北京市清华附中2022-2023学年高二年级下册学期期末数学试题

北京市清华附中2022-2023学年高二下学期期末数学试题

学校:.姓名:,班级:.考号:

一、单选题

1.设全集U=Z，集合A/={Mx=3k+\,k&Z},N={X\x=3k+2,k&Z}>文MuN)=

()

A.{x\x=3k,keZ}B.{x|x=3k-\,k&Z}

D.

C.{X\x=3k-2,k&Z}0

已知z=±L,则z-z=()

2.

2+2i

A•一iB-iC.0D.1

3.“中=兀”是“曲线y=sin(2x+(p)过坐标原点的”

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.设d为动点P(cos0,sin0)到直线x-y-2=0的距离,则d的最大值为()

B.逑C.1+6

A.五-1D.3

2

5.函数电)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y=e,关于y轴对称，则f(x)=(

)

A.|B.《IC.e-eD,~x~l

ev+e

6.无穷等比数列｛〃“｝中，前〃项和为S“，若q>0且S,,>0(〃=1,2,3,…)，则公比q的

取值范围是()

A.(0,+oo)B.(-l,0)U(0,+a>)

c.(-1,0)U(0,1)D.(-oo,-l)u(0,-H»)

7.已知/,B,C是单位圆上不同的三点，AB=AC，则关.泥的最小值为()

试卷第11页，共33页

A.0B.-1c

4-4

8.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽

略不计）内的有（）

A.直径为]0]m的球体

B.所有棱长均为142m的四面体

C.底面直径为io]m，高为1.8m的圆柱体

D.底面直径为[2m，高为o.oim的圆柱体

9.过点（o,_2）与圆/+/-4x-l=0相切的两条直线的夹角为。，则sina=（）

A.1B.巫C.巫D.娓

444

10.噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级

4=20x1g旦其中常数为（P。,°）是听觉下限阈值，p是实际声压，下表为不同声

P（,

源的声压级:

声源与声源的距离/声压级/

mdB

燃油汽车1060-90

混合动力汽车1050-60

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为”,外,“

则（）

试卷第21页，共33页

A.Pi<3P3B.Pz>1°P3

C-A=1000A）D-P24Pl4100P2

二、填空题

H.（「2x）6的展开式中，V项的系数为•（用数字作答）

12.在4ABC中，若a=2,6+c=7,cos8=-L,则6=

4

V2

13.在直角坐标系xOy中.直线1过抛物线■=4x的焦点E且与该抛物线相交于

A、B两点.其中点A在x轴上方.若直线1的倾斜角为60。.则AOAF的面积为

14.已知双曲线C:，-2=l（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为片，鸟.点八在‘上，点'

a1b2

在'轴上，F\A1F\B,F\A=-^F\B,则'的离心率为

15.已知集合M是具有以下性质的函数/（、）的全体：对于任意s,f＞0都有

y（s）＞o,/（/）＞o,且/（5）+/«）＜/6+，）.给出下列四个结论：

①函数g（x）=log2（x+l）属于"；

②函数4（x）=2,-1属于M

③若/（x）eM,则/（X）在区间（0,+8）上单调递增；

④若则对任意给定的正数s,一定存在某个正数f,使得当xe（0,f］时，恒

有f（x）＜s.其中所有正确结论的序号是

三、解答题

试卷第31页，共33页

16.四棱锥尸一/BC。中，P41.平面4BCD，PA=CD=\'AB=BC=2,PC=3'

AB//CD.

⑴求证：BC工平面P4B；

(2)求二面角/_p°_c的余弦值.

17.已知函数/(x)=2sin0xcosr+2sino(l-Zsin?段)，|夕|<1.

(1)若/(X)图象的相邻两条对称轴之间的距离为兀，求0的值；

⑵若"X)在］上单调递增，且/住］=2,再从条件①、条件②、条件③这三个

.36」⑹

条件中选择一个作为己知.求/、0的值.

