2023-2024学年安徽省阜阳市高二年级上册期末数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年安徽省阜阳市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.抛物线3/+8y=0的焦点坐标是（）

A.陷B.（°闻C.加口.卜|,0）

【正确答案】B

【分析】将曲线方程化为标准形式，结合定义即可求解.

【详解】将抛物线方程化为标准形式：<=-|y,由抛物线定义知焦点坐标（0,-g

故选：B.

2.己知等比数列｛%｝的各项均为正数，且。3a7=9,贝ljlog?q+log3%+1。83%=（）

A.7B.9C.81D.3

【正确答案】D

【分析】根据等比数列的性质以及对数的运算性质可求出结果.

【详解】依题意可得。；=。3%=的9=9,

又a“>0,所以7=3,

3

所以logsq+logj«5+log3a9==log3(9x3)=log33=3.

故选：D

3.如图所示，在正方体力88-48心4中，点尸是侧面a>"G的中心，设

AD=AB—b,AA}=c,贝ijAF=()

XjX।X!XjXX

C.-a+—h+—cD.-ciH—b+c

2222

【正确答案】A

【分析】根据空间向量基本定理将ZF转化为7即可选出答案.

【详解】解:由题知，点尸是侧面CDAG的中心，

・••尸为。G中点,

则/尸=/。+力/

=AD+-DC]

▼▼共i▼▼▼、▼▼▼'X

=AD+-(DDl+DlQ)

=40+#4+48)

X!XJ>

=a+—h+—c,

22

故选:A

4.已知数列｛4“｝满足q=2,且(〃+1”田-〃a“=2",则知=()

A.2B.4C.6D.8

【正确答案】B

【分析】根据累加法求解即可.

【详解】由(〃+1)%+「〃勺=2",且％=2,根据累加法可得：

nan=/7a„-(n-l)a„_1+(«-])«„_1-(n-2)(z„_2+--+2a2-a,+a,

^2"-'+2"-2+2"-3+---+2+2=2"\n>2),

yxo4

所以=一,(M>2),贝U4=—=4.

n4

故选：B

5.在锐角/8C中，AB=5,BC=6,cosC=1,则以8,C为两个焦点且过点A的双曲

线的离心率为()

73

A.—B.-C.3D.币+V10

【正确答案】C

【分析】先利用余弦定理求出/C,再根据双曲线的定义及离心率公式即可得解.

【详解】解：在锐角48C中，AB=5,BC=6,cosC=*,

7

则AB-=BC2+AC2-2BCACcosC,BP25=36+AC2-y-AC,

解得/C=7或;，

经检验ZC=7,

所以在以8,C为两个焦点且过点A的双曲线中,

2a=|7-5|=2,2c=6,则a=l,c=3,

所以其离心率为6=£=3.

a

故选：C.

“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七

百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢,每天行走的里程是前一天的一半，七天一

共行走了700里路，则该马第六天走的里程数为()

3507001400c2800

A.---B.---C.D.----

127127~\27~127

【正确答案】C

【分析】依题意可得该马第〃天走的里程数构成公比为3的等比数列｛%｝,根据等比数列求

和公式求出4,再根据等比数列通项公式计算可得.

【详解】解：由题意得，该马第〃天走的里程数构成公比为g的等比数列｛见｝,

a77

n，,.'C2J„nA姐，组2x35041f，'方江会一工土27x35011400由西

则—~—=700,解得q=------,故该马第六天走-------X—=----里路.

,112712725127

2

故选：C.

