2024年浙江省杭州市文澜中学中考数学一模试卷（2月份）

2024年浙江省杭州市文澜中学中考数学一模试卷一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)1．实数3，0，-13，1.5中无理数是(A．3 B．0 C．-13 D．2．若，则下列不等式中正确的是A． B． C． D．3．点在反比例函数的图象上，当时，的取值范围是A． B． C． D．4．一个多边形的内角和是，这个多边形是A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形5．如图，在菱形中，，则的度数为A． B． C． D．第5题图第7题图6．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架.其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题:“今有共买物，人出八，赢三;人出七，不足四.问人数、物价各几何?”译文:“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱;每人出7钱，又差4钱.问人数、物价各多少?”设人数为x人，物价为y钱，根据题意，下面所列方程组正确的是()A.8x+3=y7x−4=y B.8x−3=y7x+4=y C.8x+3=y7x+4=y 7．如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90∘，中线AD⊥中线CE，且相交于F则AB的长为()A.23 B.43 C.833 D.8．若，且关于的方程的解为，，关于的方程的解为，．则下列结论正确的是A． B． C． D．9．如图，点是正方形对角线上一点，点在上且，连接，，若，，则A． B． C． D．第9题图第14题图第15题图10．关于二次函数y=ax①对任意实数m，都有x1=2+m与②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则1≤a<③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则a≥2.其中正确的结论是().A.①② B.①③ C.②③ D.①②③二、填空题(本题有6小题，每小题4分，共24分)11．因式分解:4x2−y12．从数-2，-1，3中任取两个，其和为2的概率是_________.13．已知x1，x2是方程x14．如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角为，点，，都在格点上，则的值是．15．如图，一次函数的图象与双曲线在第一象限交于点，在第三象限交于点．点为y轴上的一点，连接、，若，则点的坐标为_________.16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB=AD，对角线AC、BD相交于点E，GH是直径，GH⊥AC于点F，AF=AB.若AE=3，则BC⋅CD的值是_第16题图三、解答题(本题有8小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(6分)(1)解不等式组:2x−1≤x+1①1−2x<3② 18．(6分)为激发学生参与劳动的兴趣，某校开设了以“端午”为主题的活动课程，要求每位学生在“折纸龙”“采艾叶”“做香囊”与“包粽子”四门课程中选且只选其中一门，随机调查了本校部分学生的选课情况，绘制了两幅不完整的统计图.请根据图表信息回答下列问题:(1)求本次被调查的学生人数，并补全条形统计图.(2)本校共有1000名学生，若每间教室最多可安排30名学生，试估计开设“折纸龙"课程的教室需要几间.19．(6分)设一次函数y=ax+3a+1(a是常数，a≠0(1)无论a取何值，该一次函数图象始终过一个定点，直接写出这个定点坐标:(2)若2≤x≤4时，该一次函数的最大值是6，求a的值;20．(8分)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1，1)，B(-3，1)，C(-1，4).(1)△ABC的外接圆的半径为_________.(2)将△ABC绕点B顺时针旋转90∘后得到ΔA(3)在(2)的条件下，求出线段AC扫过的区域图形的周长.21．(8分)四边形中，点在边上，连接，．（1）如图1，若，证明：．（2）如图2，若四边形为矩形，，，且与、、为顶点的三角形相似，求的长．22．(8分)某课桌生产厂家研究发现，倾斜的桌面有利于学生保持躯体自然姿势．根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面．新桌面的设计图如图1，可绕点旋转，在点处安装一根可旋转的支撑臂，长保持不变，D在AB上滑动，．如图2，当时，.（1）求支撑臂的长(精确到个位)；（2）如图3，当时，求的长．（结果保留根号）（参考数据：，，，23．(12分)【生活情境】为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池．同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池．【建立模型】如果设水池的边加长长度为，加长后水池1的总面积为，则关于的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③．【问题解决】（1）若水池2的面积随长度的增加而减小，则长度的取值范围是（可省略单位），水池2面积的最大值是；（2）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是，此时的值是；（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是；（4）在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值；（5）假设水池的边的长度为，其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池，则水池3的总面积关于的函数解析式为：．若水池3与水池2的面积相等时，有唯一值，求的值．24．