信号与系统课件

第一章绪论1.1基本概念1、信号与系统2、信号

信号是一组数据或信息，它是消息的表现形式，通常体现为随若干变量而变化的某种物理量。在数学上，可以描述为一个或多个独立变量的函数。例如，在电子信息系统中，常用的电压、电流、电荷或磁通等电信号可以理解为是时间t或其他变量的函数；又如在图像处理系统中，描述平面黑白图像像素灰度变化情况的图像信号，可以表示为平面坐标位置(x,y)的函数，等等。如果信号是单个独立变量的函数，称这种信号为一维信号。一般情况下，信号为n个独立变量的函数时，就称为n维信号。本课只讨论一维信号。并且，为了方便起见，一般都将信号的自变量设为时间t或序号k。3、系统是由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。

所谓系统模型是指对实际系统基本特性的一种抽象描述。根据不同需要，系统模型往往具有不同形式。以电系统为例，它可以是由理想元器件互联组成的电路图，由基本运算单元(如加法器、乘法器、积分器等)构成的模拟框图，或者由节点、传输支路组成的信号流图；也可以是在上述电路图、模拟框图或信号流图的基础上，按照一定规则建立的用于描述系统特性的数学方程。这种数学方程也称为系统的数学模型。系统（system）：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的，具有特定功能的整体。如太阳系、通信系统、控制系统、经济系统、生态系统等。系统可以看作是变换器、处理器。电系统具有特殊的重要地位，某个电路的输入、输出是完成某种功能，如微分、积分、放大，也可以称系统。在电子技术领域中，“系统”、“电路”、“网络”三个名词在一般情况下可以通用。如果系统只有单个输入和单个输出信号，则称为单输入单输出系统，如图所示。如果含有多个输入、输出信号，就称为多输入多输出系统。为传送消息而装设的全套技术设备（包括传输信道）。信号理论信号分析：研究信号的基本性能，如信号的描述、性质等。信号传输：通信的目的是为了实现消息的传输。原始的光通信系统——古代利用烽火传送边疆警报；声音信号的传输——击鼓鸣金；GPS(GlobalPositioningSystem)；个人通信具有美好的发展前景；光纤通信带来了更加宽广的带宽；信号的传输离不开信号的交换。信号处理：对信号进行某种加工或变换。目的：消除信号中的多余内容；滤除混杂的噪声和干扰；将信号变换成容易分析与识别的形式，便于估计和选择它的特征参量。信号处理的应用已遍及许多科学技术领域。

系统理论系统分析：给定系统，研究系统对于输入激励所产生的输出响应。系统综合：按照给定的需求设计（综合）系统。重点讨论信号的分析、系统的分析，分析是综合的基础。4、信号的分类确定信号与随机信号任一由确定时间函数描述的信号，称为确定信号或规则信号。对于这种信号，给定某一时刻后，就能确定一个相应的信号值。如果信号是时间的随机函数，事先将无法预知它的变化规律，这种信号称为不确定信号或随机信号。

连续信号与离散信号一个信号，如果在某个时间区间内除有限个间断点外都有定义，就称该信号在此区间内为连续时间信号，简称连续信号。这里“连续”一词是指在定义域内（除有限个间断点外）信号变量是连续可变的。至于信号的取值，在值域内可以是连续的，也可以是跳变的。仅在离散时刻点上有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号。这里“离散”一词表示自变量只取离散的数值，相邻离散时刻点的间隔可以是相等的，也可以是不相等的。在这些离散时刻点以外，信号无定义。信号的值域可以是连续的，也可以是不连续的。数字信号：时间和幅值均为离散的信号。主要讨论确定性信号。先连续，后离散；先周期，后非周期。模拟信号：时间和幅值均为连续的信号。抽样信号：时间离散的，幅值连续的信号。量化抽样判断下列波形是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？连续信号离散信号离散信号数字信号周期信号与非周期信号周期信号是每隔一个固定的时间间隔重复变化的信号。连续周期信号与离散周期信号的数学表示分别为f(t)=f(t+nT),n=±1,±2,±3,…,-∞<t<∞f=f(k+nN),n=±1,±2,±3,…,-∞<k<∞,(k取整数)瞬态信号：除准周期信号外的一切可以用时间函数描述的非周期信号。能量信号与功率信号如果把信号f(t)看作是随时间变化的电压和电流，则当信号f(t)通过1Ω电阻时，信号在时间间隔-Ｔ≤t≤T内所消耗的能量称为归一化能量，即为而在上述时间间隔-Ｔ≤t≤T内的平均功率称为归一化功率，即为若信号f(t)的能量有界（即0<W<∞，这时P=0）则称其为能量有限信号，简称能量信号。若信号f(t)的功率有界（即0<P<∞，这时W是∞）则称其为功率有限信号，简称功率信号。一维信号： 只由一个自变量描述的信号，如语音信号。多维信号： 由多个自变量描述的信号，如图像信号。5、系统的分类连续时间系统与离散系统若系统的输入和输出都是连续时间信号，且其内部也未转换为离散时间信号，则称此系统为连续时间系统。若系统的输入和输出都是离散时间信号，则称离散时间系统。离散时间系统经常与连续时间系统组合运用，这种情况称为混合系统。连续时间系统的数学模型是微分方程，而离散时间系统则用差分方程描述。即时系统与动态系统如果系统的输出信号只决定于同时刻的激励信号，与它过去的工作状态（历史）无关，则称此系统为即时系统（或无记忆系统）。如果系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关，这种系统称为动态系统（或记忆系统）。凡是包含有记忆作用的元件（如电容、电感、磁芯等）或记忆电路（或寄存器）的系统都属此类。即时系统可用代数方程描述，动态系统的数学模型则是微分方程或差分方程。线性系统与非线性系统具有叠加性与均习性（也称齐次性）的系统称为线性系统。所谓叠加性是指当几个激励信号同时作用于系统时，总的输出响应等于每个激励单独作用所产生的响应之和；而均匀性的含义是，当输入信号乘以某常数时，响应也倍乘相同的常数。不满足叠加性或均匀性的系统是非线性系统。时变系统与时不变系统如果系统的参数不随时间而变化，则称为系统为时不变系统（或非时变系统、定常系统）；如果系统的参量随时间改变，则称其为时变系统（或参变系统）。

