江苏省南京市姜堰区艺术中学高二数学理上学期摸底试题含解析

江苏省南京市姜堰区艺术中学高二数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.由公差为d的等差数列重新组成的数列是（）A．公差为d的等差数列

B．公差为2d的等差数列

C.公差为3d的等差数列

D．非等差数列参考答案：B设新数列的第项是，则，，此新数列是以为公差的等差数列，故选B.

2.设含有个元素的集合的全部子集数为，其中由个元素组成的子集数为，则的值为（

）A.

B．

C．

D．参考答案：B

解析：含有个元素的集合的全部子集数为，由个元素组成的子集数为，3.直线在y轴上的截距是()A．|b|

B．－b2

C．b2

D．±b参考答案：B略4.已知直线：过椭圆的上顶点B和左焦点F，且被圆截得的弦长为，若则椭圆离心率的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B5.下列命题中，正确的命题是(

)(A)分别在两个不同平面内的两条直线一定是异面直线；

(B)直线在内，直线不在内，则是异面直线；

(C)在空间中，经过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行；

(D)垂直于同一条直线的两条直线平行．参考答案：C6.曲线y=x3﹣4x2+4在点（1，1）处的切线方程为（）A．y=﹣x+2 B．y=5x﹣4 C．y=﹣5x+6 D．y=x﹣1参考答案：C【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数y=x3﹣4x2+4在x=1处的导数值，这个导数值即函数图象在该点处的切线的斜率，然后根据直线的点斜式方程求解即可．【解答】解：由曲线y=x3﹣4x2+4，所以y′=3x2﹣8x，曲线y=x3﹣4x2+4点（1，1）处的切线的斜率为：y′|x=1=3﹣8=﹣5．此处的切线方程为：y﹣1=﹣5（x﹣1），即y=﹣5x+6．故选：C．7.利用数学归纳法证明不等式1+++…＜f（n）（n≥2，n∈N*）的过程中，由n=k变到n=k+1时，左边增加了（）A．1项 B．k项 C．2k﹣1项 D．2k项参考答案：D【考点】RG：数学归纳法．【分析】依题意，由n=k递推到n=k+1时，不等式左边为1+++…++++…+，与n=k时不等式的左边比较即可得到答案．【解答】解：用数学归纳法证明等式1+++…+＜f（n）（n≥2，n∈N*）的过程中，假设n=k时不等式成立，左边=1+++…+，则当n=k+1时，左边=1+++…++++…+，∴由n=k递推到n=k+1时不等式左边增加了：++…+，共（2k+1﹣1）﹣2k+1=2k项，故选：D．8.若f′（x0）=﹣3，则=（）A．﹣3 B．﹣6 C．﹣9 D．﹣12参考答案：B【考点】极限及其运算．【分析】把要求解极限的代数式变形，化为若f′（x0）得答案．【解答】解：∵f′（x0）=﹣3，则===2f′（x0）=﹣6．故选；B．9.从集合中随机取出一个数，设事件为“取出的数为偶数”，事件为“取出的数为奇数”，则事件与(

)A．是互斥且对立事件

B．是互斥且不对立事件C．不是互斥事件

D．不是对立事件

参考答案：A10.“”是“”的

条件（

）

A．充分不必要

B．必要不充分

C．充要

D．既不充分也不必要参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知、取值如下表:0145681.31.85.66.17.49.3从所得的散点图分析可知:与线性相关,且,则

参考答案：1.4512.直线过点那么该直线的倾斜角为

.参考答案：13513.以椭圆短轴的两个顶点为焦点，且过点A（4，﹣5）的双曲线的标准方程是．参考答案：【考点】双曲线的标准方程．【分析】求出椭圆短轴的两个顶点，可得双曲线的焦点，再利用双曲线的定义求出2a，即可求出双曲线的标准方程．【解答】解：椭圆短轴的两个顶点为（0，±3），∴双曲线的焦点为（0，±3）．∵双曲线过点A（4，﹣5），∴2a==2，∴a=，∵c=3，∴b==2，∴所求双曲线的标准方程是．故答案为：．14.若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为

．参考答案：8【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（3，2）将A（3，2）的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=2×3+2=8．即z=2x+y的最大值为8．故答案为：8．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15.已知=2，=3，=4，…若=6，（a，t均为正实数），则类比以上等式，可推测a，t的值，a+t=

