河北省衡水中学高三下学期一调数学（理）试题

20182019学年河北省衡水中学高三(下)一调数学试卷(理科)(4月份)一､选择题：本题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式求得A，解指数不等式求得B，再根据两个集合的交集的定义求得.【详解】因为集合，，所以，故选D.【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.2.已知，是虚数单位，若，则（）A. B.2 C. D.5【答案】C【解析】【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于的方程组，解得的值，进而可得答案.【详解】因为，结合，所以有，解得，所以，故选C.【点睛】该题考查的是有关复数的模的问题，涉及到的知识点有复数相等的条件，属于简单题目.3.给出下列四个结论：①命题“，”的否定是“，”；②命题“若，则且”的否定是“若，则”；③命题“若，则或”的否命题是“若，则或”；④若“是假命题，是真命题”，则命题一真一假.其中正确结论的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.【答案】B【解析】【分析】①写出命题“，”的否定，可判断①的正误；②写出命题“若，则且”的否定，可判断②的正误；写出命题“若，则或”的否命题，可判断③的正误；④结合复合命题的真值表，可判断④的正误，从而求得结果.【详解】①命题“，”的否定是：“，”，所以①正确；②命题“若，则且”的否定是“若，则或”，所以②不正确；③命题“若，则或”的否命题是“若，则且”，所以③不正确；④“是假命题，是真命题”，则命题，一真一假，所以④正确；故正确命题的个数为2，故选B.【点睛】该题考查的是有关判断正确命题的个数的问题，涉及到的知识点有命题的否定，否命题，复合命题真值表，属于简单题目.4.函数的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分析四个图像，从而判断函数的性质，利用排除法求解．【详解】由于函数的定义域为，且在上为连续函数，可排除A答案；由于，，，所以，可排除C答案；当时，，故排除D答案；故答案选B.【点睛】本题考查了函数的性质的判断与数形结合的思想方向的应用，属于中档题5.下列三图中的多边形均为正多边形，，是所在边的中点，双曲线均以图中的，为焦点，设图示①②③中的双曲线的离心率分别为，，、则，，的大小关系为（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题设条件，分别建立恰当的平面直角坐标系，求出图示①②③中的双曲线的离心率，，，然后再判断，，的大小关系．【详解】①设等边三角形的边长为2，以底边为轴，以底边的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，则双曲线的焦点为，且过点，，，到两个焦点，的距离分别是和，，，．②正方形的边长为，分别以两条对角线为轴和轴，建立平面直角坐标系，则双曲线的焦点坐标为和，且过点．点到两个焦点，的距离分别是和，，，．③设正六边形的边长为2，以所在直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，则双曲线的焦点为和，且过点，点到两个焦点和的距离分别为和2，，，，所以．故选：．【点睛】本题主要考查双曲线的离心率求解，掌握双曲线的定义、性质以及恰当地建立坐标系是正确解题的关键，属于常考题.6.如图所示的程序框图输出的结果是（）A.2018 B. C.1009 D.【答案】C【解析】【分析】模拟执行题目中的程序框图,得出该程序运行后输出的值.【详解】解:执行如图所示的程序框图知,该程序运行后是计算并输出,当时,最后一次循环,此时输出,故选:C【点睛】本题考查由程序框图得到输出结果,属于基础题.7.已知某几何体的三视图如图所示，图中小方格的边长为1，则该几何体的表面积为（）A.65 B. C. D.60【答案】D【解析】【分析】由已知的三视图还原几何体为三棱柱截去三棱锥得到的，根据图中数据，计算表面积.【详解】由三视图可知，该几何体为如下图所示的多面体,它是由直三棱柱截去三棱锥所剩的几何体，其中，所以其表面积为，故选D.【点睛】该题考查的是有关几何体的表面积的问题，涉及到的知识点有根据三视图还原几何体，锥体的表面积，属于简单题目.8.五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币，若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着，那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意没有相邻的两个人站起来包括两种情况：5人都不站起来，或由2人中间隔一人站起来，由概率公式可得答案.【详解】根据题意没有相邻的两个人站起来包括两种情况：5人都不站起来，或由2人中间隔一人站起来，故没有相邻的两个人站起来的概率为，故选B【点睛】本题考查概率的计算，考查分类讨论的思想，考查分析能力和计算能力，属于基础题．9.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在中，，由正弦定理得，，由余弦定理得，，，，，故选C.10.抛物线的焦点为，设，是抛物线上的两个动点，，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由抛物线定义得所以由得,因此所以，选D.点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．