信号与系统 西安邮电 习题答案

(完整)信号与系统西安邮电习题答案(完整)信号与系统西安邮电习题答案第一次1.1画出下列各个信号的波形[式中rt为斜升函数]知识要点：本题主要考查阶跃函数和单位阶跃序列的性质，包括和与普通函数结合时的波形变化特性。或结合时的变化情况；f或t0或k0部分的普通函数的波形；f是普通函数与阶跃信号组合成的复合信号，则需要考虑普通函数值域及其对应的区间。（1)ftsintt解:正弦信号周期T2

221ff102t-1(2）ftsint 1 sin t0解：f 1 sin t02正弦信号周期T 21 t-2 -1 0-11 f

1 2 t-2(3）ftrcostcost cost解:fcost cost

-1 0 1 2 t正弦信号周期T

22111cos0t-111f0t（4)fk(2k1)k55fk3……1……-2-10123k) fk1k1k ffk2……1……-4-3-2-1012345k1。2画出下列各信号的波形[式中rt为斜升函数］知识要点：本题主要考查阶跃函数和单位阶跃序列的性质，包括和与普通函数结合时的波形变化特性。解题方法：首先考虑各信号中普通函数的波形特点,再考虑与或结合时的变化情况；f或的性质直接画出t0或k0部分的普通函数的波形；若ft是普通函数与阶跃信号组合成的复合信号,则需要考虑普通函数值域及其对应的区间。（1)f112ff32-1012t-5ff32-1-212t-5(2) fr1t t1-1012rt1t1t11-10-1

1 2 tff1-1-112131-10123t) ftsint131-10123tT2t1-10123t-111f-10123t-1(4）fkk2kk5ffk……-4-26543210……-3-112345k（5)f2kkk……

4k1k……-4-4-3-2-1012345fkk……-4-3-2-1161514131211109876543210……12345k写出下图所示各波形的表达式（1）ff21-1-112t解：ft2tttt2t2t31123（2)ff10-101t2T410cost2 2 2f10cost112 写出下图所示各序列的闭合形式的表示式（a）ffk-4-3-2-110……12345kf3（b)ffk……-2……-11012345678kf38(课堂已讲）1.5判别下列各序列是否为周期性的，如果是，确定其周期（1)fcosk 5 5解:255 5 N5 周期序列(2)fsin

k cos k 464 464 3

3

,

4

8，m3,N

8；1 4 1

3 1

，

23

3，

3；2 3 22N242k(3)f3cosk2sin 2k 解：1

1,1

212，故非周期;2

，2

4,N2

4；故非周期1。6已知信号的波形如下图所示，画出下列各函数的波形44f2-113t(1）f2t2tff242-3-11tff242-113t21-112tf21-112t42-1 1 2 t（2）f12tfft142-2 -112t44f2t12-2 -112tff142-2 -112t(3）

dftdt44f2-101df3tddt2-1013t-2-41。7已知序列的图形如图所示，画出下列各序列的图形ffk……-43210……-3-2-1123456k(1)fk2kk44……-23210……-112345678kffk2kk4……-23210……-112345678kf2……-5-13210……-4-3-2f2……-5-13210……-4-3-212345kk1……-5-13210……-4-3-212345kffk2k1……-5-13210……-4-3-212345kf2……-23210……-11234567f2……-23210……-112345678kfk2……-5-13210……-4-3-212345k

fd的波形ff1012t(-1)解:ff2t21012t(-1)f21f21-2-1012t(-1)1-4 -3 -2 -1 0 1 2 t(-2)(-2)f1-4-3-2-1012t(-2)(-2)(-2)1tf-4-3-2-1012t-2f22,则当t0时,t

fdt

(2)t2d2t2；t ft 当0t2时， t

21t 2t fd

t22当t2时，

t1d2 21d20220ff1-4-3-2-1012t(课堂已讲）1.9f的波形dtff-16-12-8-4210481216t-16-12-8-16-12-8-4210481216t-16-12-8-4210f3481216tdt-1/4481216t解：ff3-16-12-8-42104f381216t-16-16-12-8-4210fdf481216t21/41-16-12-8-40第二次1.10计算下列各题att

