平行垂直与动点（练习）（含解析）2023年高考数学二轮复习

考点7-1平行垂直与动点

卜维练基础物

I.（2022•全国•高三专题练习）如图，已知A、B、C、。、E、F分别是正方体所在棱的中点,

则下列直线中与直线"相交的是（）.

B.直线BC

C.直线CoD,直线D4.

【答案】A

【分析】

通过空间想象直接可得.

【详解】

如图，易知A尸HG,HGBE,所以AF〃8£,且AF=LBE,

2

所以AB所为梯形，故AB与EF相交，A正确；

因为BCMH,MHNLNLEF,所以BC〃EF,故B错误；

因为平面CDH平面EFNL,CZJu平面CDH,EFU平面EFNL,

所以直线CD与直线EF无公共点，故C错误；

因为ADU平面AOF,EFl平面4）尸=尸，故Ao与EF异面，D错误.

故选：A

2.（2020・山东・高考真题）已知正方体ABCO-ABGA（如图所示），则下列结论正确的

A.BDt//AtAB.BDJIAxDC.BDt1AtCD.BDt1Λ1Cl

【答案】D

【分析】

根据异面直线的定义，垂直关系的转化，判断选项.

【详解】

A.AAJ∕BB∖,B与与BOI相交，所以与AAl异面，故A错误；

B.3%与平面AopA相交，且所以BR与Ao异面，故B错误；

C.四边形ABCp是矩形，不是菱形，所以对角线BR与AC不垂直，故C错误；

D.连结BQ,B1D11A1C1,BBi1A1C1,B1D1nBB1=B1,所以AlG，平面BBQ,所以

AG_LB。，故D正确.

故选：D

3.（2023•全国•高三专题练习）如图，在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点,

M、N、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线4B不平行于平面MNQ的是（）

【答案】D

【分析】

利用线面平行的判定定理逐项判断可得出合适的选项.

【详解】

对于A选项，连接CO,如下图所示：

因为AC//8Z)且4C=8f>,所以，四边形ABr)C为平行四边形，所以,CDHAB,

QN、。分别为CE、OE的中点，则NQ〃C。，所以，NQHAB,

因为A8<Z平面MM2，NQU平面MNQ,所以，AB//平面MNQ；

因为AC//BQ目.4C=5D,所以，四边形ABDC为平行四边形，所以,ABHCD,

。分别为CE、£>£的中点，所以，MQ//CD,.-.MQHAB.

因为A3Z平面MNQ,MQl平面MNQ,所以，AB〃平面MNQ：

对于C选项，连接CO,如下图所示：

因为且AC=3。，所以，四边形ABOC为平行四边形，所以,ABHCD,

Q分别为CE、DE的中点，所以，MQHCD,.-.MQHAB,

因为A8<Z平面MNQ,MQl平面"NQ,所以，AB〃平面MNQ；

对于D选项，连接CD、8E交于点。，则。为BE的中点，设BEMN=F,连接FQ,

因为Q、。分别为AE、砥的中点，则OQ〃A8,

若AB〃平面MNQ,ABI平面ABE,平面ABEI平面MNQ=尸。，则32〃AB.

在平面ASE内，过该平面内的点Q作直线45的平行线，有且只有一条，与题设矛盾.

假设不成立，故D选项中的直线AB与平面"NQ不平行.

故选：D.

4∙（2022∙全国•高三专题练习）如图，在正方体ABCO-ABCa中，M,N分别是棱CQcC

的中点.给出以下四个结论：

①直线AM与直线GC相交；②直线AM与直线BN平行；③直线4W与直线。。异面；④

直线BN与直线M耳异面.其中正确结论的序号为一（注：把你认为正确的结论序号都填上）.

【答案】③④

【分析】

利用异面直线的定义进行判断.

【详解】

AMn平面CDRG=M,CClU平面CDD£,且MeCc-根据异面直线的定义可得，直

线AM与百线CC异面，故①错；类似的根据定义可说明直线AM与直线BN异面，直线40

与直线Dq异面，直线BN与直线MBl异面，故②错，③，④正确.

故答案为：③④

5.（2022・全国•高三专题练习）已知平面a、夕和直线机、/,则下列说法：

①若aVβ,aβ=m,ILm,则/J_〃；

②若aβ=m,IUa,ILm,则/_L尸；

③若a，/?,∕⊂a,!）∣∣J∕±/?;

④若ccLβ,aβ=m,IUa,ILtn,则/J∙P.

