2023-2024学年安徽省滁州市定远县高二年级下册期末数学（理）试题（含解析）

2023-2024学年安徽省滁州市定远县高二下册期末数学（理）试题

一、单选题

1.某职校选出甲、乙、丙等6名学生参加职业技能比赛，并决出第1〜6名的名次（无并列）.

甲、乙、丙3名学生一同去询问成绩，评委对甲说：很遗憾，你和乙都没有得到冠军，对乙说:

你当然不是最后两名，对丙说：你比甲和乙都好，但也不是冠军.从这个人的回答中分析，6

人的名次情况共有（）

A.72种B.36种C.96种D.48种

【正确答案】D

【分析】由题意，知甲、乙、丙都不是第1名且乙不是最后两名，丙比甲和乙都好，则丙只能

是第2名或第3名，然后利用分步分类计数原理求解即可

【详解】由题意，知甲、乙、丙都不是第1名且乙不是最后两名，丙比甲和乙都好，则丙只能

是第2名或第3名，

当丙是第2名时，乙只能是第3名或第4名，甲只能是3至6名中除乙外的3个名次中的一

个，所以有C；C；A；种情况；

当丙是第3名时，乙只能是第4名，甲只能是第5名或第6名，所以有C；A；种情况.

故共有C；C；A；+C；A；=48种不同的情况.

故选：D.

2.已知*-拉）6=%+“^+叼/+。3*3+。4丫"+牝工'+4X6，设展开式中含X的奇次幕的项之

和为S,当工=五时，S等于

A.28B.-2sC.27D.-27

【正确答案】B

根据二项式定理展开式，可先确定系数，再代入x=应求得项的值，即可求得S.

【详解】因为（x-正）'

则展开式中含x的奇次幕的二项式系数分别为服或,这，

当丫=夜时，含x的奇次第的项之和为

5

S=C：（72）（-72）+或（可卜可+（可（-何

-6X23-20X23-6X23

=-23

故选：B.

本题考查了二项式定理展开式中项的求法，注意项的系数与二项式系数的符号，属于基础题.

3.若随机变量自满足£。-劣=4,。（1告）=4.则下列说法正确的是（）

A.司3=-4,D（g）=4B.£«）=-3,D（&）=3

C.E（/=-4,。⑺=-4D.E（J）=-3,。⑶=4

【正确答案】D

【分析】依据随机变量J的数学期望与方差的运算规则求得E（J）和。收）的值即可解决

【详解】随机变量J满足£（1-劣=4,。（1告）=4,

则1-E（4）=4,（-1）2D（^）=4,据此可得典为=-3,。但）=4.

故选：D

4.设函数y=〃x）的导数为y=/'（x）,若/（与）=-2,则［而/卜「I修一"、°）的值为

f〃2k

（）

A.1B.-1C.vD.一一

22

【正确答案】C

直接利用导数的定义公式，计算得到答案.

2

故选.C

本题考查了导数的定义，意在考查学生的计算能力和转化能力.

5.已知函数〃*）=/+江+笈+c是定义在［26-5,26-3］上的奇函数，则/（；）的值为

19

A.—B.—C.1D.无法确定

【正确答案】B

【详解】由于函数是奇函数,

则/（-x）=-/（x）恒成立，解得a=c=o,

又是定义在［26-5,26-3］上的奇函数，

则［2b-5,2b-3］是关于原点对称的区间，

即2Z>—5+26—3=0,得6=2,所以/（x）=x3+2x,

从而/《1）=、9

2.o

故选：B.

6.学校食堂分设有一、二餐厅，学生小吴第一天随机选择了某餐厅就餐，根据统计：第一天

选择一餐厅就餐第二天还选择一餐厅就餐的概率为0.6,第一天选择二餐厅就餐第二天选择

一餐厅就餐的概率为0.7,那么学生小吴第二天选择一餐厅就餐的概率为（）

A.0.18B.0.28C.0.42D.0.65

【正确答案】D

【分析】利用全概率公式求解即可.

