高等数学（财经类） 课件 2.9 函数的极值与最值

§2.9

函数的极值与最值

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函数的极值与求法2

函数的最值与求法目录函数的极值与求法Chapter1

引例引例

设有函数,点x=1及x=2是该函数单调区间的分界点,又可知在点x=1左侧附近,函数值是单调增加的,在点x=1右侧附近,函数值是单调减小的.因此存在着点x=1的一个邻域,对于这个邻域内,任何点x(x=1除外),均成立,点x=2也有类似的情况,为什么这些点有这些性质呢？第一部分：函数极值的定义定义8设函数

f(x)在区间(a,b)内有定义,x0是(a,b)内一点.若存在着x0点的一个邻域,对于这个邻域内任何点

x(x0除外)

均成立,则说

f(x0)是函数

f(x)的一个极大值；

若存在着x0点的一个邻域,对于这个邻域内任何点

x(x0除外)

均成立,则说

f(x0)是函数

f(x)的一个极小值.

几何解释

注：函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.第一部分：函数极值的定义极值的局部性与取得极值的条件分析返回第二部分：函数极值的求法定理14(极值点的必要条件)设函数

f(x)在点x0的某邻域内有定义,点x0是

f(x)的极值点的必要条件是

注：函数的极值点必定是它的驻点或导数不存在的点,但导数的驻点或导数不存在的点不一定是极值点.例如,

但x=0不是极值点.第二部分：函数极值的求法定理15(极值的第一充分条件)设函数

f(x)在点x0的某邻域内连续且可导,(1)若在点x0的左邻域内,在点x0的右邻域内,则

f(x)在点x0处取得极大值

；(2)若在点x0的左邻域内,在点x0的右邻域内,则

f(x)在点x0处取得极小值

；(3)若在点x0的邻域内,不变号,则

f(x)在点x0处没有极值.第二部分：函数极值的求法第二部分：函数极值的求法求极值的一般步骤是：(1)求

；(2)求

的全部的解——驻点,以及

不存在的点；(3)判断

在驻点及导数不存在的点两侧的变化规律,即可判断出函数的极值.列表格

练习例60

求

的极小值.

解

令

得驻点

x=1,且

x=0是

f(x)的不可导点.

故极小值为第二部分：函数极值的求法定理16(极值的第二充分条件)设

f(x)在

x0处具有二阶导数,且

则(1)当

时,函数

f(x)在

x0处取得极大值；(2)当

时,函数

f(x)在

x0处取得极小值.

练习例60

求

的极小值.

解

令

得驻点

x=1,

且

x=0是

f(x)的不可导点.又

因为,且

不存在,所以

f(x)在x=1处取得极小值,

即第二部分：函数极值的求法注：(1)当

时,

f(x)在

x0处不一定取极值,仍用第一充分条件来判断；

(2)函数的不可导点,也可能是函数的极值点.定理16(极值的第二充分条件)设

f(x)在

x0处具有二阶导数,且

则(1)当

时,函数

f(x)在

x0处取得极大值；(2)当

时,函数

f(x)在

x0处取得极小值.

练习例

求函数

的极值.

解

令,则驻点为

x=0,有一个不可导点

x=-1,

但不在原函数的定义域中,故不在考虑范围内.

又

故函数在

x=0处取得极小值函数的最值与求法Chapter2第一部分：函数的最值在工农业生产、工程技术及科学实验中,常会遇到这样一类问题：在一定条件下,怎样使“产品最多”、“用料最省”、“成本最低”等.这类问题在数学上可归纳为求某一函数的最大值、最小值的问题.怎样求函数的最大值、最小值呢？前面我们已经知道了,函数的极值是局部的,而最值具有全局性.求

f(x)在[a,b]上的最大值、最小值时,可求出开区间(a,b)内全部的极值点,加上端点

f(x),f(x)的值,从中取得最大值、最小值即为所求.几何演示

取得最值的几种情况返回第二部分：函数最值的求法求函数最值的一般步骤为：(1)求驻点和不可导点；(2)求区间端点、驻点及不可导点的函数值,比较大小即可.注：如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值(最大值或最小值).

练习例61

求函数

在区间

的最大值、最小值.

解

f(x)在此区间处处可导,令,得驻点.

因为

故函数的最大值为

最小值为

练习例62

圆柱形罐头,高度H与半径R应怎样配,使同样容积下材料最省？

解

由题意可知,为一常数,

面积

故在V不变的条件下,改变R使S取最小值.

故

时,用料最省.小结1.

函数极值的判别法第一充分条件第二充分条件2.

极值与最值极值是局部性概念,它是函数在某邻域内的最大或最小值,此外,极值不可能在区间的端点取得.最值是整体性概念,是整个区