四川省成都市2023-2024学年高二上学期期末校级调研联考数学试题【含答案解析】

高二数学试题考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”.2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，则在上的投影向量为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件，利用投影向量的定义即可求出结果.【详解】因为，得到，所以在上的投影向量为，故选：B.2.平面直角坐标系内，与点的距离为且与圆相切的直线有（）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，判断以点为圆心，为半径的圆与已知圆的位置关系即可得解.【详解】根据题意可知与点的距离为的直线始终与以点为圆心，为半径的圆相切，而此直线又与圆相切，因此该直线是圆与圆的公切线，又两圆圆心距离等于两圆半径和，所以两圆外切，它们有3条公切线，即所求切线条数为3，故选：C3.设、分别是事件A、B的对立事件，，，则下列结论不正确的是（）A. B.若A、B是互斥事件，则C. D.若A、B是独立事件，则【答案】B【解析】【分析】利用对立概率公式判断选项AC；依据互斥事件概率公式判断选项B；依据独立事件概率公式判断选项D.【详解】选项A：是事件A的对立事件，则.判断正确；选项B：若A、B是互斥事件，则，又，则.判断错误；选项C：因为与A对立，.判断正确；选项D：若A、B是独立事件，则.判断正确.故选：B4.如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为，则（）A. B.1 C. D.2【答案】D【解析】【分析】利用基底法表示得与，再利用空间向量的数量积运算即可得解.【详解】依题意，记，，，则，，则，因为，，所以.故选：D.5.在样本频率分布直方图中共有9个小矩形，若其中1个小矩形的面积等于其他8个小矩形面积和的，且样本容量为210，则该组的频数为（）．A.28 B.40 C.56 D.60【答案】D【解析】【分析】设该小矩形的面积为x，根据9个小矩形的总面积为1，可求出，即可求出该组的频数.【详解】设该小矩形的面积为x，9个小矩形的总面积为1，则其他8个小矩形的面积和为，所以，所以，所以该组的频数为．故选：D.6.已知双曲线的左、右焦点分别为，过作其中一条渐近线的垂线，垂足为P，则为（）A. B. C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】由双曲线方程求得得焦点坐标和渐近线方程，设出点坐标，由垂直求得参数得点坐标，再由两点间距离公式计算．【详解】由已知，，，，，如图，一条渐近线的方程为，即，，则的斜率为，设，由得，所以，，故选：B．7.已知抛物线的焦点为，其上有两点，若的中点为，满足的斜率等于1，则的最大值是（）A.7 B.8 C. D.10【答案】D【解析】【分析】设直线的方程为，，利用韦达定理得出中点的坐标，再根据条件得出，再利用求根公式得出，再分或两种情况，通过构造函数，利用函数单调性即可解决问题.【详解】由题知，直线斜率存在，设直线的方程为，，由，消得到，由，得到①，由韦达定理知，，所以，又由题知，得到②，由①②得到，即或由抛物线定义知，，又由，得到，取，将代入并化简得到，当，则，且，令，则，由，得到，解得或（舍），当时，，当时，，由时，，，所以时，，即有时，，当时，，，所以，得到所以当时，有最大值为3，所以的最大值为，得到，当，则，且，令，则，因为，所以，得到，所以，在上恒成立，此时，则，故，综上，，故选：D.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于找出的范围后，用表示出，即，再根据的范围，构造相应的函数，借助函数的单调性来解决问题.8.半径为R的光滑半球形碗中放置着4个半径为r的质量相同的小球，且小球的球心在同一水平面上，今将另一个完全相同的小球至于其上方，若小球不滑动，则的最大值是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意画出草图，求出球心坐标，分析受力情况，从而得出，由此即可得解.【详解】以碗的大圆圆心，建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示：上面球的球心、下面4个球之一的一个球心分别为，以球为对象分析它的受力情况：球给它的压力为，它自身受到的重力为，由对称性可知碗给它支持力为，所以，解得，所以的最大值是.故选：D.【点睛】关键点睛：关键是准确分析受力情况，列出不等式，由此即可顺利得解.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.已知方程（m为实数）表示的曲线C，则（）A.曲线C不可能表示一个圆B.曲线C可以表示焦点在x轴上的椭圆C.曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆D.曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线【答案】ACD【解析】【分析】结合圆，椭圆及双曲线的几何性质依次判断即可.【详解】解：对于A项，当曲线C表示一个圆时，得，得，显然无解，故A项正确；对于B项，当曲线C表示焦点在x轴上的椭圆时，得得，显然无解，故B项错误；对于C项，当曲线C表示焦点在y轴上的椭圆时，得得，得，故C项正确；对于D项，当曲线C表示焦点在y轴上的双曲线时，得，得，故D项正确；故选：ACD10.如图，在四棱锥中，平面平面，，，若，，为棱的中点在，则下列说法正确的有（）A.平面B.二面角的余弦值为C.二面角的正弦值为D.若在线段上存在点，使得点到平面的距离是，则的值为【答案】ABD【解析】【分析】选项A，取中点，连接，通过条件得到为平行四边形，进而得出，即可判断出选项A的正误；对于选项BCD，通过建立空间直角坐标系，利用面面角的向量法和空间距离的向量法，对选项逐一分析判断，即可得出结果.