【详解】设4为“第一天去一餐厅用餐”，g为"第一天去二餐厅用餐”，”为“第二天去一餐

厅就餐”；

则尸（4）=P（4）=O.5,P（⑷4）=06,P（4|与）=0.7,

由全概率公式可知

尸（42）=P（4）P（/2|4）+尸（81）P（/j4）=0.5x0.6+0.5x0.7=0.65,

故选：D.

7.某三甲医院组织安排4名男主任医师和3名女主任医师到3家不同的区级医院支援，要

求每家区级医院至少安排2人且必须有1名女主任医师，则不同的安排方法有（）

A.216种B.108种C.72种D.36种

【正确答案】A

【分析】根据题意，先安排4名男主任医师，有C：A；=36,再将三名女医生安排到这3家

医院后，根据乘法原理求解即可.

【详解】由题，先安排4名男主任医师，他们中有两位一起去了同一个医院，故有C；A；=36

种方法,

再将3名女主任医师安排到这3家医院，有A；=6种方法，

所以根据乘法原理，共有36x6=216种不同的安排方法.

故选：A

8.已知等比数列｛〃〃｝的各项均为正数，其前〃项和为S〃，且4=1,则%=()

1c16-64

A.—B.--C.—D.—•

279279

【正确答案】A

【分析】由己知条件列方程求出公比4,从而可求出四

22

【详解】S6-S4=a5+a6=a4(q+ci)=q+q=^,整理得(34+4)(3g-l)=0.

因为等比数列｛““｝的各项均为正数，

所以公比4>0,则3q+4>0,所以%-1=0,即0=g,

所以%

故选：A.

9.定义在R上的函数/(X)的导函数为/(X),且M"(x)的图像如图所示，则下列结论正确的

是()

A.函数/(x)在区间(-1,0)上单调递减B.函数/(x)在区间(-1,5)上单调递减

C.函数/(X)在x=5处取得极大值D.函数/(x)在x=-l处取得极小值

【正确答案】D

【分析】先由函数图像得到了‘(X)在各区间上的正负，再判断单调性及极值即可.

【详解】由图像知：当时，^)>0,/^)<0,当xe(—1,0)时,

xf\x)<0J'(x)>0,当xe(0,5)u(5,I0)时，xf'(x)<0,f'(x)<0,

则函数/(x)在区间(-1,0)上单调递增，A错误，B错误；

函数/*)在区间(0,5),(5,10)上单调递减，C错误；函数/⑴在(-8,-1)单减，在(-1,0)上单

增，在x=-l处取得极小值，D正确.

故选：D.

10.随机变量。的分布列如表：

0-1012

]_

Pabc

3

其中a,b,c成等差数列，若E(g)=§1,则。©)=()A.点1B.1oC.-R

-80

D.—

81

【正确答案】D

根据a,b,c成等差数列，分布列的概率和为1,E(J)=g,构造等量关系，求解a,b,c,

利用方差的公式即得解.

【详解】Va,b,c成等差数列，E=：,

9

,2

a+b+c=—

3

・・・由变量4的分布列，知:2b=a+c

(-l)x」+6+2c=—

「39

1?1

解得Q="，b苔,C=~,

i1、2180

：.D((f)=(-1--)2x-+(0--)2x-+(1--)2x-+(2--)2x-=—

9393999981

故选：D.

本题考查了利用随机变量的分布列研究随机变量的期望和方差，考查了学生综合分析，概念

理解，数学运算的能力,

11.已知e为自然对数的底数，若对任意工£口,司，总存在唯一的丁£卜1」］,使得

y2ey=a-\nx,成立，则实数。的取值范围是()

A.[l，e]B.(1+—C,(—，l+eD.11+—,e+lj

【正确答案】B

【分析】求出“用=丁/(ye[-l,l])中〉与/(夕)一一对应的/")的取值集合，再求得

g(x)=a-lnx(xe[l,e])的值域，由集合之间的关系可得结论.

