2022-2023学年度第一学期高二数学期末综合测试卷（解析版）

2022-2023学年度第一学期期末综合测试卷

高一数学

第I卷（选择题）

一、单选题：本大题共9小题，每小题4分，共36分

1.（2022•河北唐山•高二期末）直线依+k1=。的倾斜角为30。，贝!!。=

（）

A.-在B.好C.YD.0

33

2.（2022•天津市第九十五中学益中学校高二期末）①直线y+l=2x在y轴上

的截距为1;②直线》8'+1=0的倾斜角为150;③直线y=6-3a必过定

点（3,0）；④两条平行直线3尤-2股1=0与3尤-2y+l=。间的距离为半.以上

四个命题中正确的命题个数为（）

A.1B.2C.3D.4

3.（2022•天津市第九十五中学益中学校高二期末）在四棱锥P-ABCD中，

底面A5c。是正方形，E为PD中点，若PA=a,PB=b，PC=c,贝!IBE=

—a+—b+—cB.一〃——b——

4.（2022•天津和平•高二期末）在等比数列他J中，T“表示前〃项和，若

&=2T#1,&4=2T3+1,则公比q等于

A.一3

5.（2022•江苏•连云港市赣马高级中学高二期末）若双曲线焦点的坐标为

（5,0）,（-5.0）,渐近线方程为尸土不，则双曲线的方程是（）

A.^-―=1B.--^=1C.=1D.=-t=1

9169169393

6.（2022•北京市昌平区第二中学高二期末）已知直线/："-y+l-左=0和圆

2

C:X+/-4X=0,则直线/与圆C的位置关系为（）

A.相交B.相切C.相离D.不能确定

7.（2019•福建省泉州市泉港区第一中学高二期末（理））如图，

A4G-ABC是直三棱柱，ZBCA=90°,点R,片分别是A与，AG的中点,

若BC=CA=CG,则与4耳所成角的余弦值是（）

A.—B.|C.—D.—

1021510

8.（2022•天津河东•高二期末）我国古代数学名著《算法统宗》记有行程减

等问题：三百七十八里关，初行健步不为难次日脚痛减一半，六朝才得到

其关.要见每朝行里数，请公仔细算相还.意为：某人步行到378里的要

塞去，第一天走路强壮有力，但把脚走痛了，次日因脚痛减少了一半，他

所走的路程比第一天减少了一半，以后几天走的路程都比前一天减少一

半，走了六天才到达目的地.请仔细计算他每天各走多少路程?在这个问题

中，第四天所走的路程为（）

A.96B.48C.24D.12

22

9.（2022•天津和平•高二期末）已知椭圆C：「+[=1（〃>6>0）的左、右焦点

ab

分别为耳，瑞，下顶点为A,直线人工与椭圆。的另一个交点为5,若BF、A

为等腰三角形，则椭圆C的离心率为（）

A.B.6C.D.—

133122

第II卷（非选择题）

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.

10.（2022•天津河北•高二期末）已知数列&｝的通项公式

2

an=[\"器表则数列｛里｝的前5项为_____.

["+1,〃为偶数

11.(2021•甘肃•测试•编辑教研五高二期末(文))抛物线x=的准线方程

为.

12.(2022•天津•静海一中高二期末)数列&｝的前〃项和为S,,=2几2+3n+l,

则该数列的通项公式%=

13.(2022•天津和平•高二期末)在空间直角坐标系中，A(W)、以2,3,4),

平面BCD的一个法向量是(-1,2,1)，则点A到平面BCD的距离为

14.(2022•河北唐山•高二期末)数列｛4｝的通项公式为

%=(T)"(2〃-l)(〃eN*),其前〃项和为臬，则$=.

15.(2022•江西南昌•高二期末)若直线/：ox—y+2—a=0与圆C：(*-3)2

+3-1尸=9相交于A,5两点，且NAC5=90。，则实数a的值为

三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程

或演算步骤.

16.(2022•北京市昌平区第二中学高二期末)已知圆C的圆心坐标为(2,0),

且与轴相切，直线/过(。，4)与圆C交于“、N两点，且1MM=2上.