．参考答案：41【考点】类比推理．【分析】观察所给的等式，等号右边是，，…第n个应该是，左边的式子，写出结果．【解答】解：观察下列等式=2，=3，=4，…照此规律，第5个等式中：a=6，t=a2﹣1=35a+t=41．故答案为：41．16.命题p：若，则是▲命题；命题p的逆命题是▲命题．（在横线上填“真”或“假”）参考答案：真；假17.已知函数f(x)满足f(p+q)=f(p)f(q)，f(1)=3,则+=

参考答案：24三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知矩形ABCD的对角线交于点，边AB所在直线的方程为，点(－1,1)在边AD所在的直线上.（1）求矩形ABCD的外接圆的方程；（2）已知直线l：（k∈R），求证：直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l的方程.参考答案：（1）∵直线：且∴.∵点在边所在的直线上，∴所在直线的方程是，即.由得.∴，即矩形的外接圆的方程是.（2）直线的方程可化为.可看作是过直线和的交点的直线系，即恒过定点.由可知点在圆内，∴直线与圆恒相交.∵，∴当相交的弦长最短时，直线的斜率为.∴直线的方程为，即

19.圆C满足：①圆心C在射线y=2x（x＞0）上；

②与x轴相切；

③被直线y=x+2截得的线段长为（1）求圆C的方程；（2）过直线x+y+3=0上一点P作圆C的切线，设切点为E、F，求四边形PECF面积的最小值，并求此时的值．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）圆心C的坐标为（a，2a）（a＞0），半径为r，利用条件建立方程组，即可求圆C的方程；（2）四边形PECF的面积取最小值时，|PC|最小，从而可求的值．【解答】解：（1）圆心C的坐标为（a，2a）（a＞0），半径为r．则有，解得…∴圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4…（2）由切线的性质知：四边形PECF的面积S=|PE|?r=r=∴四边形PECF的面积取最小值时，|PC|最小，…即为圆心C（1，2）到直线x+y+3=0的距离d=3．∴|PC|最小为∴四边形PEMF的面积S的最小值为…此时||=||=，设∠CPE=∠CPF=α，则…∴=||2cos2α=||2（1﹣2sin2α）=…20.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3sinA，周长为4（+1），且sinB+sinC=sinA．（1）求a及cosA的值；（2）求cos（2A﹣）的值．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知及三角形面积公式可求bc=6，进而可求a，利用余弦定理即可得解cosA的值．（2）利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用二倍角公式可求sin2A，cos2A的值，进而利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵△ABC的面积为3sinA=bcsinA，∴可得：bc=6，∵sinB+sinC=sinA，可得：b+c=，∴由周长为4（+1）=+a，解得：a=4，∴cosA====，（2）∵cosA=，∴sinA==，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=﹣，∴cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角差的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．21.（本小题满分12分）已知过点且斜率为的直线与圆C：相交于两点。（1）求实数的取值范围；（2）若O为坐标原点，且,求直线的方程.参考答案：（本小题满分10分）已知过点且斜率为的直线与圆C：相交于两点。（1）求实数的取值范围；（2）若O为坐标原点，且，求直线的方程.解：（1）设过点的直线方程：，即：。………2分已知，圆C的圆心C：（2,3），半径R=1。故，解得：，。Ks5u此时，当时，过点的直线与圆C：相交于两点。

……………4分（2）设圆C上两点,,经过M、N、A的直线方程：，（，），圆C:。由已知条件，可列：，

……………①，

……………②，

……………③，

……………④①

-②：，即：

……………⑤由④和⑤得，，

……………⑥解之为，，。恰好为（2，3），即为圆心C。

……………8分故，直线的方程为:，写成一般式为：。……………10分略22.已知定义在R上的函数f(x)=-2x3+bx2+cx(b,c∈R)，函数F(x)=f(x)-3x2是奇函数，函数f(x)在x=-1处取极值.（Ⅰ）求f(x)的解析式；（Ⅱ）讨论f(x)在区间［-3，3］上的单调性.参考答案：解

（1）∵函数F(x)=f(x)-3x2是奇函数,∴F(-x)=