1tt0,ft1ft0tt0 aa0 a 0 a aaa（1）sinttt1t 20 解:2ftsinttt120

sinttdtsintt1dt 20 0 2sint

0t0（2)解：

e2ttfte2ttt]t[e2tt2e2tt]tte2

t

t2t]dtttt]t044（3)t2sintt3t

4 4解：t2sintt3dt

4tt2sin 4

t3332sin 49sin342922（4)t

2xxdx解：t 2xxdx t xxx2txxtxx t t（5)解:

66t2tt4dt3366t2tt4d366t2tt266t2t4dt3 36t2 266t21t2dtt0 3 2666t2t2dt6

36t

t2628(6)t222d0解：0ftt22200t22[2)]0t2220t22|t2

,t2(42)(t2)6(t2)(7）55

t342tdt解：5 5555

dt4dtt31t2dt2152

2dt12

t212（8)t

2d 0 解: t2 30t20t20 32 ,t00(课堂已讲)1.11设系统的初始状态为x0f,各系统的全响应y与激励和初始状态的关系如下,试分析各系统是否是线性的。根据线性系统的定义，依次判断系统是否具有分解特性、零输入线性、零状态线性TffTfTf

。11 2 2 1 1 2 2ye2tx0tcosxfxdx0yzi

e2tx0y tcosxfxdxzs 0yyzi

tyzs

满足可分解性y e2t

01 zi1yzi

12

1e2tx2

0y

ty

e2t

0

e2tx

0e2t

0

0 线性1 zi1

2 zi2 1 1 2 2

11 22y ttcos

xdx1 zs1 10 1yzs

2

tcosxf0

xdxy1

ty ttcosxf2 zs2 10

xdx

tcosxf20

xxtcosxfxf0 11 2

xdx线性（2)yk0.5k1x0fkfk2yzi

t0.5k1x0y f1f2zsyyzi

kyzs

满足可分解性y

1

0.5k1x1

0yzi

2

0.5k1x2

0y1

2

yzi

1

0.5k1x1

02

0.5k1x2

00.5k1x11

0x22

0线性y1

1

f1

fk21y ff2222 2 zs2 22 2222 y

fk1

fk2

fk1

fk2

2 zs2

11 111非线性11系统非线性

f11

k1

f12 21

k1

f

k2

f2 2

k2(课堂已讲）1。12下列微分或差分方程所描述的系统,是线性的还是非线性的？是时变的还是不变的？(1)yt3yt2yft2f解：常系数、线性、微分方程故为，线性时不变系统(2)2y1y1f1解：变系数、线性、差分方程故为，线性时变系统1。13设激励为f,下列等式是各系统的零状态响应y ,判断各系统是否是线性的、时不变zs的、因果的、稳定的？(1）yzs