7.已知圆M：/+/_6》=0,过点(1,2)的直线"J?，…，被该圆/截得的弦

长依次为4，。2，…，a“,若4，电，…，是公差为;的等差数列，则〃的最大值是（）

A.10B.11C.12D.13

【正确答案】D

【分析】求出弦长的最小和最大值，根据等差数列的关系即可求出〃的最大值

【详解】解：由题意

在圆A/:x2+y2-6A=0中

M:(X-3)2+/=9

二圆心M（3,0）,半径为3,

过点/（1,2）的直线心…被该圆M截得的弦长依次为4，生，…，a„

过圆心作弦的垂线，交圆于两点，如下图所示:

由几何知识得，当M418c时，

直线。E的解析式为：y=-%+3

直线8c的解析式为：y=x+\

..13-0+11厂

圆心到弦BC所在直线的距离：=）2=202

连接

：.\BC\=2\AB\=2,

•••最短弦长q=2,

•••q,%，…，牝是公差为g的等差数列

二设%=2+*_1)=；〃+：

•.•最长弦长为6

1

.•.a„=—〃+—5=6.

"33

解得：〃=13

故选：D.

2

8.已知数列满足q+2a2+3%++nan=n,设”=〃。〃，则数列1一―］的前2022项和为

()

40422021〃40442022

A.------B.------C.------D.------

4043404340454045

【正确答案】D

【分析】根据题意先求出4,=2,即可求出，=2〃-1则可写出［二一］的通项公式，再

«lA&iJ

利用裂项相消即可求出答案.

【详解】因为q+2%+3%++na„=n2①,

当力=1时，a,=1；

当“22时，+2a2+3tz3++(〃—1)q_]=(〃—1)■②,

①-②化简得勺=2,

n

7x1-1?i_i

当〃=1时：q=~」=1=1,也满足/="7」，

1n

C21,_.11If11)

所以a=-----,b=na,=2n-l,-----=-------------=-------------

所以I的前2022项和

11111If,11202：

213352x2022-12x2022+\)2x2022+1)404:

故选:D.

二、多选题

9.已知向量£=(2,-1,2),6=(2,2,1),G=(4,l,3),则()

A.|^|=p|B.c-b=(2,-1,2)

-八'入"

C.aJ.bD.a//b

【正确答案】AB

【分析】根据向量模长、减法的坐标运算以及向量垂直和平行的坐标表示直接判断各个选项

即可.

【详解】对于A,|*=j4+l+4=3,M'=j4+4+l=3,，|。=|同，A正确；

对于B,由向量坐标运算知：^^=(2,-1,2),B正确：

对于C,a.6=4—2+2=4W0，「.a,人不垂直，C错误；

[2=22

对于D,假设翻6,则。=26(/leR),即-1=23方程无解，.•/,6不平行，D错误.

[2=/1

故选：AB.

10.数列｛/｝的前〃项和为S,,,已知SL-/+7力，则下列说法正确的是()

A.｛q｝是递增数列B.«10=-14

C.当〃>4时，an<0D.当〃=3或4时，S,取得最大值

【正确答案】CD

【分析】根据S“表达式及〃22时，a“=S“-Si的关系，算出数列｛q｝通项公式，即可判断

A、B、C选项的正误.S“=-〃2+7〃的最值可视为定义域为正整数的二次函数来求得.

【详解】当"22时，见=，-以|=一2〃+8,又q=$=6=-2xl+8,所以%=-2〃+8,

则｛4,｝是递减数列，故A错误；

故B错误;

当〃〉4时，。“=8-2〃<0,故C正确；

因为5“=-“2+7〃的对称轴为〃=；,开口向下，而〃是正整数，且〃=3或4距离对称轴一

样远，所以当〃=3或4时，S.取得最大值，故D正确.

故选：CD.

11.若P,0分别为4：3x+4y-12=012:ox+8y+c=0上的动点，且满足：/,#/,,则下面正确

的有（）

A.a=6B.c工-24

C.当c确定时•，|尸。|有最小值，没有最大值D.当|p9的最小值为3时，c=3

【正确答案】ABC

4-12

【分析】由4〃/,可得4a=3x8=24,,即可判断A,B选项；

8c

因为1尸。1的最小值为4，，2之间的距离，由两平行线间的距离可得1=号言，所以得

y。此=宁言，进而可判断c,D.