⑴求圆C的标准方程；

⑵求直线/的方程.

17.(2022•天津和平•高二期末)设｛a〃｝是等差数列，a；=-10,且w+lO,

的+8,a4+6成等比数列.

(I)求｛a〃｝的通项公式；

(H)记｛a“｝的前〃项和为S”，求S"的最小值.

18.(2022•天津•静海一中高二期末)如图，在长方体-48CR中，

AB=AD=1,M=2,E是棱的中点.

(1)求证：BCLAB,.

(2)求平面ME与平面ABCD夹角的余弦值;

(3)在棱CQ上是否存在一点F,使得跖与平面4与E所成角的正弦值为

8,若存在，求出c尸的长；若不存在，请说明理由.

3

19.(2022•天津和平•高二期末)已知数列｛q｝中4=1,%M2%+3,〃eN*.

(1)证明：数列几+3｝是等比数列；

⑵若数列也｝的通项公式为2=(〃+1)(%+3),〃eN*,求数列也｝的前〃项

和S.；

(3)若c”=log2(4+3),求数列<」一的前n项和Tn.

[c,£+J

22

20.(2022•云南•罗平县第一中学高二期末)设椭圆c0+方=l(a”>0)的

右顶点坐标为(2,0),且其离心率为，

⑴求椭圆。的方程；

⑵若在'轴上的截距为2的直线/与椭圆。分别交于A3两点，。为坐标原

点，且直线的斜率之和等于12,求直线的方程.

参考答案：

1.A

【分析】根据方程和倾斜角分别求出直线的斜率，进而得到。的值.

【详解】由已知得直线的斜率^=tan3(T=，=F,

故选:A.

2.B

【分析】由直线方程的性质依次判断各命题即可得出结果.

【详解】对于①，直线y+i=2x,令x=o,则,=-1,直线在了轴上的截距为-

1,则①错误；

对于②，直线x+6y+i=0的斜率为-3，倾斜角为150,则②正确；

3

对于③直线>=3),由点斜式方程可知直线必过定点(3,0),则③

正确；

对于④，两条平行直线3x-2y-l=0与3x-2y+l=0间的距离为"=?4=噌1,

V9+413

则④错误.

故选：B.

3.C

【分析】根据向量线性运算法则计算即可.

【详解】BE=+BD)=-；PB+；(BA+BC)

=--PB+-BA+-BC=--PB+-(PA-PB)+-(PC-PB)

222222

311131

=--PB+-PA+-PC=-a--b+-c.

222222

故选：c.

4.D

【详解】试题分析：因为2=2Tz+l,”=213+1两式相减得么-d=-2"，从而求

得2=3.故应选D.

考点：1、等比数列的定义；2、公式q=S〃—-九之2)的应用.

5.B

c2=25

【分析】由题得。=5,根据渐近线方程及Ac关系得到方程组，解出即

3

可.

【详解】双曲线的焦点在X轴上，且。=5,设双曲线的方程为

22

下一七=1（。〉0力〉0）,

ab

则双曲线的渐近线方程为：y=±-x,又渐近线方程为、=±：尤，所以

a3a3

22

c2=b2+a2=25,解得a=3/=4,所以双曲线的方程为上一匕=i.

916

故选：B.

6.A

【解析】求出直线过的定点厂坐标，确定定点在圆内，则可判断.

【详解】直线方程整理为心-1）7+1=。，即直线过定点P（U）,

而P+p一4>1=—2<0,尸在圆C内,

直线/与圆C相交.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系.关键点有两个：一是确

定动直线所过定点坐标，二是确定点到圆的位置关系：圆C的一般方程为

f（x,y）=x2+y2+Dx+Ey+F=0,点尸（尤0,%）,则/（无。,％）<。o点P在圆。内，

二（々,兀）=0Q点P在圆。上，

/（x0,%）>0o点p在圆。外.

7.A

【分析】以C为原点，建立空间直角坐标系，然后坐标运算即可.