(12分)如图，已知是⊙的直径，点在⊙上，且，过点作弦的平行线与的延长线交于点．（1）若⊙的半径为2，且点为弧的中点时，求线段的长度；（2）在（1）的条件下，当时，求线段的长度；（答案用含的代数式表示）（3）若，且，求的面积．参考答案与试题解析一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)1．实数3，0，-13，1.5中无理数是(A．3 B．0 C．-13 D．【解答】A2．若，则下列不等式中正确的是A． B． C． D．【解答】．解：．由，得，那么错误，故不符合题意．．由，得，推断出，那么正确，故符合题意．．由，得，那么错误，故不符合题意．．由，得，那么错误，故不符合题意．3．点在反比例函数的图象上，当时，的取值范围是A． B． C． D．【分析】将代入反比例函数解析式求出，再将代入解析式求解．【解答】解：，当时，随增大而减小，代入得，，将代入得，将代入得，时，，故选：．【点评】本题考查反比例函数的性质，解题关键是掌握反比例函数图象与系数的关系，掌握反比例函数与方程及不等式的关系．4．一个多边形的内角和是，这个多边形是A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形【分析】根据多边形的内角和公式求出边数即可．【解答】解：设多边形的边数是，则，解得，这个多边形是五边形，故选：．【点评】本题考查了多边形的内角和定理，熟记多边形内角和公式是解题的关键．5．如图，在菱形中，，则的度数为A． B． C． D．第5题图【分析】根据菱形的性质，平行线的性质计算判断即可．【解答】解：菱形，，，，，，故选：．【点评】本题考查了菱形的性质，平行线的性质，熟练掌握菱形性质是解题的关键．6．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架.其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题:“今有共买物，人出八，赢三;人出七，不足四.问人数、物价各几何?”译文:“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱;每人出7钱，又差4钱.问人数、物价各多少?”设人数为x人，物价为y钱，根据题意，下面所列方程组正确的是()A.8x+3=y7x−4=y B.8x−3=y7x+4=y C.8x+3=y7x+4=y 【解答】B7．如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90∘，中线AD⊥中线CE，且相交于F则AB的长为()A.23 B.43 C.833 D.第7题图【解答】B8．若，且关于的方程的解为，，关于的方程的解为，．则下列结论正确的是A． B． C． D．【分析】关于的方程的解为，可理解为抛物线与直线的两交点的横坐标分别为，，如图，同样得到抛物线与直线的两交点的横坐标分别为，，如图，然后利用函数图象进行判断．【解答】解：关于的方程的解为，，抛物线与直线的两交点的横坐标分别为，，如图，关于的方程的解为，，抛物线与直线的两交点的横坐标分别为，，如图，．故选：．【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．9．如图，点是正方形对角线上一点，点在上且，连接，，若，，则A． B． C． D．第9题图【分析】根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质列方程即可得到结论．【解答】解：四边形是正方形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，故选：．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．10．关于二次函数y=ax①对任意实数m，都有x1=2+m与②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则1≤a<③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则a≥2.其中正确的结论是().A.①② B.①③ C.②③ D.①②③【分析】根据二次函数的图象和性质依次判断即可．【解答】解：抛物线的对称轴为：，．与关于对称轴对称．对任意实数，都有与对应的函数值相等．①正确．当时，若，则随的增大而增大，当时，，当时，．．的整数值有4个，．．②正确．设，，，，且．，是方程数的根．，．．．．或（舍去）．又抛物线与轴有两个不同的交点，△．或（舍去）．综上：③不正确．故答案为：A．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，将交点，线段长度转化为方程和不等式是求解本题的关键．二、填空题(本题有6小题，每小题4分，共24分)11．因式分解:4x2−y【解答】（12．从数-2，-1，3中任取两个，其和为2的概率是_________.【解答】13．已知x1，x2是方程x【解答】x12+x214．如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角为，点，，都在格点上，则的值是．第14题图【分析】如图，连接、，先证明，、、共线，再根据，求出、即可解决问题．【解答】解：如图，连接，，设菱形的边长为，由题意得，，，，则，，，，，，、、共线，在中，．故答案为：．【点评】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．15．如图，一次函数的图象与双曲线在第一象限交于点，在第三象限交于点．点为y轴上的一点，连接、，若，则点的坐标为_________.第15题图【解答】解：（1）一次函数的图象与双曲线在第一象限交于点，，，反比例函数的解析式为；由，解得或，，令，则，，，，，点的坐标是或．16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB=AD，对角线AC、BD相交于点E，GH是直径，GH⊥AC于点F，AF=AB.