【详解】解：因为4〃4，

4-12

所以4a=3x8=24,一工一,

8c

所以a=6,cw-24,故A,B正确；

|P0l的最小值为4,，2之间的距离，

又因为4〃4,

_7|c+24||c+24|

所以4，4之间的距离"=/2]

\6+8iu

所以当C确定时，归。|有最小值为吟力，没有最大值，故C正确；

当咛尹=3时，则有c=6或c=-54,故D错误.

故选：ABC.

12.我们通常称离心率为止二1的椭圆为“黄金椭圆，，.如图，已知椭圆C:=+^=l,

2a2b2

4,4由，层为顶点，0名为焦点，户为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆c为“黄金椭圆

B.N耳用4=91

c.PF,1X轴，且尸O//44

D.四边形4层44的内切圆过焦点耳，鸟

【正确答案】BD

【分析1若14耳1,1耳思|,|月41为等比数列，可得（a-c）2=（2c）2,则求出离心率可判断A；

由勾股定理以及离心率公式可判断B；根据原。=原血结合斜率公式可判断C；由四边形

A（B2A的内切圆的半径为c可得+b?，求出离心率可判断D.

【详解】解：C：W+4=l（a>b>0）,

a~b

4（-a，0），4（a，0）/（0力）,与（0,-6），K（-c,O）,g（c,0）,

对于A：14耳i,|耳巴I,|巴41为等比数列,

则141|•I五41=|耳用『，…“Rep

.•・a-c=2c,入=：不满足条件，故A错误：

对于B：444=90。，.•.卜/「=忸谯「+忸闯2

=/+/+/,.c2+ac_a2=0

即+e-i=0解得e=或__L或^=亚--(舍去)满足条件.

22

故B正确；

对于C：PFJx轴，且尸。〃44，

/12\Q

•*-P-G—%PO=3,用即ab解得b=c〃2=从+/,

I41"—二一

'/-c-a

.♦.e=£=f=也不满足题意，故C错误：

对于D：四边形444片的内切圆过焦点耳，巴，

即四边形4与4A的内切圆的半径为c,

ah=cyla2+b2c4-3a2c2+a4=0

.•.04-3«2+1=0解得02=三正(舍去)或『=匕6

22

.♦,e=叵土，故D正确.

2

故选：BD

三、填空题

13.已知方程」^+工=1表示双曲线，则实数%的取值范围为.

10-4k-4--------

【正确答案】(-co,4)u(10,+oo)

【分析】根据方程为双曲线，可得(10-6色-4)<0,解不等式即可得答案.

22

【详解】因为方程一一+工=1表示双曲线，

10-kk-4

所以(10-项左-4)<0,解得(>10或左<4,

所以实数上的取值范围为(-8,4)510,+8).

故(-8,4)7(10,+8)

14.已知数列｛/｝中，4=1吗+|=一=1，则%)22=.

【正确答案】-2

【分析】由4=1求出的=-g,%=-2,%=1,确定数列｛为｝为循环数列，最小正周期为3,

从而求出出022=〃3=一2.

11=__!—=—_!—

【详解】因为4=1，所以％=-——="，%a一厂1

a,+122---1-1

12

111

%=------=------=1,,

4%+1-2+1....

所以数列｛““｝为循环数列，最小正周期为3,

故a2O22ablM=%=-2.

故-2

15.如图，在正三棱柱/8C-4AC|中，44=3,AB=2,则异面直线45与耳。所成角的

余弦值为

7

【正确答案】—

UUU.

【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出向量48,BC的坐标，利用向量的夹

角公式即可求得答案.

