第02讲平行线性质和判定的综合探究

第2讲平行线性质和判定的综合探究【知识点睛】要注意平行线的判定与性质之间的区别，明确两者的条件和结论，在应用时要正确选用.当已知条件中出现角相等或互补时，往往能得到两直线平行;当要说明两角相等或互补时，往往需要利用平行线的性质.在解决与平行线有关的问题时，当无法直接得到角之间的数量关系或两条线之间的位置关系时，往往需要借助辅助线来帮助解答.平行线的综合问题，通常先根据条件证出两直线的位置关系是平行，再依据平行线的性质来求解其余的角度信息，即平行线的判定与性质，在综合问题里经常是同步考察的。【类题训练】1．如图所示，下列推理正确的个数有（）①若∠1＝∠2，则AB∥CD②若AD∥BC，则∠3+∠A＝180°③若∠C+∠CDA＝180°，则AD∥BC④若AB∥CD，则∠3＝∠4．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】根据平行线的判定（内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行）和平行线的性质（两直线平行，内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补）判断即可．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴AB∥DC，∴①正确；∵AD∥BC，∴∠CBA+∠A＝180°，∠3+∠A＜180°，∴②错误；∵∠C+∠CDA＝180°，∴AD∥BC，∴③正确；由AD∥BC才能推出∠3＝∠4，而由AB∥CD不能推出∠3＝∠4，∴④错误；正确的个数有2个，故选：C．2．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图3：当∠CAE＝15°时，BC∥DE．则∠CAE其余符合条件的度数为60°或105°或135°．【分析】分四种情况进行讨论，分别依据平行线的性质进行计算即可得到∠CAE的度数，再找到关于A点中心对称的情况即可求解．【解答】解：如图3，当BC∥DE时，∠CAE＝45°﹣30°＝15°；如图，当AE∥BC时，∠CAE＝90°﹣30°＝60°；如图，当DE∥AB（或AD∥BC）时，∠CAE＝45°+60°＝105°；当DE∥AC时，如图①，∠CAE＝45°+90°＝135°．综上所述，旋转后两块三角板至少有一组边平行，则∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）其它所有可能符合条件的度数为60°或105°或135°，故答案为：60°或105°或135°．3．如图，AF分别与BD、CE交于点G、H，AC分别与BD、CE交于点B、C，DF分别与BD、CE交于点D、E，∠1＝55°．若∠A＝∠F，∠C＝∠D，求∠2的度数．【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．【解答】解：∵∠A＝∠F，∴AC∥DF，∴∠C＝∠CEF，∵∠C＝∠D，∴∠CEF＝∠D，∴BD∥CE，∴∠1＝∠AHC＝55°，∴∠2＝180°﹣∠AHC＝125°．4．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠B＝∠E．（1）试猜想AB与CE之间有怎样的位置关系？并说明理由．（2）若CA平分∠BCE，∠B＝50°，求∠A的度数．【分析】（1）由∠1+∠2＝180°可证得DE∥BC，得∠ADF＝∠B，已知∠B＝∠E，等量代换后可得∠ADF＝∠E，由此可证得AB与CE平行；（2）由两直线平行，同旁内角互补得∠BCE＝130°，由CA平分∠BCE，得∠ACE＝65°，两直线平行，内错角相等，得出∠A．【解答】解：（1）AB∥CE，∵∠1+∠2＝180°（已知），∴DE∥BC（同旁内角互补，两直线平行），∴∠ADF＝∠B（两直线平行，同位角相等），∵∠B＝∠E（已知），∴∠ADF＝∠E（等量代换），∴AB∥CE（内错角相等，两直线平行）．（2）∵AB∥CE，∴∠B+∠BCE＝180°，∵∠B＝50°，∴∠BCE＝130°，∵CA平分∠BCE，∴∠ACE＝＝65°，∵AB∥CE，∴∠A＝∠ACE＝65°．5．如图，AB⊥AC，点D、E分别在线段AC、BF上，DF、CE分别与AB交于点M、N，若∠1＝∠2，∠C＝∠F，求证：AB⊥BF．请完善解答过程，并在括号内填写相应的依据．证明：∵∠1＝∠2，（已知）∵∠2＝∠3，（对顶角相等）∴∠1＝∠3．（等量代换）∴DF∥CE．（同位角相等，两直线平行）∴∠C＝∠ADM．（两直线平行，同位角相等）∵∠C＝∠F，（已知）∴∠F＝∠ADM．（等量代换）∴AC∥BF．（内错角相等，两直线平行）∴∠A＝∠B．（两直线平行，内错角相等）∵AB⊥AC，（已知）∴∠A＝90°．∴∠B＝90°．∴AB⊥BF．（垂直的定义）【分析】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．【解答】证明：∵∠1＝∠2，（已知）∵∠2＝∠3，（对顶角相等）∴∠1＝∠3．（等量代换）∴DF∥CE．（同位角相等，两直线平行）∴∠C＝∠ADM．（两直线平行，同位角相等）∵∠C＝∠F，（已知）∴∠F＝∠ADM．（等量代换）∴AC∥BF．（内错角相等，两直线平行）∴∠A＝∠B．