旧教材适用2023高考数学一轮总复习 第十二章算法初步复数推理与证明第4讲合情推理与演绎推理

第4讲直接证明与间接证明

-------第础知话Mrl

□知识梳理

1.直接证明

内容综合法分析法

从要画证明的结论出发,逐步寻

利用已知条件和某些数学定义、

求使它成立的画充分条件,直到

公理、定理等，经过一系列的画推

定义最后，把要证明的结论归结为判

理论证,最后推导出所要证明的

定一个明显成立的条件（已知条

结论园成立的方法

件、定理、定义、公理等）为止

实质由因导果（顺推证法）执果索因

-PwP2

框图表示IQalfIQl…fIQ,na

得到一个明显

—►•••—►

成立的条件

因为……所以……要证……只需证……

文字语言

或由……得……即证……

2.间接证明

（1）反证法的定义

假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明因假设错误,从而证明蚂

原命题成立的证明方法.

（2）利用反证法证题的步骤

①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立：

②由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止；

③由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立.简言之，否定一归谬一断言.

知识拓展

分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、

基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法

交叉使用.

□双基自测

1.（2022•山西大同质检）分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>6>c,且a

+6+c=0,求证：7"ac<yβa”,“索”的“因”应是()

A.a-⅛≥0B.a—c>O

C.(a—6)(a—c)>OD.{a-6)(a—c)<0

答案C

解析y]l)-ac<yβa=8'-ac<3a"=(a+c)'—ac<3a'=a°+2ac+c2-ac-3a2<00-2a'+

ac+c'<0=2a2—ac—∕>0=(a—c)(2a+c)>0=(a—c)(a—6)>0.故选C.

2.用反证法证明命题：若整系数一元二次方程aχ2+∕>χ+c=O(arθ)有有理数根，那么

a,b,C中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是()

A.假设a,b,C都是偶数

B.假设a,b,C都不是偶数

C.假设a,b,C中至多有一个偶数

D.假设a,b,C中至多有两个偶数

答案B

解析“a,b,C中至少有一个是偶数”的否定为“a,b,C都不是偶数”.故选B.

3.若P=∙∖[iι+7a+7,g4a+3+qa+4(a20),则0，0的大小关系是()

A.P>QB.P=Q

C.KQD.由a的取值确定

答案C

解析要比较P,0的大小关系，只要比较尸的大小关系，即比较2a+7+2λ∕aa+7

⅛2a+7+2√a+3a+4的大小,即比较Maa+7与∖a+3a+4的大小,

即比较，+7a与1+7a+12的大小，只需比较0与12的大小，：0〈12,,/KQ故选C.

4.(2021•甘肃张掖高三月考)若a>6>0,且x=a+[,尸记，则()

A.x>yB.Ky

C.x^yD.ɪ≤y

答案A

解析因为a+；—[+3=(己一6)(1+与>0,所以d+)>6+±故选A.

5.若&b,。为实数，且水从0,则下列命题正确的是()

A.ac<^bcB.a>yatf>l}

答案B

2

解析当C=O时,ac=bc,故A错误；Va—ab=a(a—Z?),a<⅛<0,Λa—KQ9Λa

-ab>Q,C.c∕>ab①.又ab—F=b(a—：.ab>6②，由①②，得才>口。>庆故B正确；

ɪɪbaba

Va<∕KO,Λ->τ,故C错误；Va<ZXO,.∖0<-<l,7>l,Λ-<τ,故D错误.故选B.

ababab

6.(2021•深圳调研)设a>Δ>O,∕n=y[a-y[b,n=y∣a-bf则勿，刀的大小关系是_______.

答案加〃

解析解法一：(取特殊值法)取a=2,b=l,得欣〃.

2

解法二：(综合法):a>力0,.∖∕n=ypi-γ[b>Ofn=y[a-b>O.∏j~ιf=(√^-^V⅛)-

3

(.y∣a—H)=2b-2y∣~ab=2.Va>Δ>0,.∖aH>l),.∖γ[ab>y∣l/f,∖y[^-y[ab<09：.

