高中数学北师大版选修2-2测评模块综合测评（A）

模块综合测评(A)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设z1=x2i,z2=1+xi,x∈R,若z1+z2为纯虚数,则实数x的值为()A.1 B.0 C.1 D.1或1解析由z1=x2i,z2=1+xi,则z1+z2=x2i+(1+xi)=x21+(x1)i.若z1+z2为纯虚数,则x2-1=0,故选A.答案A2.设函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)=x2+2x·f'(1),则f'(0)等于()A.0 B.4 C.2 D.2解析因为f(x)=x2+2x·f'(1),所以f'(x)=2x+2f'(1),f'(0)=2f'(1).因为f'(1)=2+2f'(1),所以f'(1)=2,故f'(0)=4.答案B3.复数1+2i2-i的共轭复数是A.3i5 B.3i5 C.i D解析因为复数1+2i2-所以复数1+2i2-i答案D4.已知a,b是空间中两不同直线,α,β是空间中两不同平面,下列命题正确的是()A.若直线a∥b,b⫋α,则a∥αB.若平面α⊥β,a⊥α,则a∥βC.若平面α∥β,a⫋α,b⫋β,则a∥bD.若a⊥α,b⊥β,a∥b,则α∥β解析若直线a∥b,b⫋α,则a∥α或a⫋α,故A不对;若平面α⊥β,a⊥α,则a∥β或a⫋β,故B不对;若平面α∥β,a⫋α,b⫋β,则a∥b或a,b是异面直线,故C不对;根据垂直于同一条直线的两个平面平行,可得D正确.答案D5.观察下列等式,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,根据上述规律,13+23+33+43+53+63=()A.192 B.202 C.212 D.222解析归纳得13+23+33+43+53+63=(1+2+…+6)2=212.答案C6.函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图,则函数y=ax2+32bx+c3的递增区间是(A.(∞,2] B.1C.[2,3] D.9解析由题图可知d=0.不妨取a=1,∵f(x)=x3+bx2+cx,∴f'(x)=3x2+2bx+c.由图可知f'(2)=0,f'(3)=0,∴124b+c=0,27+6b+c=0.∴b=1.5,c=18.∴y=x294x6,y'=2x9当x>98时,y'>0,∴y=x294x6的递增区间为98,答案D7.定积分121+x2xdA.32+ln2 B.34 C.3+ln2 D解析121+x2xdx=121x+xdx=121xdx+12xdx=lnx|12+12x答案A8.函数y=lnx(x>0)的图像与直线y=12x+a相切,则实数a等于(A.ln21 B.ln2+1C.ln2 D.2ln2解析y'(x)=1x,由1x=12得切点为(2,ln2),代入y=12x+a,得a=答案A9.已知过原点的直线l与曲线y=ex相切,则由曲线y=ex,y轴和直线l所围成的平面图形的面积是()A.e21 B.eC.e2 D.e+解析由已知y=ex的导函数为y'=ex,设过原点的直线l与曲线y=ex相切于点(a,ea),则y'|x=a=ea,直线l的方程为y=ea(xa)+ea,即y=eaxaea+ea.又直线l过原点,则aea+ea=0,解得a=1,所以直线l的方程为y=ex.由曲线y=ex,y轴和直线l所围成的平面图形的面积为01(exex)dx=ex-12e故选A.答案A10.设函数f(x)=sinθ3x3+3cosθ2x2+tanθ,其中θ∈0,5πA.[2,2] B.[2,3] C.[3,2] D.[解析∵f'(x)=sinθx2+3cosθx,∴f'(1)=sinθ+3cosθ=2sinθ+∵θ∈0,∴θ+π3∴sinθ+∴2sinθ+π3∈[答案D11.设m=01exdx,n=e11xdx,则m与n的大小关系为A.m<n B.m≤n C.m>n D.m≥n解析m=01exdx=ex|01=e1>n=e11xdx=答案C12.函数f(x)的图像如图所示,下列数值排序正确的是()A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)(2)B.0<f'(3)<f(3)f(2)<f'(2)C.0<f'(3)<f'(2)<f(3)f(2)D.0<f(3)f(2)<f'(2)<f'(3)解析观察图像可知,该函数在(2,3)上为连续可导的增函数,且增长的越来越慢,所以各点处的导数在(2,3)上处处为正,且导数的值逐渐减小,所以f'(2)>f'(3),而f(3)f(2)=f(3)-f(2)3-2,表示连接点(2,f(2))与点(3,f(3))割线的斜率,根据导数的几何意义,一定可以在(2,3)之间找到一点,该点处的切线与割线平行,则割线的斜率就是该点处的切线的斜率,即该点处的导数,则必有0答案B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.设f(z)=z,且z1=1+5i,z2=3+2i,则f(z1-z2)解析∵z1z2=(1+5i)(3+2i)=4+3i,∴z1-z2∵f(z)=z,∴f(43i)=4+3i.答案4+3i14.已知函数f(x)=2x,若x1,x2是R上的任意两个数,且x1≠x2,则2x1+2x22>2x1+x22,请对比函数f(x.

解析由题意知函数f(x)=2x是一个凹函数,函数g(x)=lgx是一个凸函数,所以x1,x2是R上的任意两个数,且x1≠x2,则lgx1+lgx答案x1,x2是R上的任意两个数,且x1≠x2,则lgx1+lg15.曲线y=x21与直线y=2x+2围成的封闭图形的面积为.

