中考数学总复习《三角形的极值问题》专项提升练习题及答案(北师大版)

第1页（共1页）中考数学总复习《三角形的极值问题》专项提升练习题及答案(北师大版)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一．选择题（共8小题）1．如图，在等边△ABC中，点A、C分别在x轴、y轴上，AC＝4，当点A在x轴正半轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（）A．4 B．2+ C．+2 D．2+22．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（）A．6 B．8 C．10 D．4.83．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF分别交AB、AC边于点E、F，点K为EF上一动点，则BK+CK的最小值是以下哪条线段的长度（）A．EF B．AB C．AC D．BC4．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则PA+PC的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．65．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M，P是直线MN上一动点，点H为BC中点，若AB＝13，△ABC的周长是36．则PB+PH的最小值为（）A． B．10 C．12 D．136．如图，∠AOB＝α，点P是∠AOB内的一定点，点M、N分别在OA、OB上移动，当△PMN的周长最小时，∠MPN的值为（）A．90°+α B．90° C．180°﹣α D．180°﹣2α7．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A．140° B．100° C．50° D．40°8．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．2 B．2 C．3 D．二．填空题（共4小题）9．如图，AH是正三角形ABC中BC边上的高，在点A，C处各有一只电子乌龟P和Q同时起步以相同的速度分别沿AH，CA向前匀速爬动．确定当两只电子乌龟到B点距离之和PB+QB最小时，∠PBQ的度数为．10．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB的垂直平分线DE交AB边于点D，交BC边于点E，在线段DE上有一动点P，连接AP、PC，则△APC的周长最小值为．11．已知：在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°M、N分别是CD和BC上的点．求作：点M、N，使△AMN的周长最小．作法：如图2（1）延长AD，在AD的延长线上截取DA´＝DA；（2）延长AB，在AB的延长线上截取BA″＝BA；（3）连接A′A″，分别交CD、BC于点M、N．则点M、N即为所求作的点．请回答：这种作法的依据是．12．如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．三．解答题（共4小题）13．如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边△BEF，连接DF，当△BDF的周长最小时，求∠DBF的度数．14．几何模型：条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB＝A′B的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是；（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；（3）如图3，∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，PO＝10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．15．探究问题1已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE＝kDF，则k的值为．拓展问题2已知：如图2，三角形ABC中，CB＝CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且∠MAC＝∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：DE＝DF．推广问题3如图3，若将上面问题2中的条件“CB＝CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论．16．如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO＝90°﹣∠BDO．（1）求证：AC＝BC；（2）在（1）中点C的坐标为（4，0），点E为AC上一点，且∠DEA＝∠DBO，如图2，求BC+EC的长；（3）在（1）中，过D作DF⊥AC于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点，（如图3），当点H在FC上移动、点G在OC上移动时，始终满足∠GDH＝∠GDO+∠FDH，试判断FH、GH、OG这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．如图，在等边△ABC中，点A、C分别在x轴、y轴上，AC＝4，当点A在x轴正半轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（）A．4 B．2+ C．+2 D．2+2解：过点B作BM⊥AC于点M，连接OM，如图所示：∵△ABC是等边三角形∴M是AC的中点∵AC＝4∴BC＝4，MC＝2根据勾股定理，得BM＝根据题意，得∠AOC＝90°∴OM＝＝2∴OM+MB＝2+∴点B到原点的最大距离是2+故选：D．