清一f<0,Λm<∕72,

・、欣

核心若向突破I

考向一综合法证明

例1已知sin0,sinx,cos0成等差数列，sin夕，siny,cos0成等比数列，证明：

2cos2x=cos2y.

证明Vsin0与cos0的等差中项是sinɪ,等比中项是siny,

Λsin0+cosJ=2sinx,①

sinJCOSJ=Sin)②

①2一②X2,可得(Sin+cos。尸一2SinOCoS0=4sin2jr-2sin2y,即4sin2jf—2sin2y

=1.

1—cos2x1—cos2y

.∙∙4X——-——-2×--~

即2—2COS2AΓ-(1—cos2y)=1.

故2cos2x=cos2y.

触类旁通J综合法证明的思路

⑴分析条件，选择方向.分析题目中的已知条件及已知条件与结论之间的联系，选择相

关的定理、公式等，确定恰当的解题方法.

⑵转化条件，组织过程.把已知条件转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图

形三种语言之间的转化.

⑶适当调整，回顾反思.回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适

当的修饰，反思总结解题方法的选取.

即时训练1.（2021•成都一中月考）若a,b,C是不全相等的正数，求证：Ig要

Z?+cc+a

Ig-^―+lg-y->lga+lg⅛+lgc.

证明；a>0,b>O,.'.-^^∙∖[ab>O,①

同理号2√豆>0,②

①②③三个不等式相乘,

a-∖-bb+cC-Va

得XF，abc,

又a,b,C不全相等,

a+bb-∖-cc+a

>abc,

两边取对数得,

(a-irbb+cc÷a∖..

Igl-y-×-^~×-^-l>lg(abe),

.a+⅛⅛+c,c+a,,

∙∙l1g-γ-+lg-y-+1Ig^γ->lga+lg⅛+1lgc.

考向二分析法证明

例2（2022•安徽蚌埠检测）已知a>0,b>0,a+b=l,求证:

证明要证ʌʃ⅛+∣≤2,

只需证^+∣+⅛+∣+2Λ∕^+∣^⅛+^≤4,

又a+b=l,故只需证a+2Λi+2Γ1-

只需证0+；）（5+目=助+；（名+。）+3<1,只需证数

因为a>0,⅛>0,l=a+b^2γ∣Hbf所以a6w1,

故原不等式成立（当且仅当a=6=/时取等号）.

触类旁通］分析法证明的思路

分析法证明的思路：先从结论入手，由此逐步推出保证结论成立的充分条件，而当这些

判断恰恰都是己证的命题（定义、公理、定理、法则、公式等）或要证命题的已知条件时，命

题得证.

易错警示：分析法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可逆的，它的常用书面表达

形式为“要证…只需要证…”或“…仁…”.注意用分析法证明时，一定要严格按照格式书

写.

即时训练2.已知正数，b,C满足a+b+c=L

求证：5+小+/Wyβ.

证明欲证F+√^+√Σ<√5,

则只需证(√a÷Λ∕⅛÷Λ∕c)2≤3,

即证b+c+2(Λ∕^⅛÷√ΛC÷Λ∕ΣC)≤3,

即证1.

又仃+而+Q*牛+牛=1,

当且仅当a=b=C=，时取

所以原不等式成立.

精准设计考向，多角度探究突破

考向三反证法证明

角度1证明否定性命题

例3已知4∕6C的内角A,B,。对应的边分别为a,b,c,三边互不相等，且满足64ac.

(1)比较］的大小，并证明你的结论;

(2)求证：〃不可能是钝角.

由题意知a,b,c>0,则只需证Z^Vac.

因为炉〈ac是己知条件,

所以

(2)证明:假设8是钝角，则CoS80,

,22

a÷C-6V2ac~尻ac~ZA

而CGSB=^2ac->2ac>2ac>°'

这与cosb<0矛盾，故假设不成立.

