安徽省合肥市沿河中学2022-2023学年高二数学理模拟试卷含解析

安徽省合肥市沿河中学2022-2023学年高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列各数中与1010（4）相等的数是（）A．76（9） B．103（8） C．2111（3） D．1000100（2）参考答案：D【考点】进位制．【专题】算法和程序框图．【分析】把所给的数化为“十进制”数即可得出．【解答】解：1010（4）=1×43+0×42+1×41+0×40=68（10）．对于D：1000100（2）=1×26+1×22=68（10）．∴1010（4）=1000100（2）．故选：D．【点评】本题考查了不同数位进制化为“十进制”数的方法，属于基础题．2.已知直线若与关于对称，则方程是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B3.A. B. C. D.参考答案：D分析：根据公式，可直接计算得详解：，故选D.点睛：复数题是每年高考的必考内容，一般以选择或填空形式出现，属简单得分题，高考中复数主要考查的内容有：复数的分类、复数的几何意义、共轭复数，复数的模及复数的乘除运算，在解决此类问题时，注意避免忽略中的负号导致出错.4.经过点A（，﹣1），且倾斜角为60°的直线方程为（）A．x﹣y﹣4=0 B．x+y﹣2=0 C．x﹣y﹣2=0 D．x+y﹣4=0参考答案：A【考点】直线的点斜式方程．【专题】计算题；转化思想；直线与圆．【分析】求出直线的斜率，代入点斜式方程，再转化为一般式，可得答案．【解答】解：倾斜角为60°的直线斜率为，故经过点A（，﹣1），且倾斜角为60°的直线方程为：y+1=（x﹣），即x﹣y﹣4=0，故选：A．【点评】本题考查的知识点是直线的点斜式方程，直线的斜率，难度不大，属于基础题．5.若,则等于（

）A．

B．

C． D．参考答案：A6.已知f（x）+f（1﹣x）=2，an=f（0）+f（）+…+f（）+f（1）（n∈N*），则数列{an}的通项公式为（）A．an=n﹣1 B．an=n C．an=n+1 D．an=n2参考答案：C【考点】数列的求和．【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由f（x）+f（1﹣x）=2，an=f（0）+f（）+…+f（）+f（1），“倒叙相加”即可得出．【解答】解：∵f（x）+f（1﹣x）=2，an=f（0）+f（）+…+f（）+f（1），∴2an=[f（0）+f（1）]+[f（）+f（）]+…+[f（1）+f（0）]=2（n+1），∴an=n+1．故选：C．【点评】本题考查了数列“倒叙相加”求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.曲线y=x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程是x﹣y+1=0，则（）A．a=1，b=﹣1

B．a=﹣1，b=1C．a=1，b=1

D．a=﹣1，b=﹣1参考答案：C8.设函数f（x）的定义域为R，f（﹣x）=f（x），f（x）=f（2﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）=x3．则函数g（x）=|cos（πx）|﹣f（x）在区间[﹣，]上的所有零点的和为（）A．7 B．6 C．3 D．2参考答案：A【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】根据f（x）的对称性和奇偶性可知f（x）在[﹣，]上共有3条对称轴，x=0，x=1，x=2，根据三角函数的对称性可知y=|cos（πx）|也关于x=0，x=1，x=2对称，故而g（x）在[﹣，]上3条对称轴，根据f（x）和y=|cos（πx）|在[0，1]上的函数图象，判断g（x）在[﹣，]上的零点分布情况，利用函数的对称性得出零点之和．【解答】解：∵f（x）=f（2﹣x），∴f（x）关于x=1对称，∵f（﹣x）=f（x），∴f（x）根与x=0对称，∵f（x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），∴f（x）=f（x+2），∴f（x）是以2为周期的函数，∴f（x）在[﹣，]上共有3条对称轴，分别为x=0，x=1，x=2，又y=|cos（πx）关于x=0，x=1，x=2对称，∴x=0，x=1，x=2为g（x）的对称轴．作出y=|cos（πx）|和y=x3在[0，1]上的函数图象如图所示：由图象可知g（x）在（0，）和（，1）上各有1个零点．又g（1）=0，∴g（x）在[﹣，]上共有7个零点，设这7个零点从小到大依次为x1，x2，x3，…x6，x7．则x1，x2关于x=0对称，x3，x5关于x=1对称，x4=1，x6，x7关于x=2对称．∴x1+x2=0，x3+x5=2，x6+x7=4，∴x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=7．故选：A．9.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A略10.840和1764的最大公约数是（