（两直线平行，内错角相等）∵AB⊥AC，（已知）∴∠A＝90°．∴∠B＝90°．∴AB⊥BF．（垂直的定义），故答案为：对顶角相等，3，等量代换，同位角相等，两直线平行，ADM，ADM，内错角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等，垂直的定义．6．如图，AB∥CD，连结CA并延长至点H，CF平分∠ACD，CE⊥CF，∠GAH+∠AFC＝90°．（1）求证AG∥CE；（2）若∠GAF＝120°，求∠AFC的度数．【分析】（1）根据平行线的性质可得∠AFC＝∠DCF，根据角平分线的定义可得∠ACF＝∠DCF，进而得出∠AFC＝∠ACF，再根据余角的性质可得∠ECH＝∠GAH，从而得出AG∥CE；（2）根据平行线的性质可得∠ECD＝∠GAF，根据角的和差关系可得∠DCF＝∠ECD﹣∠ECF＝40°，再根据平行线的性质解答即可．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠AFC＝∠DCF，∵CF平分∠ACD，∴∠AFC＝∠ACF，∴∠AFC＝∠ACF，又∵CE⊥CF，∠GAH+∠AFC＝90°，∴∠ECH＝∠GAH，∴AG∥CE；（2）解：∵AB∥CD，∴∠ECD＝∠GAF＝120°，又∵CE⊥CF，∴∠DCF＝∠ECD﹣∠ECF＝120°﹣90°＝30°，∴∠AFC＝∠DCF＝30°．7．【提出问题】若两个角的两边分别平行，则这两个角有怎样的数量关系？【解决问题】分两种情况进行探究，请结合如图探究这两个角的数量关系．（1）如图1，AB∥EF，BC∥DE，试证：∠1＝∠2；（2）如图2，AB∥EF，BC∥DE，试证：∠1+∠2＝180°；【得出结论】由（1）（2）我们可以得到结论：若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为相等或互补；【拓展应用】（3）若两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的2倍少60°，求这两个角的度数．（4）同一平面内，若两个角的两边分别垂直，则这两个角的数量关系为相等或互补．【分析】【提出问题】（1）根据平行线的性质即可得解；（2）根据平行线的性质即可得解；【得出结论】结合（1）（2）得出结论；【拓展应用】（3）根据“若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系是相等或互补”求解即可；（4）根据题意画出图形，可直接得出结论．【解答】【提出问题】（1）证明：如图1，∵AB∥EF，∴∠1＝∠3，又∵BC∥DE，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2；（2）证明：如图2，∵AB∥EF，∴∠1＝∠4，又∵BC∥DE，∴∠2+∠4＝180°，∴∠1+∠2＝180°；【得出结论】解：由（1）（2）我们可以得到的结论是：若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系是相等或互补，故答案为：相等或互补；【拓展应用】（3）解：设其中一个角为x，则另一角为2x﹣60°，当x＝2x﹣60°时，解得x＝60°，此时两个角为60°，60°；当x+2x﹣60°＝180°，解得x＝80°，则2x﹣60＝100°，此时两个角为80°，100°；∴这两个角分别是60°，60°或80°，100°．（4）解：如图，这两个角之间的数量关系是：相等或互补．故答案为：相等或互补．8．已知：如图，点B，C在线段AD的异侧，点E，F分别是线段AB，CD上的点，∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC．（1）试说明：AB∥CD；（2）如果∠AGE+∠AHF＝180°，那么∠B＝∠C吗？请说明理由；（3）在（2）的条件下，若∠BFC﹣20°＝3∠C，求∠AHB的度数．【分析】（1）由对顶角相等可得∠AGE＝∠DGC，从而可得∠AEG＝∠C，则可判定AB∥CD；（2）由平角的定义可得∠AGE+∠EGH＝180°，从而可求得∠EGH＝∠AHF，则可判定EC∥BF，则有∠B＝∠AEG，从而可求证；（3）由（2）得BF∥EC，则有∠BFC+∠C＝180°，从而可求∠C的度数，再利用平行线的性质即可求∠AHB的度数．【解答】（1）证明：∵∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC，∠AGE＝∠DGC，∴∠AEG＝∠C，∴AB∥CD；（2）证明：∵∠AGE+∠EGH＝180°，∠AGE+∠AHF＝180°，∴∠EGH＝∠AHF，∴EC∥BF，∴∠B＝∠AEG，∵AB∥CD，∴∠C＝∠AEG，∴∠B＝∠C；（3）解：∵∠BFC﹣20°＝3∠C，∴∠BFC＝3∠C+20°，∵EC∥BF，∴∠BFC+∠C＝180°，∴3∠C+20°+∠C＝180°，∴∠C＝40°，∴∠AEG＝∠C＝40°，∴∠AGE＝∠AEG＝40°，∵EC∥BF，∴∠AHB＝∠AGE＝40°．【课后综合练习】1．如图，已知∠A＝∠ADE，若∠EDC＝∠C，则∠C＝（）A．80° B．90° C．100° D．