所以8不可能是钝角.

角度2证明存在性问题

例4设x,y,z>0,a-χ-∖--,b—y+~,C=Z+L求证：a,b,C三数中至少有一个

yzX

不小于2.

证明假设a,b,C都小于2,

则a÷6÷c<6.

而事实上a+b+c=x+[+y+:+z+g>2+2+2=6(当且仅当x—y—z—1时取

"=与a+6+H6矛盾，

Λa,b,C三数中至少有一个不小于2.

角度3证明唯一性命题

例5(2021•浙江嘉兴月考)用反证法证明：过已知直线a外一点/1有且只有一条直线6

与已知直线a平行.

证明假设过点/还有另外一条直线分与已知直线a平行，即6CZ√=A,b'//a.

又6〃a,所以Z√〃立这与假设6∩Z√=1矛盾，所以假设不成立，所以过已知直线a

外一点力有且只有一条直线6与已知直线a平行.

触类旁通

1.反证法的适用范围

当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来

证.

2.用反证法证明不等式要把握的三点

(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面.

(2)必须从结论的反而出发进行推理，即把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进

行推理证明.

(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知条件矛盾，有的与假设矛盾，有的与基本事

实矛盾等，且推导出的矛盾必须是明显的.

即时训练3.(2022•广西柳州模拟)等差数列｛a,,｝的前〃项和为S0,a=l+√2,W

=9+3√2.

(1)求数列｛a,,｝的通项公式与前n项和S；

(2)设4=,("∈N*),求证：数列｛4｝中任意不同的三项都不可能成为等比数列.

a↑=y∣2+lf

解(1)由已知，得VL

l351+3√=9+3√2,

所以rf=2,故2=2〃-1+m，S=〃(〃+*).

(2)证明：由(1),得4=2∣=∕7+M.假设数列｛4｝中存在三项仇，bq,br(p,q,r互不

相等)成等比数列，

则Bq=bpbc即(0+镜)2=(p+√2)(√'+ΛJ2),

所以(/—")+√2(2q-p-r)=0.

q-pr=Q,

因为夕，Sr∈N*,所以%_八

2q-p-r=zQ,

所以V-J=Rr'所以(夕一二)2=0.

所以夕=八这与p≠r矛盾，所以数列｛4｝中任意不同的三项都不可能成为等比数列.

4.已知％b,c∈(0,1),求证：(1—a)b,(1—Z?)cf(1—c)a不能同时大于年

证明证法一：假设三式同时大于

即(1—a)6>γ(1—6)c>^,(1—c)a>τ,

三式相乘，得(1—46(1—。)C(I-C)於3.

64

因为ab9c≡(0,1),

所以(La)a［匕产)斗

同理(1-6)Z>≤-,(1—c)c≤'

所以所一a)d(l-b)b(l一c)6,≤^τ,

64

这与假设矛盾，故原命题正确.

证法二：假设三式同时大于;，

因为0<水1,所以1—a>0,

1-5+Δ1---------「1

一2Kll-ab>γj-=-,

闩工田1—0+A11-c+∖i

问理—2—>2'—2—>2'

三式相加，得|>|,这与事实矛盾，故假设错误，所以原命题正确.

5.(2021•山西阳泉高三阶段考试)若函数f(x)在区间［a,3上的图象是一条连续不断

的曲线，Λa)<0,Λ⅛)>0,且f(x)在［a,6］上单调递增，求证：f(x)在(a,⑸内有且只有一

个零点∙

证明由于Ax)在［a,3上的图象是一条连续不断的曲线，且Λa)<O,Λ⅛)>0,即

f(,a)∙/(⅛)<0,

所以f(x)在(a,6)内至少存在一个零点，设力为/'(x)的一个零点，则f(w)=0.

假设f(x)在(a,内还存在另一个零点A(∕7≠R),

则/'(〃)=0.