可逆系统与不可逆系统若系统在不同的激励信号作用下产生不同的响应，则称此系统为可逆系统。对于每个可逆系统都存在一个“逆系统”，当原系统与此逆系统级联组合后，输出信号与输入信号相同。重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。单边指数信号通常把称为指数信号的时间常数，记作

,代表信号衰减速度，具有时间的量纲。l

指数衰减,l

指数增长l

直流(常数),KO1.2常用的连续时间信号1、指数信号衰减正弦信号：

2、正弦信号

欧拉(Euler)公式复平面上的一个单位圆上的点，与实轴夹角为θ时，此点可表示为e是自然对数的底，此式称为欧拉(Euler)公式。e可以用计算方法定义为欧拉公式由泰勒级数展开三角函数可表示为同样若展开，可得到欧拉公式与三角函数的关系讨论3．复指数信号性质①②③④⑤⑥

4．抽样信号(SamplingSignal)例：

>0，右移(滞后)

<0，左移(超前)宗量相同，函数值相同，求新坐标f(t+1)的波形？1．信号的平移（或移位）例：以纵轴为轴折叠，把信号的过去与未来对调。

2．反褶波形的压缩与扩展，标度变换3．信号的展缩（ScaleChanging）a>1时，f(at)波形被压缩为f(t)波形的1/a倍；0<a<1时，f(at)波形被申展为f(t)波形的1/a倍；注意！先展缩：

a>1，压缩a倍；a<1，扩展1/a倍

后平移：

+，左移b/a单位；－，右移b/a单位

一切变换都是相对t而言最好用先翻缩后平移的顺序

加上倒置：

4．一般情况解:验证：计算特殊点例题：已知f(t)，求f(3t+5)。宗量t宗量3t+5函数值t=-13t+5=-1，t=-21t=03t+5=0，t=-5/31t=13t+5=1，t=-4/30时移标度变换标度变换时移冲激信号二．微分和积分同一瞬时两信号对应值相加（相乘）。三．两信号相加和相乘§1.4阶跃信号和冲激信号

函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异函数。主要内容：单位斜变信号单位阶跃信号单位冲激信号冲激偶信号1．

定义3．三角形脉冲

由宗量t-t0=0可知起始点为2．有延迟的单位斜变信号一．单位斜变信号1.定义宗量<0函数值为0由宗量，函数有断点，跳变点宗量>0函数值为12.有延迟的单位阶跃信号二．单位阶跃信号其他函数只要用门函数处理(乘以门函数)，就只剩下门内的部分。

符号函数：(Signum)门函数：也称窗函数3．用单位阶跃信号描述其他信号概念引出定义1定义2冲激函数的性质三．单位冲激（难点）函数值只在t=0时不为零；

积分面积为1；

t=0时，，为无界函数。

定义1：狄拉克(Dirac)函数面积1；脉宽↓；

脉冲高度↑；

则窄脉冲集中于t=0处。★面积为1★宽度为0★三个特点：定义2若面积为k，则强度为k。三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、抽样函数取

0极限，都可以认为是冲激函数。时移的冲激函数描述1．抽样性2．奇偶性3．冲激偶4．标度变换冲激函数的性质对于移位情况：如果f(t)在t=0处连续，且处处有界，则有

1、抽样性(筛选性)分和讨论

积分结果为0

冲激函数抽样性质证明证明奇偶性时，主要考察此函数的作用，即和其他函数共同作用的结果。由定义1，矩形脉冲本身是偶函数，故极限也是偶函数。由抽样性证明奇偶性。冲激函数奇偶性证明2.

奇偶性3.冲激偶利用分部积分运算①②时移，则：

③④冲激偶的性质冲激偶的标度变换

4.对

(t)的标度变换从定义看：

p(t)面积为1，强度为1

p(at)面积为，强度为冲激信号尺度变换的证明分析：用两边与f(t)的乘积的积分值相等证明，分a>0、a<0两种情况

两边相等(1)(2)

R(t)

求 ↓↑ 积 (-

<t<)

u(t)导 ↓↑ 分

(t)

四.总结：R(t)，u(t)，

(t)之间的关系（1）抽样性（2）奇偶性（3）比例性（4）微积分性质（5）冲激偶（6）卷积性质

冲激函数的性质总结信号的平均功率=信号的直流功率+交流功率一．直流分量与交流分量对任何实信号而言：信号的平均功率=偶分量功率+奇分量功率

二．偶分量与奇分量例求f(t)的奇分量和偶分量1．矩形窄脉冲序列此窄脉冲可表示为三．脉冲分量出现在不同时刻的，不同强度的冲激函数的和。2．连续阶跃信号之和将信号分解为冲激信号叠加的方法应用很广，后面的卷积积分中将用到，可利用卷积积分求系统的零状态响应。瞬时值为复数的信号可分解为实虚部两部分之和。即实际中产生的信号为实信号，可以借助于复信号来研究实信号。共轭复函数四．实部分量与虚部分量

如果用正交函数集来表示一个信号，那么，组成信号的各分量就是相互正交的。把信号分解为正交函数分量的研究方法在信号与系统理论中占有重要地位，这将是本课程讨论的主要课题。我们将在第三章中开始学习。

五．正交函数分量分形几何理论简称分形理论或分数维理论；创始人为B.B.Mandelbrot;分形是“其部分与整体有形似性的体系”；在信号传输与处理领域应用分形技术的实例表现在以下几个方面：图像数据压缩、语音合成、地震信号或石油探井信号分析、声纳或雷达信号检测、通信网业务流量描述等。这些信号的共同特点都是具有一定的自相似性，借助分性理论可提取信号特征，并利用一定的数学迭代方法大大简化信号的描述，或自动生成某些具有自相似特征的信号。可浏览网站：六．利用分形（fractal）理论描述信号§1.6系统模型及其分类描述系统的基本单元方框图系统的定义和表示系统的分类1.加法器2.乘法器3.标量乘法器（数乘器，比例器）4.微分器5.积分器6.延时器一．信号的时域运算（基本元件）3.标量乘法器（数乘器，比例器）

2.乘法器

1.加法器

注意:

与公式中的卷积符号相区别，没有卷积器。

基本元件14.微分器

5.积分器

6.延时器

基本元件2例请用积分器画出如下微分方程所代表的系统的系统框图。方程左端只保留输出的最高阶导数项积分n=2次，使方程左端只剩下r(t)项系统框图如下页：系统框图系统：具有特定功能的总体，可以看作信号的变换器、处理器。系统模型：系统物理特性的数学抽象。

系统的表示：

数学表达式：系统物理特性的数学抽象。

系统图：形象地表示其功能。二．系统的定义和表示三．系统的分类重点研究:

确定性信号作用下的集总参数线性时不变系统。系统非时变时变非线性线性

若系统在不同的激励信号作用下产生不同的响应，则称此系统为可逆系统。若系统在t0时刻的响应只与t=t0和t<t0时刻的输入有关，否则，即为非因果系统。§1.7

线性时不变系统线性系统与非线性系统时变系统与时不变系统线性时不变系统的微分特性因果系统与非因果系统指具有线性特性的系统。

线性系统：线性:指均匀性，叠加性。叠加性：均匀性(齐次性)：1.定义一．线性系统与非线性系统线性特性先线性运算，再经系统＝先经系统，再线性运算若注意：外加激励与系统非零状态单独处理。则系统是线性系统,否则是非线性系统。

2.