条件①：/(-［)=-2

条件②：-乙是"X)的一个零点；

12

条件③:{-小噌)=0

18.为方便八，8两地区的乘客早晚高峰通勤出行，某公交集团新开通一条快速直达

专线.该线路运营一段时间后，为了解乘客对该线路的满意程度，从A人，DR两地区分

别随机抽样调查了100名乘客，将乘客对该线路的满意程度评分分成5组：［50,60)，

试卷第41页，共33页

[60,70)>[70,80)>[80,90)-[90,100]>整理得到如下频率分布直方图:

AMNlOO片桌X满包存慢”分H地:《100名呆*一急程度I，价

根据乘客满意程度评分，将乘客的满意程度分为三个等级:

满意程度评分[50,70)[70,9()[90,100]

满意程度等级不满意满意非常满意

(1)从A地区随机抽取1名乘客，估计该乘客的满意程度等级是非常满意的概率;

(2)假设两地区乘著的评分相互独立，从A地区与8地区名随机抽取,名乘客，记事件

/AD/

C为“抽取的4名乘客中，至少有3名乘客的满意程度等级是满意或非常满意”，估计

事件C的概率；

(3)设从为从A地区随机抽出的这100名乘客的满意程度评分的平均数，处为从8地区

随机抽出的这100名乘客的满意程度评分的平均数，〃为从人，8两地区随机抽出的

这200名乘客的满意程度评分的平均数，试比较|从_川与.，一山的大小，并说明理由.

19.已知函数/(x)=ln(ax+6)-x2在点0J⑴)处的切线方程为〉=--

(1)求“、6的值：

⑵求函数“X)的单调区间；

⑶令g(X)=/(X)+5%2X，若函数g，的极小值小于，求的取值范围.

试卷第51页，共33页

221A/7斤F

20.己知椭圆脱土+匕=1(〃>6>0),离心率e=；,点为。的左顶点，点,为

a2b22

的右焦点，M尸|=3.

(1)求椭圆厂的标准方程；

(2)过点尸的直线/(不与x轴重合)与椭圆£交于“、汽两点，直线//、4N分别

交直线x=4于P,0两点，线段P0中点为R,△蟠g,MRN,NRQ的面积分别为

S'W,s、,求竽1的值.

21.给定正整数Z,m,其中24^4%，如果有限数列｛%｝同时满足下列两个条件.则

称｛对｝为化用)-数列•记(k,加)-数列的项数的最小值为G(£m).

条件①：｛〃“｝的每一项都属于集合｛1,2,…,上｝；

条件②：从集合｛1,2,…，科中任取m个不同的数排成一列，得到的数列都是｛%｝的子

列.

注：从｛4｝中选取第4项、第3项、…、第项3；气形成的新数列

%,%…,殁称为｛/｝的一个子列•

(1)分别判断下面两个数列，是否为(3,3)-数列.并说明理由！

数列4：1,2,3,1,2,3,1,2,3；

数列4：1,2,3,2,1,3”

⑵求G(/,2)的值;

试卷第61页，共33页

(3)求证左二4

试卷第71页，共33页

参考答案:

1.A

【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出.

【详解】因为整数集2={x\x=3k,k£Z}U{x|x=3左+1,%sZ}U{x|x=34+2,ZGZ}，

U=Z、所以，吟(〃UN)={X|X=34,%£Z}•

故选：A.

2.A

【分析】根据复数的除法运算求出z,再由共规复数的概念得到7从而解出.

【详解】因为z=±L=.TOT=四=_±,所以5=3,即Z-Z=-i.

2+2i2(l+i)(l-i)422

故选：A.

3.A

【详解】试题分析：当曲线y=sin(2x+g)过原点时，则有sin(2x0+9)=0即sin@=O，

;.(p=k7t,(kwZ)-

所以“少=%”是“曲线y=sin(2x+0过坐标原点”的充分不必要条件•故A正确.

考点：1充分必要条件;2三角函数值.

4.C

【分析】由距离公式及辅助角公式计算可得.

P(cos0,sin0)x—y-2=0r-(

,八.八7V2cose+--2

【详解】点到直线的距离d」c°s°二si/、=------—

护石7o

答案第11页，共22页

因为—1Wcos(e+；)V1,则-—2«V5cos(e+w[12K-2,

所以当M°+5=T时3

故选：C

5.D

【详解】与曲线产ex关于y轴对称的曲线为了=0-，，

向左平移1个单位得y=e-a+i)=e-*T，

即/(x)=ei

故选D.

6.B

【分析】分q>0和4<0两种情况讨论，结合等比数列求和公式求出参数的取值范围・

【详解】当q>0时尸>0,此时5“>0,符合题意，

当"°，则一"(IT)>。，即匕1>0,显然小(°，则""一1<°，

q-i

叩/<1，

又“eN*,所以-l<g<0，

综上可得qe(―l,0)o(0,+co)•

故选：B

7.C

【分析】画出图形,设出8(cosa,sina)，C(-cosa,sina),ae[0,2n),表达出

答案第21页，共22页

腰送=2sin2a-(sin*j_；，结合。［。㈤的范围求出最小值.

