伯乐教育-第二册第一章点线面与平行关系

纸上得来终觉浅绝知此事要躬行第二章：平面基本性质与推论及平行关系【考纲要求】立体几何在高考中占据重要的地位，通过近几年的高考情况分析，考察的重点及难点稳定，高考始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质和判定作为考察重点。在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，示知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重。在掌握直线与平面的位置关系(包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系)的基础上，研究有关平行的判定依据(定义、公理和定理)、判定方法及有关性质的应用；在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能，并探索立体几何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用．1．用类比的思想去认识面的垂直与平行关系，注意垂直与平行间的联系。2．注意立体几何问题向平面几何问题的转化，即立几问题平面化。3．注意下面的转化关系：【基础知识梳理】1．平面概述（1）平面的两个特征：①无限延展②平的（没有厚度）（2）平面的画法：通常画平行四边形来表示平面（3）平面的表示：用一个小写的希腊字母、、等表示，如平面、平面；用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面。2．三公理三推论:公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内：公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面。公理4：平行于同一直线的两条直线平行.3．空间直线: （1）空间两条直线的位置关系：相交直线——有且仅有一个公共点； 平行直线——在同一平面内，没有公共点；异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直线。异面直线的画法常用的有下列三种：（2）平行直线：在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的。即公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。。4．直线和平面的位置关系它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为，，。线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。推理模式：．线面平行的性质推理模式：．5．两个平面的位置关系有两种：两平面相交（有一条公共直线）、两平面平行（没有公共点）（1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。定理的模式：推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。推论模式：（2）两个平面平行的性质（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。【精益求精】第一类：交线与截面问题1.如图，直角梯形中，，，是直角梯形所在平面外一点，画出平面和平面的交线，并说明理由．2.在正方体中，是的中点，画出平面与正方体有关各面的交线.3.把一正方体沿对角面劈开，得一如图几何体，其中,为的中点，试作出过且与平面平行的截面，并计算该截面面积.4.在正方体木头中，试画出过其中三条棱的中点P、Q、R的平面截得木头的截面形状．第二类：异面直线所成的角异面直线所成角的大小，是由空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的．准确选定角的顶点，平移直线构造三角形是解题的重要环节．1.如图的正方体中，是的中点(1)图中哪些棱所在的直线与直线成异面直线?(2)求直线和所成的角的大小；(3)求直线和所成的角的正切值；(4)求直线和所成的角的余弦值2.如图，长方体中，，，点、、分别是、、的中点，则异面直线与所成的角是（） A． B． C． D．3.在空间四边形中，，，分别为、的中点，，求、所成角的大小．BMANCS4.是正三角形所在平面外的一点，如图，且，,分别是和的中点．求异面直线与所成的角的余弦值．BMANCSF1ABCD1C1A1B15.是直三棱柱，，点、分别是、的中点,若，求F1ABCD1C1A1B16.如图，在正方体中，，分别是、的中点．求与所成的角。7.在棱长为1的正方体中，和分别为和的中点，求直线与所成角的余弦值.BB1A1ABC1D1CDMN8.如图，四面体的各棱长都相等，如果、分别为、的中点，求异面直线与FABCES所成的角.FABCES9.如图，四面体中，,且，，、分别是、的中点，求和所成角的正切值.AABCDMN43ABCDE66810.如图，四面体中，，，，且，，是中点，求与所成角的余弦值.ABCDE668MABCNC1A1B111.如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方形，、分别是和MABCNC1A1B18ABCDE78544512.如图，四面体中，为中点，若，，，求8ABCDE78544513.在四面体中，，分别是,的中点，若,所成的角为，且,求的长度.CC15.底面为平行四边形的四棱锥，,，点、分别为、中点，若异面直线与所成的角为，求线段的长.第三类：线面平行证明1．运用中点作平行线ACNPDMBG例1.已知四棱锥的底面是距形，、分别是、的中点，求证∥平面．ACNPDMBG2．运用比例作平行线MFNCEADBH例2.四边形与是两个全等正方形，且，其中，，求证：∥平面MFNCEADBH3.运用传递性作平行线例3.求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线和它们的交线平行４.运用特殊位置作平行线例4．正三棱柱的底面边长为2，点、分别是、上的点，点是线段上的动点，．问当点在何位置时∥平面？AABCEFNMB1A１C1练习1.棱长都相等的四面体称为正四面体．在正四面体中，点，分别是和的中点，给出下列命题：①直线∥平面；②直线⊥；

③三棱锥的体积是三棱锥的体积的一半．

则其中正确命题的序号为2.如图，几何体是四棱锥，为正三角形，．若，为线段的中点，求证：∥平面3.如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，分别为棱，，的中点．证明：直线平面；AA1D1C1B1BAEDCFE14.如图，在四棱锥中，，，为的中点，．

（I）证明：直线∥平面；

5.如图，在正四棱柱中，棱长，，是的中点．

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）求点到平面的距离．6.空间四边形的对棱，成的角，平行于与的截面分别交，，，于、、、．

