第02讲 平面向量的运算（人教A版2019必修第二册）（解析版）

第02讲平面向量的运算【人教A版2019】·模块一平面向量的线性运算·模块二向量的数量积·模块三课后作业模块一模块一平面向量的线性运算1．向量的加法运算(1)向量加法的定义及两个重要法则定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法.向量

加法

的三

角形

法则前提已知非零向量,，在平面内任取一点A.作法作，连接AC.结论向量叫做与的和，记作，即.图形向量

加法

的平

行四

边形

法则前提已知两个不共线的向量,，在平面内任取一点O.作法作，以OA,OB为邻边作四边形OACB.结论以O为起点的向量就是向量与的和，即.图形规定对于零向量与任一向量，我们规定. (2)多个向量相加为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示.2．向量加法的运算律(1)交换律：；(2)结合律：.3．向量的减法运算(1)相反向量我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是零向量.(2)向量减法的定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即-=+(-).求两个向量差的运算叫做向量的减法.(3)向量减法的三角形法则如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作=，=，则=-=-.即-可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义.4．向量的数乘运算(1)向量的数乘的定义一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：①；

②当>0时，的方向与的方向相同；当<0时，的方向与的方向相反.(2)向量的数乘的运算律设,为实数，那么①()=()；②(+)=+；③(+)=+.

特别地，我们有(-)=-()=(-)，(-)=-.

(3)向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,，以及任意实数,,，恒有()=.5．向量共线定理(1)向量共线定理向量(≠0)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使=.

(2)向量共线定理的应用——求参

一般地，解决向量,共线求参问题，可用两个不共线向量(如,)表示向量,，设=(≠0)，化成关于,的方程()=-()，由于,不共线，则解方程组即可.【考点1向量的加减运算】【例1.1】（2023下·广西钦州·高一统考期末）已知四边形ABCD是平行四边形，则AC+BA-A．DA B．DB C．AD D．BD【解题思路】利用平面向量加法法则可化简AC+【解答过程】AC+故选：D.【例1.2】（2023上·广西南宁·高二校考开学考试）下列各式中，化简后不是零向量的是（

）A．AB+BC+C．OA-OD+【解题思路】根据向量的加法、减法运算化简即可得解.【解答过程】因为AB+BC+因为AB+AC-因为OA-OD+因为NQ+QP+MN故选：B.【变式1.1】（2023上·江苏连云港·高三统考阶段练习）在△ABC中，点M是边AC上靠近点A的三等分点，点N是BC的中点，若MN=xAB+yAC，则A．1 B．23 C．-23【解题思路】根据平面向量的基本定理和线性运算即可求解.【解答过程】点M是边AC上靠近点A的三等分点，点N是BC的中点，如图所示，MN所以x=1故选：B.【变式1.2】（2022下·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）如图所示，在△ABC中，BD=6DC，则AD=