判断方法判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统?分析：根据线性系统的定义，证明此系统是否具有均匀性和叠加性。可以证明：

所以此系统为非线性系统。请看下面证明过程系统不满足均匀性系统不具有叠加性例1设信号e(t)作用于系统，响应为r(t)原方程两端乘A：

(1),(2)两式矛盾。故此系统不满足均匀性当Ae(t)作用于系统时，若此系统具有线性，则证明均匀性(5)、(6)式矛盾，该系统为不具有叠加性假设有两个输入信号分别激励系统，则由所给微分方程式分别有：

当同时作用于系统时，若该系统为线性系统，应有(3)+(4)得证明叠加性一个系统，在零初始条件下，其输出响应与输入信号施加于系统的时间起点无关，称为非时变系统，否则称为时变系统。认识:电路分析上看:元件的参数值是否随时间而变

从方程看:系数是否随时间而变从输入输出关系看:时不变性1.定义二．时变系统与时不变系统时不变性先时移，再经系统＝先经系统，再时移若则系统是非时变系统,否则是时变系统。2.

判断方法例2判断下列两个系统是否为非时变系统。1.系统的作用是对输入信号作余弦运算。所以此系统为时不变系统。系统1：系统2：此系统为时变系统。系统作用:输入信号乘cost系统2：

判断系统是否为线性非时变系统。是否为线性系统？是否为时不变系统？可见,先线性运算，再经系统＝先经系统，再线性运算,所以此系统是线性系统。

例3可见，时移、再经系统经系统、再时移，所以此系统是时变系统。是否为时不变系统呢？线性时不变系统满足微分特性、积分特性利用线性证明，可推广至高阶。三．线性时不变系统的微分特性1.

定义因果系统是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出现输出（响应）的系统。也就是说，因果系统的输出（响应）不会出现在输入信号激励系统以前的时刻。系统的这种特性称为因果特性。符合因果性的系统称为因果系统(非超前系统)。输出不超前于输入2.判断方法四.因果系统与非因果系统表示为：非因果系统的概念与特性也有实际的意义，如信号的压缩、扩展，语音信号处理等。

若信号的自变量不是时间，如位移、距离、亮度等为变量的物理系统中研究因果性显得不很重要。t=0接入系统的信号称为因果信号。3.实际的物理可实现系统均为因果系统4.因果信号现在的响应=现在的激励+以前的激励

所以该系统为因果系统。未来的激励所以该系统为非因果系统。例4着眼于激励与响应的关系，而不考虑系统内部变量情况；单输入/单输出系统；列写一元n阶微分方程。输入

输出描述法：状态变量分析法：不仅可以给出系统的响应，还可以描述内部变量，如电容电压或电感电流的变化情况。研究多输入/多输出系统；列写多个一阶微分方程。一.建立系统模型的两种方法§1.8

系统分析方法例题例题1：画函数波形例题2：冲激函数的性质例题3：信号的运算例题4：列写系统的微分方程例题5：系统的线性特性例题6：系统的时不变特性例题7：系统的因果性粗略绘出下列各函数式的波形图

描绘信号波形是本课程的一项基本训练，在绘图时应注意信号的基本特征，对所绘出的波形，应标出信号的初值、终值及一些关键的值，如极大值和极小值等，同时应注意阶跃、冲激信号的特点。例1从而求得波形图为此题应注意冲激信号的性质波形如下图求下列函数值本例目的在于熟悉并正确应用冲激函数的性质。例2方法一：方法二：方法二没有注意利用冲激函数的性质，求解过程较繁。另外，对冲激偶信号的性质往往被错误写成从而得出错误结论。在描绘某些信号的波形时，有时不必求出函数的表达式，而可直接利用信号运算及相应的波形变换图解。画(2)的波形时，应先画出(1)的波形。需要注意，对信号的基本运算都是对独立的、单一的变量t而言的，而不是对变量at或at+b进行变换。已知信号f(t)的波形如图所示，请画出下列函数的波形。例3对信号的波形进行微分变换时，应注意在函数的跳变点处会出现冲激信号。例4某连续系统的框图如图(a)所示，写出该系统的微分方程。系统框图有两个积分器。故描述该系统的是二阶微分方程。由于积分器的输出是其输入信号的积分，因而积分器的输入信号是输出信号的一阶导数。左方积分器的输入信号为从加法器入手，找其入出关系。则其输入信号为图中设右方积分器的输出信号为将上式除f(t)以外的各项移到等号左端，得由加法器的输出，得连续系统或离散系统除用数学方程描述外，还可用框图表示系统的激励与响应之间的数学运算关系，一个方框图可以表示一个具有某种功能的部件，也可以表示一个子系统。每个方框内部的具体结构并非是考察重点，只注重其输入输出之间的关系。如果已知系统的微分或差分方程，也可以画出相应的框图。但解不是惟一的。由系统框图列写微分（或差分）方程的步骤选中间变量x(·)。对于连续系统，设其最右端积分器的输出为x(t)；对于离散系统，设其最左端迟延单元的输入为x(n)；写出各加法器输出信号的方程；消去中间变量x(·)。在检验一个系统的线性时，重要的是要牢记：系统必须同时满足可加性和齐次性。先经系统再线性运算例5先经系统再线性运算与先线性运算再经系统结果不等，所以系统是非线性的。,先线性运算再经系统此系统的作用是展宽输入系统的信号，一切变换都是对t而言例6经系统右移1右移1经系统图解说明系统的输入为x(t)，输出为y(t)，系统关系如下,判断系统是否是因果系统。在检验一个系统的因果性时，重要的是要考查系统的输入-输出关系，同时要把输入信号的影响仔细地从在系统定义中所用到的其他函数的的影响区分开来。例7经典法:前面电路分析课里已经讨论过卷积积分法:

