2022年山西省晋城市城区北石店镇中学高二数学理摸底试卷含解析

2022年山西省晋城市城区北石店镇中学高二数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若，则1+2+22+23+…+2n-1=(A)2n-1-1

(B)2n-1

(C)

(D)参考答案：B略2.下列类比推理中，得到的结论正确的是(

)（A）把与a（b+c）类比，则有（B）向量的数量积运算与实数的运算性质类比，则有ks5u(C)把与类比，则有(D)把长方体与长方形类比，则有长方体的对角线平方等于长宽高的平方和

参考答案：D略3.函数的单调递减区间是（

）

A

B

C

D参考答案：D4.从4名男生和3名女生中选出4人参加迎新座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有A．140种

B．120种

C．35种

D．34种参考答案：D略5.已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=(

)A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）参考答案：C【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出集合A，然后求出两个集合的交集．【解答】解：集合A={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B={x|2＜x＜3}=（2，3）．故选：C．【点评】本题考查集合的交集的求法，考查计算能力．6.已知变量满足约束条件,则的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：解析:画出可行域(图略),为一个三角形区域,顶点分别为.表示可行域内的点与原点连线的斜率,当时取最大值6,当时取最小值.故选A.7.若方程（2m2+m﹣3）x+（m2﹣m）y﹣4m+1=0表示一条直线，则实数m满足（）A．m≠0 B．m≠﹣C．m≠1 D．m≠1，m≠﹣，m≠0参考答案：C【考点】确定直线位置的几何要素．【分析】明确Ax+By+C=0表示直线的条件是A、B不同时为0，则由2m2+m﹣3与m2﹣m同时为0，求出2m2+m﹣3与m2﹣m不同时为0时m的取值范围．【解答】解：若方程（2m2+m﹣3）x+（m2﹣m）y﹣4m+1=0表示一条直线，则2m2+m﹣3与m2﹣m不同时为0，而由得m=1，所以m≠1时，2m2+m﹣3与m2﹣m不同时为0．故选C．【点评】本题主要考查Ax+By+C=0表示直线的条件，同时考查解方程组及补集知识．8.用更相减损术求294和84的最大公约数时，需做减法的次数是()A．2 B．3

C．4

D．5参考答案：C9.点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，则PB与AC所成的角是(

)A．90°B．60°

C．45°

D．30°参考答案：B略10.

已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率等于（

）．A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若一个圆锥的底面半径为，侧面积是底面积的倍，则该圆锥的体积为__________．参考答案：设圆锥的母线长为，∵，∴，∴，∴圆锥的高，∴圆锥的体积12.的展开式中，项的系数为___________.（用数字作答）参考答案：5略13.已知直线与圆则圆上各点到距离的最大值为___▲_；参考答案：略14.已知PD⊥矩形ABCD所在的平面，则图中相互垂直的平面有________对参考答案：5略15.已知f（x）=（2x﹣1）10=a10x10+a9x9+a8x8+…+a1x+a0，则Ca2+Ca3+Ca4+…+Ca10=

．参考答案：180【考点】二项式系数的性质．【分析】根据f（x）的展开式，求出a2、a3、a4、…、a10的值，再计算Ca2+Ca3+Ca4+…+Ca10的值．【解答】解：f（x）=（2x﹣1）10=（1﹣2x）10=1﹣2x+22x2﹣…+（﹣1）r?2r??xr+…+210?x10=a10x10+a9x9+a8x8+…+a1x+a0，∴Ca2+Ca3+Ca4+…+Ca10=?22?﹣?23?+?24?﹣…+?210?=180﹣2880+20160﹣80640+201600﹣322560+322560﹣184320+46080=180．16.已知数列{an}中，a1=2，an+1=an+2n﹣1，（n∈N+）则该数列的通项公式an=

．参考答案：n2﹣2n+3【考点】数列递推式．【专题】计算题；对应思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由已知数列递推式，利用累加法求得数列通项公式．【解答】解：由a1=2，an+1=an+2n﹣1，得a2﹣a1=2×1﹣1，a3﹣a2=2×2﹣1，a4﹣a3=2×3﹣1，…an﹣an﹣1=2（n﹣1）﹣1，（n≥2）累加得：an﹣a1=2﹣（n﹣1），∴=n2﹣2n+3（n≥2）．验证n=1上式成立，∴an=n2﹣2n+3．故答案为：n2﹣2n+3．【点评】本题考查数列递推式，考查了累加法求数列的通项公式，是基础题．17.已知分别为椭圆的左、右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线与椭圆的另一个交点为D，若，则直线CD的斜率为__________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）在各项为正的数列中,数列的前项和满足.(1)求出的值.(2)由(1)猜想数列的通项公式,并证明你的结论.参考答案：解:(1)得,由,∴.(1分)得,∴,（3分）同理,求得.