）A．84

B．

12

C．

168

D．

252参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.动点在圆x2+y2=1上运动，它与定点B（-2，0）连线的中点的轨迹方程是

▲

.

参考答案：略12.以椭圆短轴的两个顶点为焦点，且过点A（4，﹣5）的双曲线的标准方程是．参考答案：【考点】双曲线的标准方程．【分析】求出椭圆短轴的两个顶点，可得双曲线的焦点，再利用双曲线的定义求出2a，即可求出双曲线的标准方程．【解答】解：椭圆短轴的两个顶点为（0，±3），∴双曲线的焦点为（0，±3）．∵双曲线过点A（4，﹣5），∴2a==2，∴a=，∵c=3，∴b==2，∴所求双曲线的标准方程是．故答案为：．13.已知平面上有两定点A、B，该平面上一动点P与两定点A、B的连线的斜率乘积等于常数，则动点P的轨迹可能是下面哪种曲线：①直线；②圆；③抛物线；④双曲线；⑤椭圆_____（将所有可能的情况用序号都写出来）参考答案：①②④⑤【分析】本题可设，然后以所在直线为x轴，以的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则，设P的坐标为，由题意，，即．然后对m进行分类分析即可得出答案。【详解】设，以所在直线x轴，以得垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则，设P的坐标为，则，由题意，，即．当时，方程化为，表示直线；当时，方程化为，表示圆；当时，方程化为，表示双曲线；当且时，方程化为，表示椭圆，所以动点P的轨迹可能是：①直线；②圆；④双曲线；⑤椭圆．故答案为：①②④⑤．【点睛】本题考查点的轨迹问题，主要考查直线、圆以及圆锥曲线的轨迹问题，能否明确每一种轨迹方程的特征是解决本题的关键，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题14.如图所示，流程图中输出的含义是．

参考答案：点到直线的距离略15.设a，b，c为单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为________．参考答案：16.计算，可以采用以下方法：构造恒等式，两边对x求导，得，在上式中令x=1，得．类比上述计算方法，计算=