任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求。(新方法)系统分析过程线性系统完全响应的求解；冲激响应h(t)的求解；卷积的图解说明；卷积的性质；零状态响应：。本章主要内容许多实际系统可以用线性系统来模拟。若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数微分方程来描述。§2.2微分方程的式的建立与求解一．物理系统的模型本节复习求解系统微分方程的经典法：物理系统的模型微分方程的列写n阶线性时不变系统的描述求解系统微分方程的经典法根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程。元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系,KCL，KVL。二．微分方程的列写电感电阻电容根据KCL代入上面元件伏安关系，并化简有这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。

求并联电路的端电压与激励间的关系。()tisRRiLLiCciab+-()tv例2-2-1

一个线性系统，其激励信号与响应信号之间的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为常系数的n阶线性常微分方程。阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。三．n阶线性时不变系统的描述分析系统的方法：列写方程，求解方程。

求解方程时域经典法就是：齐次解+特解。四．求解系统微分方程的经典法

我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0，响应为时的方程的解，初始条件齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式注意重根情况处理方法。特解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特解函数式→代入原方程，比较系数定出特解。

初始条件的确定是此课程要解决的问题。全解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解。经典法系统的特征方程为

特征根因而对应的齐次解为例2-2-3如果已知：

分别求两种情况下此方程的特解。给定微分方程式为使等式两端平衡，试选特解函数式

将此式代入方程得到

例2-2-4等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有联解得到所以，特解为

这里，B是待定系数。代入方程后有：(2)例2-2-5根据电路形式，列回路方程列结点电压方程(1)（1）列写电路的微分方程系统的特征方程特征根齐次解方程右端自由项为代入式(1)要求系统的完全响应为特解(2)求系统的完全响应换路前(3)因而有由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变,求得要求的完全响应为(4)激励函数e(t)响应函数r(t)的特解几种典型激励函数相应的特解电容电压的突变电感电流的突变冲激函数匹配法确定初始条件§2.3起始点的跳变我们来进一步讨论的条件。

一．起始点的跳变当系统用微分方程表示时，系统从到状态有没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含及其各阶导数项。

一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则：对于一个具体的电网络，系统的状态就是系统中储能元件的储能情况;但是当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫作用于电感，状态就会发生跳变。说明配平的原理：t=0时刻微分方程左右两端的δ(t)及各阶导数应该平衡(其他项也应该平衡，我们讨论初始条件，可以不管其他项）例：

该过程可借助数学描述三．冲激函数匹配法确定初始条件在中时刻有

中的表示到的相对跳变函数，所以，分析设则代入方程得出所以得即即数学描述（1）将e(t)代入微分方程，t≥0得例2-3-3方程右端的冲激函数项最高阶次是，因而有

代入微分方程(2)在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换。即可以将原始储能看作是激励源。电容的等效电路电感的等效电路一．起始状态与激励源的等效转换电路等效为起始状态为零的电容与电压源的串联等效电路中的电容器的起始状态为零电容器的等效电路故电路等效为起始状态为零的电感L和电流源

的并联。电感的等效电路自由响应＋强迫响应 (Natural+forced)零输入响应＋零状态响应 (Zero-input+Zero-state)暂态响应+稳态响应 (Transient+Steady-state)二．系统响应划分也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形式无关。对应于齐次解。

形式取决于外加激励。对应于特解。是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的有关成分，随着时间t增加，它将消失。

由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。

没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。

不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。

(1)自由响应：(2)暂态响应：稳态响应：强迫响应：(3)零输入响应：零状态响应：各种系统响应定义

系统零输入响应，实际上是求系统方程的齐次解，由非零的系统状态值决定的初始值求出待定系数。

系统零状态响应，是在激励作用下求系统方程的非齐次解，由为零决定的初始值求出待定系数。

求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所以引出卷积积分法。系统的零状态响应=激励与系统冲激响应的卷积，即求解由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是线性的。(1)响应可分解为：零输入响应＋零状态响应。(2)零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响应对于各激励信号呈线性。(3)零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对于各起始状态呈线性。

三．对系统线性的进一步认识例2-4-1解得系统在单位冲激信号作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。

1．定义2．一阶系统的冲激响应一．冲激响应§2.5冲激响应和阶跃响应列系统微分方程：求下图RC电路的冲激响应。（条件：）冲激在时转为系统的储能（由体现），t>0时，在非零初始条件下齐次方程的解，即为原系统的冲激响应。齐次方程例2-5-1一阶系统的冲激响应特征方程特征根下面的问题是确定系数A,求A有两种方法：方法2：奇异函数项相平衡法，定系数A。方法1：冲激函数匹配法求出，定系数A。即:电容器的电流在t=0时有一冲激，这就是电容电压突变的原因。注意！据方程设代入方程得得出所以代入原方程整理，方程左右奇异函数项系数相平衡

已知方程冲激响应求导注意！利用奇异函数项相平衡原理求解响应及其各阶导数(最高阶为n次)(1)冲激响应的数学模型对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示

激励及其各阶导数(最高阶为m次)令e(t)=

(t)则r(t)=h(t) 3．n阶系统的冲激响应设特征根为简单根（无重根的单根）

由于及其导数在时都为零，因而方程式右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。

②与n,

m相对大小有关①与特征根有关(2)h(t)解答的形式系统是零状态的，故由系统的线性时不变特性，原系统的冲激响应为积分为1有界函数，在无穷小区间积分为0含

(t)项积分不为0定初始条件解：求特征根冲激响应求系统的冲激响应。将e(t)→

(t)， r(t)→h(t)带u(t)求待定系数求0+法,奇异函数项相平衡法例2-5-2代入h(t),得求0+定系数根据系数平衡，得用奇异函数项相平衡法求待定系数

系统的输入，其响应为。系统方程的右端将包含阶跃函数，所以除了齐次解外，还有特解项。我们也可以根据线性时不变系统特性，利用冲激响应与阶跃响应关系求阶跃响应。

系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。1．定义二．阶跃响应线性时不变系统满足微、积分特性2．阶跃响应与冲激响应的关系方法1：冲激函数匹配法求出跃变值，定系数A。方法2：奇异函数项相平衡法，定系数A。