A．17AB+C．16AB+【解题思路】根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.【解答过程】根据向量的线性运算法则，可得：AD=故选：A.【考点2平面向量的混合运算】【例2.1】（2023上·北京·高二校考阶段练习）设i,j,k是两两不共线的向量，且向量a=-i+2A．11i-2j+5k B．-11i【解题思路】根据向量基底运算法则直接计算即可.【解答过程】因为a=-i+2所以2a故选：C.【例2.2】（2022·高一课时练习）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若DA=2BD,3CD=A．2 B．１C．-2 D．－1【解题思路】由DA=2BD可得D为线段AB的三等分点中靠近B的点，由向量的加(减)法及数乘运算可得3CD【解答过程】解：如图所示：因为DA=2所以D为线段AB的三等分点中靠近B的点，所以CD=CA+所以3CD所以λ=-2.故选：C.【变式2.1】（2023·全国·高一专题练习）若a=2b+A．-a B．C．-c D【解题思路】先化简3a+2b-2【解答过程】因为a=2所以3a+2b-2=2b+c故选：C.【变式2.2】（2023上·江苏苏州·高三统考开学考试）在平行四边形ABCD中，点E在线段AC上，且AE=2EC，点F为线段AD的中点，记EF=λAB+μADλ,μ∈A．-56 B．-16 C．【解题思路】通过向量的线性运算化简向量即可求解.【解答过程】EF=EA+AF=-所以λ+μ=-5故选：A.【考点3向量共线定理的应用】【例3.1】（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）已知向量a,b不共线，AB=a+3b，A．A，B，C三点共线 B．A，C，D三点共线C．A，B，D三点共线 D．B，C，D三点共线【解题思路】根据向量共线定理进行判断即可.【解答过程】因为a,b不共线，AB=a+3b易得AB,BC,CD互不共线，所以A，B，C三点不共线，B，C，又AC=AB+BC=6a+6b，易得AC,而BD=BC+CD=2a+6b=2a故选：C.【例3.2】（2023下·河北石家庄·高一石家庄二十三中校考期中）已知O为△ABC内一点，且AO=12OB+OC,A．23 B．14 C．13【解题思路】把AO用AB,【解答过程】取BC中点E，连接OE，则OE=12(OB+∴AO=又B,O,D三点共线，∴14+1故选：C．

【变式3.1】（2023上·安徽亳州·高三蒙城第一中学校联考期中）在△ABC中，AM=34AB+14AC，CN=12CB+A．27 B．47 C．67【解题思路】根据题意结合三点共线的判定定理和结论分析可得2x+y=1和x=3y，运算求解即可.【解答过程】因为CN=12CB+12注意到C,P,N三点共线，可得2x+y=1，又因为A,P,M三点共线，则AP∥AM，则存在实数k，使得AP=kAM，即则x=3k4y=综上所述：2x+y=1x=3y，解得x=3y=37故选：B.【变式3.2】（2023·高一课时练习）设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且DC=2BD，CE=2EA，A．AD+BE+CF与BC反向平行 B．C．3BE+3CF-BC与CA反向平行 D【解题思路】将AD、BE、CF用AB和AC表示，再根据平面向量的线性运算以及平行的概念判断可得答案.【解答过程】因为DC=2BD，所以因为CE=2EA，所以因为AF=2FB，所以AD=AB+BDBE=AE-CF=AF-所以AD+BE+CF所以AD+BE+CF与BC反向平行，故3BE+3=-2AC所以3BE+3CF-BC与故选：A.【考点4向量线性运算的几何应用】【例4.1】（2023上·辽宁沈阳·高二学业考试）已知四边形ABCD为平行四边形，AC与BD相交于O，设AB=a,AD=A．12a+C．-12a【解题思路】根据向量的运算法则可得结果.【解答过程】OB=故选：B.【例4.2】（2023下·河北石家庄·高一校考期中）已知G是△ABC的重心，若GC=xAB+yAC,x,y∈A．1 B．-1 C．13 D．【解题思路】利用三角形重心的性质与向量的线性运算即可得解.【解答过程】连接CG并延长交AB于D，如图，

因为G是△ABC的重心，则D是AB的中点，所以GC=-1又GC=xAB+yAC,x,y∈所以x-y=-1故选：B.【变式4.1】（2023上·北京·高三校考期中）在等腰梯形ABCD中，AB=2CD，M为BC的中点，则AM=（

A．12AB+12AD B．3【解题思路】利用平面向量的线性运算求解.【解答过程】因为在等腰梯形ABCD中，AB=2CD，所以AB//因为M为BC的中点，所以AM==1故选:B.【变式4.2】（2023上·湖北恩施·高二校联考期中）已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB,AC两边交于M,N两点（点M,N与点B,C不重合），设AB=xAM，AC=yAN，则A．1 B．1+22 C．2 D【解题思路】令D是BC的中点，连接AD，易得AG=13(y【解答过程】若D是BC的中点，连接AD，点G是△ABC的重心，则AD必过G，且AG=2由题设AG=23所以x+y=3，即2x-1+2y-1=4，注意x,y∈(1,+∞

由1≥14(2+22y-12x-1故目标式最小值为1.故选：A.模块二模块二向量的数量积1．向量的数量积(1)向量数量积的物理背景在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=||||，其中是与的夹角.

