高考数学（文）一轮复习课时训练第12章推理与证明算法复数54

【课时训练】直接证明与间接证明一、选择题1．(2018广东广州模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，a，b是正实数，A＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，B＝f(eq\r(ab))，C＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ab,a＋b)))，则A、B、C的大小关系为()A．A≤B≤C B．A≤C≤BC．B≤C≤A D．C≤B≤A【答案】A【解析】∵eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2ab,a＋b)，又f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在R内为减函数．∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))≤f(eq\r(ab))≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a＋b)))，即A≤B≤C，选A.2．(2018宁波模拟)分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a”索的因应是()A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0【答案】C【解析】eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0⇔－2a2＋ac＋c2<0⇔2a2－ac－c2>0⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.3．(2018浙江嘉兴高三模拟)设f(x)是定义在R内的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值()A．恒为负值 B．恒等于零C．恒为正值 D．无法确定正负【答案】A【解析】由f(x)是定义在R内的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R内的单调递减函数，由x1＋x2>0可知x1>－x2，f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)<0，故选A.4．(2018福建福州一中1月月考)一不相等的三个正数a，b，c成等差数列，并且x是a，b的等比中项，y是b，c的等比中项，则x2，b2，y2三数()A．成等比数列而非等差数列B．成等差数列而非等比数列C．既成等差数列又成等比数列D．既非等差数列又非等比数列【答案】B【解析】由已知条件可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋c＝2b，①,x2＝ab，②,y2＝bc，③))由②③，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(x2,b)，,c＝\f(y2,b).))代入①，得eq\f(x2,b)＋eq\f(y2,b)＝2b，即x2＋y2＝2b2.故x2，b2，y2成等差数列．5．(2018大连模拟)设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a，b∈S，对于有序元素对(a，b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应)，若对任意的a，b∈S，有a*(b*a)＝b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是()A．(a*b)*a＝aB．[a*(b*a)]*(a*b)＝aC．b*(b*b)＝bD．(a*b)*[b*(a*b)]＝b【答案】A【解析】由已知条件可得对任意a，b∈S，a*(b*a)＝b，则b*(b*b)＝b，[a*(b*a)]*(a*b)＝b*(a*b)＝a，(a*b)*[b*(a*b)]＝(a*b)*a＝b，即选项B，C，D中的等式均恒成立，仅选项A中的等式不恒成立．故选A.二、填空题6．(2018太原模拟)用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设________．【答案】x≠－1且x≠1【解析】“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．7．(2018华师附中一模)如果aeq\r(a)＋beq\r(b)>aeq\r(b)＋beq\r(a)，则a，b应满足的条件是________．【答案】a≥0，b≥0且a≠b【解析】aeq\r(a)＋beq\r(b)>aeq\r(b)＋beq\r(a)⇔(eq\r(a)－eq\r(b))2·(eq\r(a)＋eq\r(b))>0⇔a≥0，b≥0且a≠b.8．(2018浙江杭州模拟)若P＝eq\r(a)＋eq\r(a＋7)，Q＝eq\r(a＋3)＋eq\r(a＋4)(a≥0)，则P，Q的大小关系是________．【答案】P<Q【解析】∵P2＝2a＋7＋2eq\r(a)eq\r(a＋7)＝2a＋7＋2eq\r(a2＋7a)，Q2＝2a＋7＋2eq\r(a＋3)eq\r(a＋4)＝2a＋7＋2eq\r(a2＋7a＋12)，∴P2<Q2.又∵P>0，Q>0，∴P<Q.三、解答题9．(2018成都模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中点．(1)求证：EC∥平面PAD；(2)求证：平面EAC⊥平面PBC.【证明】(1)作线段AB的中点F，连接EF，CF(图略)，则AF＝CD，AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形，则CF∥AD.又EF∥AP，且CF∩EF＝F，AD∩AP＝A，∴平面CFE∥平面PAD.又EC⊂平面CEF，∴EC∥平面PAD.(2)∵PC⊥底面ABCD，∴PC⊥AC.∵四边形ABCD是直角梯形，且AB＝2AD＝2CD＝2，∴AC＝eq\r(2)，BC＝eq\r(2).∴AB2＝AC2＋BC2.∴AC⊥BC.∵PC∩BC＝C，∴AC⊥平面PBC.∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC.10．(2018昆明三中、玉溪一中统考)若f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a<b)，则称函数f(x)是[a，b]上的“四维光军”函数．(1)设g(x)＝eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(3,2)是[1，b]上的“四维光军”函数，求常数b的值；(2)是否存在常数a，b(a>－2)，使函数h(x)＝eq\f(1,x＋2)是区间[a，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．【解】(1)由题设，得g(x)＝eq\f(1,2)(x－1)2＋1，其图象的对称轴为x＝1，区间[1，b]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b]上单调递增．由“四维光军”函数的定义可知g(1)＝1，g(b)＝b，即eq\f(1,2)b2－b＋eq\f(3,2)＝b，解得b＝1或b＝3.因为b>1，所以b＝3.(2)假设函数h(x)＝eq\f(1,x＋2)在区间[a，b](a>－2)上是“四维光军”函数，因为h(x