方法3:齐次解法求冲激响应。求冲激响应的几种方法利用卷积可以求解系统的零状态响应。一．卷积（Convolution）任意信号e(t)可表示为冲激序列之和这就是系统的零状态响应。二．利用卷积求系统的零状态响应由于系统的因果性或激励信号存在时间的局限性，卷积的积分限会有所变化。卷积积分中积分限的确定是非常关键的。三．卷积的计算用图解法直观，尤其是函数式复杂时，用图形分段求出定积分限尤为方便准确，用解析式作容易出错，最好将两种方法结合起来。

卷积的图解说明1．列写KVL方程2．冲激响应为例2-6-1借助于阶跃函数u(t)确定积分限4.定积分限（关键）波形例2-6-2浮动坐标：下限上限t-3t-0t：移动的距离t=0f2(t-

)未移动t>0f2(t-

)右移t<0f2(t-

)左移-11浮动坐标两波形没有公共处，二者乘积为0，即积分为0t

-1

时两波形有公共部分，积分开始不为0，积分下限-1，上限t，t为移动时间;-1t

1即1

t

21t

2即2

t

42

t

4即t

4t-3

1t

4卷积结果[A,B][C,D][A+C,B+D]一般规律：上限下限当或为非连续函数时，卷积需分段，积分限分段定。

上限取小，下限取大(1)积分上下限(2)卷积结果区间-1+1积分上下限和卷积结果区间的确定(1)t：观察响应的时刻，是积分的参变量；

:信号作用的时刻，积分变量从因果关系看，必定有(2)分析信号是手段，卷积中没有冲激形式，但有其内容；即de(

)是h(t-)的加权，积分e(

)是h(t-)的加权，求和

(t-

)的响应四．对卷积积分的几点认识(3)卷积是系统分析中的重要方法，通过冲激响应h(t)建立了响应r(t)与激励e(t)之间的关系。(4)卷积是数学方法，也可运用于其他学科。信号无起因时：一般数学表示：(5)积分限由存在的区间决定，即由的范围决定。例2-6-3求解响应的方法：时域经典法：双零法：零输入响应：零状态响应：完全解=齐次解+特解解齐次方程，用初（起）始条件求系数；总结§2.7卷积的性质代数性质微分积分性质与冲激函数或阶跃函数的卷积1．交换律2．分配律3．结合律一．代数性质系统并联，框图表示：

结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于各子系统冲激响应之和。系统并联系统级联，框图表示：

结论：时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。

系统级联推广：微分性质积分性质联合实用对于卷积很方便。g(t)的积分微分n次，积分m次m=n,微分次数＝积分次数二．微分积分性质两端对t求导

即已知交换律微积分性质的证明推广：三.与冲激函数或阶跃函数的卷积例2-7-1

用微积分性质直接注意发展历史1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很多的优点。“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。主要内容本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅里叶变换，建立信号频谱的概念。通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌握傅里叶分析方法的应用。对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。§3.2周期信号傅里叶级数分析三角函数形式的傅氏级数指数函数形式的傅氏级数两种傅氏级数的关系频谱图函数的对称性与傅里叶级数的关系周期信号的功率傅里叶有限级数与最小方均误差主要内容：一．三角函数形式的傅里叶级数是一个完备的正交函数集t在一个周期内，n=0,1,...

由积分可知1.三角函数集在满足狄氏条件时，可展成直流分量余弦分量的幅度正弦分量的幅度称为三角形式的傅里叶级数，其系数2．级数形式狄利克雷（Dirichlet）条件条件3:在一周期内，信号绝对可积。条件2：在一周期内，有有限个极大值和极小值。条件1：在一周期内，有有限个第一类间断点。第一类间断点：设函数f(x)在点x0处的左、右极限都存在，即下列三种情况均称之为第一类间断点。1、f(x0-0)和f(x0+0)都存在，但f(x0-0)≠f(x0+0)；2、f(x0-0)=f(x0+0)≠f(x0)；3、f(x0-0)=f(x0+0)，而f(x0)不确定。例3-2-1求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。周期锯齿波的傅里叶级数展开式为直流基波谐波其他形式余弦形式正弦形式关系曲线称为幅度频谱图；关系曲线称为相位频谱图。周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性。

幅度频率特性和相位频率特性二．指数函数形式的傅里叶级数1．复指数正交函数集2．级数形式3．系数利用复变函数的正交特性说明三．两种系数之间的关系及频谱图利用欧拉公式相频特性幅频特性和相频特性幅频特性频谱图幅度频谱相位频谱离散谱，谱线请画出其幅度谱和相位谱。例3-2-2化为余弦形式三角函数形式的频谱图三角函数形式的傅里叶级数的谱系数

化为指数形式整理指数形式的傅里叶级数的系数谱线指数形式的频谱图三角形式与指数形式的频谱图对比三角函数形式的频谱图指数形式的频谱图四．小结（1）周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式（3）周期信号的频谱是离散谱，三个性质（2）两种频谱图的关系（4）引入负频率(1)周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式三角形式指数形式(2)两种频谱图的关系单边频谱双边频谱关系●●●(3)三个性质(4)引入负频率注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性（见下页）周期单位冲激序列的频谱分析：狄氏条件是傅里叶级数存在的充分条件。根据冲激信号的定义和特性，其积分有确定值，傅里叶级数存在。即满足离散性，谐波性，不满足收敛性，频带无限宽。五．函数的对称性与傅里叶级数的关系偶函数奇函数奇谐函数偶谐函数注：指交流分量关系偶函数*偶函数=偶函数奇函数*奇函数=偶函数奇函数*偶函数=奇函数1、偶函数：2、奇函数：则f(t)为偶函数时，f(t)cosnΩt为偶函数f(t)sinnΩt为奇函数取积分后，bn=0则f(t)为奇函数时，f(t)cosnΩt为奇函数f(t)sinnΩt为偶函数取积分后，a0=an=01．偶函数信号波形相对于纵轴是对称的2．奇函数3．奇谐函数f(t)的傅氏级数偶次谐波为零，即若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变化：4．偶谐函数f(t)的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量5．结论偶无正，奇缺余奇谐偶谐奇偶行指奇次谐波分量和偶次谐波分量正弦分量余弦分量对于非正弦周期信号分解成三角付里叶级数形式时奇谐函数偶谐函数偶函数奇函数六．周期信号的功率这是帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现;表明：周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分量有效值的平方和；也就是说，时域和频域的能量是守恒的。绘成的线状图形，表示各次谐波的平均功率随频率分布的情况，称为功率谱系数。周期信号的功率证明对于三角函数形式的傅里叶级数平均功率

