中考数学知识点与经典题型练习 全等三角形中的手拉手旋转模型(解析版)

专题01全等三角形中的手拉手旋转模型

【模型展示】

E

特点

BCD

在线段BCD同侧作两个等边三角形4ABC和^CDE」连接AD与BE。

(1)ΔBCE^∆ACD,ΔBCM^∆ACN,ZkMCEdNCD

(2)AD=BE,ZAFB≈60o

(3)ΔMCN为等边三角形

结论

(4)MN〃BD

(5)CF为/BFD的角平分线

(6)FC+FE=FD

【模型证明】

E

ZA

b∕v^≥Λ

CD

•：ABCE=MXJD

：.BE=AD

∙.∙ABCE=ΔACD

：.NCBE=NCAD

∙.∙NCBM+ZBMC+NBCM=180°

ZMAF+AAMF+ZAFM=180°

.∙.NBCM=180°-(NCBM+ZBMQ

ZAFM=180°-(ZMAF+NAMF)

∙.∙ZBMC=ZAFM

：.NBCM=ZAFM=60°,即NAFB=60°

,.∙ABCMAACN

:.CM=CN

■：NMCN=60°

.∙.AWCN为等边三角形

∙∙∙AMCN为等边三角形

.∙.NMNC=60°

∙.∙NNCD=60°

.∙.NMNC=/NCD

.-.MNHBD

zEλ

∖

BCD

过点C分别作PCLBE,QC1AD

•：ABCE三岫CD

BC=AC,NCBE=NCAD

在HfABPC与R∕ΔΛQC中

NCBE=NCAD

-ZBPC=ZAQC

BC^AC

：.RtbBPC三RthAQC

在RfAPCF与RIAQCF中

PC=QC

FC=FC

:.Rt∖PCF=Rt∖QCF

即尸。平分NBFD

在线段FD上截取/G=PE连接EG

∙.∙FG=FE,NEFG=60'

△£以涔边三角形

.∙.EF=EG,ZEGD=120°,NEFG=60°

:NCED=NEFG=60>

：.NFEC=NGED

在AEGO与A"CΨ

KEGD=/EFC

，EF=EG

ZFEC=NGED

：.∖EGD=∖EFC

：.GD=FC

：.FD=FG+GD=EF+FC

【模型拓展】

【题型演练】

一、单选题

1.如图，在“A3C中，ZABC=90°,分别以4B,AC为边作等边AABO和等边.ACE,

连结。E,若AB=3,AC=5,贝IJ£»=()

【答案】C

【分析】在RtA48C中可直接运用勾股定理求出BC,然后结合“手拉手”模型证得

^ABC^∆ADE,即可得到。E=BC,从而求解即可.

【详解】解：在RAABC中，AB=3,AC=5,

由勾股定理得：BC=4,

"：ZXABO和&ACE均为等边三角形，

：.AB=AD,AC^AE,/8AZ>∕CAE=60°,

.∙.ZBAD-ZCAD=ZCAE-ZCAD,

即：NBAC=NDAE,

在AABC和ZiAQE中，

AB=AD

NBAC=NDAE

AC=AE

，△ABgzMOE（SAS）,

.,.DE=BC=A,

故选：C.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定与性

质，熟练运用勾股定理解三角形是解题关键.

2.如图，C为线段AE上一动点（不与点A,E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC

和等边三角形COE,A力与BE交于点。，AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结

PQ.以下结论错误的是（）

A.NAoB=60°B.AP=BQ

C.PQ//AED.DE=DP

【答案】D

［分析］利用等边三角形的性质，8C〃QE,再根据平行线的性质得到/CBE=NDEO,于

⅛ZAOB=ZDAC+ZBEC=ZBEC+ZDEO-ZDEC=60o,得出A正确；根据△CQBZZ∖C7¾

(ASA),得出BIE确;由^ACD^ABCEMZCBE=ZDAC,ImZZACB=ZDCE=60O,AC=BC,

得到AC08gaC∕¾(ASA),再根据NPCQ=60。推出APe。为等边三角形，又由

ZPQC=ZDCE,根据内错角相等，两直线平行，得出C正确：根据∕CDE=6()O,

ZDQE=ZECQ+ZCEQ=60°+ZCEQ,可知NoQE≠NCDE,得出D错误.

【详解】解：：等边AABC和等边△∙)£,

：.AC=BC,CD=CE,/ACB=/DCE=60。，

，ZACB+ZBCD=ZDCE+ZBCD,ZACD=ZBCE,

在^ACo与4BCE中，

AC=BC

-ZACD=ZBCE,

CD=CE

二ZXACO丝ZXBCE(SAS),

.∙.ZCBE=ZDAC,

又ΛACB=ZDCE=Wo,

.,.ZBCD=60o,即ZACP=ZBCQ,

又∙.∙AC=BC,

在4CQB与^CPA中，

ZCP=NBCQ

AC=BC,

ZPAC=NCBQ

：.ACQB^∕∖CPA(ASA),

：.CP=CQ,

又YNPCQ=60。可知△PCQ为等边三角形，

.∙.NPQC=NDCE=60。,

：.PQ/7AE,

故C正确，

'：∆CQB^ΔCPA,

：.AP=BQ,

故B正确，

"：AD=BE,AP=BQ,

.".AD-AP=BE-BQ,

即DP=QE,

'：ZDQE=ZECQ+ZCEQ=60°+ZCEQ,ZCDE=60o,

ZDQE≠ZCDE,故D错误；

∙/ZACB=ZDCE=GOO,

：.N88=60。，

；等边△DCE,

NEDC=60。=NBCD,

：.BC〃DE,

：.ACBE=ZDEO,

：.ZAOB=NQAC+/BEC=ZBEC+ZDEO=ZDEC=60。,

故A正确.

