2023-2024学年山东省青岛高二年级上册期末考试数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年山东省青岛高二上册期末考试数学模拟试题

一、单选题

1.已知｛%｝为等差数列，4+%+%=105,a2+a4+a6=<)9,则数列｛a,,｝的公差d=()

A.-2B.-1C.2D.1

【正确答案】A

【分析】根据等差数列下标和性质和通项公式直接求解即可.

【详解】由等差数列性质知：4+%+6=3%=1。5,α2+α4+α6=3α4=99,

,

..03=35,%=33,d=a4-a3=-2,

故选：A.

2.双曲线犬-片=1的焦点坐标是()

3

A.(0,±2)B.(±2,0)C.(+√2,θ)D.(θ,±√2)

【正确答案】B

【分析】根据双曲线方程可得“力，然后根据/="+〃可得c,最后得出结果.

【详解】由题可知：双曲线的焦点在X轴上，S.a=｝,b=y∕3,.∙.c2=a2+b2^>c=2

所以双曲线的焦点坐标为(±2,0)

故选：B

(\\

3.已知抛物线C：∕=2px(p>0),焦点为F,点A-,1到在抛物线上，则IAFl=()

14√

95

A.3B.2C.-D.一

44

【正确答案】D

【分析】利用抛物线的定义求解.

(\\

【详解】因为点A-,1在抛物线上，∙∙∙i=g,解得p=2,

[4)2

利用抛物线的定义知∣AF∣=4+∙^=t

故选：D

4.直线4“-2），+机=0与直线/2：,心+6），-1=0平行，则两直线间的距离为（）

A.延B.mC.延D.√5

5315

【正确答案】B

【分析】先根据直线平行求得“，再根据公式可求平行线之间的距离.

【详解】由两直线平行，得一2Xfn=IX6,故〃?=—3,

当，〃=一3口寸，I1:3x-6y-9=0,∕2:3x-6y+l=0,j⅛r⅛∕∣∕∕Z2,

故两直线平行时〃?=-3.

又44之间的距离为d=单』=）=冬6,

√9+363√53

故选：B.

5.圆心在X轴上且过点（1,6）的圆与），轴相切，则该圆的方程是（）

A.X2+y2-4x=0B.x2+y2+4x=O

C.X2+y2-4y=OD.x2+γ2÷4v=O

【正确答案】A

【分析】根据题意设出圆的方程，列式即可求出.

【详解】依题可设圆的方程为（x-α）2+y2=∕">o）,所以+3=厂，解得

a=2,r=2,

即圆的方程是f+J—©=。.

故选：A.

6.如图，在直三棱柱ABC-ABC中，AB=BC=OBB、,ZABC=UOo.M为AG的中

点，则直线8M与平面ABAA所成的角为（）

A.150B.30oC.450D.60o

【正确答案】B

（分析】设点M到平面AB1B的距离为h,通过等体积法匕MqM=VM-ΛAB求得h,再求线面

角的正弦即可得解.

如图所示：不妨设AB=BC=6BB∖=2,NABC=I20。，由余弦定理可得

AC=AG=2技耳M=JABj="Ξ^=ι,

所以BM=JBB7+B∣M2=√ΣTT=6.

SMetM=；SAAIBIG=gxgx26Xl=乌,S/B.=5*2*&=3，

Z.2.乙乙乙

设点M到平面A4B的距离为

则/-A5M==ɜ,BBI=-用B*="ɪX=应人9

解得力=且，

2

h\

所以直线BM与平面ABB1A所成角的正弦值为£=：，

BM2

所以直线BM与平面ΛBBtAt所成角为30°.

故选：B.

关键点点睛：本题的解题关键是通过等体积法求得点M到平面AB出的距离，再由高比斜线

段可得线面角的正弦.