f1解：1,y f1,zs1 1 zs2 2111,非线性zs1 zs2 1 2 1 2y tzs

fttd

1，时不变当tt，有f0,则y f11，非因果0 zsfyzs

，稳定yzs

ft1

y

1

f2t1y ft2 zs2 2 2y1

2

yzs2

1

ft1

f2t，线性2 y tf2tftt zs d d dftd

,则系统输出为f2ttdfttd

f2ttd

，时变若ttf00若y ft0，则2tt t2t，非因果zs 0 0若f，则y ft，稳定。zsyzs

f1f1

y

1

f1

fk1y ff2 zs2 2 2 22y1

2

yzs

1

f11

f121 12

f12

f2非线性

1

f11

f

f1

f2 Tfkfk 1fky k， d d d zs d若kk,有f0，y f1f0，因果0 zsfyzs

kfk1fk，稳定。yzs

kf1kkf1

1

kTf2

f2

1kkTf1

Tf2

1

1kf2

1k2kT1

f2

1

1kf2

1kk，非线性Tfkd

f1kkd

kdy kzs

f1kkd

kkd

，时变若kk,有f0，则y fk0,1kk ，k1k，且k0,非因果0 zs 0 0f

fk，稳定zs1.14已知某LTI系统在相同初始条件下,当激励为e时，系统的完全响应为1 y t 2ete3t1

,当激励为0.5e 1

时,该系统的完全响应为y 2

et2e3t

.试用时域分析2e1

t。1 3LTIT1

f1

fTf2 1

Tf2

。特性求解。解：LTIyziee1LTIyzs1/2e1LTI1/2yzs2et11LTI2y 1zs

y ty zi zs

y 1

2ete3tt1

y t y zi 2 zs

y 2

et2e3tt

y tzi

t，y tzs

2et2e3tty2y3

2y 1zs

6e3tt

4et

4e3t

t1115某一阶LTIx0fk时,其全响应为y1

fy2当激励为3f时，求其全响应。

k25

1k；若初始状态为2x0，解：y

kyzs

k2ky ky k20.5kkzi zs 1yzik5

2y k30.5kkzs 2 y2yzi

3yzs

k 1 3 20.5k2k320.5kk 9 20.5k1230.5kk11 20.5kk第三次2.1已知描述连续系统的微分方程和初始状态为yt5yt6yfy2，y0，试求其零输入响应。260，特征根为1

2，2

3，

Ce2t

e3t又激励为0

h 1 2y zi

yzi

y

2，

zi

y

zi

y0

2，y 0CC 2即zi 1 2

C41

zi

2C12

2

C 22y 4e2t2e3t，t0zi2。20yy0。 解：利用微分方程两端各奇异函数项的系数相平衡的方法，判断是否发生跃变，并从0 0积 分，求得0时刻的初始值（1）yt3yt2y2f，y1，y01，f fy及其各阶导数不发生跃变,则y0y01 y 0

y 0 1(2)y4ff4,f 解:当ftt时,代入方程得yt4yt3ytttyacr

中不含及其各阶导 （2）0 0ytatbtrt，rttt

rxdx，不含t及其各阶导（1）1 1 0a

,

tt

rxdx,不含t及其各阶导2 2 1acr4at4b4r3a3r

ttt0 1 2a(b4a)t(c4b3a)r

4r

ttt所以a1b4c14

0 1 2代入（1）式中,并从0

~0积分：0yt0t40t0rt, 0 0

10 0所以y0

y0

0404

1代入（2)式中，并从0

~0积分：0yt0t40t140t0r

t 0 0 0

00 0

y0

0014

41410注意：其中0tdt0，0tdt0,0tdt1。0 0 02。3描述系统的方程为yt4yt3yt2ft,求其冲激响应和阶跃响应.知识要点：本题主要考利用方程两端奇异函数系数相平衡的方法来判断 是否发生跃变；g(t)t

h()d。y1

y1

满足方程i0

ayifhi 1响应为htmbhjt，在带入公式gt)t

h()d，求出阶跃响应式。j1 j01

y4

3y

tft

1ht ht

1tt

1 1tt tt

当ft

t

时，1 1 1

,h 0 h 0

1,h0h0

1 1 1 1 特征方程为：4301 2hc1，c1,c 1

3，h(cetc1 1

e3t)t,h0cc1 1

0，1 1 2

1 2 2 2h 1 t1e3t2h(ete3t(e 1 2 2 12fyzsh

tht,h0

h0

0设hr0

从~t积分 （1）r (2)1

r

t不含t及其各阶导数，2 0 1 2则ar4r

,a2，0 1 2对(1)从0

~0积分,0020tdt0rtdt2,h0 0 0 0

2,对(2)从0

~0积分,h0h00rtdt0，h00,

0 1 当t0h0,1

2

3，cetc1 2

e3t,t0h0

cc1

0,

c12

2，c1

c2

1，(ete3t,gtt t

hd(ete3tt(ete3t)dt101[et1] [e3t1],t3(1e3tet2)3 32.4信号f1

f2f2f111f2t-2-1012t-2-1012t

ff1

tf2

f。ff1

tf2

tf2

tf1

t

ff2

tdf5

ff2

5d0ff5211-2-10123456（上课已讲）2.5（a（b（c（d）下列卷积，并画出波形图。1f1f1-2 -101 2tft1 2-2 -101 2t(b)(1)(1)f3(1)-1 01t(c)fft4(1)(1)0(d)2 3 4t知识要点：本题主要考查卷积的基本性质：结合律、分配律、时移性质。解题方法：利用卷积的基本性质，代入公式求解.f2f21-2-10121解：