故选：D.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，解题

的关键是找到不变量.

3.如图，在RdABC和RAA。E中，ZβAC=ZDAE=90o,AB=AC=5,AD=AE=I,

点P,Q,R分别是BC,DC,OE的中点.把△AOE绕点4在平面自由旋转，则APQR的

面积不可能是()

A

R

/O'

BPC

A.8B.6C.4D.2

【答案】A

【分析】连接8O、CE,8。的延长线交CE的延长线于0,4C交8。于，.证明^HAD^∆CAE,

然后可推出△P0R是等腰直角三角形，£/>。/?=3*。2,由48=5,AO=2可知33BO≤7,

从而得到I3<PQ<Λ7那么：9W1∙∕jβ2<4y9.即可得出答案.

【详解】解：连接8/入CE98。的延长线交CE的延长线于。，AC交Bo于H.

o

VAB=ΛC,AD=AEfZBAC=ZDAE=90,

：.ZBAD=ZCAE9

Λ∆θAD^ΔCAE,

：.BD=CEi/ABH=NOCH,

∖∙ZAHB=ZCHOf

ΛZO=ZBAH=90o,

•:点P,0,/?分别是8C,DC,DE的中点，

:・PQ=；BD,PQ//BOfQR=；EC,QR//CO,

VBOlOC,

：.PQLRQ,PQ=QR,

,△PQR是等腰直角三角形，

・』PQR=g∙PQ2,

VΛB=5,AD=2f

Λ3<BZ)<7,

37

•••/巴，

91

<49一

8--2-8

...△PQR的面积不可能是8,

故答案为：Λ.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角

形的中位线定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

4.如图，在二ABC中，AB=AC,点。、尸是射线BC上两点，且AO,AF,若M=A£）,

Zβ4D=ZC4F=15°；则下列结论中正确的有（）

(I)CErBFi②AAM丝③SC=S四边晞;®BC-^EF=IAD-CF

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】由AD_LAF,NBAD=∕CAF,得出NBAC=90。，由等腰宜角三角形的性质得出

NB=NACB=45°,由SAS证得△ABD丝aACE(SAS),得出BD=CE,∕B=NACE=45°,

SAABC=SLADCE,贝∣J∕ECB=90°,即ECLBF,易证NADF=60°,NF=30°,由含30°直角

三角形的性质得出EF=2CE=2BD,DF=2AD,则BD=TEF,⅛BC-BD=DF-CF,得出BC-；

EF=2AD-CF,即可得出结果.

【详解】VAD±AF,ZBAD=ZCAF,

ΛZBAC=90o,

：AB=AC,

ΛZB=ZACB=45o,

在4ABD和AACE中，

AB=AC

■ZBAD=ZCAE,

AD=AE

Λ∆ABD^∆ACE(SAS),

.'.BD=CE,NB=NACE=45°,S∆ABC=S四边形ADCE，

JZECB=90o,

ΛEC±BF,

VZB=45o,ZBAD=15o,

JZADF=60o,

ΛZF=30o,

.∙.EF=2CE=2BD,DF=2AD,

.∙.BD=∕EF,

,.∙BC-BD=DF-CF,

ΛBC-∣EF=2AD-CF,

.∙.①、②、③、④正确.

故选：D.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、含30。角直角三角

形的性质、外角的定义等知识,熟练掌握宜角三角形的性质、证明三角形全等是解题的关键.

5.如图，正,ABC和正△（?£>E中，B、C、。共线，且BC=3CD,连接AD和SE相交于点

F,以下结论中正确的有（）个

①NAFB=60。②连接FC,则CF平分NBFD®BF=3DF④BF=AF+FC

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】根据“手拉手”模型证明ABCE-AC。，从而得到NCBE=NC4D,再结合三角形

的外角性质即可求解NAEB=NACB=60。，即可证明①：作C于M点，CNLAD于

N点,证明CEM”CDN,结合角平分线的判定定理即可证明②；利用面积法表示43CF

和二Oe尸的面积，然后利用比值即可证明③；利用“截长补短'’的思想，在AD上取点。，使

得FC=F0,首先判断出.FCQ为等边三角形，再结合“手拉手”模型推出a5CFg∖ACQ即

可证明④.