(5分)(2)猜想.

（6分）证明一:(数学归纳法)①时,命题成立.（7分）②假设时,(*)成立,则时,把(*)代入上式,化简得,,∴(负舍),即时,命题成立.由①②得,.

（14分）证明二:当时,得,由,∴.（7分）当时,,代入得,,化简得∴是以1为首项,1为公差的等差数列,..（12分）∴，证毕。（14分）略19.已知动圆过定点F（0，1），且与定直线y=﹣1相切．（Ⅰ）求动圆圆心M所在曲线C的方程；（Ⅱ）直线l经过曲线C上的点P（x0，y0），且与曲线C在点P的切线垂直，l与曲线C的另一个交点为Q．①当x0=时，求△OPQ的面积；②当点P在曲线C上移动时，求线段PQ中点N的轨迹方程以及点N到x轴的最短距离．参考答案：【考点】抛物线的简单性质；直线与抛物线的位置关系．【分析】（Ⅰ）由椭圆可得动点P（x，y）到F（0，1）的距离等于它到直线y=﹣1的距离，利用抛物线的定义，即可求动点P的轨迹的方程；（Ⅱ）①求出直线l的方程，与抛物线得方程x2+4x﹣10=0，求出|PQ|，点O到直线l的距离，即可求△OPQ的面积；②求出N（x，y）的轨迹方程为

，利用基本不等式可得结论．【解答】解：（Ⅰ）由题知，点M（x，y）到定点F（0，1）的距离等于它到定直线y=﹣1的距离，所以点M所在的曲线C是以F（0，1）为焦点，以y=﹣1为准线的抛物线…∴曲线C的方程是：x2=4y…（Ⅱ）由（1）有曲线C：，∴…①当时，，曲线C在点P的切线的斜率是，所以直线l的斜率∴…设Q（x1，y1）联立得方程…∴，又点O到直线l的距离从而可得…②由题有曲线C在点P的切线的斜率是，当x0=0时不符合题意，∴x0≠0，所以直线l的斜率，点，∴=1设点Q（x1，y1），点N（x，y），有从而可得，∴∴，=2②将②代入①消x0得：，∴N（x，y）的轨迹方程为

…∵点N（x，y）到x轴的距离为|y|，由轨迹方程知，当且仅当x4=8时取等号∴点N到x轴的最短距离为…20.（本小题13分）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

参考答案：（1）根据题意有（0<x<30）,所以x=15cm时包装盒侧面积S最大.（2）根据题意有，所以，当时，，所以，当x=20时，V取极大值也是最大值.此时，包装盒的高与底面边长的比值为.即x=20包装盒容积V（cm）最大,此时包装盒的高与底面边长的比值为21.已知椭圆的离心率为，一条准线方程为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l：y=kx+m与椭圆交于P，Q两点．①若m=﹣2，当△OPQ面积最大时，求直线l的方程；②当k≠0时，若以PQ为直径的圆经过椭圆的右顶点，求证：直线l过定点．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由e==，准线方程x==，求得a和c，b2=a2﹣c2，求得椭圆方程；（2）①将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式及三角形的面积公式，采用换元法，利用基本不等式式的性质，求得△OPQ面积最大的最大值时，求得对应的k值，求得直线l的方程；②AP⊥AQ，利用向量数量积的坐标运算求得5m2+16km+12k2=0，求得m和k的关系，代入即可求证直线l过定点．【解答】解：（1）由椭圆的离心率e==，准线方程x==，解得：a=2，c=，b2=a2﹣c2=1，椭圆C的标准方程；（2）由，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=（8km）2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＞0，整理得4k2﹣m2+1＞0（*）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，（**）①当m=﹣2时，代入（*）和（**）式得：，，．∴，又O到直线l的距离，∴．令，则t＞0，则当且仅当t=2，即时等号成立，且因此△OPQ面积最大时，直线l的方程为：y=±x﹣2，②证明：由已知，AP⊥AQ，且椭圆右顶点为A（2，0），∴（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=（x1﹣2）（x2﹣2）+（kx1+m）（kx2+m）=0，即（1+k2）x1x2+（km﹣2）（x1+x2）+m2+4=（1+k2）+（km﹣2）?+m2+4=0，整理得：5m2+16km+12k2=0，解得：m=﹣2k或m=﹣，均满足（*）式，∴当m=﹣2k时，直线l的方程为：y=kx﹣2k=k（x﹣2），过定点（2，0）与题意矛盾；当m=﹣时，直线l的方程为y=k﹣=k（x﹣），过定点，得证．22.（本小题满分12分）已知函数．（1）求的值；（2）求函数的最小正周期及最大、小值；（3）若，求的值．参考答案：解：（1）

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2分（2）∵------------------------------4分∴函数的最小正周期--------------------------------5分函数的最大值和最小值分别为．--------k