解析由y=x可知所求的封闭图形的面积S=-13[2x+2(x21)]dx=x2+3x13x3

-13=(9+99)13+13=答案3216.已知点P(1,1)在曲线y=xx+a上,则该曲线在点P处的切线方程为解析由于点P(1,1)在曲线y=xx+则1=-1a-1,得a=2,即有y=xx+2,导数y'=x+2-x(x+2)2=2(x+2)2,则曲线在点P答案y=2x+1三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设f(x)=ax3+bx2+cx的极小值为8,其导函数y=f'(x)的图像经过点(2,0),23,0(1)求f(x)的解析式;(2)若对x∈[3,3]都有f(x)≥m214m恒成立,求实数m的取值范围.解(1)∵f'(x)=3ax2+2bx+c,且y=f'(x)的图像经过点(2,0),23∴-∴f(x)=ax3+2ax24ax,由图像可知函数y=f(x)在(∞,2)上是减少的,在-2,23上是增加的,在23,+∞上是减少的,由f(x)极小值=f(2)=a(2)3+2a(2)24a∴f(x)=x32x2+4x.(2)要使对x∈[3,3]都有f(x)≥m214m恒成立,只需f(x)min≥m214m即可.由(1)可知函数y=f(x)在[3,2)上是减少的,在-2,23上是增加的,在23,3上是减少的,且f(2)=8,f(3)=332×32+∴f(x)min=f(3)=33.∴33≥m214m⇒3≤m≤11.故所求的实数m的取值范围为{m|3≤m≤11}.18.(本小题满分12分)(2020江苏,15)在三棱柱ABCA1B1C1中,AB⊥AC,B1C⊥平面ABC,E,F分别是AC,B1C的中点.(1)求证:EF∥平面AB1C1;(2)求证:平面AB1C⊥平面ABB1.证明(1)因为E,F分别是AC,B1C的中点,所以EF∥AB1.又EF⊄平面AB1C1,AB1⊂平面AB1C1,所以EF∥平面AB1C1.(2)因为B1C⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,所以B1C⊥AB.又AB⊥AC,B1C⊂平面AB1C,AC⊂平面AB1C,B1C∩AC=C,所以AB⊥平面AB1C.又因为AB⊂平面ABB1,所以平面AB1C⊥平面ABB1.19.(本小题满分12分)如图,某小区有一矩形地块OABC,其中OC=2,OA=3.已知OEF是一个游泳池,计划在地块OABC内修一条与池边EF相切于点M的直路l(宽度不计),交线段OC于点D,交线段OA于点N.现以点O为坐标原点,以线段OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,若池边EF满足函数y=x2+2(0≤x≤2)的图像,点M到y轴距离记为t.(1)当t=23时,求直路l所在的直线方程(2)当t为何值时,地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大,最大值是多少?解(1)当t=23时,点M的横坐标x=23,将其代入函数y=x2+2,得M∵y'=2x,∴k=43∴直线方程为y=43x+22(2)由(1)知,直线的方程为y=2tx+t2+2,令y=0,得x=12t+2t,令x=0,∴12t+2t≤2,t2∴22≤t≤1.∴S△OND=12×12t=14令g(t)=14则g'(t)=(t当t=63时,g'(t)=0,当t∈2-2,63时,当t∈63,1时,g'(t)>0,g(t)≥故所求面积的最大值为68920.(本小题满分12分)已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且其中任意两边长均不相等,若1a,(1)比较ba与cb(2)求证:角B不可能是钝角.(1)解ba<c要证ba<cb∵a,b,c>0,∴只需证b2<ac.∵1a,∴2b=1a+1c≥21又a,b,c均不相等,∴b2<ac.故所得大小关系正确.(2)证明方法一在△ABC中,由余弦定理得,cosB=a2+∴角B不可能是钝角.方法二假设角B是钝角,则角B的对边为最大边,即b>a,b>c,∴1a>1b>0,1c>1b>0,则∴角B不可能是钝角.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=alnx+x,g(x)=xexa.(1)若x=1是f(x)的极值点,求f(x)的单调区间;(2)若a=1,证明f(x)≤g(x).解(1)由已知可得,函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=ax+1因为x=1是f(x)的极值点,所以f'(1)=a+1=0,解得a=1,此时f'(x)=1x+1=x故当0<x<1时,f'(x)<0;当x>1时,f'(x)>0.所以f(x)的递增区间为(1,+∞),递减区间为(0,1).(2)若a=1,则f(x)=lnx+x,g(x)=xex1.设h(x)=f(x)g(x)=lnx+xxex+1,x∈(0,+∞),则h'(x)=1x+1(x+1)ex=(x+1)1令t(x)=1xex,x∈(0,+∞则t'(x)=1x2ex<0对任意x∈(0,+∞)恒成立,所以t(x)=1xex在(0,+∞又t12=2e>0,t(1)=1e<所以∃x0∈12,1,使得t(x0)=1x0-ex0=0,即1x0=ex0因此,当0<x<x0时,t(x)>0,即h'(x)>0,则h(x)是增加的;当x>x0时,t(x)<0,即h'(x)<0,则h(x)是减少的.故h(x)≤h(x0)=lnx0+x0x0ex0+1=01+1=0,即f(x)≤g(x22.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=an2+1an1,且an>(1)求a1,a2,a3;(2)猜想{an}的通项公式