(教师版)第12讲不等式组的应用-基础

第12讲不等式组的应用

知识点1实际应用类问题对具有多种不等关系的问题，应考虑列一元一次不等式组，并求解．

一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：

（1）分析题意，找出不等关系；

（2）设未知数，列出不等式组；

（3）解不等式组；

（4）从不等式组的解集中找出符合题意的答案；

（5）作答．【典例】例1（2020春•防城港期末）自治区发展和改革委员会在2019年11月印发《广西壮族自治区新能源汽车推广应用攻坚行动方案》，力争到2020年底，全区新能源汽车保有量比攻坚行动前增长，达到14.6万辆以上，某汽车专卖店销售，两种型号的新能源汽车．上周售出2辆型车和1辆型车，销售额为62万元；本周已售出3辆型车和2辆型车，销售额为106万元．（1）求每辆型车和型车的售价各为多少万元．（2）甲公司拟向该店购买，两种型号的新能源汽车共6辆，且型号车至少购买1辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？【解答】解：（1）设每辆型车的售价为万元，每辆型车的售价为万元，依题意，得：，解得：．答：每辆型车的售价为18万元，每辆型车的售价为26万元；（2）设购买辆型车，则购买辆型车，依题意，得：，解得：，又是正整数，可以取1，2，3，共有三种购车方案，方案1：购买1辆型车，5辆型车；方案2：购买2辆型车，4辆型车；方案3：购买3辆型车，3辆型车．【方法总结】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．例2（2020春•海淀区校级期末）某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆12万元，面包车每辆8万元，公司可投入的购车款不超过100万元；（1）符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由；（2）如果每辆轿车的日租金为250元，每辆面包车的日租金为150元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于2000元，那么应选择以上哪种购买方案？【解答】解：（1）设公司购买辆轿车，则购买辆面包车，依题意，得：，解得：，又为正整数，可以取3，4，5，该公司共有3种购买方案，方案1：购买3辆轿车，7辆面包车；方案2：购买4辆轿车，6辆面包车；方案3：购买5辆轿车，5辆面包车．（2）依题意，得：，解得：，又，，公司应该选择购买方案3：购买5辆轿车，5辆面包车．【方法总结】本题考查了一元一次不等式组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．【随堂练习】1．（2020秋•三水区校级月考）现计划把甲种货物306吨和乙种货物230吨运往某地．已知有、两种不同规格的货车共50辆，如果每辆型货车最多可装甲种货物7吨和乙种货物3吨，每辆型货车最多可装甲种货物5吨和乙种货物7吨．（1）装货时按此要求安排、两种货车的辆数，共有几种方案？（2）使用型车每辆费用为600元，使用型车每辆费用800元．在上述方案中，哪个方案运费最省？最省的运费是多少元？（3）在（2）的方案下，现决定对货车司机发共2100元的安全奖，已知每辆型车奖金为元．每辆型车奖金为元，．且、均为整数，求此次奖金发放的具体方案．【解答】解：（1）设安排种货车辆，安排种货车辆．由题意，解得，为整数，或29或30，或21或20，共有3种方案．（2）方案一：种货车28辆，安排种货车22辆，方案二：种货车29辆，安排种货车21辆，方案三：种货车30辆，安排种货车20辆，使用型车每辆费用为600元，使用型车每辆费用800元，，第三种方案运费最省，费用为（元．（3）由题意，，，，是整数，是3的倍数，．，，为3的倍数，，每辆型车奖金为40元．每辆型车奖金为45元．2．（2020春•庐阳区校级月考）某体育用品店准备购进甲，乙品牌乒乓球两种，若购进甲种乒乓球10个，乙种乒乓球5个，需要100元，若购进甲种乒乓球5个，乙种乒乓球3个，需要55元．（1）求购进甲，乙两种乒乓球每个各需多少元？（2）若该体育用品店刚好用了1000元购进这两种乒乓球，考虑顾客需求，要求购进甲种乒乓球的数量不少于乙种乒乓球数量的6倍，且乙种乒乓球数量不少于23个，那么该文具店共有哪几种进货方案？