【详解】解：①•.二AfiC和均为等边三角形，

ΛZACB=ZECD=60o,AC=BC,EC=DC,

：.ZACB+ZACEZECD+ZACE,

.∙.NBCE=ZACD,

在，8CE和Z∖ACO中，

BC=AC

NBCE=NACD

EC=DC

.∙.,BCE^.ACD(SAS),

：.ZCBE=ZCAD,

∙.∙ZAFB=NCBE+ACDA,ZACB=ZCDA+ZCAD,

ΛZAFB=ZACB=ωo,故①正确；

②如图所示，作CMLBE于"点，CNLAD于N点、,

贝IJZCME=ZCND=90°,

BCEgACD,

：.ZCEM=NCDN,

在LCEW和△€»N中，

ZCME=ZCND

-NCEM=NCDN

CE=CD

.CEMWCDN(AAS),

：.CM=CN,

；.C尸平分NBFD，故②正确；

③如图所示，作FPLBD于P点,

■：Sβrz,=ɪBF-CM=-BC∙FP,SDrF=-DF-CN=-CD-FP,

BCF2222

C!BF.CMɪBC.FP

3BCF=2______=2______

-

,。DCF一11DF.CN1-CD.FP

22

,/CM=CN,

•••整理得:≡=ff

∖∙BC=3CD,

.BF3CD

>.-----=-------=3o,

DFCD

：.BF=3DF,故③正确;

④如图所示，在AO上取点Q,使得尸C=FQ,

,.∙NAFB=ZACB=60o,CF平分ZBFD,

：.NBFD=120o,NCFD=-ZBFD=60°,

2

；.2FCQ为等边三角形,

o

：.ZFCQ=GO,CF=CQt

'：ZACB=60。，

.∙.ZACB+ZACF=ZFCQ+ZACF,

.∙.ZBCF=ZACQ,

⅛∆BCFf∏AACQψ,

BC=AC

<ZBCF=ZACQ

CF=CQ

・・.，BCFaACQ(SAS),

：,BF=AQ1

VAQ=AF+FQyFQ=FCf

BF=AF+FC,故④正确；

综上，①②③④均正确；

故选：A.

【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等边三角形

的基本性质，掌握全等三角形中的辅助线的基本模型，包括“手拉手”模型，截长补短的思想

等是解题关键.

6.如图，点C是线段AE上一动点（不与A,E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC

和等边三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接

PQ,有以下5个结论：φAD=BE;②PQ〃AE；③AP=BQ；④DE=DP;⑤NAOB=60。.其

中一定成立的结论有（）个

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】①由于△ABC和^CDE是等边三角形,可知AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60o,

从而证出△ACD之Z∖BCE,可推知AD=BE;

③由△ACD经ABCE得NCBE=NDAC,力口之∕ACB=∕DCE=6(Γ,AC=BC,得到

ΔACP^ΔBCQ(ASA),所以AP=BQ；故③正确；

②根据②ACQB丝ACPA(ASA),再根据NPCQ=60。推出△PCQ为等边三角形，又由

ZPQC=ZDCE,根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；

④根据NDQE=NECQ+NCEQ=6(Γ+∕CEQ,ZCDE=60o,可知NDQErNCDE,可知④错

误；

⑤利用等边三角形的性质，BC〃DE,再根据平行线的性质得到NCBE=/DEO,于是

ZAOB=ZDAC+ZBEC=ZBEC+ZDEO=ZDEC=60o,可知⑤正确.

【详解】①：等边△ABC和等边△DCE,

BC=AC,DE=DC=CE,NDEC=NBCA=∕DCE=60o,

ΛZACD=ZBCE,

在4ACD和ABCE中，

AC=BC,ZACD=ZBCE,DC=CE,

Λ∆ACD^ΔBCE(SAS),

AD=BE;

故①正确；

③ACD^ABCE(己证)，

ΛZCAD=ZCBE,

NACB=∕ECD=60°(已证)，

，ZBCQ=180o-60o×2=60o,

NACB=/BCQ=60。，

在^ACP-⅛ΔBCQ中，

ZCAD=ZCBE,AC=BC,ZACB=ZBCQ=60O,

Λ∆ACP^ΔBCQ(ASA),

，AP=BQ;

故③正确；

(2)VΔACP^ΔBCQ,

PC=QC,

.∙.aPCQ是等边三角形，

ZCPQ=60°,

.∙.NACB=NCPQ,

ΛPQ√AE;

故②正确；

®VAD=BE,AP=BQ,

AAD-AP=BE-BQ,

即DP=QE,

ZDQE=ZECQ+ZCEQ=60°+ZCEQ,ZCDE=60o,

ΛZDQE≠ZCDE,

DE≠QE,

贝∣JDPkDE,故④错误；

⑤YNACB=NDCE=60。，

ΛZBCD=60o,

；等边△DCE,

NEDC=60。=NBCD,

BC〃DE,

ΛZCBE=ZDEO,

ΛZAOB=ZDAC+ZBEC=ZBEC+ZDEO=ZDEC=60o.

故⑤正确；

综上所述，正确的结论有：①②③⑤，错误的结论只有④，

故选D.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的判定和性质，此图形是典型

的，，手拉手,，模型，熟练掌握此模型的特点是解题的关键.

二、填空题

7.如图，Z∖A3E>'Z∖CDE是两个等边三角形，连接8C、BE.若Nr)BC=30。，BD=6,

BC=S,则BE=.

【答案】BE=IO

【分析】连接AC,根据题意易证AACD丝ABED(SAS),根据全等三角形的性质可得AC=BE,

再根据勾股定理求出AC的值即可得出结论.