11.已知当时，，则以下判断正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先构造函数，得出函数的奇偶性和单调性求出，从而得出选项即可.【详解】记，为偶函数且在上单调递减，由，得到，即，∴，即.故选：C.【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性和单调性比较大小的问题.属于较易题.12.若存在一个实数t，使得成立，则称t为函数的一个不动点.设函数(，e为自然对数的底数)，定义在R上的连续函数满足，且当时，.若存在，且为函数的一个不动点，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，结合条件证明是奇函数，求函数的导数，研究函数的单调性，求出不等式的解，进而得到不动点的范围，结合函数单调性转化求解即可.【详解】∵∴令，∴，∴，即为奇函数，∵，且当时，，∴对恒成立，∵为奇函数，且定义域为，∴在R上单调递减，∵，∴，即，∴，即，∵为函数的一个不动点，∴，即在有解.∵，∴在R上单调递减.∴可，∴.故选：B.【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路，（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.二､填空题：本题共4小题.13.抛物线的准线方程为_______.【答案】【解析】【详解】由抛物线的标准方程为x2=y，得抛物线是焦点在y轴正半轴的抛物线，2p=1，∴其准线方程是y=，．故答案为．14.三棱锥中，，，，则该几何体外接球的表面积为_______________.【答案】【解析】三棱锥内接于长宽高为的长方体，所以该几何体外接球的直径为，表面积为15.已知在内，且，，则____．【答案】【解析】【分析】首先根据题意，画出相应的图形，利用题中所给的条件，列出相应的等量关系式，根据平面向量基本定理，得到对应的结果.【详解】如图，设BO与AC相交于D，则由，可得，设CO与AB相交于E，则由，可得，因B,O,D三点共线，故存在实数m，使，因C,O,E三点共线，故存在实数n，使得，所以，解得，，所以，，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有平面向量基本定理，向量共线的条件，属于较难题目.16.设实数，若对任意的，关于的不等式恒成立，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】首先将不等式恒成立，转化为，利用导数研究函数的单调性，从而求得其最值，得到结果.【详解】实数，若对任意的，不等式恒成立，即为，设，所以，令，可得：，由指数函数与反比例函数在第一象限有且只有一个交点，可得：与的图象在第一象限有且只有一个交点，设交点为，当时，，单调递增；当时，，单调递减.令，可得：当时，满足方程；即在单调递增，因为，所以在上单调递增，所以当时，由可得：，，等号成立，所以，即的最小值为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关利用恒成立问题求参数的最值的问题，涉及到的知识点有利用导数研究不等式恒成立问题，属于较难题目.三､解答题.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知数列的前项和满足，.（1）求数列的通项公式；（2）在数列的前100项中，是否存在两项，（，且），使得，，三项成等比数列？若存在，求出所有的，的取值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）见解析；【解析】【分析】（1）先根据等差数列定义求，再根据项与和的关系求；（2）根据条件化简关系式，再利用范围限制取法，即得正整数解.【详解】（1）因为，所以，所以，所以.当时，.又，所以.（2）若，，三项成等比数列，则，即，即.因为，所以，所以，所以.又为3的奇数倍，所以，验证得，，.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的概念，通项公式的求解，数列项与和的关系，关于是否存在类问题的解法，属于简单题目.18.某企业为了解年广告费（单位：万元）对年销售额（单位：万元）的影响，对近4年的年广告费和年销售额的数据作了初步整理，得到下面的表格：年广告费/万元2345年销售额/万元26394954（1）用年广告费作解释变量，年销售额作预报变量，在所给坐标系中作出这些数据的散点图，并判断与哪一个更适合作为年销售额关于年广告费的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）.（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程.（3）已知商品的年利润与，的关系为.根据（2）的结果，计算年广告费约为何值时（小数点后保留两位），年利润的预报值最大.附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.【答案】（1）见解析；（2）（3）6.65万元【解析】【分析】（1）根据题中所给的数据画出散点图，可以发现点落在一条直线的周围，从而判断出更适合作为年销售额关于年广告费的回归方程类型；（2）根据数据，利用公式求得回归直线的方程；（3）根据题意，将相应量代换，求得结果.【详解】（1）散点图如图所示，故更适合作为年销售额关于年广告费的回归方程类型.（2），，则，，所以回归方程为.（3）由（2）可知年利润的预报值为，设，则，可得，故当，即（万元）时，年利润的预报值最大.