7.已知等差数列的前〃项和为S“，公差4=—2,若5“=52。22一，"€ζ，区2021,则4=

()

A.2023B.2022C.2021D.2020

【正确答案】C

【分析】根据题意令〃=1可得Sl=邑⑼，结合等差数列前〃项和公式写出$2以，进而得到关

于《的方程，解方程即可.

【详解】因为S,=S2022r,,令〃=1，f⅜5l=S2021,

又S202∣=2021q+2021*1010d,d=-2,4=E

所以S2θ2∣=2021(OI-2020),有4=202l(a,-2020),

解得q=2021.

故选：C

2-5

8.已知斜率为1的直线与椭圆U*→g=l(a>6>0)相交于4、B两点，O为坐标原点，

AB的中点为P,若直线。尸的斜率为则椭圆C的离心率为().

A.ɪB.正C.&D.ɪ

7232

【正确答案】B

【分析】这是中点弦问题，注意斜率与椭圆。力之间的关系.

【详解】如图：

联立方程:

y=x+m2号2：p-

,解得：χ↑+χ2="［匕］，彳弋入y=χ+'"得y=^j

√v^11

7+FP^

mm

"/

故P点坐标为,由题意，OP的斜率为

11,11

7+FΣr+Fj

tn

不

1

-2^+^

即，__;也L=-；,化简得:S=P/=»=3C?=心#,e=冬

in

ɪ

11

7+fe7

故选：B.

二、多选题

9.已知S“为等差数列｛4｝的前〃项和，且q=-13,S3=-33,则下列结论正确的是（）

A.α,,=2n-15B.也｝是先递减后递增的数列

C.牝是4和/的等比中项D.S,,的最小值为-49

【正确答案】ACD

【分析】根据题干条件得到d=2,从而求出通项公式，判断出是递增数列；求出α=∣,〃=9,

Λ48=81,从而判断C选项，根据%=T<0,%=1>。可知S"在”=7时取得最小值，求出

最小值，从而判断D选项.

【详解】由题意得：S3=3«,÷3J=-33,因为％=—13,所以d=2∙所以｛%｝通项公式为：

0,,=-13+2(n-l)=2π-15,A选项正确；由于d=2>0,所以｛4｝为递增数列，B选项错

误；通过计算可得：4»%=9,%=81,其中C正确；因为｛4｝为递增数

列，且生=τ<θ,⅞=ɪ>0,故S"在"=7时取得最小值，S7=7α4=-49,D选项正确.

故选：ACD

10.已知两点A(-2,0),3(2,0),若直线上存在点P,使得IPAITP用=2,则称该直线为“点

定差直线”，下列直线中，是“点定差直线”的有()

A.y=x+∖B.y=3x+1

C.y=2x÷4D.y=y∕2x+3

【正确答案】AD

【分析】先求出P点的轨迹方程为Y-X=I的右支，结合双曲线的渐近线斜率与选项中直

3

线斜率进行比较，得到有无交点，进而求出答案.

【详解】因为|朋-|「四=2<|"|,故尸点的轨迹方程为双曲线的右支，其中α=l,c=2,

则必“2"2=47=3,所以双曲线为/一(=1(x>0),渐近线方程为y=±√Jχ,y=x+l的

斜率为1<√L故与F-片=I(X>0)有交点，A正确；

3

y=3x+l的斜率3>百，且与y轴交点为(O/)，故与f—?=1(x>0)无交点，B错误;

y=2x+4的斜率2>石，且与y轴交点为(0,4),故与/一］=ι(χ>。)无交点，C错误;

y=√Σx+3的斜率血<6，故与炉-¢=1(x>0)有交点，D正确.

故选：AD

H.己知数列｛q｝为等差数列，｛a｝为等比数列，｛%｝的前〃项和为S,,,若4+4+%=3T,

blb5b9=8,则()

A.S11=1∖π

B.

她2

C.%+%+4=3万

D.⅛3+⅛7≥4

【正确答案】ACD

【分析】根据题意得4="，么=2,再根据等差数列与等比数列的性质依次求解即可得答

案.

