【数学 】立体几何初步（经典基础题） 2023-2024学年高一下学期数学同步单元练习（人教A版）

试卷第=page66页，共=sectionpages66页试卷第=page11页，共=sectionpages66页05立体几何初步（经典基础题）-2023-2024学年高一下学期数学同步单元练习（人教A版，2019新版）一、单选题1．（2023下·福建福州·高一福建省福州高级中学校考期末）圆柱形容器内部盛有高度为h的水，若放入两个直径为2cm的铁球（球的半径与圆柱底面半径相等）后，水恰好淹没最上面的铁球一半（如图所示），则h=（

）．

A．0.5cm B．1cm C．2cm D．2.5cm2．（2023下·福建福州·高一校联考期末）“抽陀螺”是中国传统民俗体育游戏，陀螺上大下尖，将尖头着地，以绳绕之，然后抽打，使其旋转．如图所示的陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其中圆柱的底面直径为2，圆锥与圆柱的高都为1，则该几何体的表面积为（

）

A． B． C． D．3．（2023下·福建福州·高一福建省福州高级中学校考期末）已知直线m，n和平面α，β，γ，下列条件中能推出的是（

）A．，， B．，C．，，， D．，4．（2023下·福建福州·高一福州日升中学校考期末）已知表示不同的直线，表示不同的平面，则下列结论错误的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则5．（2023下·福建福州·高一福州三中校考期末）若m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论中正确的是（

）A．若，，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，，则6．（2023下·福建福州·高一福建省福州屏东中学校考期末）如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（）.

A． B． C． D．7．（2023下·福建厦门·高一统考期末）将一个底面半径为2，高为3的圆柱体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为（

）A． B． C． D．8．（2022下·福建莆田·高一莆田一中校考期末）如图，正方体的棱长为2，、、分别是棱、和的中点，过点、、作正方体的截面，则以该截面为底面，为顶点的几何体体积为（

）A．2 B．3 C．4 D．69．（2022下·福建莆田·高一莆田一中校考期末）圆锥的底面半径为，高为，在此圆锥内有一个内接正方体，则此正方体的棱长为（

）A． B． C． D．10．（2022下·福建福州·高一校联考期末）在正方体中，，，分别是，，的中点，平面平面，则直线与的夹角大小为（

）A．30° B．45° C．60° D．90°11．（2022下·福建莆田·高一统考期末）设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则二、多选题12．（2023下·福建福州·高一福建省福州屏东中学校考期末）已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列说法正确的有（）A．若，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则13．（2023下·福建漳州·高一统考期末）正方体中，为底面的中心，则（

）A．直线与所成的角等于B．直线与所成的角等于C．直线与是异面直线D．直线与所成的角等于14．（2023下·福建·高一校联考期末）已知两个不同的平面、和两条不重合的直线m、n，有下列命题中正确的是（

）A．若，，则 B．若，则C．若，，则 D．若，，，则15．（2022下·福建福州·高一福建省福州高级中学校考期末）已知不同直线l、m、n与不同平面、，下列推论正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则或16．（2022下·福建三明·高一统考期末）对于给定的异面直线m，n，以下判断正确的是（

）A．总存在四个顶点分别在m，n上的正三棱锥B．总存在直线l，使得l同时与m，n垂直且相交C．总存在平面α，β，使得，，且D．对于任意点A，总存在过A且与m，n都相交的直线三、填空题17．（2023下·福建福州·高一福建省福州屏东中学校考期末）已知正三棱锥的顶点都在球O的球面上，其侧棱与底面所成角为，且，则球O的表面积为18．（2023下·福建福州·高一福州三中校考期末）下图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3，若曲侧面三棱柱的高为10，底面任意两顶点之间的距离为20，则其侧面积为.

19．（2023下·福建莆田·高一统考期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面是正三角形，平面平面，则二面角的大小是．

20．（2023下·福建·高一校联考期末）已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E为AA1的中点，点F在CC1上（不与C、C1重合），三棱锥A-D1EF的体积为，当F为CC1的中点，几何体AED1FCD的体积为.21．（2023下·福建·高一校联考期末）在四面体中，E、F分别是的中点.若所成的角为45°，且，则的长为.22．（2022下·福建福州·高一校考期末）如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是．23．（2022下·福建福州·高一校考期末）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，与所成角的大小为.四、解答题24．（2023下·福建福州·高一福州三中校考期末）如图，三棱锥中，O，E，F分别是，，的中点，G是的中点，，