110°【分析】由题意可判定AC∥DE，根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出∠C的度数．【解答】解：∵∠A＝∠ADE，∴AC∥DE，∴∠EDC+∠C＝180°，又∵∠EDC＝∠C，∴∠C＝180°，∴∠C＝80°，故选：A．2．如图是两条直线平行的证明过程，证明步骤被打乱，则下列排序正确的是（）如图，已知∠1＝∠3，∠2+∠3＝180°，求证：AB与DE平行．证明：①：AB∥DE；②：∠2+∠4＝180°，∠2+∠3＝180°；③：∠3＝∠4；④：∠1＝∠4；⑤：∠1＝∠3．A．①②③④⑤ B．②③⑤④① C．②④⑤③① D．③②④⑤①【分析】根据平行线的判定解答即可．【解答】证明：∵∠2+∠3＝180°（已知），∠2+∠4＝180°（邻补角的定义），∴∠3＝∠4（同角的补角相等）．∵∠1＝∠3（已知），∴∠1＝∠4（等量代换），∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行）．所以排序正确的是②③⑤④①，故选：B．3．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝54°．当∠MAC为（）度时，AM与CB平行．A．16 B．60 C．66 D．114【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．【解答】解：∵AB，CD都与地面l平行，∴AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴∠BAC+∠ACB+∠BCD＝180°，∵∠BCD＝60°，∠BAC＝54°，∴∠ACB＝66°，∴当∠MAC＝∠ACB＝66°时，AM∥CB，故选：C．4．将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线）．继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折两次后，可以得到3条折痕，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折6次可以得到63条折痕，对折n次可以得到2n﹣1条折痕．【分析】对前三次对折分析不难发现每对折1次把纸分成的部分是上一次的2倍，折痕比所分成的部分数少1，求出第4次的折痕即可；再根据对折规律求出对折n次得到的部分数，然后减1即可得到折痕条数．【解答】解：由图可知，第1次对折，把纸分成2部分，1条折痕，第2次对折，把纸分成4部分，3条折痕，第3次对折，把纸分成8部分，7条折痕，所以，第6次对折，把纸分成64部分，63条折痕，…，依此类推，第n次对折，把纸分成2n部分，2n﹣1条折痕．故答案为：63；2n﹣1．5．如图，已知：AB∥CD，CD∥EF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有下列结论：①AB∥EF；②2∠1﹣∠4＝90°；③2∠3﹣∠2＝180°；④∠3+∠4＝135°．其中，正确的结论有①②③④．（填序号）【分析】根据平行线的性质逐一分析判断即可．【解答】解：∵AB∥CD，CD∥EF，∴AB∥EF，故①正确；∵AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠1，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠2＝180°，∴2∠1+∠2＝180°（1），∵AC⊥CE，∴∠2+∠4＝90°（2），∴（1）﹣（2）得，2∠1﹣∠4＝90°，故②正确；∵AB∥EF，∴∠BAE+∠3＝180°，∵AE平分∠BAC，∴∠1＝∠BAE，∴∠1+∠3＝180°，∴2∠1+2∠3＝360°（3），∵2∠1+∠2＝180°（1），（3）﹣（1）得，2∠3﹣∠2＝180°，故③正确；∵CD∥EF，∴∠CEF+∠4＝180°，∴∠3+∠AEC+∠4＝180°，∵AC⊥CE，∴∠1+∠AEC＝90°，∴∠AEC＝90°﹣∠1，∴∠3+∠4﹣∠1＝90°，∵2∠1﹣∠4＝90°，∴∠1＝45°+∠4，∴∠3+∠4＝135°，故④正确．故正确的结论有：①②③④．故答案为：①②③④．6．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B＝65°，∠C＝52°．则∠FEC＝63度．【分析】根据平行线的判定与性质、三角形内角和定理求解即可．【解答】解：∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠DFE＝180°，∴∠2＝∠DFE，∴AB∥EF，∴∠3＝∠ADE，∵∠3＝∠B＝65°，∴∠ADE＝∠B＝65°，∴DE∥BC，∴∠AED＝∠C＝52°，∴∠A＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝63°，∵AB∥EF，∴∠FEC＝∠A＝63°，故答案为：63．7．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠A，试说明：BE∥CF．