其中正确的说法序号为.

【答案】④

【分析】

利用面面垂直的性质定理逐项判断可得出结论.

【详解】

对于①，若a，#,aβ=m,IVm,贝∣J/与"的位置关系不确定，①错：

对于②，若a、〃不垂直，则/与尸不垂直，②错；

对于③，若口■!"尸，∕ua,贝!]/与/不一定垂直，③错；

对于④，由面面垂直的性质定理可知④对.

故答案为：④.

2堆练能力f//

6.（2021.北京.高三开学考试）在正方体ABC。-ABcA中，点尸在正方形AoRA内，且

A.在正方形。CCQl内一定存在一点。，使得产。〃4C

B.在正方形。CGQ内一定存在一点。，使得PQJLAC

C.在正方形。CGR内一定存在一点。，使得平面「。G//平面A8C

D.在正方形。CGA内一定存在一点。，使得ACL平面PQC

【答案】A

【分析】

对于选项A,当尸。是《RAC的中位线时，可判断A选项；对于选项B,假设存在，则PQU

平面DBBR,或者PQ〃平面。B瓦。，进而与已知矛盾判断B选项；对于选项C,假设存

在，则可得到平面PQG//平面AMG,进而由矛盾判断C选项；对于选项D,假设存在,

则可得到平面DBBQJ/平面PQC1,进而已知矛盾判断D选项.

【详解】

对于选项A,连接4。、交于点P,连接DG、AC交于点Q连接PQ、AC,

因为PQ是.RAC的中位线，所以PQ〃AC,故A项正确；

对于选项B,在正方形DCGA内如果存在一点。，使得PQJLAC,由于AC_L平面。BBQi,

所以PQU平面DBBQ,或者PQ//平面O8B∣R,而R。在平面DB4R的两侧，P。与

平面。8隹。相交，故B项错误；

Ci

对于选项C,在正方形。CGP内如果存在一点0，使得平面尸QCJ/平面ABC,由于平面

ABGll平面ABC,所以平面尸。C"/平面A耳G,而平面PQ6与平面A旦G相交于点G，

故C项错误；

对于选项D,在正方形OCGA内如果存在一点Q，使得ACj_平面PQG,由于ACl平面

DBB1D1,所以平面DBBQ//平面PQC-而R。在平面DBBIA的两侧，所以平面。台鸟〃

与平面PQc,相交，故D项错误.

故选：A

7.（2011•浙江•高考真题（理））下列命题中错误的是（）

A.如果平面aJ_平面人那么平面ɑ内一定存在直线平行于平面£

B.如果平面α不垂直于平面夕，那么平面ɑ内一定不存在直线垂直于平面夕

C.如果平面a_L平面y,平面4_1_平面y,α∏夕=/,那么/J_平面y

D.如果平面aJ_平面夕，那么平面ɑ内所有直线都垂直于平面夕

【答案】D

【分析】

利用面面垂宜的性质定理和线面平行的判定定理证明A正确；利用面面垂直的判定定理证

明B正确：利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理证明C正确：举反例可得D错

误.

【详解】

对于A,设平面an平面£=直线”,设直线6uα,且/"/a,则显然直线ba平面月，

根据线面平行的判定定理可得直线bHβ,故A正确；

对于B,如果a内存在直线与月平行，则由面面垂直的判定定理可知平面a1■平面夕，

与己知矛盾，故B正确；

对于C,设平面a1平面=",平面Srl平面尸"在7内作直线徵，“,”，。，

IlirHIlHI垂直■的性质定理可得m∙La,“∙L夕,乂；门：线/ua./u〃.m±∕,n1∕,

又∙."a∩∕=/,.'."I"为相交直线，又∙.∙m>nu平面".∙.L平面y,故C正确；

平面“」一平面夕，设平面aCl平面£=a,在平面a内与a平行的直线都不与平面夕垂直，

故D项错误.故选:D.

8.(2022•全国•高考真题(文))在正方体ABC。-ASGA中，E,尸分别为AB,BC的中

点，贝IJ()

A.平面BgF，平面8。RB.平面4EF，平面ABr)

C.平面AEF//平面AACD.平面4所//平面ACQ

【答案】A

【分析】

证明EF_L平面BDR,即可判断A；如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，设AB=2，

分别求出平面MM,A1BD,AGo的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.