tf2

tfff21 2 1f1

f1

2122212212221222 2 2 2121414212 2 2 2rtrt2rt21rt41rt42 211ftft1 2-4-2024t（2）fff1 2 2解：ff

f221 2

1

f t[ t4 t t t4] 1 f t[ t42 t t4] 1 f t1

2f 1

f t411424142222 214241422 21641222122 2 2416216432324162 2 2 222fff1 2 21-6-4-20246t（3)f1

f4

tf3

解：f[2f

f2431311 4

1

f t[2 t22

t32 t4

t2 t4 1 f t[ t22 t3 t4] 1 f t1

2f1

t

f t41121415122 2 2rt41rt621112145162 2 2 22.6求下列函数的卷积积分f1

ftft2ftft314311/20123456t-12

。知识要点：本题主要考查f1

(t)f2

(t)

f()f1

(t)d。解题方法：对于简单函数积分，直接代入积分定义公式求解.（1）f1

etf2

tt2f2ff34(1)3(1)0123456t(-2)ft2ftft3-1-2解：ftf1

etettedt0et0

[et(1etf1

e2t，f2

e3t解：ftf1

e2te3teette3ttt0e3tet

0e3t

et1te2te3ttf1

1，f2

4解：ftf1

14tttt4ttt1t4t333（4）f1

t,f2

4解：fft1 2

t t

tt t

t41t2t421t21t242 21t21(t4)242 2（5)f1

e2t2，f2

3解：ftfte2tt2t31 2

e2t

t

t

t3e2tdt3te2tdt2t321[ e2t2]312 2[1e2t(1e4232 2[1e41e2(t3)322 2(1e41e2t612 227

第四次d2y3dy2ydf2f

h

；若dt2 dt dtfe3t,求系统的零状态响应。yt3yt2yft2ff，则htht2httth0h htht

若设1 1 1h1

h1

0方程右端含有t利用系数平衡法可知，hh，则

h在t0处不连续，即h1

h1

；h1

1在t0h1

1h1

10又0htt0htt02htt0tt0 1 0 1

0 1 0 h0h03h

h020htt11

1

1 1 0 1h1

1h1

1对t0时，有h

0，故冲激响应为其次解1220,

1 11, 2，

cet

e2t1h0cc 0

2c1

1 1 21 1 2

112h012

c12c2

1

1hte1

e2tt，htete2ttete2ttete2tt 1 11hh1

te

2e2t 2et

e2tetzsy fhzse3teteettteet0teet0et

1e2t2 0et1e2tt 2 21ete2t22.8LTIfh2，求其零状态响应。11f-2 -10-112解：由图可知：ftttttttty fhzs

t12 t t12 t t2ttttttt2ttttttt2t3tttttt2t32t1t14ttt1t12t2t2t3t329LTIfyy应ht。

e2txfx1dx，求该系统的冲激响tffx1x1，由输入输出关系可得hte2txxxte2txxtxdxe2txte2tt

x12。10如下图所示的系统，它由几个子系统组合而成,各个子系统的冲击响应分别为h1，ha

2求复合系统的冲激响应。++fhta+∑htby+htahta知识要点：本题主要考查冲激响应等于输入ftt时系统的零状态响应，htT,t；两复合后的冲激响应.解:设f(t)(t)，则加法器输出为yhh

t1 a

a ath

th th t a

a t t1 t1 t112y1

thtb(t)(t(t2)]*[(t)(t2)](t)*[(t)(t(t2)]*[(t)(t2)](t)*[(t)(t(t2)(t2)(t(t4)](t)*[(t)(t(t(t4)](t)(t(t(t4)31y(ky(k12y(k2)f(kfy(1)3y(2)0所描述LTI离散系统的零输入响应、零状态响应和全响应。知识要点：本题主要考查系统的全响应为零输入响应和零状态响应之和，则有y(k)yzi