【详解】对选项A，取中点，连接，因为是中点，所以，且，又，，所以，且，所以为平行四边形，所以，又面，面，所以平面，故选项A正确，因为，，得到，又，所以，得到，又平面平面，平面平面，平面，所以面，又，所以可建立如图所示的空间直角坐标系，因为，，则，所以，易知平面即为平面，所以平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，由，得到，取，得到，所以，则，由图易知，二面角为钝角，所以二面角的余弦值为，故选项B正确，对于选项C，因二面角的正弦值为，所以选项C错误，对于选项D，设，又，得到，所以，得到，设到平面距离为，则，解得，所以选项D正确，故选：ABD.11.已知，则下列说法正确的有（）A.若，则的最大值为B.若，则的最大值为C.若，则最小值D.若若，则的最小值【答案】BC【解析】【分析】根据题设可知，对于选项A和B，建立平面直角坐标系，则，设，则，根据条件得到，再利用几何关系即可判断出选项A和B的正误；对于选项C和D，过点作垂直于所在的直线于，则有，根据条件得出点的轨迹为以为焦点，所在直线为准线的抛物线，取，过点作于，从而得出，即可判断出选项C和D的正误，从而求出结果.【详解】因为，所以，又，所以，如图建立平面直角坐标系，令，则，设，所以，由，得到，即，所以向量的终点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，令，当直线与圆相切时，取得最大值或最小值，此时有，解得或，所以的最大值为，所以选项A错误，选项B正确，取，则，过点作垂直于所在的直线于，则有，又，所以，由抛物线的定义知，点的轨迹为以为焦点，所在直线为准线的抛物线，过点作于，则，所以选项C正确，选项D错误，故选：BC.【点睛】关键点点晴：对于选项A和B，通过建立平面直角坐标系，利用条件，得出向量的终点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，进而判断出选项A和B的正误，对于选项C和D，过点作垂直于所在的直线于，则有，根据条件，得到，从而得点的轨迹为以为焦点，所在直线为准线的抛物线，再利用几何关系判断出选项C和D的正误.12.已知抛物线：，过焦点的直线与交于，两点，，与关于原点对称，直线与直线的倾斜角分别是与，则（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】作轴于，做轴于，设直线的方程为，与抛物线方程联立求出，求出，可判断A；求出可判断B；求出利用基本不等式得出可判断C；求出、，做差与0比较大小可判断D.【详解】作轴于，做轴于，所以，，抛物线的焦点，因为，所以，即，所以直线的斜率存在设为，可得直线的方程为，与抛物线方程联立，整理得，所以，，对于A，，，所以，故A错误；对于B，因为，所以，所以直线与的倾斜角互补，即，故B正确；对于C，因为，所以，即，因为，所以，故C正确；对于D，因为，所以，，，所以，所以，所以，即，故D正确.故选：BCD【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用问题，对于解析几何的题目要善于运用数形结合的方法，以联立方程和计算为基础，进行题意的转化进而求解答案.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.对任意的实数，圆上一点到直线的距离的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】根据直线方程先求出直线所过的定点，然后考虑直线经过圆心，圆心与定点的连线垂直直线，结合直线与圆的位置关系确定出的取值范围.【详解】由题意可知圆的圆心为，半径，直线方程可化为，令解得，所以直线过定点，显然当直线与圆相切或相交时，取最小值且，不妨令直线过原点，将代入，此时，设圆心到直线的距离为，当直线与垂直时，取得最大值，下面证明：当与直线垂直时，记为直线，当不与直线垂直且直线不经过时，记为直线，过作交于点，如下图所示，由图可知为直角三角形，且为斜边，所以，所以取最大值时，与直线垂直时，故，，但此时的方程为，即为，此时无论取何值都无法满足要求，故取不到，所以，故答案为：14.已知n个人独立解决某问题的概率均为，且互不影响，现将这n个人分在一组，若解决这个问题概率超过，则n的最小值是_____【答案】9【解析】【分析】根据给定条件，利用相互独立事件及对立事件的概率公式求解即得.【详解】依题意，n个人都没有解决问题的概率为，因此这个小组能解决问题的概率为，于是，整理得，函数是递增的，而，，因此成立时，所以n的最小值是9.故答案为：915.把椭圆的长轴分为2024等份，过每个等分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于2023个点，F是椭圆的一个焦点，则这2023个点到F的距离之和为______【答案】【解析】【分析】设椭圆的右焦点为，且，根据椭圆的定义和椭圆的对称性，即可得出答案．【详解】因为把椭圆的长轴分成2024等份，过每个分点作轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点，，，，如图：设椭圆的右焦点为，且，解得，由椭圆的定义及椭圆的对称性得，，，故答案为：16.如图，在矩形中，，，分别为边，的中点，分别为线段（不含端点）和上的动点，满足，直线，的交点为，已知点的轨迹为双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为______.【答案】【解析】【分析】以所在的直线为轴，线段的中垂线所在的直线为轴，求出直线，的方程，联立两方程解出点的坐标，进而可得点所在双曲线方程，由离心率公式计算即可得答案.【详解】解：以所在的直线为轴，线段的中垂线所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系：设，则，则有，，，，，，，设，所以，，又因，所以，所以或，又因为，所以直线的方程为：，即，同理可得直线的方程为：，即，由，可得，即，因为，，，,即有，，所以点所在双曲线方程为：，所以，所以，所以.故答案为：【点睛】思路点睛：椭圆或双曲线中，要求离心率的值，就要求出的值(或数量关系或关于的一个二次方程).四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm）记录下来并绘制出折线图：（1）分别计算甲、乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值；（2）轮胎的宽度在[193，195]内，则称这个轮胎是标准轮胎，试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好.【答案】17.甲、

乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值分别为195，194.18.从平均数上来看：乙厂提供的

10个轮胎中所有标准轮胎宽度高于甲厂提供的

10个轮胎中所有标准轮胎宽度，但乙厂提供的

10个轮胎中所有标准轮胎宽度方差较大，不够稳定.【解析】【分析】（1）由折线图提供的数据，利用平均数公式代入计算即可；（2）分别找出甲乙两厂的所有标准轮胎宽度的数据，再分别求出平均值与方差，即可判断.【小问1详解】由题：甲厂轮胎宽度的平均值为：；乙厂轮胎宽度的平均值为：；所以甲、

乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值分别为195，194.【小问2详解】由题，甲厂提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度为：，其平均数为：，其方差为：；乙厂提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度为：，其平均数为：，其方差为：；从平均数上来看：乙厂提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度高于甲厂提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度，但乙厂提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度方差较大，不够稳定.18.已知圆，两点（1）若r=8，直线l过点B且被圆C所截的弦长为6，求直线l的截距式方程；（2）动点满足，若P的轨迹与圆C有公共点，求半径r的取值范围.【答案】18.或.19..【解析】【分析】（1）根据直线与圆相交弦长，求出弦心距，待定系数法求直线的方程即可；（2）由题求出的轨迹方程为圆，利用两圆有公共点列出不等式求解即可.【小问1详解】若，则.直线l过点B且被圆C所截的弦长为6，设圆心到直线距离为，则，，解得：.若直线l斜率不存在，则，不合题意；若直线l斜率存在，设即，，解得：，即直线l方程为：.当时，，故即直线l截距式方程为：或.【小问2详解】由题：，化简得：，即，若P的轨迹与圆C有公共点，即圆与有公共点，所以，解得：，故半径r的取值范围是.19.设动点P到两定点.和的距离分别为和，，使得（1）证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；（2）经过点的直线与双曲线的左，右两支分别交于点为坐标原点，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】【分析】（1）根据条件，利用余弦定理得到，由双曲线的定义即可证明结果，再根据条件，求出，即可求出的方程；（2）设直线方程为，，联立方程，消得到，根据条件得到，由韦达定理得，进而得到，从而得出，即可求出结果.【小问1详解】在中，，，，由余弦定理得，又，所以，即，由双曲线的定义知，动点的轨迹为以，为焦点，实轴长为的双曲线，易知，，又，所以曲线的方程为.【小问2详解】易知当直线的斜率不存在时，直线与双曲线不相交，所以可设直线方程为，，由，消得到，因为直线与双曲线的左，右两支相交，所以，得到，由韦达定理知，又，因为，又，所以，得到，所以的取值范围为.20.如图，平面平面，四边形为矩形，且为线段的中点，，，，.（1）求证：平面（2）求直线与平面所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据条件，得出，利用面面垂直的性质，得出面，由线面垂直的性质得到，再通过计算得到，由线面垂直的判定定理即可证明结果；（2）根据条件建立空间直角坐标系，求出及平面法向量，再利用线面角的向量法及同角关系，即可求出结果.【小问1详解】取中点，连接，，，，，所以且，所以四边形为正方形，则，得到，所以，又平面平面，平面平面，面，所以面，又面，所以，易知，所以，又四边形为矩形，且为线段的中点，所以，得到，故，又，面，所以平面.【小问2详解】因为，又平面平面，平面平面，面，所以面，故可建立如图所示的空间直角坐标系，又，，，则，所以，，，设平面的一个法向量为，由，得到，取，得到，所以，设直线与平面所成角为，则，所以，即直线与平面所成角的余弦值为.21.已知圆的方程,,，抛物线过两点，且以圆的切线为准线.（1）求抛物线焦点的轨迹C的方程；（2）已知，设x轴上一定点，过T的直线交轨迹C于两点（直线与轴不重合），求证：为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）是圆的切线，分别过作直线的垂直，垂足分别为，由，利用椭圆定义可得轨迹方程；（2）设直线的方程为，设，直线方程代入椭圆方程后应用韦达定理得，然后计算，代入化简可得．【小问1详解】如图，是圆的切线，分别过作直线的垂直，垂足分别为，又是中点，则是直角梯形的中位线，，设是以为准线的抛物线的焦点，则，