．参考答案：n（n+1）?2n﹣2【考点】F3：类比推理．【分析】对Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+…+nCnnxn﹣1=n（1+x）n﹣1，两边同乘以x整理后再对x求导，最后令x=1代入整理即可得到结论．【解答】解：对Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+…+nCnnxn﹣1=n（1+x）n﹣1，两边同乘以x得：xCn1+2Cn2x2+3Cn3x3+…+nCnnxn=n?x?（1+x）n﹣1，再两边对x求导得到：Cn1+22Cn2x+32Cn3x2+…+n2Cnnxn﹣1=n（1+x）n﹣1+n（n﹣1）x（1+x）n﹣2在上式中令x=1，得Cn1+22Cn2+32Cn3+…+n2Cnn=n?2n﹣1+n（n﹣1）?2n﹣2=n（n+1）2n﹣2．故答案为：n（n+1）2n﹣2．【点评】本题主要考查二项式定理的应用．是道好题，解决问题的关键在于对Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+…+nCnnxn﹣1=n（1+x）n﹣1，两边同乘以x整理后再对x求导，要是想不到这一点，就变成难题了．17.设函数的导函数，则的值等于________参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，已知AB=，cosB=，AC边上的中线BD=，求sinA的值．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题．【分析】解三角形的特征是把题目中所给的条件全部集合到一个三角形中，依次解出边、角，达到解三角形的目的．方法一通过充分利用D是中点，构造新三角形，在新三角形中解出BC的一半求出BC，再由余弦定理求边AC，下则可用正弦定理求出sinA；方法二根据所给的条件巧妙地建立了一个直角坐标系，将三角问题转化到向量中研究，大大降低了分析问题的难度，首先是求出了，两个向量，利用公式求出了两个向量的夹角A的余弦，再求正弦．此法越过了构造新三角形，使得方法易想．方法三与方法一类似构造了一系列的新三角形，此方法充分利用D是中点这一性质构造出了一个平行四边形，使得求三角形的另两边的边长时视野开阔，方法也较巧妙．【解答】解：解法一：设E为BC的中点，连接DE，则DE∥AB，且DE=AB=，设BE=x．由DE∥AB可得出∠BED=π﹣∠B，即cos∠BED=﹣在△BDE中利用余弦定理可得：BD2=BE2+ED2﹣2BE?EDcos∠BED，5=x2++2××x，解得x=1，x=﹣（舍去）．故BC=2，从而AC2=AB2+BC2﹣2AB?BCcosB=，即AC=又sinB=，故=，sinA=．解法二：以B为坐标原点，为x轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A位于第一象限．由sinB=，则=（cosB，sinB）=（，），设=（x，0），则=（，）．由条件得||==．从而x=2，x=﹣（舍去）．故=（﹣，）．于是cosA===．∴sinA==．解法三：过A作AH⊥BC交BC于H，延长BD到P使BD=DP，连接AP、PC．过P做PN⊥BC交BC的延长线于N，则HB=ABcosB=，AH=，BN====，而HB=，∴CN=，HC=，AC==．故由正弦定理得=，∴sinA=．【点评】构造法解三角形，如果条件不在一个三角形中时首先要做的就是把这些条件转化到一个新构造出来的三角形中，此三角形与要研究的三角形之间必有确定的关系，通过解新三角形来达到解要研究三角形的目的．利用三角与向量之间的关系转化到向量中去也是解三角形的一个好办法，此法大大降低了解三角形时思维的深度，方法较好，数学解题中的一个重要能力就是灵活转化，本题能起到培养答题者转化化归意识的一道好题．19.已知a＞0，b＞0．（1）求证：+≥；（2）若c＞0，求证：在a﹣b﹣c，b﹣a﹣c，c﹣a﹣b中至少有两个负数．参考答案：【考点】R6：不等式的证明；R9：反证法与放缩法．【分析】（1）利用分析法证明；（2）假设a≤b≤c，利用不等式的性质判断三个数的正负即可．【解答】证明：（1）要证：≥，只需证：≥，只需证：（2a+b）2≥8ab，即证：4a2+b2﹣4ab≥0，即证：（2a﹣b）2≥0，显然上式恒成立，故≥．（2）假设0＜a≤b≤c，显然a﹣b﹣c≤b﹣b﹣c=﹣c＜0，b﹣a﹣c≤c﹣a﹣c=﹣a＜0，∴在a﹣b﹣c，b﹣a﹣c，c﹣a﹣b中至少有两个负数．20.在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱。（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？

（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？www.（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？参考答案：(1)

(2)

(3)1200元略21.已知函数是(－∞,+∞)上的增函数，.（1）若，求证：；（2）判断（1）中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论.参考答案：(1)证明：∵a＋b≥0，∴a≥－b.∵f(x)在R上单调递增，∴f(a)≥f(－b)．同理，a＋b≥0?b≥－a?f(b)≥f(－a)．两式相加即得：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．(2)逆命题：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)?a＋b≥0.下面用反证法证之．假设a＋b<0，那么：由a+b<0,得a<-b,∴f(a)<f(-b)由a+b<0,得b<-a,∴f(b)<f(-a)两式相加即得：f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．这与已知矛盾，故有a＋b≥0.逆命题得证．

22.已知圆x2+y2﹣4x+2y﹣3=0和圆外一点M（4，﹣8），过M作圆的割线交圆于A、B两点，若|AB|=4，求直线AB的方程．参考答案：【