【详解】设/=,^e[-l,l],g(x)=a-lnx,xe[l,e],

尸(y)=(2y+/)e\-14y<0时、/'3)<0,“V)递减，0<"1时，尸。)>0,/⑺递

增，.•./3)*=/(0)=0,/(-l)=e-',/(1)=e,A/(j；)e(-,e]U{0}

e

g(x)="lnx在[l,e]上是减函数，I.g(x)e[a-1,a],

由题意["l,akd,e]U{0},>e,即1+LaMe.

e/e

s<e

故选:B.

本题考查函数恒成立问题，通过分析函数值域之间的关系得出不等关系.解题时要注意题中

任意，存在，唯一等词语的含义.

12.利用独立性检验的方法调查高中性别与爱好某项运动是否有关，通过随机调查200名高

中生是否爱好某项运动，利用2*2列联表，由计算可得7.245,得到的正确结论是()

P(片刊to)0.010.050.0250.0100.005().001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

A.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”、

C.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关“

D.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

【正确答案】B

【分析】根据临界值表，由K?的取值，可直接得出结果.

【详解】由7.245>6.635,可得有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.

故选：B.

二、填空题

13.若尸（X=O）=l-p,P（X=l）=p,贝l」E（2X-3）=.

【正确答案】2P-3

【分析】根据两点分布概率可求得E（X）,根据数学期望的性质可求得结果.

【详解】由题意得:E（X）=p:.E（2X-3）=2E[X）-3=2p-3

故2P-3

本题考查数学期望的性质应用，关键是明确E（aX+b）=aE（X）+/）,属于基础题.

14.同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数大于3”为

事件4”两颗骰子的点数之和等于8”为事件5,则P（8M）=.

【正确答案】7

先利用古典概型求得P（N），再代入条件概率公式求解.

【详解】满足事件A的情况有红骰子向上的点数为4,5,6,

所以尸（/）=1=；，

02

同时满足事件AB的情况有红骰子向上的点数为4,5,6,蓝骰子对应点数为4,3,2,

31

所以尸（皿=而=透

1

1

所以尸（见"）=号+=-

1-26-

-1

2

本题主要考查条件概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

15.CES是世界上最大的消费电子技术展，也是全球最大的消费技术产业盛会.2020CES消

费电子展于2020年1月7日—10日在美国拉斯维加斯举办.在这次CES消费电子展上，我

国某企业发布了全球首款彩色水墨屏阅读手机，惊艳了全场.若该公司从7名员工中选出3

名员工负责接待工作（这3名员工的工作视为相同的工作），再选出2名员工分别在上午、下

午讲解该款手机性能，若其中甲和乙至多有1人负责接待工作，则不同的安排方案共有

种.

【正确答案】360

【分析】理解题意，分两步安排，先安排接待工作，再安排讲解工作.安排接待工作时，甲

和乙至多安排1人，故分没安排甲乙和甲乙安排1人两类求解，从而计算出不同的安排方案

总数.

【详解】先安排接待工作，分两类，一类是没安排甲乙有C；种，

一类是甲乙安排1人有种，

再从余下的4人中选2人分别在上午、下午讲解该款手机性能，共彳种，

故不同的安排方案共有(。；以+《)•/=360种.

故360.

本题考查了排列、组合的综合应用，考查了分析理解能力，分类讨论思想，属于中档题.

16.函数f(x)=lnx+〃一与g(x)=x?+l有公切线y="(a>0),则实数机的值为

x+1

【正确答案】4

【分析】根据题意，设两个函数的切点分别为尸、G,求出函数的导数，由g(x)的导数分

析可得。的值，即可得公切线为V=2x,据此可得关于加的方程组，解可得〃?的值，即可得

答案.