【点睛】该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有回归类型的选取，散点图的绘制，回归直线的求解等，属于中档题目.19.如图①，在五边形中，，，，，将沿折起到的位置，得到如图②所示的四棱锥，为线段的中点，且平面.（1）求证：平面.（2）若直线与所成角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）取的中点，连接，，又为的中点，得到四边形为平行四边形，从而应用线面平行的判定定理证得结果.（2），可得为直线与所成的角，可得，，设，则，，取的中点O，连接PO，过O作AB的平行线，可建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，设为平面PBD的法向量，则，利用，即可得出.【详解】（1）证明：取的中点，连接，.又为的中点，所以，.又，，所以，.则四边形为平行四边形，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）解：因为平面，，所以平面，所以，.由，即及为的中点，可得为等边三角形，所以.又，所以，即.因为平面，平面，，所以平面.又平面，所以平面平面.因为，所以即为直线与所成角，所以，所以.设，则，.取的中点，连接，过作交于点，则，，两两垂直.以为坐标原点，，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.则，，，，所以.所以，，.设平面的法向量为，则，令，则因为.所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，应用向量法求线面角的正弦值的问题，属于中档题目.20.如图①，在中，，的中点为，点在的延长线上，且.固定边，在平面内移动顶点，使得圆分别与边，的延长线相切，并始终与的延长线相切于点，记顶点的轨迹为曲线.以所在直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，如图②所示.（1）求曲线的方程；（2）过点的直线与曲线交于不同的两点，，直线，分别交曲线于点，，设，，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依题意得出，利用椭圆的定义，即可判定C点的轨迹，得到椭圆的方程；（2）设，，，得到，由，求得，当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，代入椭圆方程，利用根与系数的关系，化简得，，设直线的方程为，代入椭圆方程并整理得，利用根与系数的关系，化简得，即可求解.【详解】（1）由题意得，，设动圆与边的延长线相切于点，与边相切于点，则，，，所以，所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，且挖去长轴的两个顶点，则曲线的方程为.（2）设，，，由题意得，则，.由，得，即.当直线与轴不垂直时，直线的方程为，即，代入椭圆的方程并整理得，则有，即，故.当直线与轴垂直时，点的横坐标为1，，显然成立.同理可得.设直线的方程为，代入椭圆的方程并整理得.由题意得，解得.又，所以.由，得，故的取值范围为.【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有利用椭圆的定义求点的轨迹方程，直线与椭圆的位置关系，向量共线的条件等，属于较难题目.21.已知函数有两个不同极值点.（1）求实数的取值范围；（2）设，讨论函数的零点个数.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)当时，有2个零点；当时，有1个零点；当时，没有零点．【解析】【分析】(Ⅰ)由题意，求得，令，得，设，转化为直线y＝a与函数的图象有两个不同的交点，利用导数求得函数的单调性与最值，进而求解的取值范围；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，，且，求得函数的单调性和极值，分类讨论，即可确定函数的极值点的个数.【详解】(Ⅰ)由题意，求得，因为有两个不同的极值点，则有两个不同的零点．令，则，即.设，则直线y＝a与函数的图象有两个不同的交点．因为，由，得lnx＜0，即，所以在上单调递增，在上单调递减，从而.因为当时，；当时，；当时，，所以a的取值范围是．(Ⅱ)因为，为的两个极值点，则，为直线与曲线的两个交点的横坐标．由(Ⅰ)可知，，且，因为当或时，，即；当时，，即，则在，上单调递减，在上单调递增，所以的极小值点为，极大值点为.当时，因为，，，则，所以在区间内无零点．因为，，则①当，即时，.又，则，所以.此时在和内各有1个零点，且.②当，即时，，此时在内有1个零点，且.③当，即时，，此时在内无零点，且.综上分析，当时，有2个零点；当时，有1个零点；当时，没有零点．【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及函数的极值点个数的确定问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.22.[选修44：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线，的公共点为，.（1）求直线的斜率；（2）若，分别为曲线，上的动点，当取最大值时，求四边形的面积.【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）消去参数α得曲线C1的普通方程，将曲线C2化为直角坐标方程，两式作差得直线AB的方程，