完善下面的解答过程，并填写理由或数学式：解：∵∠3＝∠4（已知）∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行）∴∠EDC＝∠5（两直线平行，内错角相等）∵∠5＝∠A（已知）∴∠EDC＝∠A（等量代换）∴DC∥AB（同位角相等，两直线平行）∴∠5+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）即∠5+∠2+∠3＝180°∵∠1＝∠2（已知）∴∠5+∠1+∠3＝180°（等量代换）即∠BCF+∠3＝180°∴BE∥CF（同旁内角互补，两直线平行）．【分析】按照所给的证明思路，利用平行线的判定与性质定理，完善证明过程即可．【解答】解：∵∠3＝∠4（已知），∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行），∴∠EDC＝∠5（两直线平行，内错角相等），∵∠5＝∠A（已知），∴∠EDC＝∠A（等量代换），∴DC∥AB（同位角相等，两直线平行），∴∠5+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），即∠5+∠2+∠3＝180°，∵∠1＝∠2（已知），∴∠5+∠1+∠3＝180°（等量代换），即∠BCF+∠3＝180°，∴BE∥CF（同旁内角互补，两直线平行）．故答案为：BC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠A；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．8．如图，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝125°，∠CEF＝105°，则∠BCE的度数为．【分析】由平行线的性质可得∠BCD＝∠ABC＝125°，∠DCE＝180°﹣∠CEF＝75°，从而可求∠BCE的度数．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∠ABC＝125°，∠CEF＝105°，∴∠BCD＝∠ABC＝125°，∠DCE＝180°﹣∠CEF＝75°，∴∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝50°．故答案为：50°．9．如图，将△ABC沿BC所在直线向右平移2cm得到△DEF，连结AD．若△ABC的周长为10cm，则四边形ABFD的周长为（）A．10cm B．12cm C．14cm D．20cm【分析】根据平移的性质可得AD＝CF＝2cm，AC＝DF，然后根据四边形的周长的定义列式计算即可得解．【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，∴AD＝CF＝2cm，AC＝DF，∴四边形ABFD的周长＝AB+（BC+CF）+DF+AD＝AB+BC+AC+AD+CF，∵△ABC的周长＝10cm，∴AB+BC+AC＝10cm，∴四边形ABFD的周长＝10+2+2＝14（cm）．故选：C．10．如图所示，射线CB∥OA，∠C＝∠OAB，E、F在BC上，且满足∠EOB＝∠AOB，OF平分∠COE，∠COA＝80°．（1）求∠FOB的度数；（2）直接写出∠OBC和∠OEC的角度的数量关系；（3）在平行移动AB的过程当中，是否存在某种情况，使∠OFC＝∠OBA？若存在，直接写出其度数；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOC，再根据角平分线的定义求出∠FOB＝∠AOC；（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠OBC＝∠AOB，从而得到∠AOE＝2∠OBC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠OEC＝∠AOE，从而得解；（3）根据三角形的内角和定理求出∠COF＝∠AOB，从而得到OB、OF、OE是∠AOC的四等分线，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：（1）∵CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，∴∠COA＝180°﹣∠C＝180°﹣100°＝80°，∵CB∥OA，∴∠EBO＝∠AOB，又∵∠EOB＝∠AOB，∴∠EBO＝∠EOB，∴OB平分∠AOE，又∵OF平分∠COE，∴∠FOB＝∠EOF+∠EOB＝∠COA＝×80°＝40°；（2）结论：∠OEC＝2∠OBC．∵CB∥OA，则∠OBC＝∠BOA，∠OEC＝∠EOA，则∠OBC：∠OEC＝∠AOB：∠EOA，又∵∠EOA＝∠EOB+∠AOB＝2∠AOB，∴∠OBC：∠OEC＝∠AOB：∠EOA＝∠AOB：2∠AOB＝1：2，∴∠OEC＝2∠OBC．（3）存在在△COF和△AOB中，∵∠OFC＝∠OBA，∠C＝∠OAB，∴∠COF＝∠AOB，∴OB、OF、OE是∠AOC的四等分线，∴∠COF＝∠AOC＝×80°＝20°，∴∠OFC＝180°﹣∠C﹣∠COF＝180°﹣100°﹣20°＝60°，故存在某种情况，使∠OFC＝∠OBA，此时∠OFC＝∠OBA＝60°．11．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连