【详解】如图所不:不妨令力(0,1)，设8(cosa,sina)，ae［0,2jr)，

由于AB=AC»所以。(一cosa,sina)，

ljl|iLL»Lum、2

人JJC=(cosa,sina-l)(-cosa,sina-l)=-cos2a+(sin(z-l)~

=2sin2a-2sina=2|sina-—|——,

I2)2

「\1LLIlLL«1

因为。［0,2兀)，所以当面夕=_!■时，D/C取得最小值，最小值为一』.

22

故选：C

8.D

【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断.

【详解】对于A：因为i.oim〉lm，即球体的直径大于正方体的棱长，

所以不能够被整体放入正方体内，故A错误；

答案第31页，共22页

对于B：因为正方体的面对角线长为应m，且近<1.42，

所以不能够被整体放入正方体内，故B错误；

对于C：因为正方体的体对角线长为百m，且退<1.8，

所以不能够被整体放入正方体内，故C错误；

对于D：因为［.2m>lm，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，

如图，过AC；的中点0作，设OEIZC=E，

可知zc=0,CG=i，zG=6，。/=亭，则tan/c"G=%=常，

_L_2£*瓜

即④鱼，解得“石=彳，

T

故以NG为轴可能对称放置底面直径为1.2m圆柱，

若底面直径为1.2m的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心与正方体的

下底面的切点为.，

可知「尾。阳,。也=0.6,则tanHG=2=也，

ACAO、

即3=91,解得阳=0.6立，

x/2AO、

根据对称性可知圆柱的高为G-2x0.6&=1.732-1.2x1.414=0.0352>0.0「

所以能够被整体放入正方体内，故D正确；

答案第41页，共22页

故选：D.

9.B

【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线

的性质求切线长，结合余弦定理运算求解：方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可

得公+诙+1=0，利用韦达定理结合夹角公式运算求解―

2＞

【详解】方法一：因为X2+J，2-4X-1=0,BP（X_2）+/=5可得圆心C（2,0），半径

r=V5'

过点。（0,-2）作圆C的切线，切点为48，

因为归『="2+（-2）2=2也,则归旬=拒不7=追，

可得sin4PC=*^=®,cos4PC=g=^，

则sin/APB=sin2ZAPC=2sinZAPCcosZAPC=2x—x—=—>

444

cosZAPB=cos2ZAPC=cos2ZAPC-sin2ZAPC=—--=--<0,

I4JI4J4

即/APB为钝角，

答案第51页，共22页

所以sina==Z.APB--^―:

法二：圆x2+/_4x-i=o的圆心C（2,0），半径厂=石,

过点尸（0,-2）作圆0的切线，切点为A,B,连接4?，

可得|PC|=百+臼=2^2,则归川=|P8|=J|PC|2-r2=石，

因为_21PH.阿cos+（砰-21c4|CB|cos4c8

且乙4cB=n-N4PB，贝I」3+3-6COSZL4P5=5+5-10COS4-NAPB），

.3-cosZAPS=5+5cosZ.APB初夕曰.1八

n即f，解得cos/4P5=-一＜0,

4

/APR1

即为钝角，则cosa=cos/cosN力P8）=-Z.APB=—,

且为锐角，所以sina=A/1-COS2a='g；

4

方法三：圆W+yTx—go的圆心c（2,0），半径尸=不，

若切线斜率不存在，则切线方程为y=o,则圆心到切点的距离d=2＞i不合题意;

若切线斜率存在，设切线方程为y=H—2,即履-歹-2=0，

则a=石，整理得公+8%+1=0,且公=64-4=6。＞°

设两切线斜率分别为占，&，则左+&=-8,桃2=1，

可得佝_&|=J依+4-4牯2=2屈,

答案第61页，共22页

所以tana=%--|=而,即更吧=J正，可得cosa

\+k.k.cosa

.2

Ulil.22•2sincc

火|Jsin-a+cos~a=sin~aH------=1»

15

且ae„则‘ma＞。，解得日…半.