（3）若该体育用品店销售每只甲种乒乓球可获利润3元，销售每只乙种乒乓球可获利润4元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？【解答】解：（1）设购进每个甲种乒乓球需要元，购进每个乙种乒乓球需要元，依题意，得：，解得：．答：购进每个甲种乒乓球需要5元，每个乙种乒乓球需要10元．（2）设该文具店购进个乙种乒乓球，则购进个甲种乒乓球，依题意，得：，解得：，又为正整数，可以取23，24，25，该文具店共有3种进货方案，方案1：购进154个甲种乒乓球，23个乙种乒乓球；方案2：购进152个甲种乒乓球，24个乙种乒乓球；方案3：购进150个甲种乒乓球，25个乙种乒乓球．（3）方案1获得的利润为（元，方案2获得的利润为（元，方案3获得的利润为（元．，方案1购进154个甲种乒乓球，23个乙种乒乓球获利最大，最大利润是554元．知识点2表格图形类问题在不等式组的应用问题中，表格图形类问题也是常考的重点，与实际应用问题类似，这类问题只是把一些条件用表格或者图形的形式展示出来，在做题过程中，我们需要先转换条件，再计算.【典例】例1（2020春•侯马市期末）某爱心公司捐资购买了120吨物资打算运往山区，现有甲、乙两种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车都满载，但不超载）车型甲乙汽车运载量（吨辆）510汽车运费（元辆）400700（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费9100元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？（2）公司计划用甲、乙两种车型同时参与运送，且总运费控制在8600元以内，有几种用车方案？每种用车方案各需要多少元？【解答】解：（1）设需甲种车型辆，乙种车型辆，依题意有，解得．故需甲种车型14辆，乙种车型5辆；（2）设需甲车型辆，乙车型辆，依题意有，解得，，，是正整数，，，需要（元；，，需要（元；故有两种运送方案：①甲车型4辆，乙车型10辆，需要8600元；②甲车型2辆，乙车型11辆，需要8500元．【方法总结】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意列出方程和不等式即可求解．例2（2020春•新宾县期末）列方程组或不等式解决实际问题某汽车专卖店销售，两种型号的新能源汽车，上周和本周的销售情况如下表：时间型号型型销售额上周1辆2辆70万元本周3辆1辆80万元（1）每辆型车和型车的售价各为多少万元？（2）甲公司拟向该店购买，两种型号的新能源汽车共7辆，且型号车不少于2辆，购车费不少于154万元，则有哪几种购车方案？【解答】解：（1）设每辆型车的售价为万元，型车的售价为万元，依题意，得：，解得：．答：每辆型车的售价为18万元，型车的售价为26万元．（2）设购进型车辆，则购进型车辆，依题意，得，解得：，为整数，或3．有两种购车方案：购进型车2辆，则购进型车5辆；购进型车3辆，则购进型车4辆．答：有两种购车方案：购进型车2辆，则购进型车5辆；购进型车3辆，则购进型车4辆．【方法总结】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．【随堂练习】1．（2020春•济源期末）某校为做好初三年级复课工作，积极准备防疫物资，计划从某药房购买一批消毒液和酒精，已知两次购买同一种药品的价格相同，在这家药房购买消毒液和酒精的数量和费用，如表所示：消毒液（瓶数）酒精（瓶数）购进所需总费用（元第一次2420900第二次2018770（1）求消毒液和酒精每瓶的价格分别是多少元？（2）随着防疫常态化，恰逢药房实行促销活动：实行全场8折销售，学校决定趁此活动再储备一批消毒液和酒精共180瓶，因防疫需要，要求消毒液的数量不少于酒精数量的2倍，总费用不超过3140元，问可以有几种采购方案？请写出方案，并说明理由．【解答】解：（1）设每瓶消毒液的价格为元，每瓶酒精的价格为元，依题意，得：，解得：．答：每瓶消毒液的价格为25元，每瓶酒精的价格为15元．（2）设购买消毒液瓶，则购买酒精瓶，依题意，得：，解得：．为正整数，可以为120，121，122，共有3种采购方案，方案1：购买消毒液120瓶，酒精60瓶；方案2：购买消毒液121瓶，酒精59瓶；方案3：购买消毒液122瓶，酒精58瓶．2．