对于指数形式的傅里叶级数总平均功率=各次谐波的平均功率之和七．傅里叶有限级数与最小方均误差误差函数方均误差主要内容本节以周期矩形脉冲信号为例进行分析主要讨论：频谱的特点，频谱结构，频带宽度，能量分布。其他信号，如周期锯齿脉冲信号周期三角脉冲信号周期半波余弦信号周期全波余弦信号请自学。§3.3典型周期信号的傅里叶级数一．频谱结构三角函数形式的谱系数指数函数形式的谱系数频谱特点1．三角形式的谱系数是个偶函数2．指数形式的谱系数3．频谱及其特点(1)包络线形状：抽样函数(3)离散谱（谐波性）4．小结矩形脉冲的频谱说明了周期信号频谱的特点：离散性、谐波性、收敛性。1.问题提出二．频带宽度第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率）由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段。而总功率周期矩形脉冲信号的功率二者比值在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。2．频带宽度对于一般周期信号，将幅度下降为的频率区间定义为频带宽度。一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为：

语音信号 频率大约为 300~3400Hz，音乐信号 50~15,000Hz，扩音器与扬声器有效带宽约为15~20,000Hz。3．系统的通频带>信号的带宽，才能不失真§3.4傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换的表示傅里叶变换的物理意义傅里叶变换存在的条件一．傅里叶变换：周期信号非周期信号连续谱，幅度无限小；离散谱1.引出0再用表示频谱就不合适了，虽然各频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，引入频谱密度函数。0（1）频谱密度函数简称频谱函数单位频带上的频谱值w1nw-j)(tdtetf频谱密度函数的表示2．反变换由复指数形式的傅里叶级数3．傅里叶变换对欧拉公式二．傅里叶变换的表示实部虚部实部虚部模实信号偶分量奇分量相位偶函数（奇分量为零）为实函数，只有，相位

奇函数（偶分量为零）

为虚函数，只有，相位三．傅里叶变换的物理意义实函数欧拉公式积分为0

求和振幅正弦信号解释四．傅里叶变换存在的条件所有能量信号均满足此条件。§3.5典型非周期信号的

傅里叶变换矩形脉冲单边指数信号直流信号符号函数升余弦脉冲信号一．单边指数信号频谱图幅度频谱：相位频谱：二．矩形脉冲信号幅度频谱：相位频谱：频谱图幅度频谱相位频谱频宽：三．直流信号不满足绝对可积条件，不能直接用定义求推导时域无限宽，频带无限窄证明wO四．符号函数处理方法：tea-tea-做一个双边函数不满足绝对可积条件频谱图五．升余弦脉冲信号频谱图其频谱比矩形脉冲更集中。§3.6冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换冲激函数冲激偶单位阶跃函数一．冲激函数冲激函数积分是有限值，可以用公式求。而u(t)不满足绝对可积条件，不能用定义求。比较二．冲激偶的傅里叶变换三．单位阶跃函数§3.7傅里叶变换的基本性质对称性质线性性质奇偶虚实性尺度变换性质时移特性频移特性微分性质时域积分性质主要内容：意义：傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。讨论傅里叶变换的性质，目的在于：了解特性的内在联系；用性质求F(ω)；了解在通信系统领域中的应用。一．对称性质1．性质2．意义例3-7-1例3-7-2相移全通网络例3-7-3二．线性性质1．性质2．例三．奇偶虚实性在§3.4的“傅里叶变换的表示”中曾介绍过。由定义可以得到证明：奇偶虚实性证明设f(t)是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略）显然四．尺度变换性质意义(1)

0<a<1时域扩展，频带压缩。(2)a>1时域压缩，频域扩展a倍。证明见下页尺度变换性质证明综合上述两种情况因为(1)

0<a<1时域扩展，频带压缩。脉冲持续时间增加a倍，变化慢了，信号在频域的频带压缩a倍。高频分量减少，幅度上升a倍。持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，频带展宽，各分量的幅度下降a倍。此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比（证明见下页），有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则要以展开频带为代价。（2）a>1时域压缩，频域扩展a倍。等效脉冲宽度与等效频带宽度等效脉冲宽度与占有的等效带宽成反比。五．时移特性幅度频谱无变化，只影响相位频谱，时移加尺度变换时移加尺度变换证明例3-7-4（时移性质，教材3-2）求图(a)所示三脉冲信号的频谱。解：

因为脉冲个数增多，频谱包络不变，带宽不变。例3-7-5方法一：先标度变换，再时延方法二：先时延再标度变换相同2．证明

1．性质

六．频移特性3．说明4．应用通信中调制与解调，频分复用。例3-7-6（教材例3-4）已知矩形调幅信号

解：因为频谱图七．微分性质时域微分性质频域微分性质或1．时域微分时域微分性质证明即求三角函数的频谱密度函数．例3-7-7分析解注意如果f(t)中有确定的直流分量，应先取出单独求傅里叶变换，余下部分再用微分性质。2．频域微分性质或推广例3-7-8解：例3-7-9解：八．时域积分性质也可以记作：时域积分性质证明变上限积分用带时移的单位阶跃的无限积分表示，成为交换积分顺序，即先求时移的单位阶跃信号的傅里叶变换时域积分性质证明（续）例3-7-10

1.求单位阶跃函数的傅里叶变换。解：解：§3.8卷积特性（卷积定理）卷积定理卷积定理的应用一．卷积定理时域卷积定理时域卷积对应频域频谱密度函数乘积。频域卷积定理卷积定理揭示了时间域与频率域的运算关系，在通信系统和信号处理研究领域中得到大量应用。证明在下页时域卷积定理的证明因此所以卷积定义交换积分次序时移性质