10.D

L-L^「5-

【分析】A选项，根据公式得到a=10},£io,10^，A错误；B选项，根据公式得到

03

生=10铲elotiohC选项，根据公式得到P3=10°为；D选项，根据公式得到

A1'一

包=10万e[l,102}

Pi

【详解】A选项，燃油汽车4=20xlgJ,解得0=10*00,

混合动力汽车£2=20x,解得「，=1020%,

答案第71页，共22页

电动汽车右=20x1g包■,解得03=]056P0,

S^60<Z,<90,50<Z,2<60,L3=40，

A,,

1H203y60-4090-405

所以包=号二1020e10卞,10丁10,10*,A错误;

P31020

k

1A204二45040604()

20

B选项,&===10e10।2010方=102,10，B错误;

£3

2102«

b、

2029

C选项,p3=10pQ=10Po=l00pQc错误;

A

r60-6090-50

D选项,且=牛_=10犷€10「犷,10元口西]

P2IQ20-

故04Pl<1000，D正确.

故选：D

1L-160

【分析】利用二项展开式的通项公式求出第『+1项，令x的指数为3求出展开式中v的系数

即可.

【详解】解:设求的项为7；”=9(-24

令/=3，

333

:.T4=-Cl2x=-160x-

故答案为_160-

【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题

答案第81页，共22页

也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下儿个方面命题:

(1)考查二项展开式的通项公式(可以考查某一项，也可考查某一项的

系数)(2)考查各项系数和和各项的二项式系数和；(3)二项展开式定理的应用.

12.4

【详解】在AABC中，利用余弦定理cos8=/+i一从,

2ac

」=4+(c+6)(c-b)=4+7(c-Z)),化简得：8c—73+4=0,与题目条件'+0=7联立，可

44c4c

解得a=2,6=4,c=3，

【考点定位】本题考查的是解三角形，考查余弦定理的应用.利用题目所给的条件列出方

程组求解

13.6

【详解】由/=4x可求得焦点坐标尸(1,0),因为倾角60。，所以直线的斜率为

,利用点斜式，直线方程为＞=岳一6=y/3x—>/3

k=tan60°=百,将直线和曲线联立d

y2=4x

力(3,2扬

_..S.n,r=—xOFxy,=—xlx2也=V3

"吗.-苧)因此2九2

【考点定位】本题考查的是解析几何中抛物线的问题，根据交点弦问题求围成面积.此题

把握住抛物线的基本概念，熟练的观察出标准方程中的焦点和准线坐标和方程是成功的关

键，当然还要知道三角形面积公式.

答案第91页，共22页

14,复L/=至

55

【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到恒司,忸闾，忸娟,娟关于

。，加的表达式，从而利用勾股定理求得“=加，进而利用余弦定理得到a，c的齐次方程，从

而得解.

方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得x0=；c,义=-|f,『=4c）将

点A代入双曲线c得到关于Ac的齐次方程，从而得解;

【详解】方法一:

依题意,设M用=2相，则忸用=3机=忸用,|4用=2a+2"?，

在RtV/8片中，9机②+(24+2m)2=25W2,则(0+3〃?)(<7_〃])=0，故^=切或q=_3m(舍

去），

所以剧=4a,|/工|=2a，忸周=忸凰=3a，则|力却=5〃，

故COSH盟啮《=：，

所以在△“耳玛中，cosN片在J6/+4—4/=匕整理得5c2=9/

2x4（7x2tz5

故e=J=巫.

a5

答案第101页，共22页

依题意,得耳(_c,0)69,0)，令/(%,%),8(0,，)，

_______252

因为乙/=所以=贝5=9,为=-[,

又通耶，所以即不=(|c,_|'(c,/)=1—『=0,则『=4c'

2222

AC2524225c4r25c16c,

又点在上，则9c9_=]，整理得9a2-犷-，则/"-9b2，

a2b2

所以25c2b2-16c2a2=9a2b2,即25c2(c2-a2)-l6a2c?=94c?-叫，

整理得25c4-50c2+9a4=0,则(5c?-9°2乂5/-/)=0，解得5c2=9a2或5c°=a2'

又e>L所以e=3叵或e=@(舍去)，故《=拽.

555

故答案为：之叵.

5

【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾

股定理与余弦定理得到关于a,6,c的齐次方程，从而得解.

15.②③④

答案第111页，共22页

【分析】根据集合〃具有的性质逐个分析判断.