若AE=3，则BC⋅CD的值是_第16题图【解答】（1）证明：，，，，；，为的直径，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；三、解答题(本题有8小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(6分)(1)解不等式组:2x−1≤x+1①1−2x<3② 【分析】（1）分别求出不等式组中两个不等式的解集，即可得出不等式组的解集及不等式组的最小整数解；（2）方程两边同时乘以，把分式方程化成整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解．【解答】解：（1）解不等式①得：，解不等式②得：，原不等式组的解集为，它的最小整数解为0；（2），去分母得：，解得：，当时，，原分式方程的解为．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，一元一次不等式组的整数解，掌握解一元一次不等式组的一般步骤，解分式方程的一般步骤是解决问题的关键．18．(6分)为激发学生参与劳动的兴趣，某校开设了以“端午”为主题的活动课程，要求每位学生在“折纸龙”“采艾叶”“做香囊”与“包粽子”四门课程中选且只选其中一门，随机调查了本校部分学生的选课情况，绘制了两幅不完整的统计图.请根据图表信息回答下列问题:(1)求本次被调查的学生人数，并补全条形统计图.(2)本校共有1000名学生，若每间教室最多可安排30名学生，试估计开设“折纸龙"课程的教室需要几间.【解答】解：（1）由选“包粽子”人数18人，在扇形统计图中占比，可得，本次调查抽取的学生人数为50人．其中选“采艾叶”的人数：．补全条形统计图，如图：（2）选“折纸龙”课程的比例．选“折纸龙”课程的总人数为（人，即估计选择“折纸龙”的学生有160人．∴需要x间，则有30x≥160，x≥，需要6间19．(6分)设一次函数y=ax+3a+1(a是常数，a≠0(1)无论a取何值，该一次函数图象始终过一个定点，直接写出这个定点坐标:(2)若2≤x≤4时，该一次函数的最大值是6，求a的值;【解答】解：（1）一次函数，当时，，无论取何值，该一次函数图象始终过定点；（2）当时，当时，一次函数，解得，当时，当时，一次函数，解得（不合题意，舍去），综上，；20．(8分)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1，1)，B(-3，1)，C(-1，4).(1)△ABC的外接圆的半径为_________.(2)将△ABC绕点B顺时针旋转90∘后得到ΔA(3)在(2)的条件下，求出线段AC扫过的区域图形的周长.【解答】解：（1），，，，，在中，的外接圆半径为.（2）如图，△为所作图形；（3）弧长．弧长．线段AC扫过的区域图形的周长．21．(8分)四边形中，点在边上，连接，．（1）如图1，若，证明：．（2）如图2，若四边形为矩形，，，且与、、为顶点的三角形相似，求的长．【分析】（1）由点在边上，且，得，，所以，又因为，所以根据“有两个角分别相等的两个三角形相似”即可证明；（2）分两种情况：或，设，根据相似三角形的对应边成比例列方程求出的值即可．【解答】（1）证明：点在边上，且，，，，，；（2）如图2、如图3，分两种情况：设，，，当时，，，解得，；时，，，解得：，综上，的长为1或4或2.5．【点评】此题考查相似三角形的判定与性质、同角的余角相等、矩形的性质等知识，找出图形中的相似三角形并根据已知条件证明三角形相似是解题的关键．22．(8分)某课桌生产厂家研究发现，倾斜的桌面有利于学生保持躯体自然姿势．根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面．新桌面的设计图如图1，可绕点旋转，在点处安装一根可旋转的支撑臂，长保持不变，D在AB上滑动，．如图2，当时，.（1）求支撑臂的长(精确到个位)；（2）如图3，当时，求的长．（结果保留根号）（参考数据：，，，【分析】（1）利用锐角三角函数关系得出，进而求出即可；（2）利用锐角三角函数关系得出，进而求出，的长，即可得出的长．【解答】解：（1），，，；支撑臂的长为；（2）过点作，于点，当时，，，，，，的长为或．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练利用三角函数关系是解题关键．23．(12分)【生活情境】为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池．同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池．【建立模型】如果设水池的边加长长度为，加长后水池1的总面积为，则关于的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③．【问题解决】（1）若水池2的面积随长度的增加而减小，则长度的取值范围是（可省略单位），水池2面积的最大值是；（2）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是，此时的值是；（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是；（4）在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值；（5）假设水池的边的长度为，其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池，则水池3的总面积关于的函数解析式为：．若水池3与水池2的面积相等时，有唯一值，求的值．【分析】（1）依据函数图象和函数解析式，利用二次函数的性质解答即可；（2）利用图象交点的数学意义解答即可；（3）依据图象，利用数形结合法解答即可；（4）在范围内，求得两个水池面积差的解析式，利用二次函数性质解答即可；（5）令，得到关于的一元二次方程，解△的方程即可求得值．【解答】解：（1），又，抛物线的开口方向向下，当时，水池2的面积随长度的增加而减小，，当时，水池2的面积随长度的增加而减小，水池2面积的最大值是．故答案为：；9；（2）由图象可知：两函数图象相交于点，，此时两函数的函数值相等，即：，解得：或4，表示两个水池面积相等的点是：，，此时的值是：1或4．故答案为：，；1或4；（3）由图象知：图象中点的左侧部分和点的右侧部分，一次函数的函数值大于二次函数的函数值，即当或时，水池1的面积大于