【详解】如图，连接AC,

B

,.∙ΛABDsZ∖CDE是两个等边三角形，

ΛAB=BD=AD=2,CD=DE,NABD=∕ADB=∕CDE=60,

ZADB+ZBDC=ZCDE+ZBDC,

ΛZADC=ZBDE,

AD=BD

在^ACD与^BDE中，NAOC=/BOE,

CD=DE

Λ∆ACD^∆BED(SAS),

二AC=BE,

：ZDBC=30°,

ZABC=ZABD+ZDBC=60o+30o=90o,

在RtAABC中，AB=6,BC=8,

2222

,AC=yjAB+BC=√6+8=10>

,BE=IO,

故答案为：10.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，孰练的掌握

知识点是解题关键.

8.如图，ΔABC^p,ZC=90o,AC=BC=√∑,将4ABC绕点A顺时针方向旋转60o≡∣J∆AB'C

的位置，连接2C,BC的延长线交A夕于点。，则8。的长为.

【答案】√3

【分析】连接5所，根据旋转的性质可得AB=AQ,判断出夕是等边三角形，根据等边

三角形的三条边都相等可得A8=8"然后利用“边边边”证明△相「和485C全等，根据

全等三角形对应角相等可得NABC=NQBC,延长Bc交A用于。，根据等边三角形的性质

可得BOLAQ,利用勾股定理列式求出A8,然后根据等边三角形的性质和等腰宜角三角形

的性质求出BD.

【详解】解：如图，连接8夕，

B,

「△ABC绕点4顺时针方向旋转60。得到△AB1C,

.∙.A8=A8',ZBAB,=6()°,

是等边三角形，

.".AB=BB',

在AABC*IU夕BC中，

AB^Bii'

"AC=B'C',

BC=BC

.∖ΛABC'^∕∖B'BC'(SSS),

；./ABC=NB，BC'=30。,

延长BC'交AB'±D,

则BDJLAB',

VZC=90o,AC=BC=¢,

：.AB=Zq+⑼'=2=AZΓ,

J.AD=—AB=1

2

22

∙'∙BD=yJAB-AD=√3，

故答案为：上

【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等

腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出Bc在等边三角形的高上是解题的

关键，也是本题的难点.

9.如图，ABC是边长为5的等边三角形，BD=CD,NBZ)C=I20。.E、尸分别在AB、

AC上，且NEE/=60。，则三角形AEF的周长为.

E

BC

D

【答案】10

【分析】延长AB到M使BN=CF,连接OM求出NFCr>=NEBD=NNB£)=90。，根据SAS

证△尸CTz推出ON=。凡ZNDB=ZFDCf求出NEOF=NErW,根据SAS证

△EDFQAEDN,推出EF=EM易得△AE尸的周长等于A8+AC.

【详解】解：延长A8到M使BN=CF,连接EW,

YZVLBC是等边三角形，

・•・NABC=NACB=60。,

VBD=CDf/8。C=I20。，

：・NDBC=NDCB=30。,

：.ZACD=ZABD=30o÷60o=90o=Z∕VBD,

・.・在4乂8。和4FCD中,

BD=DC

ZNBD=ZFCD9

BN=CF

：.ANBgAFCD(SAS),

：.DN=DF9/NDB=/FDC,

∖'ZBDC=UOo,NEDF=60。，

.*.NEDB+NFDC=60

o

：.ZEDB+ZBDN=60f

即NEDF=NEDM

在^EDN和^EQ/中，

DE=DE

-ZEDF=NEDN,

DN=DF

.,.∆EDN^∆EDF（SAS）,

.,.EF=EN=BE+BN=BE+CF,

即BE+CF=EF.

「△ABC是边长为5的等边三角形，

.'.AB=AC=5,

；BE+CF=EF,

：.ΛAEF的周长为：AE+EF+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC=10,

故答案为：10.

【点睛】本题考查了等边三角形性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全

等三角形的性质和判定的综合运用.注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.

10.如图，C为线段AE上一动点（不与点力、E重合）,在AE同侧分别作正AABC和正△CDE,

AQ与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交千点Q,连接PQ.以下五个结论：

ΦAD=BE;②PQAE；®AP=BQ；④DE=DP;⑤乙408=60。.恒成立的结论有.（把

你认为正确的序号都填上）

【答案】①②③⑤

【分析】根据等边三角形的性质及SAS即可证明；根据全等三角形的性质证明ΔΛ∕CN为等

边三角形，再证明AACO段48CE即可求解.