【详解】对于①,g(x)=log2(x+1),则

g(^)+g(0=log2(s+l)+log2(r+l)=log2(s+l)(z+l)

=log,(s/+s+z+l)>log2(s+f+l)=g(s+f)，所以g(x)=log2(x+l)不属于M,所以①错误,

对于②,秋x)=2，-l，则当s>0,f>0时，〃⑸=2$-1>0,人(。=2'-1>0，

h(s)+h(t)~h(s+f)=2'-1+2'-1-2s+,+1=⑵-1)(1-2')，

因为s>0/>0,所以2'-1>0,1-2'<0，

所以/i(.y)+/?(/)-h(s+f)<0，所以/(s)+f(/)<f(s+t),

所以〃(x)=2、-l属于〃，所以②正确，

对于③，因为/(x)eA/,所以对于任意s,”0都有/(s)>0,/⑴>0,且

所以/(s+/)-/•«)>./■(S)>()，

因为s+f>f>0,所以/(x)在区间(0,位)上单调递增，所以③正确，

对于④，对给定的正数s,若/⑴<s，则取f=l，使得当xw(0,/]时，由③单调性恒有

/(%)<./(I)<5.若/⑴2s，因为对于任意s,f>0都有/(s)>0JC)>0，且

++所以2吗)<〃[),/(；)<.，同理可得

答案第121页，共22页

>所以存在〃苫M，世<s,则取f=Jr,使得

7JvzJ4

JX222^23'2"’2〃2"2勺

当xe(0,4时，由③单调性恒有f(x)<f(t)<s.综上可得④正确，

故答案为：②③④

【点睛】关键点点睛：此题考查函数的新定义，解题的关键是对函数新定义的正确理解,

考查分析问题的能力和计算能力，属于较难题.

16.(1)证明见解析

【分析】(1)由线面垂直的性质得到尸/,8C、PALAC从而得到4818(7,即可得

证；

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.

【详解】(I)连接/C，因为P4_L平面48c0，8C,NCu平面/BCD，

所以p/_L8C、PAYAC'

又P4=l，AB=BC=2,PC=3'

所以/C=JF=F=2JI'所以/52+8C2=/C2‘所以4BJ.BC，

PAC]AB=A，P4/5u平面PN5，

所以8C_A平面尸”夕

⑵如图建立空间直角坐标系，则力(2,0,0)，。(0,2,0)，0(1,2,0)-尸(2,0,1)，

所以万=(0,0,1)，而=(1,-2,1)，反=(-1,0,0)，

答案第131页，共22页

4PD〃=（x,y,z）/万元=z=0x=2

设平面的法向量为，则需-C八，令，

DPn=x-2y+z=0

则7=（2,1,0），

PDCm=（a,b,c]~DCm=-a=0c=2

设平面的法向量为，则-”八，令,

DP,m=a-2b+c=0

叫=（0,1,2），

设二面角/一尸。-。为小由图可得二面角为锐二面角，

"洲11A-PD-C1

所以cosO=gp|V=H氐=《，所以二面角的余弦值为二.

17.⑴1

（2）答案见解析

【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，再根据周期求出°;

（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把/（“）的解析式化简，根据在片一]上

36

答案第141页，共22页

TCOCOf(x\(jr\

的单调性及零点可求出，从而求出的值，把的值代入的解析式，由/［*=2和

附1＜］即可求出”的值；若选条件③：由的单调性可知/“)在丫=-冷处取得最小值一？,

从而求出7,得到。的值，同理求出°的值.

【详解】(1)因为/(x)=2sin(yxcos0+2sin3(l-Zsin?竽)

=2sincoxcos(p+2sin(pcoscox=2sin(/x+w)，

又/(X)图象的相邻两条对称轴之间的距离为兀，。＞0，

即最小正周期7=2兀=生，解得0=1.

CO

(2)由(1)可得/(x)=2sin(sr+＞)，则/(X)E|-2,2「

若选条件①：/(吊=_2,又巾|=2,且/㈤在一黑上单调递增,

所“㈤在卜乳］上单调递增，与加在少—上单调递增矛盾，故条件①不能使函

36

数“X)存在;

若选条件②：一已是"X)的一个零点，又加在-工兀—上单调递增，且/a2,

36

所以9科工人则7=兀=幺，解得°=2

CO

答案第151页，共22页

所以/(x)=2sin(2x+g),^2x-t-(p=-+2k,解得eJ+2女,

因为1如＜T，所以0=巴，经检验符合题意，即0=2、0=百

266

若选条件③：/,日+/（不）=°，又/⑶在-黑上单调递增，且尼）=2,

所以/（x）=2sin（2x+夕），又2x念夕=升2丸,keZ,解得吟+24,

因为I力1＜弓，所以0=色，经检验符合题意，即"=2、/=巴；

266

电（I）。？

（2）0.6968

⑶也-〃|=理由见解析

【分析】（1）先由频率和为1解出a=oo2,再求是非常满意的概率即可；

（2）分别求出人，B地区满意或非常满意的概率，再由独立事件乘法公式求解即可;

（3）由频率分布直方图求得〃“外，进而求出〃，计算求解即可.