(1)求证：；(2)求证：//平面.25．（2022下·福建莆田·高一莆田一中校考期末）如图，四边形为矩形，且，，平面，，为的中点．(1)求证：；(2)若点为上的中点，证明平面．答案第=page1414页，共=sectionpages1515页答案第=page1515页，共=sectionpages1515页参考答案：1．B【分析】根据体积公式即可求解.【详解】由题意可知一个球加半个球以及水的体积等于高为3的圆柱的体积，球的半径和圆柱的底面圆半径均为1，所以，故选：B2．B【分析】根据题意，分别求出圆柱的上底面面积、侧面积以及圆锥的侧面积，相加即可得答案．【详解】根据题意，该组合体由一个圆锥与一个圆柱组成，其中圆柱的底面直径为2，圆锥与圆柱的高都为1，圆柱的上底面面积圆柱的侧面积圆锥的母线长，则圆锥的侧面积故该几何体的表面积．故选：B．3．D【分析】根据空间中直线与平面，平面与平面的关系，即可结合选项逐一求解.【详解】由直线和，若，，，则与相交或平行，故A不正确；若，，则与相交或平行，故B不正确，若，，，，由于不一定相交，所以与相交或平行，故C不正确；若，，则垂直于同一条直线的两个平面互相平行，即，故D正确；故选：D．4．C【分析】根据空间中线、面位置关系逐项分析判断.【详解】对于选项A：若，由线面垂直的性质可知，故A正确；对于选项B：若，由面面平行的性质可知，故B正确；对于选项C：若，由线线位置关系可知可能相交、平行或异面，故C错误；对于选项C：若，由平行线的传递性可知，故D正确；故选：C.5．D【分析】由平面的基本性质，结合线面、面面位置关系判断各项的正误.【详解】A：若，，，则或异面，错误；B：若，，则或，错误；C：若，，，则或或相交，错误；D：由，，则或，若，，如下图，内存在一条直线，则，即，

若，，由面面垂直的判定知：，故正确.故选：D6．C【分析】作出该圆锥的侧面展开图，该小虫爬行的最短路程为，由余弦定理求出．求出底面圆的半径r，从而求出这个圆锥的高，由此能求出这个圆锥的体积．【详解】作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：

该小虫爬行的最短路程为，由余弦定理可得，．设底面圆的半径为r，则有，解得．∴这个圆锥的高为，这个圆锥的体积为．故选：C．7．B【分析】根据圆柱底面直径与高的关系可知球体最大直径，然后可得.【详解】由题可知，圆柱的底面直径为4，高为3，因为，所以该圆柱体铁块能磨制的最大球体直径为3，半径为，所以该球体的最大体积为.故选：B8．B【分析】根据正方体的几何结构得到构成的空间几何体为正棱锥，分别求得正棱锥的底面正六边形的边长和高，利用锥体体积公式，即可求解.【详解】如图所示，过点、、作正方体的截面为正六边形以为顶点，过点、、作正方体的截面，构成的空间几何体为正棱锥，因为正方体的棱长为，可得正六边形的底面边长为，所以正六边形的面积为，连接，在正方形中，可得，且，平面，所以平面，即平面，且，所以正棱锥的体积为.故选：B.9．C【分析】设棱长为，利用三角形相似列比例式解出．【详解】解：如图沿着正方体的一条面对角线和圆锥的高作轴截面如下所示：则，，设正方体棱长为，则，由，可得，解得．故选：C．10．C【分析】如图，取中点，中点，中点，得正六边形，直线即为，或其补角是异面直线与所成的角，由此可得结论．【详解】如图，取中点，中点，中点，顺次连接得六边形，连接，易得，，所以，所以平面，同理可得平面，即六边形是平面六边形，由正方体性质知六边形是正六边形，直线即为，又，所以或其补角是异面直线与所成的角，，所以异面直线与所成的角是．故选：C．11．C【分析】举出的反例可判断A；举出异面的反例可判断B；根据两条平行线其中一条垂直平面，那么另外一条也垂直平面可判断C；举出平行的反例可判断D.【详解】对于A，如图，此时，A错误；对于B，如图，此时异面，B错误；对于C，由性质定理：“如果在两条平行线中，有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面.”可知，C正确；对于D，此时，D错误.故选：C.12．BC【分析】由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系判断即可．【详解】对于A，若，，l和m可以相交可以异面，故错误；对于B，若，，，则有，正确；对于C，若，，则或，又，则正确；对于D，若，，，可能，故不一定成立．故选：BC．13．BD【分析】根据异面所成角的定义与计算方法，结合正方体的几何结构特征，逐项判定、求解，即可求解.【详解】对于A中，在正方体中，，所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，在等腰直角，可得，即异面直线与所成的角为，所以A不正确；，对于B中，在正方体中，可得，所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，在等边，可得，即异面直线与所成的角为，所以B正确；，对于C中，在正方体中，由为底面的中心，可得平面，且平面，所以直线与不是异面直线，所以C错误；对于D中，在正方体中，因为为正方形，可得，又由平面，平面，所以，因为且平面，所以平面，又因为平面，所以，所以D正确.故选：BD.