【详解】根据题意，函数〃x)=hix+笔与g(x)=/+l有公切线y="(a>0),

X+I

设切点分别为尸(再，乂)，G(W,外)，

nq

八、七十再1产'(')=2七

X2+]

所以。=2x,>0且二---=2x,=>々=1，〃=2,

X2

所以公切线为y=2x,

mx

1=2再

X1+1

则有，nInXj+2xJ_石_1=o,

m

11=2

.为+(X,+1)

沿14(x--)2+—

1^A(x)=lnx+2x2-x-l(x>0)=>/?,(x)=-+4x-l=--------——^>0,

XX

则〃(X)在(0,+8)上递增,

又/?(1)=0,故&=1,m=4,

故4

三、解答题

17.已知(2x—.

(1)求展开式中二项式系数最大的项；

(2)设(2》-白)的展开式中前三项的二项式系数之和为(1-如)”的展开式中各项系

数之和为N,若屈=可，求实数。的值.

【正确答案】(1)4=80//=-40/

(2)3,-1

【分析】(1)当/*=2或3时，二项式系数最大C；=C；=10,写出对应的项即得解：

(2)由题意：="="即得解.

【详解】(1)7^=C；(2x)J(-±C=(-iy25TC"」'，r=0,12..,5

当r=2或3时，二项式系数最大C；=C；=10

1

即•[=80x2,7；=-40/

(2)由题意：M=C；+C；+C；=16,N=(I-"

若41=",即16=(1-4.”=3,-1

本题考查了二项式定理的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中

档题.

18.为了解学生是否会参加定向越野活动进行调查.随机抽取了200位中小学生进行调查、

得到如下数据：准备参加定向越野的小学生有80人，不准备参加定向越野的小学生有40

人，准备参加定向越野的中学生有40人.

(1)完成下列2x2列联表，并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为这200位参与调查

的中小学生是否准备参加定向越野与中小学生年龄有关.

准备参加定向越野不准备参加定向越野合计

小学生

中学生

合计

（2）现将小学生分组进行比赛.两人一组，每周进行一轮比赛，每小组两人每人跑两张地

图（跑一张地图视为一次），达到教练设定的成绩标准的次数之和不少于3次称为“优秀小

组”、小超与小红同一小组，小超、小红达到教练设定的成绩标准的概率分别为8，鸟，且

4

理论上至少要进行多少轮比赛，才能使得小超、小红小组在比赛中获得“优秀小

组''次数的期望值达到16次？并求此时8，6的值.

附.公一〃3一咐2

Z

~(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)^

尸（力飞与）0.500.250.050.0250.010

X。0.4551.3233.8405.0246.635

【正确答案】（1）有97.5%的把握认为这200位参与调查的中小学生是否准备参加定向越野

2

与中小学生年龄有关；（2）理论上至少要进行27轮游戏，此时4=g=§.

【分析】（1）利用题中的数据完成2x2列联表，计算R2的值，对照临界值表即可得到答案:

（2）先求出他们在一轮游戏中获“优秀小组”的概率P,利用勺+?=：,结合二次函数的

性质即可得到＜6的最大值和最小值，再利用换元法求出P的最大值，从而得到”的最小值

以及此时勺，乙的值.

【详解】解：（1）由题意可得，2x2列联表如下:

不准备参加定向越

准备参加定向越野合计

野

小学生8040120

中学生404080

合计1208()200

2

由,士表上中/的人5数g据-r可zr得i,1Kx2=(»)(nl()ad(-cb+e?〃)S+〃)=200x1(2400xx8800x-804x01x2400)3_56£.024_.

