第05讲：函数的零点和函数的模型 原卷版

第05讲：:函数的零点和函数的模型【考点梳理】考点一：函数零点存在定理 考点二：用二分法求函数f(x)零点近似值考点三：函数的零点所在区间求参数问题 考点四：零点的个数或根个数求参数范围考点五：零点的分布问题 考点六：函数模型的应用考点七：函数和方程的综合问题【知识梳理】1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根．2．二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210【题型归纳】题型一：函数零点存在定理1．（2024上·云南楚雄·高一统考期末）函数的零点所在区间是（

）A． B． C． D．2．（2024上·河北张家口·高一统考期末）已知，则的零点所处的区间是（

）A． B． C． D．3．（2023上·天津西青·高一天津市西青区杨柳青第一中学校考期末）函数的零点所在的大致区间为（

）A． B． C． D．题型二：用二分法求函数f(x)零点近似值4．（2023上·江苏苏州·高一张家港市沙洲中学校考期末）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程的一个近似根精确度为可以是（）A． B． C． D．5．（2023上·江苏淮安·高一统考期末）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值数据如下表所示：010.50.750.6250.56250.68750.656250.671875-11-0.3750.1718-0.1308-0.25950.01245-0.06113-0.02483要使零点的近似值精确到0.1，则对区间的最少等分次数和近似解分别为（

）A．6次0.7 B．6次0.6C．5次0.7 D．5次0.66．（2023上·上海浦东新·高一上海市实验学校校考期末）在用二分法求函数零点的近似值时，若某一步将零点所在区间确定为，则下一步应当确定零点位于区间（

）A． B．C． D．题型三：函数的零点所在区间求参数问题7．（2023下·河南信阳·高一统考期末）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．8．（2023上·重庆九龙坡·高一重庆市杨家坪中学校考期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．9．（2021上·广东广州·高一统考期末）设函数，若函数在上存在零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．题型四：零点的个数或根个数求参数范围10．（2024上·北京海淀·高一统考期末）已知函数，若存在非零实数，使得成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．11．（2023上·全国·高一期末）已知函数，若方程仅有两个不同的根，则的取值范围为

()A． B． C． D．12．（2024上·湖南郴州·高一安仁县第一中学校联考期末）若函数有4个零点，则正数的取值范围是（

）A． B． C． D．题型五：零点的分布问题13．（2023上·北京石景山·高一校考期中）若关于的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．14．（2023上·湖北黄冈·高一统考期末）已知函数若关于的方有个不同的实数根，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．15．（2023上·江苏南京·高一统考期末）函数的零点为，函数的零点为，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．题型六：函数模型的应用16．（2024上·重庆九龙坡·高一统考期末）放射性核素锶89会按某个衰减率衰减，设初始质量为，质量与时间（单位：天）的函数关系式为（其中为常数），若锶89的半衰期（质量衰减一半所用时间）约为50天，那么质量为的锶89经过30天衰减后质量约变为（

）（参考数据：）A． B．C． D．17．（2024上·云南昆明·高一云南师大附中校考期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家规定，驾驶人员每100毫升血液酒精含量大于或等于20毫克，并每100毫升血液酒精含量小于80毫克为饮酒后驾车；每100毫升血液酒精含量大于或等于80毫克为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了每毫升血液含酒精0.8毫克，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时的速度减少，那么他想要驾车至少要经过（参考数据：，）（

）A． B． C． D．18．（2024上·甘肃定西·高一统考期末）2023年2月27日，学堂梁子遗址入围2022年度全国十大考古新发现终评项目.该遗址先后发现石制品300多件，已知石制品化石样本中碳14质量随时间（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量）.经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的碳14质量约是原来的倍，据此推测该石制品生产的时间距今约（

）（参考数据：）A．8370年 B．8330年 C．3850年 D．3820年题型七：函数和方程的综合问题19．（2024上·云南迪庆·高一统考期末）绿水青山就是金山银山，“两山”的转换不仅发生在青山绿水之间，在生产生活中更应该注重对环境的保护．为了减少工厂废气排放的影响，工厂可以采用一些技术来减少废气排放，也可以改变生产工艺来减少废气排放，某工厂产生的废气经过滤，后排放、过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位．h）间的关系为，其中，k是正的常数．如果在前5h消除了的污染物，那么(1)10h后还剩百分之几的污染物？(2)污染物减少需要花多少时间（精确到）？(3)画出P关于t变化的函数图象．20．（2024上·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）已知（），函数在区间上有最大值4和最小值1.(1)求的值；(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；(3)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.21．（2024上·吉林长春·高一东北师大附中校考期末）已知．(1)当时，解不等式；(2)若关于x的方程在区间内恰有一个实数解，求实数a的取值范围．【强化精练】一、单选题22．（2024上·辽宁朝阳·高一建平县第二高级中学校考期末）函数的零点所在区间为（

）A． B． C． D．23．（2024上·重庆·高一校联考期末）函数的交点所在的一个区间是（

）A． B．C． D．24．（2024上·黑龙江齐齐哈尔·高一统考期末）函数的零点的个数为（

）A． B． C． D．25．（2024上·上海·高一上海市进才中学校考期末）中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（

）．A．20% B．23% C．28% D．50%26．（2023上·湖南长沙·高一校联考期末）若函数有个零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．27．（2024上·北京昌平·高一统考期末）已知函数，则函数的零点个数为（

）A．2 B．1或2 C．3 D．1或328．（2024上·上海嘉定·高一统考期末）已知函数，若关于的的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．29．（2023上·福建三明·高一校联考期中）已知，定义：，设.若函数有两个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题30．（2024上·辽宁铁岭·高一校考期末）某同学求函数的零点时,用计算器算得部分函数值如表所示:则方程的近似解(精确度)可取为（

）A． B． C． D．31．（2023上·河南安阳·高一安阳一中校考期中）已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则下列结论错误的是（

）A．B．C．函数有3个零点D．当时，32．（2023上·广东广州·高一广州市南武中学校考期末）已知函数，函数有四个不同的零点，且，则（

）A．的取值范围是 B．C． D．故选：BCD33．（2023上·四川绵阳·高一绵阳中学校考期末）已知函数函数，则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则有3个零点 D．若，则有5个零点三、填空题34．（2024上·内蒙古呼和浩特·高一统考期末）已知图象连续不断的函数在区间上有唯一零点，如果用二分法求这个零点（精确度为）的近似值，那么将区间等分的次数至少是.35．（2024上·上海·高一校考期末）已知函数两个零点，一个大于2另一个小于2，则实数a的取值范围为．36．（2023上·福建泉州·高一校考期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，.则函数在上的解析式为；若与有3个交点，则实数的取值范围是.37．（2023上·吉林白山·高一统考期末）设，，若在上是增函数且在R上至少有3个零点，则a的取值范围是．四、解答题38．（2024上·上海·高一上海中学校考期末）某地中学生社会实践小组为研究学校附近某路段交通拥堵情况，经实地调查、数学建模，得该路段上平均行车速度v（单位：）与该路段上的行车数量n（单位：辆）的关系为：，其中常数．该路段上每日t时的行车数量．已知某日17时测得的平均行车速度为．(1)求实数k的值；(2)定义，求一天内q的最大值（结果四舍五入到整数）．39．（2024上·重庆·高一校联考期末）已知函数.(1)当时，求函数的零点；(2)当时，求不等式的解集.40．（2023上·四川内江·高一四川省隆昌市第一中学校考期末）国内某大型机械加工企业在过去的一个月内（共计30天，包括第30天），其主营产品在第天的指导价为每件（元），且满足（），第天的日交易量（万件）的部分数据如下表