我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量.(2)向量的夹角已知两个非零向量,，如图所示，O是平面上的任意一点，作=，=，则∠AOB=(0≤≤π)叫做向量与的夹角，也常用表示.(3)两个向量数量积的定义已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量||||叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即=||||.

规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0=0.(4)向量的投影如图，设，是两个非零向量，=，=，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.2．向量数量积的性质和运算律(1)向量数量积的性质设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则

①==.

②=0.

③当与同向时，=；当与反向时，=-.

特别地，==或=.

④|a|，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立.

⑤=.(2)向量数量积的运算律由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：

对于向量，，和实数，有

①交换律：=；

②数乘结合律：()=()=()；

③分配律：(+)=+.3．向量数量积的常用结论(1)=；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等号成立.

以上结论可作为公式使用.【考点1向量数量积的计算】【例1.1】（2023上·山西·高二统考学业考试）已知等边三角形ABC的边长为1，则AB⋅BC=A．12 B．32 C．-1【解题思路】直接利用向量的数量积公式计算得到答案.【解答过程】因为AB→=BC→=1，且向量AB与BC故选：C．【例1.2】（2023上·河北保定·高三校联考阶段练习）已知单位向量a,b满足a+2b=2A．1 B．14 C．-14【解题思路】利用向量的数量积与模长关系计算即可.【解答过程】易知a+2b2故选：C.【变式1.1】（2023上·北京海淀·高二校考阶段练习）已知向量a,b满足a=2，|b|=3，且a与A．1 B．3 C．3 D．3【解题思路】直接利用平面向量的数量积公式，即可求得本题答案.【解答过程】a⋅故选：C.【变式1.2】（2023上·江苏徐州·高三统考学业考试）在平行四边形ABCD中，AB=2,AD=2,∠BAD=3π4,E是线段A．1 B．4 C．6 D．7【解题思路】根据平面向量数量积运算求得正确答案.【解答过程】AE⋅AC====122故选：A.【考点2向量夹角（夹角的余弦值）的计算】【例2.1】（2023下·宁夏吴忠·高一吴忠中学校考期末）若e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，且a=2e1A．60° B．120° C．30° D．150°【解题思路】先求得e1⋅e2的值，根据数量积的运算法则求得a【解答过程】因为e1，e2是夹角为所以e1故a⋅b=(2|a|b故cos〈a由于0°≤〈a,b〉≤180°故选：B.【例2.2】（2023·全国·校联考模拟预测）已知非零向量a与b满足|a|=2|b|，若|aA．12 B．-34 C．3【解题思路】利用向量数量积的运算律可得3|b|【解答过程】因为|a+2b所以3|b|2+2a所以cosa故选：B.【变式2.1】（2023·全国·模拟预测）已知单位向量e1，e2的夹角为60°，向量a=-2e1+3e2，b=2me1-2eA．1 B．-4 C．2 D．-5【解题思路】根据题意，由平面向量的夹角公式代入计算，列出方程，即可得到结果.【解答过程】由题意，得e1所以a2b2而a⋅所以cos〈整理，得11m2-20m-4=0，解得m=2故选：C．【变式2.2】（2022下·江苏苏州·高一江苏省沙溪高级中学校考期中）已知i,j为互相垂直的单位向量，a=-i+2j,b=3A．0,+∞ B．C．-∞,0 D【解题思路】根据a与a-b的夹角为锐角，由a⋅a-b【解答过程】解：因为a=-所以a-因为a与a-所以4+2λ-2>0，且a与解得λ>0，当a//a-即-1=-4k2=kλ-2，解得当λ=10时，a与a-所以λ的取值范围为0,10∪故选：B.【考点3已知数量积求模】【例3.1】（2023上·湖北·高二校联考阶段练习）已知a⋅b=1，a=2，a，b的夹角为π3A．1 B．2 C．2 D．4【解题思路】首先由数量积公式求得b=1，又a-2【解答过程】因为a⋅b=1，a=2，a，所以a⋅解得b=1a-2故选：C.【例3.2】（2023上·陕西榆林·高三校联考阶段练习）已知非零向量a，b满足a=2，且a,b=2A．2 B．3 C．2 D．1【解题思路】利用向量数量积与模长关系结合二次函数的性质计算即可.【解答过程】因为a+2所以a+2b≥3故选：B.【变式3.1】（2023上·江苏泰州·高三统考期中）如图，在平面图形ABCD中，BC=2AD，BD=6.若AC⋅AD=27，