(k)yzs

(k)；零状态响应yzs

0k0yzi

kyk,k0。解题方法：由差分方程得到系统的齐次方程,求得含有待定系数的零输入响应，由初始值求得待定系数，对于零状态响应，由yzs

k0,k0，以及激励fk可确定零状态响应的初始值，进而解差分方程求得零状态响应，从而可得到系统的全响应.解：对于零输入响应有y y 12

20zi zi ziy 1yziyzi

yy

1

3020，1

2

2，yzi

(k)c1

kc2

2k，yzi

(1)c1

1c2

1c2

1c2

3，y (2)czi 1

2c2

22c1

1c 4 2c1，c1

4，yzi

t)

42k,k0k12k2,k0；对于零状态响应有yzs

)yzs

(k2yzs

(k2)f(k)

（1）y yzs

(2)0初始值：yzs

0yzs

2yzs

2f0001y yzs

2yzs

f1111020,1

2

2，P0

kyp

(k)代入(1）式得PkPk[PkPk1[Pk2Pk2kk,P1，0y

k

02k k

0 3k，zs 1

2 3 0y cc P1，

1P0，cP

5，c 4，zs 1 2 0

zs 1

2 3 0

1 0 9 2 9y k5k42k1kk,k0；zs 9 9 3yzi

kyzs

k4k402k1kk,k09 9 33。2y3y1ff1所描述的离散系统的单位序列响应。解：当只有h1

hk

k1k1 1h 10130,3，h1

c1

3k,k0初始值h1

03h1

101,c1

30

1，c1

1，h1

k3kkhh1

h1

k3kk3k1k3.3

yf+∑-DD+1/41/8LTI0f+∑-DD+1/41/8

ki

阶跃响应。

ki

hi求f1112111

yk2fk,4 8 4 8对于单位序列响应,令fkk，则hk1hk11hk2k,且h1h20，4 81121111，4 81 1 1 1

4 8 1

4 1k特征方程为： 0，

,

，hk

c

,k04 8 1 4 2 2

14

2 2cc 1，1c1c 1，c1,c 2，1 2 4 1 2 2 4 1 3 2 3

1 1[ (

k2(1)k]k；3 4 3 2fg1112gg20,4 8g01121113，4 8 4 8 41 1 1 1特征方程为: 0，

,

,4 8 1 4 2 2

PP1P1P1，P8，p 4 8 9

(1)k

(1)k8,k0，g0cc

81,1

1c

83，14 2 2 9 1 2 9 4 1 2 2 9 4cc

1，1

1c

5

，c

1,c 21 2 9 4 1 2 2 36

1 9 2 9阶跃响应为:[1

k2(1)k8]，另解：

() 9 4 9 2 9

i

hi1k 1i 2k 1i3i0

( )4 3

i0

( )2[41(1)k42(1)k9 9 4 9 9 2[1(1)k2(1)k8]119 4 9 2 911111( )k4( )k11

1( )k2( )k其中，k

11( 1

4 4 ，k

(

2 24i0

11

3 i0

11 34 21( [1(1)k2(1)k8][1 1k2(1)k8]1( 9 4 9 2 9 9 4 9 2 9[1(1)k2(1)k8][4(1)k4(1)k8][9 4 9 2 9 9 4 9 2 91 1

2 1k 4 1

4 1 8[ ( ) ( )] k[ ( ) ( ) ] k3 4 3 2 9 4 9 2 91 1k 2 1k[ ( ) ( )] k3 4 3 2第五次21f21fk221f1fk213-2 -1012k -2-10123k-2-10123k(a)(b)(c)知 识 要 点 : 本 题 主 要 考 查 f(k)(k)f(k) ，f(k)(kk1