2．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（）A．6 B．8 C．10 D．4.8解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M过点M作MN⊥BC于点N∵BD平分∠ABC∴ME＝MN∴CM+MN＝CM+ME＝CE．∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，CE⊥AB∴S△ABC＝AB•CE＝AC•BC∴10CE＝6×8∴CE＝4.8．即CM+MN的最小值是4.8故选：D．3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF分别交AB、AC边于点E、F，点K为EF上一动点，则BK+CK的最小值是以下哪条线段的长度（）A．EF B．AB C．AC D．BC解：连接AK∵EF是线段AB的垂直平分线∴AK＝BK∴BK+CK＝AK+CK∴AK+CK的最小值＝BK+CK的最小值∵AK+CK≥AC∴当AK+CK＝AC时，AK+CK的值最小，即BK+CK的值最小∴BK+CK的最小值是线段AC的长度故选：C．4．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则PA+PC的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6解：如图，EF是BC的垂直平分线∴点C与点B关于直线EF对称∴线段AB与直线EF的交点即为点P∴PA+PC＝AB．∵AB＝4∴PA+PC的最小值是4．故选：B．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M，P是直线MN上一动点，点H为BC中点，若AB＝13，△ABC的周长是36．则PB+PH的最小值为（）A． B．10 C．12 D．13解：连接AP，AH∵AB＝AC＝13，△ABC的周长为36∴BC＝36﹣2×13＝10∵H是BC中点∴BH＝BC＝5∵△ABC是等腰三角形，点H是BC中点∴AH⊥BC∴AH＝＝＝12∵MN是线段AB的垂直平分线∴点B关于直线MN的对称点为点A∴AP＝BP∴BP+PH＝AP+PH≥AH∴AH的长为BP+PH的最小值∴BP+PH的最小值为12．故选：C．6．如图，∠AOB＝α，点P是∠AOB内的一定点，点M、N分别在OA、OB上移动，当△PMN的周长最小时，∠MPN的值为（）A．90°+α B．90° C．180°﹣α D．180°﹣2α解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1、P2，交OA于M，交OB于N，则OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O根据轴对称的性质可得MP＝P1M，PN＝P2N∴△PMN的周长的最小值＝P1P2由轴对称的性质可得∠P1OP2＝2∠AOB＝2α∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝180°﹣2α∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝∠OP1P2+∠OP2P1＝180°﹣2α故选：D．7．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A．140° B．100° C．50° D．40°解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则△PMN的周长的最小值＝P1P2∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°故选：B．8．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．2 B．2 C．3 D．解：设BE与AC交于点F（P′），连接BD∵点B与D关于AC对称∴P′D＝P′B∴P′D+P′E＝P′B+P′E＝BE最小．即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度；∵正方形ABCD的面积为12∴AB＝2．又∵△ABE是等边三角形∴BE＝AB＝2．故所求最小值为2．故选：A．二．填空题（共4小题）9．如图，AH是正三角形ABC中BC边上的高，在点A，C处各有一只电子乌龟P和Q同时起步以相同的速度分别沿AH，CA向前匀速爬动．确定当两只电子乌龟到B点距离之和PB+QB最小时，∠PBQ的度数为30°．解：过点C作CD⊥BC，取CD＝AB，连接BD∵△ABC是等边三角形，AH是BC边上的高∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∠BAH＝30°∴∠ACD＝30°∴∠BAH＝∠ACD在△ABP和△CDQ中∴△ABP≌△CDQ（SAS）∴BP＝DQ，∠CQD＝∠APB∴当B、Q、D共线时，PB+QB最小，连接BD交AC于Q∴∠APB＝∠AQB∴∠PBQ＝∠QAH＝30°故答案为：30°．10．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB的垂直平分线DE交AB边于点D，交BC边于点E，在线段DE上有一动点P，连接AP、PC，则△APC的周长最小值为14．解：如图，连接BP∵DE垂直平分AB∴AP＝BP∴AP+PC＝BP+PC∴当点B，P，C在同一直线上时，AP+PC的最小值等于BC长∴△APC的周长最小值为BC+AC＝8+6＝14故答案为：14．11．已知：在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°M、N分别是CD和BC上的点．求作：点M、N，使△AMN的周长最小．作法：如图2（1）延长AD，在AD的延长线上截取DA´＝DA；（2）延长AB，在AB的延长线上截取BA″＝BA；（3）连接A′A″，分别交CD、BC于点M、N．