【详解】解：①和ACCE均是等边三角形，点A,C,E在同一条直线上，

：.AC=BC,EC=DC,NBCE=NACD=I2。。

XACDQXECB

.'.AD=BE,故本选项正确，符合题意；

"CBQ=NCAP,

又：NPC。=/AeB=60。，CB=AC,

.".∆BCQ^Δ,ACP,

：.CQ=CP,

又NPCQ=60°,

...△PCQ为等边三角形,

，ZQPC=6Qo=ZACB,

：.PQ.AE,故本选项正确，符合题意；

③；NACB=NOCE=60。，

ZBCD=60°,

：.NACP=NBCQ,

":AC=BC,ZDAC=ZQBC,

.".ΔACP^∆BCQ(ASA),

：.CP=CQ,AP=BQ,故本选项正确，符合题意；

④已知AABC'△OCE为正三角形，

故NDCE=NBCA=60。=4DCB=60°,

乂因为NO尸C=NzMC+/BCA,NBcA=60。=NDPOGOo,

故。。不等于。E,故本选项错误，不符合题意；

©,：/\ABC.AOCE为正三角形，

NAC8=NOCE=60。，AC=BC,DC=EC,

：.ZACB+ZBCD=ZDCE+ZBCD,

ZACD=ZBCE,

：.IXACD注XBCE(SAS),

：.ZCAD=ZCBE,

.∙.NAOB=ZCAD+NCEB=NCBE+NCEB,

,.∙ZACB=ZCBE+ZCEB=60。,

...2408=60。，故本选项正确，符合题意.

综上所述，正确的结论是①②③⑤.

三、解答题

11.如图，AACB和ECO都是等腰直角三角形，C4=C8,8=CE,ZVlCB的顶点A在—ECD

的斜边OE上，连接BO.

E

B

(1)求证：BD=AE.

(2)若AE=3cm,4。=6cm,求AC的长.

【答案】(1)证明见解析；(2)AC=3叵cm.

2

【分析】(1)根据同角的余角相等得出NBCD=∕ACE,然后根据SAS定理证明

∆BCD^∆ACE,从而得出结论；

(2)根据全等三角形的性质得出/BDC=NAEC,然后结合等腰直角三角形的性质求得

NBDA是直角三角形，从而利用勾股定理求解.

【详解】(1)：AACB和EcD都是等腰直角三角形，

ZACB=ZECD=90°,

：.ZACD+NBCD=90o,ZACD+AACE=90°,

2BCD=ΛACE,

在ABCO和力中，

CB=CA

<NBCD=ZACE

CD=CE

：•VBCDHACE(SAS),

：,BD=AE.

(2)YBCD^,ACE,

：.ZBDC=ZAECf

又•・•一£8是等腰直角三角形，

・・・NCDE=NCED=45。,

・•・ZBQC=45。，

JNBDC+ZCDE=90°,

・・・NBDA是直角三角形，

・•・AB2=BD2+AD2=AE2+AD2=32+62=45,

在等腰直角三角形AB中，

AB2=AC2÷BC2=IAC2.

FC=巫

2

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键.

12.如图，A、B、C在同一直线上，且△ABD,ABCE都是等边三角形，AE交BD于点

M,CD交BE于点N,MN〃AC,求证：

(1)ZBDN=ZBAM;

(2)∆BMN是等边三角形.

【答案】(1)证明过程见详解；(2)证明过程见详解。

【分析】(1)只需要证明AABE也ADBC,就可以得到ZBDN=ZBAM.

(2)NDa4=NEBC=60°,因为MN〃AC,所以NMNB=NNBC=60°,NNMB=NMBA=6(f、

所以ΔBMN是等边三角形.

【详解】证明：(1)VZEBC=ZABD=60°

：.ZDBC=ZABE

在K)BN、ΔABΛ∕中

DB=AB

<ZDBC=NABE

BC=BE

：.AABE乌NDBC

ΛZBDN=ZBAM

(2),/ΛDBA=ΛEBC=60°,MN〃AC,

∙,∙ZMNB=ANBC=60",

NNMB=NMBA=60",

所以ΔfiMN是等边三角形.

【点睛】这是一个典型的手拉手模型，是初中几何必会的模型之一，两个60。的三角形是等

边三角形.

13.如图1,B、C、O三点在一条直线上，A。与BE交于点O,△4BC和△ECD是等边三

角形.

(1)求证：AACD会∕∖BCE;

(2)求NBo力的度数；

(3)如图2,若8、C、。三点不在一条宜线上，NB。。的度数是否发生改变？(填

“改变”或“不改变”)

【答案】(1)证明见解析

(2)NBOo=I20。

(3)不改变，理由见解析

【分析】(1)根据"S4S‘证明△ACO/Z∖5CE即可；

(2)由全等三角形的性质得N4Z)C=NBEC再由三角形的外角性质得NAoB=60。，即可

求解；

(3)同(1)得：AACD妾∕∖BCE,得出NDAC=NE3C,根据三角形外角求出NAoE=I20。，

即可得出答案.

(1)

证明：∙∙∙Z∖46C和AECO是等边三角形，

o

ΛZACB=ZECD=GOfBC=AC9EC=CD,

：.NACB+NACE=/ECD+/ACE,

：.ΛBCE=AACD,

在^BCE和AACO中

BC=AC

：

•∖ZBCE=ZACD1

CE=CD

ΛΔβCE^∆ΛCD(SAS).

(2)

解：V∆BCE^∆ACD,

：,ZADC=ABEC,

∙/ZAOB=ZEBC+ZADC,

：.ZAOB=NEBC+/BEC=NoCE=60。，

∙/NAo8+NB。。=180。，

ΛZBOD=120°.