)f(kk1

),f(kk1

)(kk2

)f(kk1

k。2解题方法：由各序列的波形图容易得出各序列的表示式,利用卷积的基本性质代入公式求解。（1）ff1 2解：fkf1

kkk(k)(k2)(k)(k)(k(k2)(k1)(k)(k1)(k2)(k1)(k2)(k(k(k2)(k1)(k)(k1)(k2)(k3321fkfk1 2-4 -3 -2 -101234k（2)fkfkfk2 1 3解：fkf2 1

f3

(k2)(k(k2)(k1)(k)(k1)]*[2(k(k2)](k2)(k1)(k)(k(k(k2)](k1)(k)(k(k(k)(k(k2)(k4)(k1)(k)(k(k2)(k(k4)3321f k 2f k1f k3-4 -3 -2-1 -1-2-3-4-51 2 3 4 5k3。5已知系统的激励f和单位序列响应h如下,求系统的零状态响应y 。zs(1）fh14解：y fh，1zsy fhzs

k1 k4k1 k4kkk4kkk4kkk2k5k5k8kkk2k5k8122k4578（2)f3解:y fzs 1k 2 1k 2 1iikikk 2 k

1i 02112 112 1k

212 k

k k3 1k 1k2 212

k212

k3 21k

21k3

3 2 k 2 k 3.6h1,h1

4,求复合系统的单位序列响应。hhk1+f ky k+∑hk1-hk2f，则加法器输出为yfh1

kfkfkh2

kkk1kkk4k1kk4yy1

h1

kkkk4k1114121512115k1k2k1k4k5第六次4.1判断下列信号是否为周期信号，若是，求其基波角频率和周期知识要点：本题主要考查T2。解题方法：周期信号的基波角频率为信号中各频率成分中频率最小的信号的频率，且其余信T(1)tsin2t解：2为非周期信号.

求得。(2）cos

t 2 4 解：cos2

t,

4(s),sin4

t,

8(s)8（s。 2 44。2周期信号ft的双边频谱F如图所示，求其三角函数表达式。n11Fn-3-2-10123-1知识要点:本题主要考查ft

Fejnt，F

Fenft a0

nn A

n n ， a2

cos

nt

bsinnt 0n 2

Acosntn nn1 n1 n1An

2F,an

Acosn

FF ，bn n

An

sinn

n

F n解题方法：根据频谱图列出各频率分量，带入三角函数表达式中即可求解。1F0

0，F1

1ej0，F1

1ej0，F3

1ej，F3

1ej，A 0，A0

2F1

2,A3

2F3

2，ft

An nAn1t A t1 3 32cost2cos（三角形式或指数形式)。ff1-7 -6 -5 -4 -3 -2 -101234567t2a 2 T2

fcosntdt,n0,1,2,n T T 2b 2T ftsintt,n1,2,n

2T T21TF 2 ftejtt,t0,1,2,1Tn T T2T6

222T 2 fcosntdt2T

T 6 3n T T3 3 1

ftcosntdt33 1

cosntdt3 3 1 1 3 nt3sin

13 11sinnsinn

3 3 2sin,n0,1,2,32 2 n Sa ,n0,1,2,3 32 T ftsintt2 2n T T3 3 1

ftsinntdt33 1

sinntdt 31 3 1 3 nt cos 13 3 11coscos

3 30,n1,2,1F 1

ftejtt 2n T T323136116

fejntdtejntdt31 13

nte 3 16jn3 j ej

1ej 3 3 j cos

jsin

cosn

jsin2n

3

3

3

3 j cos

jsin

cosn

jsin2n

3

3

3

3 j 2n

2jsin

3 1sin,n0,1,2,3 利用奇偶性判断下图所示各周期信号的傅里叶级数中所含的频率量。…………f121……0-1-2T t(a)f(a)ft……3212……0-1-2-3T t知识要点：本题主要考查f(tf(t，则有a