【详解】

解：在正方体ABCO-ABC。中，AC,B。且DR，平面ABCO,又EFU平面ABC。，所

以E尸，DDt,

因为E,F分别为AB,BC的中点，所以EFAC,所以EFLBD,又BDDD、=D,

所以£F，平面8。。，又EFU平面4EF,所以平面片EFJ.平面BDR,故A正确；

选项BCD解法一：

如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，设Aβ=2,

则场

(2J2,2),E(2,1,0),F(,2,0),B(22,0),A(2,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),

则£F=(-I,I,O),Eβl=(0,1,2),DB=(2,2,0),图=(2,0,2),

M=(0,0,2),AC=(-2,2,0),AG=(-2,2,0),

设平面旦EF的法向量为加=(ΛP%ZJ,则有Fff=F1"=?，可取〃2=(2,2,-1),

∖nt∙EBl=%+2Z]=O

同理可得平面力田。的法向量为4=(1,τ,τ),平面AAC的法向量为丐=(1,1,0),

平面AG。的法向量为%=(1,1,-1)>则m∙"∣=2-2+1=1*0,

所以平面B1EF与平面AtBD不垂直，故B错误；

IIU

因为m与〃2不平行，所以平面BEF与平面AAC不平行，故C错误；

因为WI与%不平行，所以平面与E尸与平面AGO不平行，故D错误，

故选：A.

捻项BCD解法二：

解：对于选项B,如图所不，设AB∣B,E=M,EFBD=N,则MN为平面B∣E尸与平面

AB。的交线，

在内，作BP工MNT点P,在&EMN内,作GPLMN,交ENT点、G,连结BG,

则ZBPG或其补角为平面BIEF与平面A1BD所成二面角的平面角，

由勾股定理可知：PB2+P∕V2=BN2,PG2+PN2=GN2,底面正方形ABCO中，2尸为中

点，则EF_L8D,

由勾股定理可得NB2+NG2=BG2,从而有：NB2+NG1=(PB-+PN2)+(PG2+PN2)=BG2,

据此可得尸+wBG"即NBPGH90，据此可得平面BIEFl,平面Λl3O不成立，选项

B错误；

对于选项C,取AA的中点H,则AHB1E,

由于AH与平面AAC相交，故平面BEF〃平面AAC不成立，选项C错误；

对于选项D,取AD的中点M,很明显四边形44月0为平行四边形，则AMl4F,

由于AM与平面AG。相交，故平面四所〃平面AGO不成立，选项D错误；

i>l

故选：A.

9.（2022•广东惠州・高三阶段练习）如图所示，在四棱锥P-ABC。中，南_1_底面ABC。，且

底面各边都相等，ACBD=O,M是PC上的一动点，当点M满足时，平面

MBZ），平面PCD（只要填写一个你认为正确的条件即可）

【答案】DMlPC（或&WJ_PC,OMLPC等都可）

【分析】

先确定所填答案，如OWLPC,再证明平面例8。，平面PCD即可，根据线面垂直的性质

可得R4LSD,从而可得8。L平面PAC,再根据线面垂直的性质可得即_LPC,从而可

得PC1平面MBD,再根据面面垂直的判定定理即可得证.

【详解】

解：可填ZwJ_PC,

由ABC。为菱形，则ACBO,

*/∕¾_L平面ABCD,BDU平面ABCD,

所以P4_L3D,

又PAAC=A,

BO_L平面PAC,

又PCU平面PAC,

：.BDLPC,

又DM工PC,BDCDM=D,

所以PCjL平面M8。，

又因PCU平面PCD,

所以平面MBDL平面PCD.

故答案为：DMVPC.（⅛cBM±PC,OMlPC等都可）

10.（2022•吉林・东北师大附中模拟预测（理））如图，在边长为4的正三角形月BC,E为

边AB的中点，过E作EOLAC于ZX把“ADE沿DE翻折至的位置，连接AC.翻

(T)DEA.AiC.

②存在某个位置，使AE_L8E；

③若CF=2R,则8尸的长是定值；

④若CF=2马，则四面体C-EEB的体积最大值为竽

【答案】①③④

【分析】

根据线面垂直的性质判断①，②；取AC中点M,可证明JRWLBM,从而可计算出8户，

判断③；折叠过程中，s5CE不动，当F到平面ABC的距离最大时，四面体C-EFβ的体

积最大，从而计算出最大体积后判断④.