A．13 B．3 C．9 D．13【解题思路】利用平面向量数量积的几何意义及三角形相似计算即可.【解答过程】

由题意易知△ADE∼△BCE，则AE=过E作EF⊥AD于F，所以AC⋅BC⋅所以AFDF=94⇒AE=9x故选：C.【变式3.2】（2023·浙江·模拟预测）已知平面向量a,b的夹角为π3,|a→|=2,|A．3 B．23 C．2 D．【解题思路】由a+λb⊥b，利用向量数量积运算可得λ=-1，即求a【解答过程】∵a+λ∴a+λb∴λ=-a∴=2故选：A.【考点4向量数量积的最值问题】【例4.1】（2023下·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）△OAB中，OA⊥OB，OA=2，OB=2，点C是线段AB上的动点，点D是OB的中点，则DC·OCA．13 B．12 C．2 D【解题思路】因为OA⊥OB，OA=2，OB=2，可以选定OA,OB为基向量，因为点C是线段AB上的动点，所以AC=λAB,0≤λ≤1【解答过程】因为点C是线段AB上的动点，所以AC=λ所以OC因为点D是OB的中点,所以OD=所以DC=又OA⊥OB，OA=2，OB=2，即所以DC·=1-λ又0≤λ≤1，所以当λ=12时，DC·故选：B.【例4.2】（2023下·北京海淀·高一清华附中校考期末）已知AB=1，CD=2，AD⋅AC=A．1 B．2 C．22 D．【解题思路】根据数量积的运算律得到CD⋅AC=0，则【解答过程】因为AD⋅AC=即AC2+CD所以CD⋅所以CB=AB因为-1≤cos所以当cosAB,CD=1时故选：B.【变式4.1】（2023下·湖北恩施·高一校联考期末）如图所示，边长为1的正△ABC，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧BC，点P在圆弧上运动，则AB⋅AP的取值范围（

A．12,54 B．14,【解题思路】根据给定条件，可得AP=AO+OP【解答过程】过点O作OD//AB交半圆弧于点D，连接AO,OP，如图，而△ABC是正三角形，则∠BOD=π3，令OP,当点P在弧BD上时，0≤θ≤π3，当点P在弧CD上时，0≤θ≤2π显然AO=32,OP=所以AB=1×3故选：A.【变式4.2】（2023上·湖北·高二校联考阶段练习）八卦文化是中华文化的精髓，襄阳市古隆中景区建有一巨型八卦图（图1），其轮廓分别为正八边形ABCDEFGH和圆O（图2），其中正八边形的中心是点O，鱼眼（黑白两点）P,Q是圆O半径的中点，且关于点O对称,若OA=82，圆O的半径为6，当太极图转动（即圆面O及其内部点绕点O转动）时，PA⋅QC