（2020春•安新县期末）养牛场的李大叔分三次购进若干头大牛和小牛，其中有一次购买大牛和小牛的价格同时打折，其余两次均按原价购买，三次购买的数量和总价如表：大牛（头小牛（头总价（元第一次439900第二次269000第三次678550（1）李大叔以折扣价购买大牛和小牛是第三次；（2）每头大牛和小牛的原价分别为多少元？（3）如果李大叔第四次购买大牛和小牛共10头（其中小牛至少一头），仍按之前的折扣（大牛和小牛的折扣相同），且总价不低于8100元，那么他共有哪几种购买方案？【解答】解：（1）第三次购买大牛和小牛的数量较多，但花费较少，所以李大叔以折扣价购买大牛和小牛是第三次；．故是打七折．故答案为：三．（2）设大牛的单价为元，小牛单价为元．根据题意得：，解得．故大牛的单价为1800元，小牛单价为900元．（3）设大牛买头，小牛买头．根据题意得：，解得：．所以或9．当时，；当时，；所以他共有两种购买方案．方案一：大牛买8头，小牛买2头；方案二：大牛买9头，小牛买1头．知识点3新定义类问题【典例】例1（2020春•庐阳区校级月考）（附加题）按图中程序进行计算：规定：程序运行到“结果是否大于10”为一次运算．若运算进行二次才停止，求出的取值范围．【解答】解：依题意，得，解得．答：的取值范围为．【方法总结】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．【随堂练习】1．（2020春•贵池区期中）请同学们仔细观察如图所示的程序框图，回答下列问题：如果要使开始输入的的值经过两次运行才能输出结果，那么的整数值为1，2．【解答】解：依题意，得：，解得：．又为整数，，2．故答案为：1，2．2．（2020•荆州）对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．如，．若，则实数的取值范围是．【解答】解：依题意得：解得．故答案是：．综合运用1．（2020春•丛台区校级期末）在抗击新冠肺炎疫情期间，市场上防护口罩出现热销，某药店售出一批口罩．已知3包儿童口罩和2包成人口罩共26个，5包儿童口罩和3包成人口罩共40个．（1）求儿童口罩和成人口罩的每包各是多少个？（2）某家庭欲购进这两种型号的口罩共5包，为使其中口罩总数量不低于26个，且不超过34个，①有哪几种购买方案？②若每包儿童口罩8元，每包成人口罩25元，哪种方案总费用最少？【解答】解：（1）设儿童口罩每包个，成人口罩每包个，根据题意得，，解得，，儿童口罩每包2个，成人口罩每包10个；（2）①设购买儿童口罩包，则购买成人口罩包，根据题意得，，解得，，为整数，或，共有两种购买方案：方案一：购买儿童口罩2包，则购买成人口罩3包；方案二：购买儿童口罩3包，则购买成人口罩2包．②方案一的总费用为：元；方案二的总费用为：元．，方案二的总费用最少．2．（2020春•古丈县期末）2020年4月23日是第25个世界读书日．为了感受阅读的幸福，体味生命的真谛，分享读书的乐趣，我县某学校举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园”“阅读梦飞翔”主题活动，为此特为每个班级订购了一批新的图书．七年级订购《曾国藩家书》12套和“凡尔纳三部曲”6套，总费用为810元；八年级订购《曾国藩家书》9套和“凡尔纳三部曲”7套，总费用为795元．（1）求《曾国藩家书》和“凡尔纳三部曲”每套各是多少元？（2）学校准备再购买《曾国藩家书》和“凡尔纳三部曲”共26套，总费用不超过1230元，购买《曾国藩家书》的数量不超过“凡尔纳三部曲”的3倍，问学校有几种购买方案，请你设计出来．【解答】解：（1）设《曾国藩家书》每套元，“凡尔纳三部曲”每套元，根据题意，得：，解得，答：《曾国藩家书》每套30元，“凡尔纳三部曲”每套75元；（2）设学校决定购买《曾国藩家书》套，则购买“凡尔纳三部曲”套．由题意，得，解得，，取整数，即，17，18，19，该学校共有四种购买方案：方案1：购买《曾国藩家书》16套，“凡尔纳三部曲”为10套；方案2：购买《曾国藩家书》17套，“凡尔纳三部曲”为9套；方案3：购买《曾国藩家书》18套，“凡尔纳三部曲”为8套；方案4：购买《曾国藩家书》19套，“凡尔纳三部曲”为7套．3．（2020•三明二模）某服装店计划购进一批甲、乙两种款式的运动服进行销售，进价和售价如下表所示：运动服款式甲乙进价（元套）80100售价（元套）120160若购进两种款式的运动服共300套，且投入资金不超过26800元．（Ⅰ）该服装店应购进甲款运动服至少多少套？（Ⅱ）若服装店购进甲款运动服的进价每套降