【详解】以。为原点，建立如图所示空间直角坐标系，

设BC=C4=CG=2,则4(2,0,0),8(0,2,0),D,(I,I,2),7<(1,0,2),

可得西=。-1,2),丽=(-1,0,2),

A"3屈

cos〈5£)i，A耳)=

西|阳娓.下10

此时，与做所成角的余弦值是吟.

故选：A

8.C

【分析】每天所走的里程构成公比为3的等比数列，设第一天走了,里，利用

等比数列基本量代换，直接求解.

【详解】由题意可知：每天所走的里程构成公比为3的等比数列.

第一天走了x里,

第4天走了192x24.

故选：C.

【分析】由椭圆定义可得各边长，利用三角形相似，可得点8坐标，再根据点

在椭圆上，可得离心率.

【详解】如图所示：

J

w务

A

因为即储为等腰三角形，且跖门盟|=*

又用+忸胤+|盟=4〃，所以|AB|=+，

所以巾=2优2|,

过点5作5MLt轴，垂足为

贝！|AOF2BMF2,

由A(Oj),g(c,o),得8臣5

因为点B在椭圆。上，所以/+余=1,

所以£=:，

a23

即离心率6，=走，

a3

故选：B.

10.2,3,2,5,2

【分析】根据数列的通项公式可得答案.

【详解】因为。"=]I所以数列｛©的前5项为2,3,2,5,2.

[〃+1,”为偶数

故答案为：2,3,2,5,2

11.x=-l

【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而利用抛物线的性质求得准线方

程.

【详解】整理抛物线方程得天=4x,

,P=2,

•••准线方程为x=-l,

故答案为：X=-l.

f6,n=1

a

12."~\^n+l,n>2

【分析】根据。“与s,关系求解即可.

【详解】当〃=1时，4=5\=2+3+1=6,

22

当〃22时，«„=5„-^1=2»+3»+1-[2（»-1）+3（»-1）+1]=4/7+1,

检验:%=5wH,

6,〃=1

所以为=

4w+l,n>2

6,〃=1

故答案为：册=

4n+1,n>2

13.V6

\n-AB\

【解析】利用点到平面的距离公式d=(〃为平面BCD的一个法向量)可

\n\

求得点A到平面BCD的距离.

【详解】由已知条件可得AB=(123),平面BCD的一个法向量为〃

\n-AB\|-lxl+22+3xl|「

所以，点到平面的距离为d=/、2,卜二.

ABCDH7(-0+2+1

因此，点A到平面8CQ的距离为新.

故答案为：面.

【点睛】方法点睛：求点A到平面8CQ的距离，方法如下：

(1)等体积法：先计算出四面体A8CD的体积，然后计算出公2。的面积，利

用锥体的体积公式可计算出点A到平面BCD的距离；

(2)空间向量法：先计算出平面BCD的一个法向量〃的坐标，进而可得出点A

\AB-4

到平面BCD的距离为d=.

14.-15

【分析】根据解析式，分别求得奇数项和与偶数项和，综合即可得答案.

【详解】由题意得4=-1吗=-5,4=-9-.，即奇数项为首项为-1,公差为-4的等

差数列，

q+々3+,—F45=8x(—1)H———x(—4)——120,

4=3,&=7,，=h…，即偶数项为首项为3,公差为4的等差数列,

7x6_

a?++,,•+64=7X3H———x4=105,

所以几=q+4+，，，+%5=—12。+105=-15.

故答案为：-15

15.1或7

【分析】根据题干条件得到圆心C到直线I：ax-y+2-a^O的距离为坐厂,

利用点到直线距离公式列出方程，求出实数a的值.

【详解】由题意，得圆心C(3,1),半径r=3且NAC5=90。,

则圆心。到直线/：ax—y+2—a=0的距离为日r,

Hn|2a+l|3a

即E工解得:a=l或a=7.

故答案为：1或7.