【详解】解：因为数列n｝为等差数列，低｝为等比数列，q+%+4=3万，纳A=8,

所以q+6+%=3%=3亓，即a=%,t>lh5hg=⅛j=8,即仇=2,

对于A选项，SU=HJ=Uq=I反，故正确；

对于B选项，见+4。=24=2肛她i=K=4,所以Sin等含=Sinm=1,故错误；对于C

选项，设等差数列｛”“｝的公差为d,则4+/+&=%-3d+4+"+4+2〃=34=3ι,故

正确；

对于D选项，由4=2得4">0,故K+'≥2阿=2展=4,当且仅当么=H=2时等

号成立，故正确；

故选：ACD

12.棱长为2的正方体ABCo-ABGR的侧面ABBM（含边界）内有一动点尸，则（）

A.BtP-mBlB+nBtAx,m+n=\,贝IJS1P-B1D1-0

B.^AlP=ΛAlβ(0<Λ<l),M∣JC1P-B1D=O

C.若用尸=；PAAE=g(AC+AA),则BtPAtE=~

D.若AE=;(AG+AR)，则存在非零向量与产使4P∙AE=-1

【正确答案】BCD

【分析】对于每一个选项中所出现的向量用基底表示，然后通过分析或计算数量积就可以对

每一个选项进行判断.

【详解】对于A,B∖P=mB∖B+nB∣At,m+n=l,

则4P=(1-〃)48+〃4A=B∖B+n(B∖A-B∖B)

=>B7_B∖B=H(BA—B∣B)=BP=nB∕∖，

从而可知点尸在线段BA上，由于Ba不垂直侧面ABBa,故4P∙BQ=0不成立，所以A

错误；

对于B,易证AG∙LBQ，BQIB1D,从而可知BQ∙L平面A8C∣,

由AP=XAIB(O<∕l<l),可知点P在线段BA上，因此用OLCf,所以GPBQ=O,B正

确；

对于c,耳2AE=+AR)=:PA∙(A6+AA)

=；XggA(AG+AR)=∖(B归+AA)∙(AG+AR)

=∖(48+BA)∙(A耳+2AA)

———(BIB∙A∣B1+2B∖B∙A∣D∣+8IA•4耳+28∣4∙ADJ

61

12

=-(0+0-4+0)=——,故C正确；

63

对于D,设BF=2BιB+4B∣Al,

所以B[P♦A∖E=(入BTB+Aj∙](AG+4∣Z)J=Q(AB田+∕JB1A1)A1B1+2A1D1j

=^(ΛBlB+pBlAt)^AlBl+2AR)

=3(入B∣B,AB∣+2入B∖B∙AR+〃BlA,√4∣+2〃qA∣∙AZ)I)

11

=-(0+0-4//+0)=-2//=-1,得〃=5,从而可知4尸不会是零向量，故D正确.

故选：BCD

三、填空题

13.已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为.

【正确答案】6万

【详解】试题分析：由题意得2r=2,∕τ=2,所以圆柱的表面积为2++2R∕I=6%

圆柱的表面积

14.已知等比数列｛%｝满足：q=27,%=圭，W3<0,则公比4=.

【正确答案】-g

【分析】根据等比数列的通项公式可得的=。4，结合44=4,3<（）即可求出公比.

【详解】设等比数列的公式为q,

则的="〃，即15=27"'，

解得q=士；,

又见。3=42/<0,所以q<0,

所以

故答案为§

22

15.已知O为坐标原点，等轴双曲线。:£-£=1（4〉0力>0）的右焦点为F（五,0）,点P

在双曲线C上，由尸向双曲线C的渐近线作垂线，垂足分别为A、B,则四边形。4P8的

面积为.

【正确答案】T##0.5

【分析】求出双曲线C的方程，可求得双曲线C的两条渐近线方程，分析可知四边形。4P3

为矩形，然后利用点到直线的距离公式以及矩形的面积公式可求得结果.