【详解】以/为原点，在平面为8c内过点4作ZC的垂线为x轴，NC为y轴，为z轴,

建立空间直角坐标系,

在正三棱柱月8c-4AG中，14=3,AB=2,

则A(0,0,0),4(0,0,3),8(V3,1,0),46,1,3),C(0,2,0],

故4=(A/3,1,-3),C=(-^3,1,-3),

设异面直线ABt与B｝C所成角为aee(0,g,

I双铀1-3+1+91=7

所以cos。=

\AB}||5,C|V13-Vi313

7

.♦.异面直线阳与8c所成角的余弦值为g

7

故答案为.行

n

16.在数列｛““｝中，％=2,«„+l+(-l)«„=l,则｛凡｝的前2022项和为

【正确答案】1015

【分析】分奇偶项讨论，结合并项求和运算求值.

【详解】。“+1+(-1)"%=1,令"=1,贝故4=3,

当〃为偶数时，则%+|+。“=1,q,+2-q,+i=i，

二4+2+%=2；

当〃为奇数时，则4+1-4“=1,4+2+4+1=1，

,4*2+%=°；

设数列｛对｝的前"项和S,,

则

+

$2022="l+。2+…+°2022=回+包+牝六…+^2019+a2O2i)]+\^1[+。6+…+^2020+02022)

=(2+0x505)+(3+2x505)=1015.

故1015.

四、解答题

17.已知“8C中，8(2,1),。(一2,3)

(1)求8c边所在直线的方程；

(2)直线依-y+4-3%=0过定点，设该定点为A,求/8C的面积.

［正确答案］(l)x+2y_4=0

(2)7

【分析】(1)直接计算出程°，再写出点斜式方程即可;

(2)首先求出定点4(3,4),然后利用点到直线距离公式求出点A到直线BC的距离以及BC

的长，则得到三角形面积.

【详解】(1)8c的斜率为二三=-1，

-2-22

直线方程为尸l=-；(x-2),即x+2y-4=0；

(2)fcv-y+4-3左=0即(x-3)%—歹+4=0,

当x=3时、y=4,故4(3,4),

=•+(-2)2=2瓦

A到BC边所在直线的距离为d=,BC

7

故/8C的面积为万8。d=-X2A/5=7

18.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S.，公差d/0,且满足2岳-5=3,%,4,%成等比数

列.

⑴求。“；

(2)求数列｛kJ｝的前30项和.

【正确答案】⑴a“=4〃T9

(2)1362

【分析】(1)由等差数列的公式列方程组即可求解；

(2)分类讨论即可求解.

【详解】⑴由题意可得：，2%-西+;-")=3,

(q+3d)2=(q+4d)(%+6d)

解得夕「或夕二(舍)

[d=4=0

故%=-15+(W-1)X4=4/7-19.

(2)由(1)可知：S“=—15〃+四匚I)*4=2/_]7”,

2

设数列｛㈤｝的前〃项和为1，

易知当"44时，<2„<0,|a„|=-a„=19-4w,所以5=-邑=36,

当"25时，«„>0,\a,\=an=4/?-19,

2

Tn=Sn+2T4=2n-l7n+72,

所以勺=2x900-17x30+72=1362.

19.如图，在平面直角坐标系中，已知圆C:f+/-4x=0及点小-1,0),8(1,2).

(1)若直线/过点B,与圆C相交于M、N两点，且|MN|=2百，求直线/的方程；

(2)圆C上是否存在点P,使得|"『+|尸8『=12成立？若存在，求点P的个数；若不存在，请

说明理由.

【正确答案】(l)x=l或3x+4y_ll=0

(2)存在，两个

【分析】(1)根据垂径定理可得圆心到直线/的距离为1,然后利用点到直线的距离即可求解;

(2)假设圆C上存在点P,设P(x,y),则(x-2)2+/=%利用题干条件得到点P也满足

/+(y_l)2=4,根据两圆的位置关系即可得出结果.

【详解】(1)圆。:/+_/-4》=0可化为(x-2)2+j?=4,圆心为(2,0),r=2,

若/的斜率不存在时，/：x=l,此时|MN|=20符合要求.

当/的斜率存在时，设/的斜率为人,则令/：y-2="(x-l),

因为|MV上2百，由垂径定理可得，圆心到直线的距离d=/2_3=]

3x+4y-11=0

所以直线/的方程为x=l或3x+4y-11=0.