16.(1)(X-2)2+/=4

⑵l+,一4=0或7]+y-4=0

【分析】(1)求出圆。的半径，即可得出圆C的标准方程；

(2)利用勾股定理计算出圆心。到直线/的距离，分析可知直线/的斜率存在，

设直线/的方程为丁=丘+4,利用点到直线的距离公式可得出关于化的方程，解

出后的值，即可得出直线/的方程.

【详解】(1)解：由题意可知，圆。的半径为2,故圆C的标准方程为

(x-2)2+y2=4.

(2)解：设圆心。到直线/的距离为d,则4=

若直线/的斜率不存在，则直线/的方程为了=。，此时圆心。到直线/的距离为

2,不合乎题意.

所以，直线/的斜率存在，设直线/的方程为y=依+4,即仙-y+4=0,

由点到直线的距离公式可得"=*4=血，解得左=-1或左=-7,

川+1

所以，直线/的方程为》=一%+4或y=-7x+4,即x+y-4=0或7x+y—4=0.

17.(I)an=2n-U;(II)-30.

【分析】(I)由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列通项公式可得｛%｝

的通项公式；

(II)首先求得S“的表达式，然后结合二次函数的性质可得其最小值.

【详解】(I)设等差数列也｝的公差为(

因为4+10,"3+8，+6比数列9J^T(。3+8)=(a2+1。)(。4+6),

即(2d-2)2=d(3d-4),解得4=2,所以=-10+2(〃-1)=2〃-12.

(II)由(I)知an=2n-129

当〃=5或者〃=6时，S.取到最小值—30.

【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题

的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.

18.(1)证明见解析(2)且(3)存在点F,CF=V6-1

6

【分析】⑴先证明8C1平面A即A,由A4u平面AB4A,可证明结论.

(2)以分别为羽y,z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面

ABCD的法向量，利用向量法求求解即可.

⑶设。尸=无，O<X<2,IJ!!]EF=(1,0,X-1),则由向量法结合条件可得答案.

【详解】(1)在长方体ABCD-A|B|CQ中，ABJ_BC,BBt1BC

又AB?BB、B,所以8cl平面A即A

又A4u平面ABB,A,，所以3C，A局.

⑵以AB,9心分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系

因为AB=AD=1,M=2,E是棱的中点.

贝!|A(0,0,0),4(L0,2),E(0,l,l)

则4=(0,0,1)为平面ABC。的一个法向量.

设巧=(x,y,2)为平面ME的一个法向量.

M=(l,O,2),AE=(O,l,l)

n•AB=0x+2z=0

所以＜2X即

n2•AE=0y+z=0

取z=—1,可得%=(2,1,-1)

/--\1t.rty—1v6

所以四件公t=研干前.可

如图平面ABiE与平面ABCD夹角为锐角，所以平面ABiE与平面ABCD夹角的余弦

(3)设B=x,0<x<2,贝！)尸(1,1,X),历=(1,0,%_1)

由(2)平面A8E的一个法向量%=(2,1,-1)

设用与平面A与E所成角为a

2-(x-1)#)

&xjl+(x-l)23

解得x=-l土#,取尤=«-1

所以存在点尸，CP="-1满足条件.

19.(1)证明见解析

+2

(2)Sn=n-2"

⑶心一+

【分析】⑴结合已知条件利用等比数列定义证明即可；⑵结合⑴中条件，求出

地』的通项公式，然后利用错位相减法求和即可；(3)结合(1)中条件，求出{g}

的通项公式，然后利用裂项相消法求和即可.

(1)

'H口日E、3""+i+3_2a“+3+3,

证明：因为一t+3'〃eN

又叫+3=4,所以何+3｝为首项是4,公比为2的等比数列.

(2)

由⑴可知,%+3=2向，〃eN*,所以/=5+1)2"\〃eN*.

则S“=2"+3"+4-24++n-2"+(M+l)-2"+1,

2S„=2-23+3-24+4-25+.+M-2,1+1+(n+l)-2n+2,

以上两式相减可得，—Sn=2,2?+2^+2，++2"+i—(几+1),2"2=—YI•2-2,

所以S“=〃2+2

(3