【详解】因为双曲线C为等轴双曲线，则α=6,c=√7谖=缶=血，可得α=b=l,

所以，双曲线C的方程为V-V=I,双曲线C的渐近线方程为χ±y=0,

则双曲线C的两条渐近线互相垂直，则C4_LP4,OBLPB,OAA.OB,

所以，四边形。4P8为矩形，

设点P(XO,为)，则片-y：=l,不妨设点A为直线χ-y=0上的点，

则解=*，网=空，所以，S矩形…I/陷=吗亚g∙

故答案为.去

16.数列｛《,｝满足。“+2+(-1)"%=4"-1,前12项的和为298,则4=.

【正确答案】4

【分析】当〃为偶数时，可求出前12项中偶数项的和；当”为奇数时，可用为表示出前12项

中奇数项的和，从而可求出％的值.

【详解】当"为偶数时，an+2+¾=4n-l,

所以4+∕=7,¾+ab=23,0l2+0l0=39,

所以tz2+ɑ4+α6+o8+a10+α12=69；

当"为奇数时，all+2-all=4n-∖,HP¾t2=a,,+4w-l

所以%=4+3,«5=4+11=41+14,07=05+19=01+33,%=%+27=4+60,

a”=ch+35=4+95,

所以儿=(¾+¾+⅝+⅞+α∣0+α∣2)+(ai+4+G+%+%+%)

=69+6q+205=298,所以q=4.

故答案为•4

四、解答题

17.已知直线/：6x-y-12=0,以点(0,-2)为圆心的圆C与直线/相切.

(1)求圆C的标准方程；

⑵过点(3,—1)的直线/'交圆C于A,B两点，月」AB卜8,求/'的方程.

【正确答案】⑴炉+("2)2=25

⑵x=3或4x+3y-9=0

【分析】(I)根据点到直线的距离公式求出半径r,即可得到圆C的标方程；

(2)根据弦长公式可求出圆心C到直线/'的距离，再根据点到直线的距离公式结合分类讨

论思想即可求出.

I-WiV

【详解】(1)设圆C的半径为r,YC与/相切，∙∙∙J(W)2+(f2=5,

圆C的标准方程为V+(y+2)2=25.

(2)由IABl=8可得圆心C到直线1'的距离d=乒不=3.

二当/'的斜率不存在时，其方程为χ=3,此时圆心C(O,-2)到χ=3的距离为3,符合条件；

__I-3⅛+11C

当/'的斜率存在时，设Ly+l=%(x-3),圆心C到直线厂的距离dj=j".=3,解得

44

k=q此时r的方程为y+l=-](x-3),即4x+3y-9=0.

综上，/'的方程为x=3或4x+3y-9=0.

18.已知｛%｝是各项均为正数的等比数列，a3-al=60,a2=16,neΛT*.

(I)求数列｛〃”｝的通项公式；

ft+9

(II)若数列｛b〃｝的通项bn满足2∙=all,求｛加｝的前n项和Sn的最小值及取得最小值时

n的值.

【正确答案】(I)a,,=4π;(II)当〃=4时，S,,取得最小值为-16

【分析】(I)设出公比，由已知列出方程求出首项和公比即可；

(II)求得纥=2〃-9,得出S,,,利用二次函数性质可求.

【详解】⑴设等比数列｛叫的公比为4,且4>0,

Oi=叱一4=60,解得q=4

则

a2=q9=16q=4

d+9n

(II)2'=a„,:.b,,=Iog2a,,-9=Iog2(4)-9ɪ2«-9,

S,“7-9)=〃2_8〃=(〃-4)2一16,

则当〃=4时，S,,取得最小值为T6.

19.已知抛物线Uy=2px(p>0),抛物线C上横坐标为1的点到焦点尸的距离为3.