14．AD【分析】根据空间中线面、面面的位置关系一一判断即可【详解】对于A：若，，则，故A正确；对于B：若，则或，故B错误；对于C：若，，则或与异面，故C错误；对于D：若，，则，又，所以，故D正确；故选：AD15．ABD【分析】利用平行的传递性、面面垂直的概念、判定与性质定理、线面垂直的概念与定理进行判断.【详解】对于A，根据直线平行的传递性可知，A正确；对于B，根据平面与平面垂直的判断定理可知，B正确；对于C，若，，与也可能相交，故C错误；对于D，根据平面与平面垂直的性质定理以及直线与平面垂直的概念可知，D正确.故选：ABD.16．BC【分析】A选项，根据正三棱锥的性质得到只有两异面直线垂直时，才总存在四个顶点分别在m，n上的正三棱锥；B选项，异面直线有且只有一条公垂线，画出图形，证明出此结论；C选项，利用线面平行的判定定理及平行的推论得到结论；D选项，找到反例即可【详解】正三棱锥，取CD的中点G，连接AG，BG，则由三线合一得：，因为，所以平面ABG，因为平面ABG，所以CD⊥AB取直线为m，直线AB为n，所以只有两异面直线垂直时，才总存在四个顶点分别在m，n上的正三棱锥，故A错误；已知为异面直线，平移直线到直线，使得直线，则相交直线确定平面，则为平面外一直线，且，故可作出平面，使得且，C正确；由上面分析可知存在平面，使得，且，作直线在平面的投影直线，直线与相交于点A，过点A作直线d，使得平面，因为，则，且与相交于点B，则为异面直线的公垂线，B正确；如下图正方体，取直线为直线，直线为直线，则过点A要想与直线相交，则此直线为平面上过点A的除AD外的所有直线均可，这些直线和直线均无交点，故此时不存在过A且与m，n都相交的直线，D错误.故选：BC17．【分析】作出图形判断外接球球心的位置，先求出相关线段的长度，然后利用勾股定理求出外接球半径，代入球的表面积公式即可求解．【详解】如图，正三棱锥中，设点Q为的中心，则PQ⊥平面ABC，

∴，∴，PQ＝3．球心O在直线PQ上，连接AO，设球O的半径为r，则，，在中，，即，解得，∴球O的表面积为．故答案为：.18．【分析】根据莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到，求得其周长，再根据曲侧面三棱柱的高为10求解.【详解】解：由题意得：底面是由三段以20为半径，圆心角为的圆弧构成，所以底面周长为，又曲侧面三棱柱的高为10，所以曲侧面三棱柱的侧面积为，故答案为：19．【分析】由定义作出二面角的平面角，然后解三角形即可.【详解】

过作，垂足为，过作，垂足为，连接.平面平面，平面平面，又，平面，根据面面垂直的性质定理可得，平面，又平面，故，又，，平面，故平面，由平面，故，于是二面角的平面角为，根据题目数据，在中，，，则，则.故答案为：20．【分析】根据给定条件，利用等体积法求解三棱锥的体积．根据割补法，将几何体分解为三棱柱和三棱锥，即可由体积公式求解.【详解】在正方体中，棱长为2，为的中点，则，为上一点，而平面，平面，则点到平面的距离为长，所以三棱锥的体积．取的中点为，连接,由于均为棱的中点，由正方体的结构特征可知为直三棱柱，故几何体可以分割为三棱柱和三棱锥，故几何体体积为,故答案为：，

21．【分析】作出辅助线，找到或，分两种情况，结合余弦定理求出答案.【详解】取的中点，连接，因为E、F分别是的中点，所以，因为所成的角为，所以或，