(3)

解：不改变，理由如下：

同(1)得：NACD出ABCE(SAS),

：.ZDAC=ZEBC9

YZAOE=ZABO+ZOAB

=ZABO+ZDAC-^ZBAC

=ZABO+ZEBC+ZBAC

=ZABC+ZBAC

=120°

.∙.ZBOD=ZAOE=120o,

即NBo。的度数不改变.

故答案为：不改变.

【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质,

对顶角性质，证明△ACD岭Z∖8CE是解题的关键.

14.在AAEB和AQEC中，AC.BQ相交于点P,AE,8。相交于点O,AE=BE,DE=CE,

ZAEB=/DEC.

(2)求证：NAPB=NAEB.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)先证NBED=NAEC,再利用SAS证明三角形全等即可；

(2)由全等可得∕E8Z)=∕E4C,根据三角形内角和和NBoE=/AOP即可证明.

(1)

证明：VZAEB=ZDEC,

：.NAEB+NAED=NDEC+NAED,

.∙.ZBED=ZAEC,

在4BED与4AEC中，

AE=BE

-NAEC=NBED

DE=CE

...△BE哈AAEC(SAS),

；.AC=BD.

(2)

证明BEDgAEC,

NEBD=NEAC,

∙.,ZEBD+ZBOE+NAEB=ZAOP+ZAPB+ZEAC=∖80o,

又；/BOE=乙4OP,

，NAEB=NAPB.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定方法有：SSS,A5A,SAS,

AAS和∕⅛,熟练掌握判定方法是解题的关键.

15.△4(72和4DCE是共顶点C的两个大小不一样的等边三角形.

(1)问题发现：

如图1,若点A,D,E在同一直线上，连接AE,BE.

①求证：∆ΛCD^∆BCE;

②求NAEB的度数.

(2)类比探究：如图2,点8、D、E在同一直线上，连接AE,AD,BE,CM为△DCE中DE

边上的高，请求/ADB的度数及线段QB,AD,QM之间的数量关系，并说明理由.

(3)拓展延伸：如图3,若设AZX或其延长线)与BE的所夹锐角为α,则你认为α为多少度，

并证明.

【答案】⑴①见解析：②NAEB=60。；

(2)NADB=60。，2DM+BD^AD,理由见解析；

(3)α=60o,证明见解析

【分析】(1)①由△AC8和^OCE是等边三角形知AC=8C,CO=CE,

ZACD=60o-ZDCB=ZBCE,据此即可得证；

②由△ACCgZ∖8CE■知NADC=NBEC=I20。，结合NCEo=60。可得NAE8=60。；

(2)证△ACD<Z∖8CE得NCDA=NeEQ=60。，由N4D8+∕CZ)A=NQCE+NCEf^[∣

NAo8=60。，根据CM_LBE,且△COE为等边三角形可得力E=2OΛ∕,DE+BD=BE=AD;

(3)同理知AACQ且ABCE,据此得NBEC=/AOC,继而知/CO尸+NCEF=180°,即

NECo+/OFE=180。，从而得出答案.

(1)

①证明：∙.∙Z∖4C8和△力CE是等边三角形，

：.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60o,

：.ZACE>=60o-ZDCB=ZBCE,

：.IXACD9XBCE(SAS)；

②：AACDgABCE,

：.ZADC=ZBEC=180o-ZCDE=120o,

又；ZCED=60o,

：.NAE8=60°；

(2)

解：ZΛDB=60o,2DM+BD=AD,理由如下；

'：AC=BC,CD=CE,NACD=60。+NDCB=NBCE,

.∖∆ACD^∆BCE(SAS),

，ZCDA=ZCED=60o;

,：ZADB+ZCDA=ZDCE+ZCED,

：.4408=60。；

又YCWLBE,且△CCE为等边三角形，

：.DE=IDM,

：.IDM+BD=BE=AD-,

(3)

解：α=6(Γ,理由如下：

同理可证4ACD^∕∖BCE,

.∙.NBEC=NADC,

.∙.NCCF+NCEF=I80°,

.∙.ZECD+ZDFE=180°,而α+NDFE=180°,

a=ZECD=GOo.

【点睛】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、等边三角

形的性质等知识点.

16.如图，在AABC和△4。E中，AB=AC,AD=AE,ZBAC^ZDAE,连接8。，CE,

BD与CE交于点O,与AC交于点F.

(1)求证：BD=CE.

(2)若NBAC=48。，求/C。。的度数.

(3)若G为CE上一点，GE=OD,AG=OC,S.AG//BD,求证：BDLAC.

A

B

C

【答案】(1)见解析；(2)132。；(3)见解析

【分析】(1)根据NAAC=ND4E,推出NBAn=Nc4E,从而结合“S4S”证明△BAD^∕∖CAE,

即可得出结论；

(2)根据外角定理推出∕COO=∕OBC+∕8CA+ZACE,结合全等三角形的性质推出

ZCOD^ZABC+ZBCA,最后在△ABC中利用内角和定理求解即可；

(3)连接AO,根据题意确定AAOO丝AAEG,ZOAD=ZGAE,AO=AG,再结合题干

条件推出C为等腰三角形，以及N8O4=NB0C,从而根据“三线合一”证明即可.