(1)求抛物线C的方程及其准线方程；

(2)过(-1,0)的直线/交抛物线C于不同的两点A,B,交直线X=Y于点E,直线8F交

直线X=T于点。，是否存在这样的直线/,使得DE//AF?若不存在，请说明理由；若存在,

求出直线/的方程.

【正确答案】(1)抛物线C的方程为V=8X,准线方程为X=-2；(2)存在直线y=半(χ+l)

或y=-∙^^∙(x+l).

【分析】(1)根据抛物线的定义即可求得抛物线的标准方程以及准线飞航程.

(2)设出直线/的方程y=k(χ+l)(%Nθ),联立直线的方程和抛物线的方程，消去y后根据

判别式大于零求得&的取值范围，写出韦达定理.结合OE〃A尸得到直线£>E与直线"的斜

率相等，由此列方程，解方程求得％的值，也即求得直线/的方程.

【详解】(1)因为横坐标为1的点到焦点的距离为3,所以1+勺3,解得。=4,所以V=8χ,

即准线方程为x=-2.

(2)显然直线/的斜率存在,设直线/的方程为J=*(x+l)(⅛≠0),A(xl,yl),β(x2,y2).

联立得P二"，消去V得心2+(2"2-8)x+公=0.

y=k(x+l)

由4=(2&2-8)2-4炉＞0,解得-正＜左＜0.所以-夜＜々＜亚且女HO.

由韦达定理得X+X=8》,XIX2=ɪ•

12

直线B尸的方程为y=3(χ-2),

又租=-1,所以%=言,所以"T,R⅞),

巧-zx?~~乙

因为。E〃4F,所以直线Z)E与直线AF的斜率相等

~-3k+3-^—

又E(T-3%),所以"2=A.

一3玉一2

整理得上=居+居，即人等9+竺芳，

X∣-Z4-LXj-ZX2-N

-f.ɪɪ+1x＞+l2x.x,-(x+x,)-4

化简得l=r+4,1l=rf21，即rιr为l+%=7∙

A[1-ZX】一乙Xl∙¾-々)+4

所以f=7,整理得公脸

解得左=±逑.经检验,k=±逑符合题意.

33

所以存在这样的直线/,直线/的方程为y=^(χ+l)或y=-半(χ+l)∙

20.已知数列｛4,｝满足«1=1.an-an+l=%%(〃《N*).

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵记d=[-lg%],其中国表示不超过X的最大整数，如[0.6]=0,[Ig66]=l.

(i)求4、瓦3、bl23；

(ii)求数列｛2｝的前IOOO项的和.

【正确答案】(1)4,='；

n

⑵(i)a=0,%=1,3=2；(ii)1893.

【分析】(1)推导出数列F为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列｛4｝的

.11J

通项公式：

(2)(i)利用对数函数的单调性结合题中定义可求得4、瓦3、九3的值；

(ii)分别解不等式0≤lg”<l∖l≤lg”<2∖2≤lg"<3,结合题中定义可求得数列也｝的

前IooO项的和.

【详解】(1)解：因为4=1,an-an+l=¾an+l(rt∈N'),则1-出=4，可得4=g,

∣-α3=∣α3,可得q=g,以此类推可知，对任意的〃eN*,¾≠0.

aa

由n-n+i=α,4,+∣(〃eN*),变形为“，胆=-------=1,

''alt%an+la„

・•.[,]是一个以1为公差的等差数列，且首项为’=1,

ι¾J%

所以，,=1+("T)∙1=",因此，an=-.

ann

⑵解:(i)⅛=[-lg0rt]=[lgn],则a=[lgl]=[θ]=θ,

1O<23<IOO,贝IJI=IglO<lg23<lgl00=2,⅛⅛23=[lg23]=l,

100<123<1000,则2=lglOO<lgl23<lglOOO=3,⅛⅛l2,=[lgl23]-2；

(ii)IglOOO=3,当O≤lg”<l时，即当l≤"<10时，⅛=[lg∕j]=O,

当l≤lg”2时，即当10≤"<100时,⅛=[lgn]=l,

当2≤lg”<3时，即当IOo≤'<1000时,⅛=[lgn]=2,

因此，数歹∣J{"}的前IOoo项的和为0x9+1x90+2*900+3=1893.