因为f(x)在［a,6］上单调递增，

所以若n>m,则f(所>/"(血,即0>0,矛盾；

若水加，则f(")<∕Xzff),即0<0,矛盾.

因此假设不成立，故f(x)在(a,6)内有且只有一个零点.

课时作业I

1.用分析法证明：欲使①力氏只需②KA这里①是②的()

A.充分条件

B.必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析分析法证明的本质是证明使结论成立的充分条件成立，即②=①，所以①是②的

必要条件.故选B.

2.用反证法证明命题”三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是()

A.假设至少有一个钝角

B.假设至少有两个钝角

C.假设没有一个钝角

I).假设没有一个钝角或至少有两个钝角

答案B

解析“至多有一个”的否定应为“至少有两个”.故选B.

3.设a=yβ-∙∖β,b=yfβ-∖f5,C=于一乖，则a,b,C的大小顺序是()

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>a>bD.a>c>b

答案A

因为a=木-小=/MQmf=否》，c=g陀号

解析F

√7+√6>√6+√5>√3+√2>0,所以a>b>c.故选A.

4.(2021•南阳阶段考试)用反证法证明命题“已知a,⅛∈N*,如果劭可被5整除，那

么a,6中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()

ʌ.a,6都能被5整除

B.a,6都不能被5整除

C.a,6不都能被5整除

D.a不能被5整除

答案B

解析由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成

立进行推证.由题意知其否定是“a,6都不能被5整除”.故选B.

5.若实数a,6满足a+6<0,则()

A.a,6都小于0

B.a,6都大于0

C.a,6中至少有一个大于0

D.a,。中至少有一个小于0

答案D

解析假设a,6都不小于0,即a20,b,0,则a+820,这与a+6<0相矛盾，因此

假设错误，所以a,6中至少有一个小于0.故选D.

6.(2022•辽宁大连模拟)设[切表示不大于”的最大整数，则对任意实数X,y有()

A.[一幻=—[x]

B.[2x]=2[x]

C.[x+y]W[x]+[y]

D.[Λ-y]≤[£—[y∖

答案D

解析取X=I.6,j=2.7,则[x]=[L6]=l,\,y\—[2.7]=2,[―x]=[―1.6]=—2,

故A错误；[2*]=[3.2]=3,故B错误；[x+y]=[L6+2.7]=4,故C错误.故选D.

7.(2021•陕西安康高三月考)证明命题：”∕∙(x)=e'+∙⅛9E(0,+8)上是增函数”，

e

现给出的证法如下：

因为F(X)=e*+±,所以f(x)-e-ɪ,因为x>0,所以e'>l,0<⅛l,所以ev-^>0,

eeee

即F(x)>0,所以f(x)在(0,+8)上是增函数.

使用的证明方法是()

A.综合法B.分析法

C.反证法D.以上都不是

答案A

解析题中命题的证明方法是由所给的条件，利用所学的定理、定义、公式证得要证的

结论，故此题的证明方法属于综合法.故选A.

8.下列不等式一定成立的是()

A.Igfx+^>lgX(X>0)

B.sinx÷--—>2(jf≠⅛π,Λ∈Z)

SInX

C.Λ+1≥2∣Λ∣(Λ∈R)

D.*γ<I(XeR)

答案C

解析对于A,当x>0时，∙x∙T=x,所以Ig(X'+1)'lg%故A不正确；

对于B,当挣衣"时，Sinx正负不定，不能用基本不等式，所以B不正确；由基本不等式可

知C正确；对于D,当X=O时，1，故D不正确.

9.(2022•安徽亳州模拟)实数a,b,C满足a+6+c=0,a6c>0,则,+；+'的值()

abc

A.一定是正数B.一定是负数

C.可能是0D.正、负不确定

答案B

解析由a+b+c=O,abc>O得a,b,C中必有两负一正，不妨设水0,⅛<0,c>0,由a

+b+C=O9可知∣a∣<c,则丁从而一4A又)〈仇所以，+9+,<0.故选B.