A．-39 B．-48C．-57 D．-60【解题思路】根据题意，利用向量的线性运算，化简得到PA⋅QC=-9+OP⋅CA【解答过程】由题意，点P,Q是圆O半径的中点，且关于点O对称，设P,Q的位置，如图所示，在八卦图中，知OA⊥又由OA=8则由PA=0-9+OP当八卦图转动（即圆面O及其内部点绕O转动）时，OP,当OP,CA=π时，故选：C.模块三模块三课后作业1．（2023下·天津红桥·高一统考期末）化简：AB+CA+A．BC B．DC C．CD D．DA【解题思路】由向量加法的三角形法则可知.【解答过程】AB+故选：C.2．（2023上·北京海淀·高二校考阶段练习）已知向量a,b，那么12A．a-2b B．a-4b C．【解题思路】根据向量混合运算即可.【解答过程】12故选：C.3．（2023下·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）在平面四边形ABCD中，下列表达式化简结果与AB相等的是（

）A．AC+CD BC．CA-CB D【解题思路】根据平面的线性运算求得正确答案.【解答过程】AC+CDAD+DCCA-CBCB+DA故选：B.

4．（2023上·江苏·高一校联考阶段练习）对于任意空间向量a，b，c，下列说法正确的是（

）A．若a//b且b//c，则C．若a⋅b=a⋅c，且【解题思路】根据数量积的运算律即可判断BCD，根据向量共线的性质即可求解A.【解答过程】对于A，若b=0，则a//b且b//对于B，a⋅b+对于C，若a⋅b=a⋅c，且a≠0，则对于D，a⋅bc表示与c共线的向量，而ab⋅c表示与a共线的向量，所以故选：B.5．（2024·四川自贡·统考一模）如图所示的△ABC中，点D是线段BC上靠近B的三等分点，点E是线段AB的中点，则DE=（

A．-13ABC．-56AB【解题思路】根据平面向量的线性运算求得正确答案.【解答过程】DE=1故选：B.6．（2023·安徽·校联考一模）在三角形ABC中，AC=3，AB=4，∠CAB=120°，则AB+A．10 B．12 C．-10 D．-12【解题思路】根据向量的数量积公式求得结果.【解答过程】记AC=a,AB=∵a∴b故选：A.7．（2023上·青海西宁·高三统考期中）已知向量a=1，b=2，|c|=5，且aA．3434 B．3417 C．334【解题思路】根据模长公式，结合数量积的运算律，即可由夹角公式求解.【解答过程】由a+b+c=同理由a+c=-b所以c-c故cosc故选：D.8．（2023·四川甘孜·统考一模）已知平面向量a,b,|a|=2,|b|=1，且a与bA．5 B．4 C．2 D．0【解题思路】a-2b【解答过程】因为a=4-4×2×1×cos所以a-2故选：C.9．（2023上·福建厦门·高二校考期中）已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，AB=4e1+2e2，BC=-e1+λeA．12 B．2 C．4 D．【解题思路】根据已知求出AC=3e1+λ+2e2.根据已知可得【解答过程】由已知可得，AC=AB+因为A，C，D三点共线，所以AC,则∃μ∈R，使得AC即3e整理可得3-μe因为e1，e所以有3-μ=0λ+2-μ+μλ=0，解得λ=故选：D.10．（2023上·福建莆田·高三校考期中）如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边AC=22，M为线段AB上的动点（包含端点），D为AC的中点．将线段AC绕着点D旋转得到线段EF，则ME⋅MFA．-2 B．-32 C．-1 D【解题思路】利用转化法，将ME⋅MF转化为MD2-DE【解答过程】连接MD,则MEME⋅当MD⊥AB时，MD最小，可求得|MD|结合DE2=2，得ME⋅故选：C11．（2023·全国·高一假期作业）化简(1)AB-(2)(AB【解题思路】根据向量的加减运算法则逐一求解.【解答过程】（1）AB-（2）((AB12．（2023·全国·高一随堂练习）求下列未知向x.(1)31(2)1