令，则，由，则，结合的图象研究与公共点个数.（i），即，有4个公共点；（ii），即，有5个公共点；（iii），即，有4个公共点；（iv），有2个公共点；（v），无公共点.综上，①或，有4个零点；②，有5个零点；③，有2个零点；④，无零点.19．（12分）已知函数（）．(1)求函数的单调递减区间；(2)若，，求的值．【解析】（1）由题意，∵，,∴，,∴函数的单调递减区间为（）.（2）由（1）知，，又∵，∴，∵，则，∴，∴，则.20．（12分）如图，四边形ABCD是一块边长为100cm的正方形铁皮，其中扇形AMPN的半径为90cm，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用，P是弧上一点，，工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个边在BC与CD上的矩形铁皮，求矩形铁皮PQCR面积的最大值和这时的值．

【解析】作垂直于点H，则，所以，所以矩形铁皮PQCR面积，令，则，因为，所以，所以，所以，由二次函数性质可知，函数的图象开口向上，对称轴为，所以当，即时.答：当时，矩形铁皮面积最大，最大值为21．（12分）已知函数的最小正周期为，其图象关于点对称.(1)令，判断函数的奇偶性；(2)是否存在实数满足对任意，任意，使成立.若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.【解析】（1）的最小正周期为.函数的图象关于点对称，.，，易得定义域为，函数为偶函数.（2）由（1）可知，实数满足对任意，任意，使得成立即成立令，设，那么，可等价转化为：在上恒成立.令，其图象对称轴，①当时，即，解得；②当，即时，，解得；③当，即时，，解得；综上可得，存在，且的取值范围是.22．（12分）已知函数的最大值为，与直线的相邻两个交点的距离为.将的图象先向右平移个单位，保持纵坐标不变，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数.(1)求的解析式.(2)若，且方程在上有实数解，求实数的取值范围.【解析】（1）因为函数的最大值为，所以，又与直线的相邻两个交点的距