【详解】(1)证：：ZBAC=ZDAE,

：.ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,

即：ZBAD=ZCAE,

在ABAo和4C4E中，

AB=AC

<ZBAD=ZCAE

AD=AE

.,.ΔBAD^∆CAE(SAS),

：.BD=CE：

⑵解：；NCOD=NOBC+NBCO,NBCo=NBCA+NACE,

ZCOD=ZOBC+ZBCA+ZACE,

V∆BAD丝ACAE,

：.ZABD=ZACE,

.∖ZCOD=ZOBC+ZBCA+ZABD=ZABC+ZBCA,

VZBAC=480,

ZABC+ZBCA=180o-48°=132°,

ΛZCOD=132°；

(3)证：如图所示，连接AO,

V∆BAD^Δ,CAE,

：.ZADO=ZAEG,

在^ADO⅛ΔAEG中，

AD=AE

<ZADO=ZAEG

OD=GE

・・・△AOOg△AEG(SAsr),

：.ΛOAD=ZGAE,AO=AG,

：.ZAOG=ZAGO,

：.ZOAD-^-ZDAG=ZGAE+ZDAG,

即：ZOAG=ZDAEf

u：ZDAE=ZBAC,

：.ZBAC=ZOAGf

在△AB/和ACOb中，ZBAC=180o-ZΛBD-ZAFB,ZBOC=180o-ZACE-ZCFO,

由(2)知NA3。=NACR

'/ZAFB=ZCFO,

：.ZBAC=ZBOCf

・・・NBOC=NOAG,

∖'AG//BDf

JN5OA=NOAG,

,ZBOA=ZBOC9

VAO=AG,AG=COf

：.AO=CO,

即：AAOC为等腰三角形，

∙/ZBOA=ZBOC,

：.OFA.ACf

：.BDlAC.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等，掌握全等三角形

的判定与性质，熟悉"手拉手''模型的证明是解题关键.

17.如图1,在等腰直角三角形ABC中，AB=ACfN8AC=90。，点，尸分别为AB,AC

的中点，”为线段E尸上一动点（不与点E,厂重合），过点A作AGLA//且AG=A〃，连接

GC,HB.

（1）证明：AHB丝AGC；

（2）如图2,连接GF,HG,HG交4产于点Q.

①证明：在点”的运动过程中，总有N”FG=90。；

②当AQG为等腰三角形时，求/AHE的度数.

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②当AAQG为等腰三角形时，NAHE的度数为67.5。

或90。.

【分析】（1）根据SAS可证明△AHB丝ZXAGC;

（2）①证明AAEH丝ZiAFG（SAS）,可得NAFG=NAE”=45。，从而根据两角的和可得结论；

②分两种情况：i）如图3,AQ=QG时，/7）如图4,当AG=QG时，分别根据等腰三角形的

性质可得结论.

【详解】（1）证明：如图1,

∙."ZBAC=90o,

.".ZBAH=ZCAG,

"：AB=AC,

：.ΛABH^∆ACG(&4S)；

(2)①证明：如图2,在等腰直角三角形ABC中，NBAC=90。,

A

G

E∕U≤-^∖

图2

/.NABC=NACB=45。,

・：点、E,尸分别为AB,AC的中点,

二七户是^ABC的中位线，

：.EF//BC,AE=-AB,AF=-AC,

22

O

：.AE=AF9ZAEF=ZABC=459NAFE=NAC8=45°,

9：ZEAH=ZFAG,AH=AG,

：.∆AEW^∆ΛFG(SAS),

o

・・・ZAFG=ZAEH=45f

：.Z∕7FG=45o+45o=90o;

②分两种情况：

/)如图3,AQ=QG时，

AQ=QG.

：.ZQAG=ZAGQ,

t

:AG.LAHi.AG=AHf

：.NAHG=NAGH=45°,

：.ZAHG=ZAGH=ZHAQ=ZQAG=45o,

ΛZEΛ∕7=ZM∕7=45o,

u：AE=AF,AH=AH,

：.∆ΛE∕7^∆AFH(5ΛS),

，ZAHE=ZAHF,

∙.∙ZAHE+ZAHF=180°,

.∙.ZAHE=ZAHF=WO;

ii）如图4,当AG=QG时，∕G4Q=∕AQG,

1800-45°

.∙.NGAQ=NAQG=——--=67.5。，

'：ZEAQ^ZHAG=90o,

.∙.∕EA4=NGAQ=67.5。，

.*.NAHE=NAQG=67.5。；

为线段EF上一动点（不与点E，F重合），

.∙.不存在AG=4Q的情况.

综上，当AAQG为等腰三角形时，NA”E的度数为67.5。或90。.

【点睛】本题是三角形的综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，等腰

三角形的性质和判定，也考查了全等三角形的判定与性质，第二问要注意分类讨论，不要丢

解.

18.在图1、图2中，点C为线段AB上一点，AACM与△CBN都是等边三角形.

（1）如图1，线段AN与线段BM是否相等?证明你的结论；

（2）如图1,线段AN与线段BM交于点O,求/AOM的度数；

（3）如图2,AN与MC交于点E,BM与CN交于点F,探究△CEF的形状，并证明你的结

论.

图1图2

【答案】（1）AN=BM,证明见详解；（2）ZA（7M=60o;（3）△CEF是等边三角形，证明

见详解.