求系统的响应。

将时域求响应，转化为频域求响应。二．应用

用时域卷积定理求频谱密度函数。例3-8-1§3.9周期信号的傅里叶变换正弦信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换如何由F0(ω)求F(nω1)单位冲激序列的傅氏变换周期矩形脉冲序列的傅氏变换周期信号：非周期信号：周期信号的傅里叶变换如何求？与傅里叶级数的关系？引言由欧拉公式由频移性质一．正弦信号的傅里叶变换同理已知频谱图由傅里叶级数的指数形式出发：其傅氏变换(用定义)二．一般周期信号的傅里叶变换几点认识三．如何由求比较式(1),(2)四．周期单位冲激序列的傅里叶变换频谱五．周期矩形脉冲序列的傅氏变换方法1方法2利用时域卷积定理，周期T1利用冲激函数的抽样性质§3.10抽样信号的傅里叶变换抽样理想抽样矩形脉冲抽样从连续信号到离散信号的桥梁，也是对信号进行数字处理的第一个环节。周期信号抽样原理图：一．抽样二．理想抽样（周期单位冲激抽样）2．冲激抽样信号的频谱3．讨论1．抽样信号三．矩形脉冲抽样

关系限带信号数学表示频谱结构2．举例说明抽样信号与原信号频谱的关系

3．讨论的影响§3.11抽样定理重建原信号的必要条件：不满足此条件，就会发生频谱混叠现象。奈奎斯特(Nyquist)抽样率和抽样间隔例3-11-1例如音频信号：0～3.4kHz，狄利克雷（Dirichlet）条件例1不满足条件1的例子如下图所示，这个信号的周期为8，它是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一个阶梯的一半。可见在一个周期内它的面积不会超过8，但不连续点的数目是无穷多个。狄利克雷（Dirichlet）条件例2不满足条件2的一个函数是对此函数，其周期为1，有在一周期内，信号是绝对可积的(T1为周期)

狄利克雷（Dirichlet）条件说明与平方可积条件相同，这一条件保证了每一系数Fn都是有限值，因为为了解决对不符合狄氏条件信号的分析，第三章中引入了广义函数理论去解释傅里叶变换，同时，还可利用本章要讨论的拉氏变换法扩大信号变换的范围。优点：求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍。缺点：物理概念不如傅氏变换那样清楚。本章内容及学习方法本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频域分析。最后介绍系统函数以及H(s)零极点概念，并根据他们的分布研究系统特性，分析频率响应，还要简略介绍系统稳定性问题。注意与傅氏变换的对比，便于理解与记忆。从傅里叶变换到拉普拉斯变换拉氏变换的收敛一些常用函数的拉氏变换§4.2拉普拉斯变换的定义、

收敛域主要内容一．从傅里叶变换到拉普拉斯变换则1．拉普拉斯正变换2．拉氏逆变换3．拉氏变换对二．拉氏变换的收敛

收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。记为：ROC(regionofconvergence)实际上就是拉氏变换存在的条件；例题及说明6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。三．一些常用函数的拉氏变换1.阶跃函数2.指数函数全s域平面收敛3.单位冲激信号4．tnu(t)§4.3拉普拉斯变换的基本

性质主要内容线性原函数微分原函数积分 延时（时域平移）s域平移 尺度变换初值 终值卷积 对s域微分对s域积分一．线性已知则同理例题：二．原函数微分推广：证明：电感元件的s域模型电感元件的s模型应用原函数微分性质设三．原函数的积分证明：①②①②电容元件的s域模型电容元件的s模型四．延时（时域平移）证明：时移特性、例题【例4-3-1】已知【例4-3-2】用时移性质求单边信号抽样后的拉氏变换五．s域平移证明：例4-3-3六．尺度变换时移和标度变换都有时:证明：七．初值初值定理证明由原函数微分定理可知例4-3-4

即单位阶跃信号的初始值为1。例4-3-2终值存在的条件:八．终值证明：根据初值定理证明时得到的公式九．卷积证明：交换积分次序十．对s微分十一．对s积分两边对s积分：交换积分次序:证明：§4.4拉普拉斯逆变换主要内容由象函数求原函数的三种方法部分分式法求拉氏逆变换两种特殊情况一．由象函数求原函数的三种方法(1)部分分式法(2)利用留数定理——围线积分法(3)数值计算方法——利用计算机二．F(s)的一般形式ai,bi为实数，m,n为正整数。分解零点极点三．拉氏逆变换的过程四．部分分式展开法(m<n)1.第一种情况：单阶实数极点2.第二种情况：极点为共轭复数3.第三种情况：有重根存在第一种情况：单阶实数极点(1)找极点(2)展成部分分式(3)逆变换求系数如何求系数k1,k2,k3``````？第二种情况：极点为共轭复数共轭极点出现在

求f(t)例题F(s)具有共轭极点，不必用部分分式展开法求下示函数F(s)的逆变换f(t)：解：求得另一种方法3.第三种情况：有重根存在如何求k2?如何求k2?设法使部分分式只保留k2，其他分式为0逆变换一般情况求k11，方法同第一种情况：求其他系数，要用下式五．F(s)两种特殊情况非真分式——化为真分式＋多项式1.非真分式——真分式＋多项式作长除法一.用拉氏变换法分析电路的步骤列s域方程（可以从两方面入手）

列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换；直接按电路的s域模型建立代数方程。求解s域方程。，得到时域解答。二．微分方程的拉氏变换我们采用0-系统求解瞬态电路，简便起见，只要知道起始状态，就可以利用元件值和元件的起始状态，求出元件的s域模型。例4-5-1（4）求反变换求采用0-系统采用0+系统两种方法结果一致。使用0-系统使分析各过程简化。(3)对微分方程两边取拉氏变换采用0-系统采用0+系统(4)原方程取拉氏变换三．利用元件的s域模型分析电路1.电路元件的s域模型2.电路定理的推广线性稳态电路分析的各种方法都适用。3.求响应的步骤画0-等效电路，求起始状态；画s域等效模型；列s域方程（代数方程）；解s域方程，求出响应的拉氏变换V(s)或I(s)；拉氏反变换求v(t)或i(t)。电阻元件的s域模型电感元件的s域模型利用电源转换可以得到电流源形式的s域模型：

电容元件的s域模型电流源形式：求响应的步骤

画0-等效电路，求起始状态；画s域等效模型；列s域方程（代数方程）；解s域方程，求出响应的拉氏变换V(s)或I(s)；拉氏反变换求v(t)或i(t)。例4-5-2列s域方程:结果同例4-5-1例4-5-3(1)(2)(3)列方程解：极点故

