行列式的计算方法

./引言2一、行列式的定义与性质3〔一〕行列式的定义与相关公式3〔二〕n级行列式的性质：5二、行列式的计算6〔一〕行列式的基本计算方法61、定义法:62、三角形法：73、降阶法:124、换元法：145、递推法：156、数学归纳法：177、目标行列式法：19〔二〕行列式的辅助计算方法201、加边法：202、析因子法：213、连加法：224、拆项法:235、乘积法：24结束语25参考文献：26行列式的计算方法摘要行列式是线性代数理论中极其重要的组成部分,是高等数学的一个基本的概念。行列式产生于解线性方程组中,并且也是最早应用于解线性方程组中,并且在其他学科分支都有广泛的应用,可以说它是数学、物理学以与工科许多课程的重要学习工具。行列式也为解决实际问题带来了许多方便。本文针对行列式这一数学工具,进行系统讨论,从不同的角度理解了行列式的定义,重点证明了行列式性质,介绍一些展开定理,总结了行列式的几种计算方法,如定义法、三角形法、降阶法、换元法、递推法、数学归纳法与目标行列式法。辅助方法有：加边法、析因子法、乘积法、连加法、拆项法等,并结合例题说明行列式计算的技巧性和灵活性。关键词行列式,计算方法,线性方程组。TheCalculationofDeterminantLiuHui<CollegeofMathematicsandPhysicsBohaiUniversityLiaoningJinzhou121000China>AbstractThedeterminantistheextremelyimportantconstituentinthelinearalgebratheory,itisabasicconceptofhighermathematics.Thedeterminantisevolvedfromandsolvedthelinearequationgroup,andisappliedtosolveinthelinearequationgroupfirst,moreoverallhasthewidespreadapplicationinotherdisciplinebranches,wecansaythatitisanimportantstudytoolwhichinmathematics,thephysicsaswellastheengineeringcoursemanycurricula.Thedeterminantalsobroughtaboutconvenientforthesolutionactualproblem.Thisarticleinviewofthedeterminantthismathematicalinstrument,carriesonthesystemdiscussion,hadunderstoodfromthedifferentangletothedeterminantdefinition,hadproventhenatureofthedeterminantonemphasis,introducedsomeexpansiontheorem,summarizedseveralcomputationalmethodsofthedeterminant,suchasdefiningthelaw,triangularlaw,lowerthestepslaw,changeyuansoflaw,isitpushawaylaw,mathematicalinductionandgoaldeterminantlawtopass,Thehouseholdermethodisasfollows,addthelaw,analysethefactorlaw,productlaw,eventheaddition,dismantlealawandsoon,andunionsamplequestionshowingdeterminantcomputationskillandtheflexibility.KeywordsOrderdeterminat;Computingtechnology;Lineshapeequationgroup.引言行列式是线性代数中重要的一部分,它的产生和最早的应用都是在解线性方程组中,虽然相对整个线性代数领域来说,它只是一小部分,但是它的作用不可忽视,有着重要的地位。因为在一些数学问题中,往往会涉与到行列式问题,而行列式的计算是解决问题的关键。不过它现在的应用X围已拓展得很广泛,成为很多学科的重要工具。国际上一些知名的数学家如:克兰姆<cramer>,拉普拉斯<laplace>,X得蒙<vandermonde>等都对行列式有着深入的研究,并为行列式的计算奠定了理论基础。行列式的解题方法灵活多样,技巧性强,有些问题只靠一种方法还不能解决,所以本文就行列式的多种基本方法和辅助方法进行归纳总结以与进行例证说明。这些方法与技巧也许不能包含所有解法,但随着知识的发展我们相信还会有更新的,更好的方法来解决行列式的计算问题。一、行列式的定义与性质〔一〕行列式的定义与相关公式在高等代数〔线性代数〕教科书中,对行列式都有如下介绍:1、二级行列式的定义2、三级行列式的定义3、级行列式的定义也就是说级行列式等于所有取自不同行不同列的几个元素的乘积的代数和。