(2)假设圆C上存在点尸，设P(x,y),则。-21+/=4,

\PA\2+\PB\2=(x+i)2+(y-0)2+(x-l)2+(y-2)2=12,

BPx2+y2-2y-3=0,BPx2+(^-l)2=4,

|2-2|<7(2-0)2+(0-l)2<2+2,

.,.(X-2)2+/=4与x2+(_y-l)2=4相交，则点尸有两个.

20.在正方体力BCD—44GA中，如图E、尸分别是84，CO的中点,

(1)求证：。尸，平面NOE；

(2)点。到平面力。E的距离.

【正确答案】（1）证明见解析；（2）章.

【分析】（1）建立空间直角坐标系，表示相关点的坐标，求出。;0,。/二£二0即

可证得.

I.,八…,P

\DDD^\

（2）在（1）的基础上，根据点到面的距离公式有4=可求得结果.

阿

【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1,

则0(0,0,0),41,0,0),£),(0,0,1),尸(0，；，0

则DA=(1,0,0),

则。尸•04=0,DF-AE=Q,

DtF1DA,D}F1AE,且=

.•.。尸1_平面/OE.

…X(1

(2)DDX=(0,0,1),2尸=0,5，-l

由（1）知平面/DE的一个法向量为。尸,

叱刎24

所以点B到平面ADE的距离d=---=----

5

本题考查空间向量在立体几何中的应用，解题的关键是建立空间直角坐标系，表示出各点坐

标，考查学生的空间想象能力和计算能力，属于中档题.

21.已知数列｛《,｝的前〃项和为S“，且S角=5“+%+1,%,4，%成等比数列•

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)设数列｛/｝的前〃项和求证：141<3.

【正确答案】(1)。“=〃+1

(2)证明见解析

【分析】(1)由利用。,用=5,出-5“得数列｛。,｝是等差数列，从而可得其通项公式；

(2)由错位相减法求得和T„后结合单调性可证不等式成立.

【详解】(1)因为Sn+l=Sll+a„+\,所以S“L，=4"+1,即％M=%+1,所以数列｛6｝是

首项为4,公差为1的等差数列，其公差d=L

由％，％，%成等比数列，得(q+2“y=a"%+6"),

22

则at+4(7,(/+4d=af+6atd,所以q=2,

所以4=q+=2+(〃-l)xl=〃+1；

/、凡"+1LL,、IF234,w+1

(2)由题可知—,所以＜=5+尹+尹+L+—,

匚匚11234n/7+1

所以2"=¥+^+¥T+

两式相减得；刀,=1+*+*+：+…+：-芸

n-A112"〃♦_3/?-t3

------7"=~'I"-

22I222232口2"*22.12""-2-2”川

1------

2

所以q=3-空.

所以(,=3-展<3,又却「看=3-崇一(377+3塔＞0,

2〃+]，

所以｛4｝是递增数列，Tn(=1,故14骞<3.

22.设抛物线C：x2=2py(0</?<8)的焦点为尸，点尸是C上一点，且尸尸的中点坐标为

(2»-)

2

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)动直线/过点Z(0,2),且与抛物线C交于M,N两点，点0与点”关于y轴对称(点

。与点N不重合)，求证：直线QN恒过定点.

【正确答案】(1丫=4为

(2)证明见解析

X。=4

【分析】(1)设户(x。，儿)，根据PF的中点坐标为(2,g)列方程得至小

p,然后代入

%=5c-5

抛物线方程中，解得P,即可得到抛物线的方程;

\x.+x^-Ak

(2)方法一：设直线/方程为y=b+2,跟抛物线方程联立，得到1-,然后利用

曰2=-8

韦达定理求出直线QN的方程，即可得到过定点;

x2=4y

方法二：设直线方程为1=履+占，跟抛物线方程联立，得到,■,然后利用Af,A,