【详解】

因为。E_LOCoE_LADoCAiD=D,QC,ΛtOu平面Λ1DC,

所以OE_L平面AOC,

乂ACU平面AOC,所以。E_LAC,①正确；

若存在某个位置，使AEd.2E,如图，连接AA,AB,因为8E=AE,

所以AELAB,

连接CE,_MC中，CElAB,CE∖E=E,CE,Λ1Eu平面A°E,

所以AB_L平面ACE,

而ACU平面A1CE,所以ABlAC,

由选项①的判断有。E^AC,且OEAB=E,OEU平面ABC,ABi平面43C,

所以ACj∙平面A6C,又DCU平面A6C,所以A1CLOC,则AO>CO,这是不可能的,

事实上AD=Ao=AEeOS6(r=gAE=(A8=；AC=gcZ),②错；

设M是AC中点，连接尸M,8W,则&UJ.AC,所以BM〃DE，

从而BMj.A。，。是AM中点，所以CM=AM=2MO,若CF=2『，即CF=2E4∣,

所以所以_RW，且由尸“〃A。得CFMSCAD,

FMCM222r

所以===-ABC边长为则4,则AO=I,FM=；xl=；,BM=2G

BF=BM-+FM1=J(2>∕3)2+f=平为定值，③正确;

折叠过程中，4。不变，BeE不动,当尸到平面ABC的距离最大时，

四面体C-EFB的体积最大，由选项C的判断知当，平面ABC时，

F到平面A8C的距离最大且为I=I,又SMCE=LW又42=26，

所以此最大值为匕∙"B=KFBCE=Lx2Gχ2=生叵，④正确，

C-cror—DCC3"39

故答案为：①③④.

3维练素养JH

11.（2022∙浙江省江山中学模拟预测）如图，在单位正方体ABCo-ABCA中，点P是线段

AR上的动点，给出以下四个命题：

①异面直线Pcl与直线BlC所成角的大小为定值；

②二面角P-BG-。的大小为定值；

③若。是对角线Aa上一点，则PQ+QC长度的最小值为g；

④若R是线段BD上一动点，则直线PR与直线AC不可能平行.

其中真命题有（）

A.I个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】

利用正方体的性质，结合空间直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，逐项判断

正误.

【详解】

解：对于①，由正方体的性质可知，BC，平面ABG。，又PGU平面ABGR,

故B∣CLPG,异面直线PG与直线BG的所成的角为定值，①正确；

对于②，平面尸Bc即为平面ABGR,平面ABCQl与平面BG。所成的二面角为定值，故二

面角P-BG-O为定值，②正确；

对于③，将平面ACG沿直线AG翻折到平面ABGA内，平面图如下，过C点做CPLAR,

CPAG=Q,CPfIBG=E.此时，PQ+QC的值最小.

由题可知，CC1=1,C4=√2,ΛCl=√3,ZDlΛC1=ZC1AC=ZΛClB,

SinNGAC=卓COSNeIAC=半，

2

则NCGE=I-2ZClAC,sinZCC1E=cos2ZClAC=2cosNGAC-I=g,

故EC=CClXSinNCCIE=；,又PE=AB=I，

4

故PQ+QC的最小值为：，故③正确.

对于④，在正方体ABCD-AtBlQDt中易证AC，平面8OC∣,设ACBD=O,则ZA1OC1即

为二面角A-BD-G的平面角，又正方体边长为1,故AG=√i,AO=OC=#,则

Ao=Go=逅,由余弦定理得c。SNAoG="兰鱼=],故NAoG<9,同理

22'AyO'ClO92

TT

-<ZΛOCl<πy

故在44匕必然存在一点E,使得二面角E-BD-G为事TT,即平面EBDL平面BQG,平面

EBD与平面ADD1A1的交线为ED,

则Ef>∏4R=P,过P点作出）的垂线尸R.此时依，平面BoG,又AC_L平面8OG，故

PR/M1C.故④错误.

12.（2022•全国•高三专题练习）正方体A8CZ）-AK/Q中，E是棱Qn的中点，尸在侧

面CDAG上运动，且满足BF平面A8E.以下命题中，正确的个数为（）

①侧面CDAG上存在点F,使得B1FlCD1；

②直线BF与直线BC所成角可能为30。；

③设正方体棱长为1,则过点E,F,A的平面截正方体所得的截面面积最大为好.

2

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】

先依据题给条件求得点F在侧面CDD1C1匕的轨迹为线段KH,当点F为K"中点时，

BtFrCDl,则①判断正确；求得直线男尸与直线BC所成角最大值否定②；举特例否定③.