这里是1,2…的一个排列,当是偶排列时,式取正号,当是奇排列时式取负号。定义法是计算行列式的根本方法,对任何行列式都适用即级行列式等于所有取自不同行不同列的个元素乘积的代数和。4、将行列式按行〔或列〕展开其中=1、2、…、,是元素的代数余子式。5、降阶定理,其中、、C、D都是数域上的方阵。6、,其中、都是数域上的方阵。7、,其中、、C都是数域上的方阵。8、分块矩阵乘法公式:其中、是数域P上的方阵,、为、的阶。9、非零矩阵k左乘行列式的某一行加到另一行上,则新的分块行列式与原来相等。10、,其中是数域P上的方阵。11、X德蒙行列式〔二〕n级行列式的性质：性质1：行列互换,行列式不变。性质2：一个数乘以行列式的某一行,等于该这个数乘以此行式性质3：如果某一行是两组数的和,那么这个行列式就等于两个行列式的和,而这个行列式除这一行外全与原来行列式的对应的行一样。性质4：如果行列式中有两行相同,那么行列式为为零。所谓两行相同就是说两行的对应元素相等。性质5：如果行列式中两行成比例,那么行列式为零。性质6：对换行列式中两行的位置,行列式反号。性质7：把一行的倍数加到另一行,行列式不变。性质8：若行列式D的所有元素都加上同一个数,则其代数余子式之和不变。即：,则,其中是中的。性质9：若行列式某一行元素都等于1,则行列式等于其所有代数余子式之和。性质10：设,则的代数余子式之和等于二、行列式的计算〔一〕行列式的基本计算方法1、定义法:应用级行列式的定义计算其值的方法,称为定义法。由行列式计算的定义知,也就是说n级行列式等于所有取自不同行不同列的几个元素的乘积的代数和。这里是1,2…n的一个排列,当是偶排列时,式取正号,当是奇排列时式取负号。定义法是计算行列式的根本方法,对任何行列式都适用。例1：计算行列式解：这是一个四级行列式,展开式应有4！=24项,但由于出现很多零元素,所以不为零的项只有这一项,而,故。注：对于一个级行列式,按定义展开后共有！项,计算它就需要做！〔-1〕个乘法,当较大时,！是一个相当大的数字,直接从定义来计算行列式几乎是不可能的,因此,定义法一般很少用。2、三角形法：将行列式化为上三角形或下三角形行列式来计算的一种方法。〔1〕提公因式法〔Ⅰ〕行列式各行〔列〕元素的和都相同,这一类行列式的计算方法是把每一行〔列〕加到第一行〔列〕上,然后提取公因数,便可转化为〔1〕的形式或直接化为三角形的形式。例2：计算行列式分析：这是一个四级行列式,用定义法我们知道它的值是个项的和,能准确的找出项也是一件麻烦的事情,观察行列式我们会发现它每行〔列〕的和都是,因此经过变换提公因数后会出现全为的一行〔列〕,在化三角形法中,我们最愿意看到的就是一行〔列〕,故解：把所有列都加到第一列,提公因数,得：由此可见,用提公因数的方法计算某些行列式,可以减少计算量,降低出现错误的可能性。我们再来看一个高阶行列式的例子。例3：计算：分析：观察行列式的特点,行列式每行的和都为,故可提出公因数使第一列全变为,则便形成〔1〕的形式,同样可以化为三角形。解：把各列都加到第一列,提出公因数,得:再将第一列的倍分别加到第列,得〔2〕提因式法〔Ⅱ〕有些行列式,虽然各行〔列〕元素的和不相同,但第行〔列〕乘以适当的倍数加到第一行〔列〕后,也可以提出公因数或直接化为三角形。例4：计算分析：这是一个三阶行列式用前面介绍的定义法便可求出结果,即:虽然是三阶行列式,但计算量也是相当大的,仔细观察行列式会发现,行列式三行的和都是的倍数,且后两列的元素分别相差,因此可以进行变换,然后提出公因数,使计算简便。解：把第二、三列都加到第一列上,并用第二列减去第三列,则得〔3〕比例相加法行列式对角线以下〔上〕的元素与行列式中某一行〔列〕的对应元素成比例。这样的行列式,只要把行列式的某一行〔列〕乘的适当倍数加到其它行〔列〕,即可化为三角形。例5：计算分析：观察行列式的特点,主对角线下方的元素与第一行元素对应相同,故用第一行的倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零。解：将的第一行的倍分别加到第行上去,可得:例6：计算分析：观察行列式的特点,次对角线的上方的元素与最后一列的元素对应成比例,故用最后一列元素的倍数加到前面的列上就可使次对角线上方的元素都化为零。解：将最后一列分别乘的后依次加到第列,可得：逐行相加法。有的行列式的行〔列〕乘的适当的倍数,逐行〔列〕相加后,可化为前面的几种形式,进而化为三角形或直接化为三角形。例7：计算分析：观察行列式的特点,主对角线上方的元素按列〔行〕成等差数列,而主对角线下方的元素按行〔列〕成常数列,故用逐行〔列〕相加法后,可使一部分元素变为零,而一部分全变为相同的,从而更有利于化为三角形。一般的,若行列式对角线两侧的元素有一定的规律,如：成等差数列,成等比数列或相等时,用逐行〔列〕相加法可使行列式变的简单易算。解：从D的第二行起,每行乘以〔－1〕后加到上一行,则得从第一行开始,每行都减去下一行,又得以上的四种方法都是利用化三角形的方法来解求行列式,由定义法引申出的化三角形法是求解行列式的常用方法。由于对角线上元素相乘时要注意前面的符号,为了书写结果简单,通常我们愿意利用主对角线元素的乘积来表示结果,但若化为次对角线乘积更简便的方法,只要注意结果的符号,化为次对角线元素的乘积也是完全正确可行的。