Ia∖cacbabc

XΛ

10.设x>0,P=2+2~90=(SinX+COSX)2,则()

A.P>QB.KQ

C.P^QD.P^Q

答案A

解析因为2,+2一”2242、•2一”=2(当且仅当x=0时等号成立),而x>0,所以处2；又

(SinX+cosx)'=l+sin2x,而sin2%≤l,所以¢≤2.于是P>Q.

11a

11.若a>6>c,则使一一恒成立的最大的正整数4为()

a-bb—ca-c

A.2B.3

C.4D.5

答案C

解析"."a>b>c,.,.a-b>0,b-c>0,a~c>0,且a—c=a—6+6—c.又^—7÷^----=

a-bb-c

a—b+b—c,a—b+b~cC,b—c,a-6、„„,^a~c,a—c.,,,,,.,.-.

----------r-+----;-=2+---------------N2+l2=4j,⅛≤-~~7+^;，；•辰4,故最ta大的j正r

a-bb-c--------a-bb-ca-bb-c

整数4为4.故选C.

12.（2021•广西柳州高三月考）若笈G的三个内角的余弦值分别等于△&⅞C的三个

内角的正弦值，则（）

A.446G和民C都是锐角三角形

B.443G和AC都是钝角三角形

C.△4笈G是钝角三角形，△<或C是锐角三角形

D.Z∖464是锐角三角形，旦G是钝角三角形

答案D

解析由条件知，AG的三个内角的余弦值均大于0,则4484是锐角三角形，且

△4区G不可能是直角三角形.假设△虺4G是锐角三角形.

sin4=cos4=sin(^^-4),

SinA=CoS5=sin(^^^-5),

SinG=CoSG=SinCA,

Λ=^^■-Ai,

ππ

得彳则4+民+G=万，这与三角形内角和为∏相矛盾.因此假

π

Cz=--C∖,

、z

设不成立，故旦G是钝角三角形.故选D.

13.（2021•黑龙江大庆质检）设a>6>0,X=H1?+7=a∖[b+b∖[af则x,y的大小

关系是.

答案x>y

解析因为a>b>O,所以x—y=a（∕-钝）+6（也一F）=（a—6）（—一加）=（5一

y[i）γ・>0.所以x>y.

ba

14.下列条件：①劭>0；②a⅛<0;③a>0,杨0；④水0,⅛<0∙其中能使-+工22成立的条

ab

件的序号是.

答案①③④

解析要使々+弓22,只需自>0且》O成立，即a,6不为O且同号即可，故①③④都能使

abab

^+τ≥2成立.

ab

15.设a6是两个实数，给出下列条件：

①a+6>l;②a+b=2;③a+b>2;@a+⅛2>2;⑤ab>l.

其中能推出：“&6中至少有一个大于1"的条件是（填序号）.

答案③

12

解析若d=j,6=鼻，则a+6>L

但dVl,⅛<L故①推不出；

若a=b=L则a+b=2,故②推不出；

若a=-2,，=—3,则才+4>2,故④推不出；

若a=-2,6=—3,则助>1,故⑤推不出；

对于③，反证法：假设aWl且Z‹l,则a+6W2,与a+6>2矛盾，

因此假设不成立，故8方中至少有一个大于L

16.（2022•郑州模拟）在中，三个内角4B,C的对边分别为a,b,c,且4B,

C成等差数列，a,b,C成等比数列，则/=,△/笈的形状为.

答案ʌ等边三角形

解析由题意，得244+a又力+3+C=n,，A=?,又Z;2=ac,由余弦定理，得

b~—a-∖-c~2accosB-ajrc—ac,'.a+c~2ac=Q,BP(a—c)2=0,.*.a—c,.'.A—C,.".A

=QaT'，∙∙∙zχ47C为等边三角形•

O

17.449C的三个内角N4ZB,NC的对边分别为a,b,c,且N4NB,NC成等差

113

数列，分别用分析法与综合法证明：市+定=赤？

11ɜ