4

f(t)cos(nt)dt,b

n； n T 0 n 若f(t)f(t)，则有an

b 4n T

2f(t)sin(nt)dt,n；t0tf(tf(tT,则有a2

a a2

...b2

b b4

0，只含奇次谐波分量，不含偶次谐波分量。f解：(a)ff

t

tT1 1

21 22a 4 Tfn，2

0，a a b b 0,n T 0

n 0 2 2 4f的傅里叶级数中含有的频率分量为奇次余弦波；1(b)

tT 22 2 2 2a a0

a 4

b 04f的傅里叶级数中含有奇次谐波,包括正弦波和余弦波。2

16cos20t 6cos30t 4cos40t 4 6 3(1）T和基波角频率，指出其谐波次数；（2）画出双边幅度谱和相位谱图；(3)计算信号的功率。知识要点：本题主要考查T

；f

A 020n1

An

Fn

Ae12 n1

；PF2。nn解题方法：利用已知条件观察求出An

值，带入公式nFn

，并计算信号的功率。f

A

，02 nn1

16cos20tn

6cos304

4cos40t 6 3T

1,谐波次数为二次，三次，四次； 5（2）A2

16,2

，A4

6,3

，A6

4,4

，3F n

1Ae2 n

,F2

8,F3

3，F4

2；可画出双边频谱图如下：FFn87654321403020100n3461212643

n（3)P

F2nn

64942154。 4。6根据傅里叶变换的对称性求函数ftsint 3t1

t的傅里叶变换。解：ftsint

sint22Sat1 1 3 3 g2Sa，取2，g2Sa2Sagg2 2 2Sag

,Sa2 1

g

1 ej1

e2

2 2 4g2

1

10, others

4

） 0, others f21g3 2

e1g3 4

e4。7求下列信号的傅里叶变换知识要点：本题主要考查傅里叶变换的基本性质（包括时移性质、频移性质等）的傅里叶变换.解题方法：直接利用傅里叶变换的基本性质进行求解。（1)fejt1：1,ejt12ejt1(2)fe5(t1解：fte5(t1)t1t15t1t15t1t1，tj，ftjejej5jej（3)fte4tt1解：Fjftejtdte4ttejtdt e4tedt1

e4jt 4j 14

0e4je4j4j第七次4.8若已知ftFj，试求下列函数的频谱.等。解题方法：根据已知条件，直接利用傅里叶变换的基本性质求解.tfjtf(t)

d Fj，dtf(t)

d Fj,d33tf(3t)j1 d ，33dFj 3tf(3t)j1 d 39dFj 解法二：f

1 Fj 33 33jtf1

Fj 33 3jtf

1Fj 39 3tf3t19df（2)

jF

j33dt解：时域微分特性：

df

jFjdt(jt)

t

djF

jdt ddftt

d jF

jdF(j)dt d

jjF j

d F(j)dd

F[j]4tdf(t)

4F(j)

F(j)dt d2(3)31t2

f()d

t

f31tff

1t，1

23Fj23

1 2ft f1 j

Fj

Fjf t

0

]ej

0

ej31 j j 1

Fj2

F2jf3 t0

ej6]

0

e6j1 2

2j j（4)

df(t)*1dt t解：dt

ftjFjsgnt 2j22sgnjt1jsgnt1 j4df 1

j

dt *j F

4

4F

sgn

F j44。9求下列函数的傅里叶逆变换。f 12

Fjejtdcosx

ejxejx

，sinx

ejxejx2 2j（1）Fj2cos3sin解：

f t

2cos33sin2

e

td1

3 3

ej

ej

2jej

2jej2ed 1

3

3 2

e

t3e

t

2je

t

2je

t

d ， 1 t 1

t

2

ejtd ftt3t33t2t2 2j（2)F2e解法一：f

1Fejt2 1

2

12e

je

td1

1e1

t1d1 1 e

t2jt1 1 1 ej

1j2t1

jt 解法二：1Fj1

3ej 2 2gSa1 2Sat

2 1 1Satg

2 1 ttSa ejt

32 2

1 2 1Sat1ej3

3ej 2 2

1 2 4.10试用下列方法求如图所示信号的频谱函数。ff1-4 -3 -2 -10123t知识要点：本题主要考查傅里叶的线性特性和时移特性；fFjf(1)(t)(0)(