3、降阶法:利用行列式的性质将行列式的阶数降低,然后再计算行列式的值的方法,称为降阶法。降价法可以将一个阶行列式化为个阶行列式计算。若继续使用按行〔列〕展开法,可以将阶行列式降阶直至化为许多个阶行列式计算,这是计算行列式的又一基本方法。即在较高阶行列式的计算过程中,如果行列式中某一行〔或列〕中元素较多,或者可以通过采用行列式的性质使某一行〔列〕的大多数元素化为零,则可通过展开定理,将行列式按该行〔列〕展开,从而使较高阶的行列式计算问题转化为几个较低阶的行列式计算问题,反复使用多次,直到将原行列式化为易于计算出的较低阶的行列式。例8：计算n〔n≥2〕阶行列式解：按第一行展开,得再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开,则可得到例9：计算阶行列式,解：将按第一行展开,得右端两个阶行列式再按第行展开得对用相似的方法推导下去,则4、换元法：将行列式的元素进行变换,然后再计算行列式之值的方法称为换元法。例10：计算行列式解：把视为中每个元素加上x所得,因此例11：求证D==,其中f<x>=<-x><-x>…<-x>ab.证明：作行列式D<x>D<x>=可见D〔-a〕=f<a>,D<-b>=f<b>,又根据行列式的性质可知是x的一次多项式,所以可令D<x>=cx+d又因为D<0>=d=D,所以D<-a>=-ca+D=f<a>;D<-b>=-cb+D=f<b>,所以D<x>=.5、递推法：利用行列式的性质,把一个阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式〔比如,-1阶或-1阶与-2阶等〕的线性关系式,这种关系式称为递推关系式。根据递推关系式与某个低阶初始行列式〔比如二阶或一阶行列式〕的值,便可递推求得所给阶行列式的值。有时要用数学归纳法证明其正确性,这种计算行列式值的方法称为递推法。例12:计算行列式解：第1列只有两个非零元素,不妨按第1列展开,得,由此递推得注：按此方法解题时,往往会得到一个一般的递推公式:,此时可先计算出D1、D2、D3等,找出递推规律,再用数学归纳法进行证明,进而计算出行列式的值。例13：计算行列式解：按第一行展开得：…<1>按递推关系…<2>由<1>式又可推导出：,按逆推关系得…<3>由<2><3>解得6、数学归纳法：利用数学归纳法的步骤,处理行列式的方法,称为数学归纳法。利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值,再用数学归纳法给出猜想值的严格证明,通常采用第二形数学归纳法较多。一般用于证明行列式的正确性。例14：证明：当时,有：结论显然成立。现假定结论对小于等于时成立。即有：将按第列展开,得：=故当对时,等式也成立。例15：证明行列式证明：当时,,结论成立。假设对于时,结论成立,当时,从第行开始,逐行减去上面相邻行的倍得按第一行展开得提取各列公因子得到的阶行列式,由数学归纳的假设知其值为于是称上述行列式为X德蒙行列式。在计算行列式中,如果有行列式可以化成X德蒙行列式则可以直接利用X德蒙行列式的计算结果,会使计算简便。7、目标行列式法：将行列式化成一些已知其计算方法的行列式来计算的方法称为目标行列式法,常见的有化数字行列式为三角行列式计算。又如X德蒙行列式有些行列式构造相似X德蒙行列式,则以X德蒙行列式为目标,转化计算。例16：计算行列式D=解：=--=VV=〔二〕行列式的辅助计算方法1、加边法：有时为了便于计算行列式,特意把行列式加边升阶进行计算,这种方法称之为加边阶法。加边后必须是保值的,而且要使所得的高一阶行列式较易计算。要根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。加边法适用于某一行〔列〕有一个相同的字母外,也可用于其列〔行〕的元素分别为-1个元素的倍数的情况。加边法的一般做法是：特殊情况取或当然加法不是随便加一行一列就可以了。那么加法在何时才能应用呢？关键是观察每行或每列是否有相同的因子。例17：计算行列式解：加一行一列使将第一行的<>倍,加到其余各行,得显然如果a=b原行列式如果a≠b,将其余各列都乘以,加到第一列,得2、析因子法：对于元素均为个位数的n级行列式D。证明D可被某整数整除。一般证法为将第1列乘上第二列乘上,…,第n-1列乘上10,都加到第n列上,由第n列可被某数整除而证D可被整除。例18：已知2196、2394、1800、1998能被18整除。不计算行列式D的值。证明D可被18整除。D=证明：将1、2、3列分别乘上、、10加到第4列上得D=行列式的第4列可被整除18,所以18整除D又因,2×9=18。D的3、4两列分别可被9、2整除,由行列式性质知D可被18整除。3、连加法：若行列式中某列〔行〕加上其余乘上某因子的各列〔行〕,使该列〔行〕元素均相等或出现较多零,从而简化行列式计算的方法称为连加法。例19、计算行列式D=解：这个行列式的特点是各列元素之和都是x+<n-1>a,先把第2行至第n行元素同时加到第1行,并提出公因式,得D=[x+<n-1>a]=[x+<n-1>a]=[x+<n-1>a].4、拆项法:由行列式的性质知道,若行列式的某行〔列〕的元素都是两个数之和,则该行列式可拆成两个行列