【分析】(1)证4ACN∕Z∖MC8(SAS),即可得出4V=3M;

(2)由全等三角形的性质得乙ANC=NM8C,利用三角形外角性质NAOM=NC4N+NM8C

=ZCAN+ZANC=ZBCN=60°；

(3)证△ACEg∕∖MC∕(AS4),WCE=CF,根据等边三角形判定定理由NMCE=60。即可

得出结论.

【详解】解：(1)AN=BM,理由如下：

「△ACM、ACBN都是等边三角形，

o

：.AC=CM,CN=CB,ZACM=ZBCN=GOf

：.NACM+NMCN=/BCN+/MCN,

/.NACN=∕BCM,

在AACN和AMCB中，

AC=MC

<ZACN=/MCB,

CN=CB

：・AACN学AMCB(SAS),

：.AN=MB;

(2)由(1)得：&ACNmXMCB,

：.ZANC=ZMBC9

：.ZAOM=ZCAN+ZMBC=ZCAN+ZANC=ZBCN=60°；

(3)4CE尸是等边三角形，理由如下：

YXNCNQIXMCB、

：.ZCAE=ZCMF9

•・・△AMC与△BNC均为等边三角形，

：,/ACM=NBCN=60。,AC=MC

,.βZMCF=180o-ZACM-NBCN=60。,

NACE=NMb=60。，

在△4CE和AMCF中，

ZCAf=ZCMF

<AC=MC,

NACE=NMCF

.'.∆ACE^∆MCF(ASA),

.'.CE=CFf

∖λZMCF=GOo,

「•△CEF是等边三角形.

【点睛】本题考查等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质，是重要考点，难度

较易，掌握相关知识是解题关键.

19.已知：两个等腰直角三角板AACB和△CCE（AC=BC,DC=CE,ZACB=ZDCE=

90°）如图所示摆放，连接AE、BD交于点、O.AE与。C交于点历，BD与AC交于点M

（1）如图1（两个等腰直角三角板大小不等），试判断AE与BZ）有何关系并说明理由；

（2）如图2（两个等腰直角三角板大小相等，即AC=E>C）,在不添加任何辅助线的情况,

请直接写出图2中四对全等的直角三角形.

【答案】（I）AE=8。且理由见解析；（2）&ACB安ADCE,XEMgABCN,

△AON出ADOM,Δ,AOB^ADOE

【分析】（1）证明△ACE丝ZSBCD,可得AE=80,ZCEA=4BDC,由NCME=NDMO,

根据三角形内角利定理即可得NDoM=NECM=90。，进而可证AE_L8O.

（2）根据三角形全等的判定找出相等边和角，进而找出全等三角形.

【详解】解：（1）结论；AE=8。且AEJ_80.理由如下：

∙.,ZACB^ZDCE,

：.ZΛCB+ZDCA=ZDCE+NDCA,

即NQCB=NACE,

VAC=BC,CD=CE,

在AACE与A8CQ中，

AC=BC

-NACE=NDCB,

CD=CE

：.∕∖ACE^ΛBCD（SAS）,

/.AE=BD,NCEA=NBDC,

'：NCME=ZDMO,

180o-（NCE4+NeME）=I80°-（Nz）MO+NBDo,

即NDOM=NECM=90°,

.∖AE1BD,

.∙.AE=8。且AE_LB。；

(2)VAC=DC,

,AC=CD=EC=CB,

在△4(75与4OCE中，

AC=DC

"ZACB=ZDCE,

CB=CE

：.∕∖ACB^∕∖DCE(SAS)i

由(1)可知：ZAEC=ZBDC,NEAC=NDBC,

：.ZDOM=90o,

"：ZAEC=ZCAE=NCBD,

.,.△EMC安∕∖BCN(ASA),

：.CM=CN,

：.DM=AN,

：.AAOgXDOM(AAS),

"：DE=AB,AO=DO,

：.ΛAOB^ΛDOE(HL).

【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键.

20.如图1,在AABC中，C4=CB,NACB=90。.点。是AC中点，连接8£>,过点A作

AELBO交BD的延长线于点E,过点C作CELB。于点F.

(1)求证：NEAD=∕CBD:

(2)求证：BF=2AE↑

(3)如图2,将△BCF沿BC翻折得至IJ△BCG,连接AG,请猜想并证明线段AG和AB的

数量关系.

【分析】(I)根据角度的等量代换即可求解.

(2)证明△AEC∕zλ8PC后，运用角度等量代换，求得CF=PE证明AAEDgZXCT7O即

可求解.

(3)证明AAE8g∕∖8HA,根据线段的等量代换以及运用等腰三角形三线合一的证明即可

求解.

【详解】(1)证明：［AELLBD,

，ZΛED=90o,

.∖ZEAD+ZADE=90°,

∙.∙ZADE=ZBDC,

.∙.NEAD+NBDC=90°,

∙/NAC8=90。，

ΛZCBD+ZBDC=90o,

：・/EAD=ZCBD;

(2)证明：如图1,连接CE,在8/上截取BP=AE连接。尸，

ΛΔAEC^ΔBPC(SAS),

：.CE=CP,NACE=NBCP,

JZACE+ZDCP=/BCP