21.如图，在四棱锥P-ABCO中，R4，面438.PA=^AB^AD=2,四边形ABCD满足

AB±AD,BCHAD,8C=4,点M为PC中点，点E为BC边上的动点

(H)是否存在点E,使得二面角的余弦值为:？若存在，求出线段跖的长度;

若不存在，说明理由.

【正确答案】(I)证明见解析；(H)存在，I.

(I)由题意有B4J∙AT>,PAA.AB,又以以A为空间坐标原点建立如图所示空

间直角坐标系.证明DW,AP>AB为共面向量即得.

(11)设£(240),0<α<4,求出平面PDE的一个法向量，平面瓦组的一个法向量为AP,

利用法向量夹角的余弦的绝对值等于;求得。即可.

【详解】(I)因为PAj_平面ABe所以a_LA£>,PAYAB,XABlAD,所以∕¾,AB,

A。两两垂直.以A为空间坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示.

则P(0,0,2),B(2,0,0),O(0,2,0),C(2,4,0)

点用为PC中点，故M(l,2,l)

故。M=(1,0,1),

UlIlLILll

又AP=(0,0,2)，AB=(2,0,0)

UUlU1UUD1LllU

所以OM=-AP+-AB

22

所以。M，AP-AB为共面向量，DM(Z平面∕¾β,

所以DW〃平面∕¼β.

(II)设E(2,α,0),0<«<4

UlllUUU

依题意可知平面8。E的法向量为AP=(0,0,2)，DP=(0,-2,2),DE=(2,a—2,0)

n∙DP=-2y+2z=0

设平面正£花的法向量为〃=(X,y,z)

n`DE=2x+(a-2)y=O

ʌElr(2-〃1八

令z=1,则〃=(―^—,L1J.

因为二面角P—OE-3的余弦值为：,

Ui®r

I/uunr)APH2

所以CoS(A尸,〃

Rfl3,

22

------.=—

即\(2-a^∖^3,解得〃=1或α=3.

2×√m+1+'

所以存在点E符合题意，

当BE=I或BE=3时，二面角P-DE-8的余弦值为§.

方法点睛：本题考查证明线面平行，考查二面角问题，解题方法是空间向量法，建立空间直

角坐标系后，证明线面平行，只要证明直线的方向向量可用平面的一个基底表示即可，而二

面角则是利用二面角的余弦值与二面角的两个面的法向量夹角的余弦值相等或相反求解.

22.已知椭圆Cw+J=l(a>6>0)经过点半,2,且离心率为芈.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知点A,8是椭圆C的上，下顶点，点尸是直线y=6上的动点，直线∕¾与椭圆C的另

一交点为E,直线PB与椭圆C的另一交点为F.证明：直线EF过定点.

【正确答案】(1)卷+/=1；

(2)证明见解析.

【分析】(1)根据题意，列出〃力的方程组，通过解方程组，即可求出答案.

(2)法一：设尸(f,6),E(xpy1),F(x2,y2);当，≠0时，根据点A尸的坐标写出直线B4

的方程，与椭圆方程联立，可求出点E的坐标；同理可求出点F的坐标，然后即可求出直

线E尸的方程，从而证明直线E尸过定点.

法二：首先根据Z=O时直线EF的方程为X=0,可判断出直线EF过的定点M必在)，轴上,

设为M(O,加)；然后同方法一，求出点E,F的坐标，根据ME〃M/，即可求出〃，的值.

-451

kb

【详解】(1)由题意，知∙∕=∕+c2,解得“=3,b=l.

c_2√2

所以椭圆C