【详解】

分别取C百、GP的中点K、H`连接用K、BtH,HK、EK

4A

由ABlEK,AiBl=EK,可得四边形4B∣KE为平行四边形,

则与KAiE,又ABHK,BlKCHK=K、AiBAE=A

则平面4K”）平面A∣BE,

则当点尸落在线段KH上时，片尸匚平面用阳，则用尸，平面A1BE

即满足题意的点尸住侧面CWIG上的轨迹为线段KW

①取K”中点P,连接Bf,

△用KH中，B、H=B、K.PH=PK,则gP∙L∕∕K

又CD、HK,则8∣PJ.C",即当F为Ka中点时，有B/_LCZY判断正确;

B-----------f

②当点F在线段KH上运动变化到端点K或H时•，

直线BF与直线BC所成角取得最大值，

此时直线8/与直线BC所成角为NKBe（或NHBC）

又tanZHB1C1=tanZ∕Cfi1C,=ɪ<y,NHBG=NKBC≡（0，］）

则NHBC=NKBC<g则宜线B1F与直线BC所成角不可能为30。.判断错误;

③设正方体棱长为1,当F为ClEmHK交点时，

过点E,F,A的平面交B用于BBl的中点M,连接“G、AM、AE.C1E

Bt-------------------------r

过点E,F,A的平面截正方体所得截面为菱形AMGE

又菱形AMC1E对角线AG=√5,ME=丘

则截面4MC,E的面积为;AG∙ME=gX岛0=曰>4.判断错误.

故选：B

13.（2022,辽宁大连•二模）如图所示，在正方体4BC。-AqGR中，点尸是棱Aa上的一

个动点（不包括顶点），平面BFR交棱CC,于点E,则下列命题中正确的是（）

D,C1

A.存在点F,使得NREB为直角

B.对于任意点?都有直线AG〃平面BERF

C.对于任意点R都有平面AGD，平面BEAF

D.当点尸由A向A移动过程中，三棱锥尸-BBlR的体积逐渐变大

【答案】C

【分析】

A：验证AF∙EB是否为零即可；B：根据线面平行的性质即可判断；C：证明平面AG。

即可；D：证明441〃平面BBQ即可.

【详解】

对于A,易知AF∙Eβ=(0A+A尸)∙(E4+A8)=AF∙E4=TAH∙∣E4∣≠0,故。尸与FB不

垂直，故A错误；

对于B,连接A£、AC,EF,则平面ACGA∩平面BER尸=E凡

Dil____________C1

若AG〃平面BEAF,则AG〃"凡显然仅当F和E为所在棱中点时AG与E厂才平行,

故B错误：

对于C,连接A。、AC、CQ、BR、AD^BCt,

由48,平面AOAA得ABJ.AQ,易知ADJAQ,

VAB∩ADi=A,AB,4。U平面ABCQ,.∙.AQ平面ABCQ∣,

.∙.A1D1BDl,同理可证ΛlC,±BD1,

VA,D∏AtCl=At,A。、AlGU平面AGD,六BRJ_平面A1CQ,

∙.∙BRu平面BERF,.∙.平面AGn_L平面BERF,故C正确;

对于D,连接8"、Ffi1,B1D1,

'.'AA1//,AA∣<Z平面BBQ,88∣u平面8BQ,

.∙.AA//平面BBQ,则F到平面BBa的距离为定值，

乂△B8Q,面积为定值，故三棱锥68BQ,体积为定值，故D错误.

故选：C.

14.（2022•江西萍乡•三模（理））如图，在正方形ABS中，点M是边CD的中点，将AWM

沿翻折到△/¾”,连接PB,PC,在ZWW翻折到Z∖Λ4"的过程中，下列说法正确的

是.（将正确说法的序号都写上）

②存在某一翻折位置，使得AMYPB；

③棱P8的中点为E,则CE的长为定值；

【答案】①③

【分析】

依据翻折过程中的_LAM,PH=苴■AD均不变,判定点P的轨迹为圆弧，从而判断①正

5

确；利用反证法否定②；求得翻折过程中CE的长恒为立AO,从而判断③正确.

2

【详解】

设正方形ABCD边长为“，

①在正方形ABCD中，过点。作£归_LAM于H,则。叵"

5

在ZMDW翻折到A√¾Λ∕的过程中，PHA.AM,均不变,

5

则点尸的轨迹为以”为圆心，以且α为半径