【详解】（1）由频率分布直方图知，（0.005+0.015+0.03+0.03+a）xl0=l，解得。=0.02-

答案第161页，共22页

则估计该乘客的满意程度等级是非常满意的概率为002x10=0.2：

(2)从A地区随机抽取一名乘客，该乘客的满意程度等级是满意或非常满意的概率为

A

(0.03+0.03+0.02)x10=0.8=

从B地区随机抽取一名乘客，该乘客的满意程度等级是满意或非常满意的概率为

D

(0.03+0.02+0.015)x10=0.65；

则P(C)=0.8?x0.65?+2x0.2x0.8x0.652+2x0.35x0.65x0.82=0.6968；

⑶|从_“=|%-“，理由如下：

从=55x0.05+65x0.15+75x0.3+85x0.3+95x0.2=79.5，

出二55x0.15+65x0.2+75x0.3+85x0.2+95x0.15=75，

AR1.111

因为,两地区人数比为，则〃=：必+；%=77.25,

则I4-〃1=2.25，〃1=2.25，则|从-“=|〃2-叶

19-⑴。=1、6=0

(2)单调递增区间为缶正］,单调递减区间为(正廊.

I52JI2')

(3)(2,+8)

【分析】(1)求出函数的导函数，依题意可得,即可得到方程组，从而求出参

ko)=-i

数的值;

答案第171页，共22页

(2)由(1)可得/(x)=lnx_/，利用导数求出函数的单调区间；

(3)首先可得gaXInx+g/fx,求出函数的导函数，分旌°、-24〃?42、m>2三

种情况讨论，得到函数的单调性，从而得到函数的极小值，再说明极小值恒小于0,即可

得解.

【详解】⑴因为/⑴=皿⑪+与-/,所以八力='一2》，

ax+b

又函数在点(1J⑴)处的切线方程为了=-X,

［/(1)=-1fln(a+/?)-l=-l\a=\

所以")=T，即a2=］，解得标=0・

a+b

(2)由(1)可得/(x)=lnx一,定义域为色内),

所以，”、1.l-2x。(1一忌)(1+夜x),

/(M=一-2x=-----=---------------

XXX

所以当0<工<也时/钢须，当X〉正时/

22

所以/(')的单调递增区间为八变］,单调递减区间为(正+8.

U2J12'J

(3)因为g(x)=/(j0+m/—加工=1口工+；%2一mx定义域为(°，+8),

则g'(x)=3+x_.=%-mx+l,

xx

当‘40,即"区。时g'S)>°恒成立，所以8口)在定义域(°，+8)上单调递增，不符合题

2

答案第181页，共22页

意；

对于方程f-/nx+1=0，当4=机2-240，即-24m42时/-〃氏+120恒成

所以g，(x)20恒成立，所以g(x)在定义域(0,+s)上单调递增，不符合题意；

当m>2则%〉1时方程/-〃氏+1=°有两个不相等的正实数根毛、毛，

2

不妨设演<々，则0<*<1<三且考-巾%2+1=0

所以当0<x<&或x>超时g'(x)>0,当芭<x<4时g'(x)<0>

所以g(x)的单调递增区间为(0,占)，仁,口)，单调递减区间为(国,％)，

此时g(x)在X=X］处取得极大值，在X=X2处取得极小值，

则g(x)极小值=g(x2)=lnx2+^x^-mx2=lnx2-^x^-l,

令〃(x)=lnx-x2fxe(1,+8),则、⑴△一丫=°+女〜)<0，

2vxx

所以“(X)在(L+8)上单调递减，所以人(力<刈1)=-|<0,

即g(x)极小值=g(X2)=lnx2-；¥-l<。，所以"回2，+8).

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的

单调性，常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零

点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.

20.(l)^.+£=i

43

⑵2

答案第191页，共22页

0°b

【分析】（1）依题意可得£=5，即可求出、,从而求出，即可得解;

a+c=3

（2）当直线/的斜率不存在直接求出邑，S,+Sr当直