逆变换设则第一种情况：阶跃信号对回路作用的结果产生不衰减的正弦振荡。第二种情况：引入符号所以第三种情况：第四种情况：波形§4.6系统函数(网络函数)H(s)系统函数LTI互联网络的系统函数并联级联反馈连接1.定义一．系统函数响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比2.H(s)的几种情况策动点函数：激励与响应在同一端口时策动点导纳策动点阻抗转移导纳转移阻抗电压比电流比转移函数：激励和响应不在同一端口4.应用：求系统的响应3．求H(s)的方法利用网络的s域元件模型图，列s域方程→微分方程两端取拉氏变换→二．LTIS互联的系统函数1．LTI系统的并联2．LTI系统的级联3．LTI系统的反馈连接4．结论在s域可进行代数运算：例4-6-1(1)在零起始状态下，对原方程两端取拉氏变换(2)因为所以所以所以例4-6-2已知系统的框图如下，请写出此系统的系统函数和描述此系统的微分方程。例4-6-3解：一．序言冲激响应h(t)与系统函数H(s)从时域和变换域两方面表征了同一系统的本性。在s域分析中，借助系统函数在s平面零点与极点分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多规律。系统的时域、频域特性集中地以其系统函数的零、极点分布表现出来。

主要优点：1．可以预言系统的时域特性；2．便于划分系统的各个分量（自由／强迫，瞬态／稳态）；3．可以用来说明系统的正弦稳态特性。二．H(s)零、极点与h(t)波形特征的对应在s平面上，画出H(s)的零极点图：极点：用×表示，零点：用○表示1．系统函数的零、极点2．H(s)极点分布与原函数的对应关系几种典型情况一阶极点当，极点在左半平面，衰减振荡当，极点在右半平面，增幅振荡二阶极点有实际物理意义的物理系统都是因果系统，即随，这表明的极点位于左半平面，由此可知，收敛域包括虚轴，均存在，两者可通用，只需将即可。三．H(s)、E(s)的极点分布与自由响应、强迫响应特性的对应激励：系统函数：响应：自由响应分量＋强制响应分量讨论自由响应的极点只由系统本身的特性所决定，与激励函数的形式无关，然而系数都有关。响应函数r(t)由两部分组成：系统函数的极点

自由响应分量；激励函数的极点

强迫响应分量。定义系统行列式（特征方程）的根为系统的固有频率（或称“自然频率”、“自由频率”）。H(s)的极点都是系统的固有频率；H(s)零、极点相消时，某些固有频率将丢失。暂态响应和稳态响应瞬态响应是指激励信号接入以后，完全响应中瞬时出现的有关成分，随着t增大，将消失。稳态响应＝完全响应－瞬态响应左半平面的极点产生的函数项和瞬态响应对应。例4-7-1极点：零点：画出零极点图：例4-7-2，教材习题2-6(1)给定系统微分方程试分别求它们的完全响应，并指出其零输入响应，零状态响应，自由响应，强迫响应各分量，暂态响应分量和稳态响应分量。解：方程两端取拉氏变换零输入响应／零状态响应则

稳态响应／暂态响应，自由响应／强迫响应极点位于s左半平面极点位于虚轴暂态响应稳态响应H(s)的极点E(s)的极点自由响应强迫响应§4.8由系统函数零、极点分布

决定频响特性

定义几种常见的滤波器根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线一．定义所谓“频响特性”是指系统在正弦信号激励下稳态响应随频率的变化情况。前提：稳定的因果系统。

有实际意义的物理系统都是稳定的因果系统。时域：频域：H(s)的全部极点落在s左半平面。

其收敛域包括虚轴：拉氏变换存在傅里叶变换存在H(s)和频响特性的关系频响特性系统的稳态响应——幅频特性——相频特性（相移特性）二．几种常见的滤波器margins三．根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线令分子中每一项分母中每一项画零极点图当沿虚轴移动时，各复数因子(矢量)的模和辐角都随之改变，于是得出幅频特性曲线和相频特性曲线。由矢量图确定频率响应特性例4-8-1确定图示系统的频响特性。频响特性分析例4-8-2研究下图所示RC低通滤波网络的频响特性。写出网络转移函数表达式解:频响特性例4-8-3其转移函数为相当于低通与高通级联构成的带通系统。解：低通滤波器高通滤波器频响特性§4.9全通函数与最小相移函数的零、极点分布

全通网络最小相移网络级联一．全通网络所谓全通是指它的幅频特性为常数，对于全部频率的正弦信号都能按同样的幅度传输系数通过。零、极点分布极点位于左半平面，零点位于右半平面，零点与极点对于虚轴互为镜像频率特性幅频特性——常数相频特性——不受约束全通网络可以保证不影响待传送信号的幅度频谱特性，只改变信号的相位频谱特性，在传输系统中常用来进行相位校正，例如，作相位均衡器或移相器。由于N1N2N3与M1M2M3相消，幅频特性等于常数K，即二．最小相移网络●若网络函数在右半平面有一个或多个零点，就称为“非最小相移函数”，这类网络称为“非最小相移网络”。三．级联非最小相移网络可代之以最小相移网络与全通网络的级联。非最小相移网络最小相移网络全通网络§4.10线性系统的稳定性

引言定义（BIBO）证明由H(s)的极点位置判断系统稳定性一．引言某连续时间系统的系统函数当输入为u(t)时，系统的零状态响应的象函数为但t很大时，这个正指数项超过其他项并随着t的增大而不断增大

……续实际的系统不会是完全线性的，这样，很大的信号将使设备工作在非线性部分，放大器的晶体管会饱和或截止，一个机械系统可能停车或发生故障等。这不仅使系统不能正常工作，有时还会发生损坏危险，如烧毁设备等。稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳定与激励信号的情况无关。冲激响应和h(t)、H(s)系统函数从两方面表征了同一系统的本性，所以能从两个方面确定系统的稳定性。二．定义（BIBO）

一个系统，如果对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统有界输入有界输出（BIBO）稳定的系统，简称稳定系统。对所有的激励信号e(t)其响应r(t)满足

则称该系统是稳定的。式中，稳定系统的充分必要条件是（绝对可积条件）：三．证明对任意有界输入e(t)，系统的零状态响应为：充分性充分性得证必要性必要性得证。四．由H(s)的极点位置判断系统稳定性1．稳定系统若H(s)的全部极点位于s平面的左半平面（不包括虚轴），则可满足系统是稳定的。例如系统稳定；系统稳定。2．不稳定系统如果H(s)的极点位于s右半平面，或在虚轴上有二阶（或以上）极点系统是不稳定系统。3．临界稳定系统如果H(s)极点位于s平面虚轴上，且只