则点M、N即为所求作的点．请回答：这种作法的依据是①线段垂直平分线的定义（或线段垂直平分线的判定，或轴对称的性质即对称点的连线段被对称轴垂直平分）②线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等（线段垂直平分线的性质）；③两点之间线段最短．解：根据线段垂直平分线的性质和两点之间线段最短作图；故答案为：①线段垂直平分线的定义（或线段垂直平分线的判定，或轴对称的性质即对称点的连线段被对称轴垂直平分）②线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等（线段垂直平分线的性质）；③两点之间线段最短12．如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是4．解：如图，在AC上截取AE＝AN，连接BE．∵∠BAC的平分线交BC于点D∴∠EAM＝∠NAM在△AME与△AMN中∴△AME≌△AMN（SAS）∴ME＝MN．∴BM+MN＝BM+ME≥BE．∵BM+MN有最小值．当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC又AB＝4，∠BAC＝45°，此时，△ABE为等腰直角三角形∴BE＝4即BE取最小值为4∴BM+MN的最小值是4．故答案为：4．三．解答题（共4小题）13．如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边△BEF，连接DF，当△BDF的周长最小时，求∠DBF的度数．解：如图，连接CF∵△ABC、△BEF都是等边三角形∴AB＝BC＝AC，BE＝EF＝BF，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝∠EBF＝∠BEF＝∠BFE＝60°∴∠ABC﹣∠EBD＝∠EBF﹣∠EBD∴∠ABE＝∠CBF在△BAE和△BCF中∴△BAE≌△BCF（SAS）∴∠BCF＝∠BAD＝30°如图，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，连接FG，则FD＝FG，CD＝CG∴∠FDG＝∠FGD，∠CDG＝∠CGD∴∠CDG+∠FDG＝∠CGD+∠FGD∵∠CDF＝∠ADC＝90°∴∠CGF＝90°∴BG⊥CG∴当B，F，G在同一直线上时，DF+BF的最小值等于线段BG长且BG⊥CG时，△BDF的周长最小由轴对称的性质，可得∠DCG＝2∠BCF＝60°，CD＝CG∴△DCG是等边三角形∴DG＝DC＝DB∴∠DBF＝∠DGB＝∠CDG＝30°．14．几何模型：条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB＝A′B的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是；（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；（3）如图3，∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，PO＝10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．解：（1）∵四边形ABCD是正方形∴AC垂直平分BD∴PB＝PD由题意易得：PB+PE＝PD+PE＝DE在△ADE中，根据勾股定理得，DE＝；（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于PPA+PC的最小值即为A′C的长∵∠AOC＝60°∴∠A′OC＝120°∵AO＝CO，AO＝A′O∴∠OA'C＝∠OCA'＝30°作OD⊥A′C于D，则∠A′OD＝60°∵OA′＝OA＝2∴A′D＝∴；（3）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连接PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．由轴对称性质可得，OM＝ON＝OP＝10，∠MOA＝∠POA，∠NOB＝∠POB∴∠MON＝2∠AOB＝2×45°＝90°在Rt△MON中，MN＝＝＝10．即△PQR周长的最小值等于10．15．探究问题1已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE＝kDF，则k的值为1．拓展问题2已知：如图2，三角形ABC中，CB＝CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且∠MAC＝∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：DE＝DF．推广问题3如图3，若将上面问题2中的条件“CB＝CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论．解：（1）∵AE⊥BC，BF⊥AC∴△AEB和△AFB都是直角三角形∵D是AB的中点∴DE和DF分别为Rt△AEB和Rt△AFB的斜边中线∴DE＝AB，DF＝AB（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）∴DE＝DF∵DE＝kDF∴k＝1；（2）∵CB＝CA∴∠CBA＝∠CAB∵∠MAC＝∠MBE∴∠CBA﹣∠MBC＝∠CAB﹣∠MAC即∠ABM＝∠BAM∴AM＝BM∵ME⊥BC，MF⊥AC∴∠MEB＝∠MFA＝90又∵∠MBE＝∠MAF∴△MEB≌△MFA（AAS）∴BE＝AF∵D是AB的中点，即BD＝AD又∵∠DBE＝∠DAF∴△DBE≌△DAF（SAS）∴DE＝DF；（3）DE＝DF如图1，作AM的中点G，BM的中点H∵点D是边AB的中点∴DG∥BM，DG＝BM同理可得：DH∥AM，DH＝AM∵ME⊥BC于E，H是BM的中点∴在Rt△BEM中，HE＝BM＝BH∴∠HBE＝∠HEB∠MHE＝∠HBE+∠HEB＝2∠MBC又∵DG＝BM，HE＝BM∴DG＝HE同