（1）求证：四边形为平行四边形；

（2）若,，求四边形周长的取值范围；（2）若,求在的何处时截面的面积最大？最大面积是多少？典例解析题型1：共线、共点和共面问题例1如图所示，平面平面＝，分别为线段、、、上的点，四边形是以、为腰的梯形。试证明：三直线、、共点。例2.如图所示，在四边形中，已知，直线,,,分别与平面相交于点，，，．求证：，，，四点必定共线。ααDCBAEFHG例3．已知：，，，是不共点且两两相交的四条直线，求证：，，，共面。ααbadcGFEAabcdαHK图1图2题型2：异面直线的判定与应用例4．已知：如图所示，，，，，。求证直线、为异面直线。题型3：平行关系的判定与性质例5．两个全等的正方形和所在平面相交于，，，且，求证：∥平面。例6．如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，，求证：面。例10．是所在平面外一点，、、分别是、、的重心。（1）求证：平面∥平面；（2）:的值。一、选择题；1．已知两条相交直线、，∥平面，则与平面的位置关系()A.B.与相交C.D.或与相交2.直线,异面直线，直线和平面平行，则直线和平面的位置关系是（）A.B. C.与相交 D.以上都有可能3.，，则与的关系为（）A、必相交B、必平行C、必在内D、以上均有可能4．不同直线和不同平面，给出下列命题：其中假命题有()①②③④∥A.0个B.1个C.2个D.3个5．若将直线、平面都看成点的集合，则直线∥平面可表示为()A.B.C.D.6．平行于同一个平面的两条直线的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.平行或相交或异面7．已知空间四边形中，分别是的中点，则下列判断正确的是（）A．B．C．D．8．平面∩平面＝，平面∩平面＝，平面∩平面＝，若，则与，的位置关系是（）A．与，都异面B．与，都相交C．至少与，中的一条相交D．与，都平行9.下列四个命题中，正确的是（）①夹在两条平行线间的平行线段相等；②夹在两条平行线间的相等线段平行；③如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等；④如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的相等线段平行A．①③ B．①②C．②③ D．③④10．如果两个相交平面分别经过两条平行线中的一条，那么它们的交线和这两条平行线的位置关系是（）A．都平行B．都相交C．一个相交，一个平行 D．都异面11．对于直线、和平面，下面命题中的真命题是 A．如果、是异面直线，那么 B．如果、是异面直线，那么相交 C．如果、共面，那么 D．如果、共面，那么12．、是不在直线上的两点，则过点、且与直线平行的平面的个数是（）A．0个B．1个C．无数个D．以上三种情况均有可能13．已知、是不重合的直线，、是不重合的平面，有下列命题①若，，则；②若，，则；③若，，则且；其中真命题的个数是 A．0 B．1 C．2 D．314．设直线,,平面,,下列条件能得出的有()①,,且,；②,,且；③,,且A.1个B.2个C.3个D.0个15.若，，则下列说法正确的是（）A.过在平面内可作无数条直线与平行B.过在平面内仅可作一条直线与平行C.过在平面内可作两条直线与平行D.与的位置有关16.下列四个命题（1），（2），（3），（4），正确有（）个A、B、C、D、17．已知：命题：内存在着不共线的三点到平面β的距离均相等；命题：，则下面成立的是（）A.PQ，PQB.PQ,PQC.PQD.PQ，PQ18.若直线∥平面，则平行于内的()A.一条确定的直线B.任意一条直线C.所有直线D.无数多条平行线19.直线∥平面,平面内有条直线交于一点，那么这条直线中与直线平行的（）A、至少有一条B、至多有一条C、有且只有一条D、不可能有20.直线∥面，面内有条互相平行的直线，那么这条直线和直线()A.全平行 B.全异面C.全平行或全异面 D.不全平行也不全异面21.设,,是不在同一平面内的三条线段，则经过他们的中点的平面和直线的位置关系是（）A.平行B.相交C.平行或相交D.AC在此平面内二、填空题；22.经过直线外一点有平面和已知直线平行；23.经过直线外一点直线与已知直线平行；24.经过两条异面直线中的一条有平面与另一条直线平行；25.过两条平行直线中的一条，可以作________个平面平行于另一条直线；26.与空间四边形四个顶点距离相等的平面共有________个；27.若直线∥平面，直线∥平面，且，，且，则、的位置关系是.28.若直线∥平面，直线∥平面，，,则、的位置关系是.29.有以下命题，正确命题的序号是.①直线与平面没有公共点，则直线与平面平行；②直线与平面内的任何一条直线都不相交，则直线与平面平行；③直线上有两点，它们到平面的距离相等，则直线与平面平行；④直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行30.正方体中，为的中点，则与过点、、的平面的位置关系是；31.过正方体的顶点、、的平面与底面所在平面的交线为，则与的位置关系是__________；32.下列命题中正确的是