F(j)j时域卷积定理，若f(t)F(j)，f(t)F(j)，则有1 2f(t)f(t)F(j)F(j)。1 2 1 2f的波形特征，直接利用傅里叶变换的相关性质求解.(1）（门函数的频谱可利用已知结果。解：令2，则gt2Sa2时移特性:g2

3j3,g

t22Saej2g2

g2

2Sa

ej3ej2（2）将ft看作门函数gt与冲激函数(t3)、t2的卷积之和。2解：ftgt*t3(t2),且gt2Sa,t12 2时移特性：tej,t2ejf

2Sa

ej3ej24。11如下图所示信号,f1

F1

f2

F2

。ff1210ttt200ft2210ttt200解：f2

tf1

tt0fF1

ft1

e1

ft1

e1

j4。12用傅里叶变换性质,求下图所示函数的傅里叶逆变换。FFjA000

t0t 0知识要点:本题主要考查傅里叶逆变换的公式f 12移特性。

F；傅里叶变换的对称性和时FjFj的幅频图和相频图可得 Fj

1

A1

e

0,Fj

00 00,2t2t

00, t2

0,

0f t Sa2

，令， t 2

4 0ft

Sa2

2，

t22

tSa2

f

， 0

0

0 0 2

0 2 2

0 220A t

A

tt

Sa2 0

，

Sa2[ 0 0]

ejt F j，00

2A

20tt

0 2

20ft

Sa2[ 0 0]0 2第八次4.13如图所示信号ft的频谱函数为Fj,求下列各值。ff1-1012t知识要点：本题主要考查傅里叶变换定义Fj

ftejtdt；傅里叶逆变换的定义f 12

Fjejtdt；能量等式E

f2(t)dt 12

F(j)2.解题方法：F0

f，f12

Fjd，直接利用这些等式及能量等式求解。(1)F0FjFFj

ftt1tdt21dt

1t2111

113(2）

F

0 1 2 0 2 2解f0ft 1Fjd，Fjdf0t0 f00Fjd0(3）

Fj2d解：t, 0t1

2, 0t11,1f t2，f2 1t1,1 others Fj2d

2tdt[1t2dt21dt][1t31]

0 1 3 0 34。14利用能量等式

f2dt

1

F2d,计算

sin2t2dt

t 解：gSa，令4， 2gg14-2 -1012g4Sa24sin

2sin241g2Sa22 4

sin2sin2t

1

t 2 41sint2dt1

4g

2

24 t

4 4。15一个周期为T的周期信号f，已知其指数形式的傅里叶系数为 F，求周期信号nfft1

ftt0

的傅里叶系数。f

00n00

Fnnftt0

ejt

00n00

Fnejntn

n

Fnn

ejnt0

Fnnftt0

ejt

n

Fnejntn

n

Fnn

e

Fnnft21

n

ejnt0

Fnn

n

e

Fn2n

n

F en

e

n f1

的Fn

ejtejt2costF0 0 0 4。16LTI系统输入输出关系由下列微分方程确定d2682fdt2 dt（1)求系统的冲击响应ht；Hj（3)fe2t。Hj激励的傅里叶变换。

Y(j)，式中Yj、Fj分别为系统响应与F(j)解：(1)y682fj2Yj6jYjj2Fj2Yj[26j8]2Fj2 HjYj F j

26j8

12j

14j ht

e2te4tt（2）Hj 2

226j

4j（3）ytfththtfthft

e4

e2ttd0teee2td0e2t[t1ed]0e2e22e2t[tt t]01 e2t[tt

e2t1t]2LTIHj44j

f3cos，求该系统的输出yt。解：F44YjFjHj 44 444j444j44j 44j 44j2444j244j4j 4j4j132

32432j4j44y3sin

1 fyzs

yzs

t

d,Hjyzs

t和输入信号ft的能量相等。Hj激励的傅里叶变换；

Y(j)，式中Yj、Fj分别为系统响应与F(j)能量等式E

f2(t)dt 12

F(j)2.