所以有97.5%的把握认为这200位参与调查的中小学生是否准备参加定向越野与中小学生

年龄有关；

（2）他们在一轮游戏中获“优秀小组”的概率为P,

则P=C*（l-q）C；储）?+《（耳巴（1-巴）+玛（用2C仁）2=2<8（々+巴）-3（6）20）2,

4Q

因为［+£="所以P=］初-3（02（6）2,

4

因为0・乙・1,4+E=］，

4

所以0・§-勺・1,

又0超・1,所以;

所以片鸟=月.§-々）是关于6的二次函数，

则当时，6巴有最大值］,

当勺=；或6=1时，6鸟有最小值（，

所用•£叫，

14

令，=44,贝

37

所以尸=咐=-3*+|/,当f=g时，P的最大值为黑，

他们小组在〃轮游戏中获“优秀小组”次数X满足X~B（”,P）,

因为（"）M=16,故〃=27,

442

所以理论上至少要进行27轮游戏，此时片+4=§,16=3,故1=鸟=5.

19.各项均为正数的等比数列｛〃"｝中，=3.

(1)求数列｛。“｝的通项公式；

(2)记，为数列｛log?%｝的前〃项和，Sm+Smti=S^3,求加的值.

【正确答案】(1M=2"T

(2)6

【分析】(1)利用等比数列的通项公式，带入等式即可求出a”q则可求出答案.

(2)先写出数列｛log?对｝的通项公式，即可判断其为等差数列.则可写出E,,带入

5M+S.M=SR"则可解出加的值.

【详解】(1)•••｛《,｝是正项等比数列，不妨设为=〃“"-&>0且<?");

q+。闻=3

由题意得:

2

a}q—Q]=3

1=1

解得:

4=2

(2)记”,=k)g2a“

由(1)知：a„=2"-'

:也="7

：.也｝是以0为首项，公差为1的等差数列

由题意得：皿心+剑四=303

222

解得：叫=6,机2=-1(舍)

所以的值为6

、2

20.已知函数/(X)=1+4/+以+。在与x=l处都取得极值.

(1)求a,b的值;

(2)若方程/(x)=2c有三个实数根，求实数c的取值范围.

【正确答案】(1)。=-；力=—2；

⑵工，<必

227

【分析】(1)求出函数/(x)的导数，由给定的极值点列出方程，求解验证作答.

(2)求出函数g(x)=/(x)-2c的极大值和极小值，再根据三次函数的图象特征列不等式即

可求解作答.

【详解】(1)由/(x)=x3+ax2+Zw+c求导得：/'(X)=3x?+2ax+b,

依题意，“3，=—3•——3a+b=0,解得a=-1：,6=-2,此时，

/⑴=3+2a+6=02

f\x)=3d-x-2=(3x+2)(x-l))

当2或x>l时，f\x)>0,当一：2<x<l时，f\x)<0,即x=-：2,x=l是函数/(x)的

极值点，

所以〃=-g,6=-2.

(2)由(1)知，f(x)=x3-^x2-2x+c,々g(x)=/(x)-2c=x3-；x2-2x-c,

g'(x)=(3x+2)(x-l),

22

由(1)知，g(x)在(1,+8)上单调递增，在上单调递减，

当X=-g时，g(x)取极大值g(-|)=||-c,当X=1时，g(x)取极小值g(l)=-|-c,

因方程/(x)=2c有三个实数根，则函数g(x)=X3-^X2-2X-c有三个零点，

'22

---c>0n

于是得2;7，解得-3=<c<223，

3227

----c<0

2

所以实数c的取值范围3是〈2白2.

227

21.已知数列｛叫满足4=3,*「2a"=2"("eN’),数列也｝满足勿吟.

(1)证明数列｛a｝是等差数列，并求数列｛(｝的通项公式;

(2)求数列｛4｝的前"项和

【正确答案】⑴证明见解析，⑸=(〃+2)2"，

⑵(“+1)2”-1.

【分析】⑴证明%।~b„为常数即可证明色｝是等差数列，求出也｝通项公式即可求出㈤｝的

通项公式；

(2)根据错位相减法即可求数列｛%｝的前〃项和.

【详解】⑴由”,磴，得心=等,

由%+i-2”“=2"得，an+=2an+2",

故如-4=耨+=g，

｛加｝是等差数列，首项为A=T，公差为g，

31_n+2

/.b=—+—(«-1)

"22

_n+2

.2"=(〃+2)2j